第05讲 二次函数与一元二次方程、不等式 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第05讲 二次函数与一元二次方程、不等式 第05讲 二次函数与一元二次方程、不等式 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．掌握二次函数的图象与性质，会求对称轴、顶点、最值与单调区间，并能处理含参对称轴； 2．熟练解一元二次不等式，理解"三个二次"的关系，能由解集反求参数； 3．掌握"解集为全体实数"与恒成立的判别式法，会先讨论二次项系数； 4．会解分式不等式，并能对含参一元二次不等式按"两根大小"分类讨论。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 二次函数的图象与性质 选择题、填空题 第1~4题 中 开口定增减，对称轴与区间位置定最值 解一元二次不等式 选择题、填空题 第1~5题 中 化正→看判别式→写解集，注意端点开闭 恒成立与解集为全体实数 选择题、填空题 第6~8题、第13~14题 中偏难 先讨论二次项系数，再用判别式 由解集反求参数 选择题、填空题 第5~8题 中偏难 端点即根，用韦达定理列方程 含参二次不等式（分类讨论） 解答题 第17~24题 中偏难 因式分解后按两根大小分三类 命题规律分析 一元二次不等式是高考的"保分题"：选择、填空直接考解法，解答题中又作为工具反复出现，也是函数、导数问题的运算基础。命题规律上有三条主线：一是直接解法（"大于取两边、小于取中间"）；二是恒成立与"解集为全体实数"（判别式法），常落在第 6~8 题或第 13~14 题；三是含参二次不等式"比根讨论"，多作为解答题的中档一问。陷阱集中在三点：二次项系数为负忘了变号、端点开闭看错、忘记讨论二次项系数是否为 。本讲把"先化正、再看判别式、后写解集"的三步法打牢，并把含参分类讨论讲透。 考点1 二次函数与一元二次方程 知识点1 二次函数的图象与性质 开口方向： 向上、 向下；对称轴 ；顶点纵坐标 。 时对称轴左侧递减、右侧递增，值域为 ； 时相反。 【易错清单】 1．对称轴是 ，负号别丢； 2．闭区间求最值要先看对称轴是否落在区间内，再比较顶点与端点。 知识点2 一元二次方程的根 判别式 ； 时两根为 。 韦达定理：，（仅在 时可用）。 【易错清单】 1．由解集反求参数时，解集端点就是方程的根； 2．两根之和等于 （带负号），别写成 。 考点2 一元二次不等式 知识点3 一元二次不等式的解法 设 、两根 ，则 的解集为 或 （大于取两边）， 的解集为 （小于取中间）。 口诀： 时 的解集为 ； 时 的 解集为 、 解集为 。 【易错清单】 1．二次项系数为负时，先两边同乘 并变号； 2．端点开闭看不等号：带等号用方括号、不带用圆括号；"两边"用 连接。 知识点4 由解集反求参数与恒成立 若 （）的解集为 或 ，则 是方程的两根，用韦达定理列方程求参数。 恒成立 且 （带等号的恒成立用 ）。 【易错清单】 1．二次项系数含参时，先讨论系数为 ，再按开口与判别式求解； 2．"解集为 "与"恒成立"是同一类问题。 知识点5 分式不等式（基础） 且 ； 且 。 解法：化为整式不等式（分母不为 ）后按"大于取两边、小于取中间"求解。 【易错清单】 1．分母为 的点永远不在解集内，即使乘过去后能取等号； 2． 不能直接交叉相乘（分母符号未知），必须移项通分。 【题型1 二次函数的图象与性质】 【例1】已知函数 。 (1) 求 在 上的值域； (2) 若 在 上单调递增，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】配方定对称轴；(1) 比较顶点与端点，(2) 让区间整体落在增区间内。 【解答过程】(1) ，对称轴 。最小值 ；端点 、，最大值为 。值域为 。 (2) 的单调递增区间为 ，要使 整体落在其中，只需左端 。所以 。 【多解·巧解】含参区间上的单调性问题，只需让区间落在对称轴确定的一侧："带区间找增区间"比"带增区间找区间"更简单——只要 的左端不小于对称轴 即可。端点 可取（此时区间 恰从对称轴开始递增）。 【易错提醒】(1) 求闭区间最值必须同时比较顶点与两端点：本题对称轴在区间内，最小值为顶点值、最大值在较远端点取得；(2) 别把"单调递增"写成"函数值递增"而漏解端点。 【变式1-1】函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】开口向上、对称轴左侧递减。 【解答过程】对称轴 ， 开口向上，故递减区间为 。故选A。 【变式1-2】函数 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】开口向下，最大值在顶点处。 【解答过程】，开口向下，当 时取最大值 。故选A。 【变式1-3】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 的增区间是 ，要含住 。 【解答过程】对称轴 ，增区间为 。由 得 。故选A。 【题型2 解一元二次不等式】 【例2】不等式 的解集为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先两边同乘 把二次项系数化正（不等号变向），再因式分解。 【解答过程】两边同乘 （不等号变为 ）：，即 ，解得 。解集为 。故选A。 【多解·巧解】解含负二次项系数的不等式，先化正再解是固定动作：两边同乘 时，不等号方向要变。也可直接因式分解 ，再判断符号区间，两种做法等价。 【易错提醒】① 化正时忘记变号（""应变""）是最常见的错误；② 因式分解 的根是 与 ，不要写成 与 。 【变式2-1】不等式 的解集为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】因式分解后"大于取两边"。 【解答过程】，两根 、，大于取两边（不带等号用圆括号），解集为 。故选A。 【变式2-2】不等式 的解集为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 时不等式 只在等号处成立。 【解答过程】，因平方非负，只能 ，即 。解集为 。故选A。 【变式2-3】不等式 的解集为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 且开口向上，二次式恒正。 【解答过程】，且二次项系数 ，故 恒成立，解集为 。故选A。 【题型3 三个二次关系与恒成立】 【例3】若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先讨论 （退化为常数不等式），再按开口向上且判别式小于 。 【解答过程】① 当 时，不等式化为 ，恒成立，符合； ② 当 时，需开口向上 且 ，即 ，解得 。 综上 ，即 。故选A。 【多解·巧解】含参二次不等式"解集为 "必须先讨论二次项系数为 ： 时退化为 ，恒成立，故 要保留。再对 用判别式法，两步都得。这类题型"系数为 的情形"往往是答案的一个端点。 【易错提醒】① 漏掉 （把答案写成 ）；② 忘记"开口必须向上"这一前提，只解 会丢掉对 符号的约束。 【变式3-1】若不等式 对一切实数 恒成立，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】开口向上，判别式小于 。 【解答过程】由 得 。故选A。 【变式3-2】若不等式 对一切实数 恒成立，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把右边当作参数，恒成立即 不超过左边的最小值。 【解答过程】，最小值为 。要使 恒成立，需 。故选A。 【变式3-3】若关于 的不等式 有解，则实数 的取值范围是（　　） A． 或 　B．　C． 或 　D． 【答案】A 【解题思路】开口向上，取到负值当且仅当判别式大于 。 【解答过程】开口向上， 有解等价于 ，解得 或 。故选A。 【题型4 由解集反求参数】 【例4】已知关于 的不等式 的解集为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】解集两端点即方程两根，用韦达定理列方程。 【解答过程】解集为 （两根之间的开区间），说明两根为 与 ，且开口向下 。 由韦达定理：两根之积 ，得 ；两根之和 ，得 。 所以 。故选A。 【多解·巧解】由解集反求参数的两步固定动作：解集端点就是方程两根，再用韦达定理列方程。本题两根之积直接把 解出，比先设一般式展开更快。别忘了检验开口方向（解集为两根之间的开区间要求 ）。 【易错提醒】① 忘记检验开口：解出 才与"解集为两根之间"一致；② 韦达定理"两根之和 "的负号别丢（ 不是 ）。 【变式4-1】已知不等式 的解集为 或 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】两根 、，用韦达定理。 【解答过程】两根为 与 。两根之和 ，得 ；两根之积 。所以 。故选B。 【变式4-2】已知关于 的不等式 的解集为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】两根 、，注意二次项系数为 。 【解答过程】两根为 与 。由韦达定理：，得 ；（两根之积 ，得 。）故 。故选A。 【变式4-3】已知关于 的不等式 的解集为 ，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】A 【解题思路】先因式分解得两根 与 ，再看解集端点。 【解答过程】因式分解：，两根为 与 。 解集为 ，说明另一根是 （此时 给出 ）。故选A。 【题型5 分式不等式】 【例5】不等式 的解集为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】化为整式 且分母不为 。 【解答过程】等价于 且 。"小于取中间"得 ，再掏空 ，解集为 。故选A。 【多解·巧解】分式不等式两步：化为整式（同号为正、异号得负）→ 按口诀解，最后把分母的根掏空。也可用"穿根法"在数轴上标出临界点 与 ，画符号曲线取非正段并去掉 。 【易错提醒】① 端点 （分母为零）必须掏空，即使原不等号带等号也取不到；② 端点 （分子为零）可以取到（带等号）。 【变式5-1】不等式 的解集为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】同号为正：临界点 、，取两边。 【解答过程】等价于 且 ，两根 、，大于取两边，解集为 。故选A。 【变式5-2】不等式 的解集为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】移项通分，化为一个分式再判号。 【解答过程】移项通分：。分子 ，需 ，即 。解集为 。故选A。 【变式5-3】不等式 的解集为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分子因式分解为 ，三个临界点 、、 画符号表。 【解答过程】分子 ，等价于 且 。 在数轴上标出 、、，符号交替： 为负、 为正、 为负、 为正。 取"不大于 "的部分并去掉 ，得 。故选A。 【题型6 含参一元二次不等式（分类讨论）】 【例6】解关于 的不等式 。 【答案】当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 【解题思路】因式分解得两根 、，按两根大小分三类。 【解答过程】因式分解：，两根为 与 。 ① 当 时，两根之间为 ； ② 当 时，不等式化为 ，无解，解集为 ； ③ 当 时，两根之间为 。 【多解·巧解】含参二次不等式模板：因式分解 → 比较两根大小 → 分三种情形写解集，分界点就是"两根相等"。本题 时两根重合，不等式化为 ，解集为空集，是最容易被忽略的一种情形。 【易错提醒】① 漏掉 （解集为空集）的情形；② 本题是"小于 "，解集应取两根之间，写 与 时要保证左端小于右端。 【变式6-1】解关于 的不等式 。 【答案】当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 【解题思路】提取公因式得两根 与 ，按两根大小讨论。 【解答过程】因式分解：，两根为 与 。 ① 当 时，，大于取两边： 或 ； ② 当 时，，解集为 ； ③ 当 时，，大于取两边： 或 。 【变式6-2】解关于 的不等式 （）。 【答案】当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 【解题思路】因式分解为 ，两根 与 ，按大小讨论。 【解答过程】因式分解：，两根为 与 。 ① 当 时，，大于取两边： 或 ； ② 当 时，不等式化为 ，解集为 ； ③ 当 时，，大于取两边： 或 。 【变式6-3】若关于 的不等式 的解集为 ，则 （　　） A． 或 　B．　C．　D． 或 【答案】A 【解题思路】解集为两根之间的闭区间，其长度等于两根之差的绝对值 。 【解答过程】因式分解：，两根为 与 ，解集长度 ，故 或 ，即 或 ，均满足。故选A。 一、单选题 1．（★★）不等式 的解集为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】因式分解后"小于取中间"，带等号用方括号。 【解答过程】，两根 、，小于取中间，解集为 。故选A。 2．（★★）函数 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】开口向上，最小值在顶点处。 【解答过程】，当 时取最小值 。故选A。 3．（★★）不等式 的解集为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】同号为正，临界点 、，取两边。 【解答过程】等价于 且 ，两根 、，大于取两边，解集为 。故选A。 4．（★★）若关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】开口向上，判别式小于 。 【解答过程】由 得 。故选A。 5．（★★）已知不等式 的解集为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】两根 、，用韦达定理。 【解答过程】两根为 、。两根之和 ，得 ；两根之积 。所以 。故选A。 6．（★★★）若关于 的不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】二次项系数含参，先讨论 ，再按开口向下且判别式小于 。 【解答过程】① 当 （即 ）时，不等式化为 ，恒成立，符合； ② 当 时，需 且 ，即 且 。由 ，只需 ，即 。综上 。故选A。 7．（★★★）已知关于 的方程 的两个实根都大于 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】设 ，两根都大于 需判别式、对称轴、端点函数值三个条件同时成立。 【解答过程】设 ，开口向上，对称轴 。两根都大于 等价于 、、 同时成立。由 得 或 ； 由 得 ；由 得 。取交得 。故选A。 8．（★★★）若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把含 的项隔离为 ，因 ，两边同除时要变号，再求右式的最大值。 【解答过程】原不等式即 。 当 时，左端为 ，对任意 恒成立；当 时 ，两边同除以 得 。因为 ，所以 （等号在 处成立），即右式的最大值为 。要使 对一切 成立，需 。故选A。 二、多选题 9．（★★）已知函数 ，则（　　） A．图象开口向上　B．对称轴为直线 　C．最小值为 　D．与 轴交于 和 【答案】ABCD 【解题思路】逐项按二次函数性质与零点判断。 【解答过程】，A 正确；对称轴 ，B 正确；，C 正确； 令 ，，零点为 ，D 正确。故选ABCD。 10．（★★）已知不等式 的解集为 ，则（　　） A．　B．　C． 与 是方程 的两根　D． 【答案】ACD 【解题思路】解集"取两边"知开口向上；端点即根，用韦达定理。 【解答过程】解集为两边，所以 ，A 正确、B 错误；端点 、 是两根，C 正确； 由韦达定理 ，得 ，D 正确。故选ACD。 11．（★★★）已知函数 （），，则下列结论正确的是（　　） A． 在 上的最小值为 　B．若 对一切 恒成立，则 　C．若存在 使 ，则 　D． 在 上的最大值为 【答案】ACD 【解题思路】配方 得最小值，再逐项把"恒成立""存在"翻译成最值条件。 【解答过程】，对称轴 ，最小值 ，A 正确； B：恒成立需最小值 ，即 ，而不是 ，错误；C："存在使 "需最小值 ，即 ，正确；D：端点 、，故最大值为 ，正确。故选ACD。 12．（★★★）已知关于 的不等式 （），则下列结论正确的是（　　） A．当 时，解集为 　B．当 时，解集为 　C．当 时，解集为 　D．若解集为 且 ，则 【答案】ABC 【解题思路】因式分解得 ，按两根 与 的大小关系写解集，并用区间长度校验。 【解答过程】因式分解得 。 A： 时解集为两根之间 ，正确；B： 时化为 ，解集为 ，正确；C： 时两根为 ，解集为 ，正确；D：解集长度 ，得 或 ，D 漏掉 ，错误。故选ABC。 三、填空题 13．（★★）不等式 的解集为____________。 【答案】 【解题思路】两边同乘 化正后"小于取中间"。 【解答过程】两边同乘 ：，即 ，解集为 。 14．（★★）已知关于 的不等式 的解集为 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】两根 、，用韦达定理求积。 【解答过程】两根为 、，两根之积 ，所以 。 15．（★★★）若关于 的不等式 的解集非空，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】开口向上的二次式能取到负值，当且仅当判别式大于 （"非空"不含判别式等于 的情形）。 【解答过程】 的解集非空，等价于二次函数能取到负值。因二次项系数 ，其最小值为顶点处的 ，只要 即可取到负值，解得 ，即 或 。（用判别式同样得 ；若 ，最小值恰为 ，取不到负值，解集为空。） 16．（★★★）若关于 的不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】分离参数得 ，注意区间端点 取不到，端点处的下确界要单独判断能否取等。 【解答过程】因为 时 ，由 得 。 设 。因为 ，所以 ，等号仅在 处成立，而 不在 内，故在 上恒有 ， 的下确界为 。要使 对一切 成立，需 （取 时， 在 上恒成立，符合）。 四、解答题 17．（★★）已知函数 。 (1) 求 在 上的最大值与最小值； (2) 解不等式 。 【答案】(1) 最大值 ，最小值 ； (2) 。 【解题思路】闭区间最值比较顶点与端点；解不等式因式分解后"大于取两边"。 【解答过程】(1) 对称轴 ，最小值 ；端点 、，所以最大值为 。 (2) ，即 ，大于取两边，解集为 。 【多解·巧解】(1) 闭区间最值先看对称轴是否落在区间内：落在内则"顶点值 + 两端点值"三者比较。本题最小值为 ，最大值在距轴较远的端点 处取得为 。 【易错提醒】① 求最值不能只看顶点，若对称轴不在区间内则最值只由端点决定；② (2) 中"大于取两边"、端点带等号用方括号，别写成开区间。 18．（★★）已知关于 的不等式 。 (1) 当 时，求不等式的解集； (2) 若不等式的解集为 ，求实数 的值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 代入分解；(2) 配方成对称区间 ，与 对齐。 【解答过程】(1) 当 时，，即 ，解集为 。 (2) 即 ，解得 ，解集为 。 由 得 且 ，均给出 。 【多解·巧解】(2) 用"区间长度"校验： 的长度恒为 ，与 一致，只需把"中点对上"即可—— 的中点是 ，故 。含参对称区间与给定区间相等时，"中点对齐"比列两组端点方程更快。 【易错提醒】(2) 需左右端点条件同时满足才成立（本题恰好一致）；另外配方方向不能错， 给出以 为中心、半径 的闭区间。 19．（★★）已知关于 的不等式 。 (1) 当 时，求不等式的解集； (2) 解关于 的不等式（对 分类讨论）。 【答案】(1) ； (2) 当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 。 【解题思路】因式分解为 ，按两根大小分三类。 【解答过程】(1) 当 时，，大于取两边，解集为 。 (2) 因式分解 ，两根为 与 。 ① 当 时，解集为 或 ； ② 当 时，，解集为 ； ③ 当 时，解集为 或 。 【多解·巧解】含参二次不等式的分类判据是两根的大小关系：、、。 时两根重合，解集是"除一点外的全体"，最易遗漏。三类都遵循"大于取两边"，写解集时注意把较小的根放在左边。 【易错提醒】① 漏掉 的单独讨论；② 时两根顺序是 ，解集应为 ，别与 的情形写反。 20．（★★★）已知函数 （）。 (1) 若 在区间 上单调，求实数 的取值范围； (2) 当 时，求 在 上的值域； (3) 求 在 上的最小值 。 【答案】(1) 或 ； (2) ； (3) 。 【解题思路】配方定轴后按对称轴 与区间 的位置关系分三类求最小值。 【解答过程】，对称轴 ，开口向上。 (1) 在 上单调，只需对称轴不在区间内部，即 或 。 (2) 当 时，，最小值 ，端点 、，故值域为 。 ① 当 时， 在 上递增，最小值 ；② 当 时，对称轴落在区间内，最小值 ；③ 当 时， 在 上递减，最小值 。 【多解·巧解】含参二次最值的通法是"配方定轴、比较轴与区间的位置"，临界值来自"轴踩到区间端点"（本题 、）。把临界值先列出来再分段，能保证三类不重不漏。 【易错提醒】(1) 中"在区间上单调"包含递增与递减两种，故是 或 ，只写一半会漏解；(3) 中三类必须整理成关于 的分段函数并写"综上"，只写中间一段是最常见的失分点。 21．（★★★）已知函数 。 (1) 求 在 上的值域； (2) 若 对一切 恒成立，求 的取值范围； (3) 若存在 使 成立，求 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】配方定轴，先求区间上的最值，再把"恒成立""存在"翻译成最值条件。 【解答过程】(1) ，对称轴 ，最小值 ，端点 ，故值域为 。 (2) "对一切 恒成立"要求 不超过最小值，即 。 (3) 在 上的最小值为 ，"存在 使 "要求 不小于最小值，即 。 【多解·巧解】(2)(3) 分别是"对最不利的 提要求"与"取最容易满足的 "，两者都落到最小值 上，只是不等号方向相反。用同一条"最小值 "就能同时定位两个答案。 【易错提醒】(3) 易误取最大值 写成 ： 只要有一个 满足，取最小的 最容易满足，故应为 。 22．（★★★）已知函数 （）。 (1) 若 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围； (2) 若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 二次项系数恒正，只需判别式小于 ；(2) 分离参数得 ，再看右式的最小值。 【解答过程】(1) 二次项系数为 ，只需 。，解得 。(2) 因为 时 ，由 得 。设 。因为 ，所以 （等号在 处成立），即 的最小值为 ，故要使 对一切 成立，需 。 【多解·巧解】(1) 是判别式法，(2) 在给定区间上恒成立时改用分离参数加最值。两问对照可见 (1) 的答案比 (2) 更窄，因为"在全体实数上恒成立"是最强的条件。 【易错提醒】(1) 严格不等号对应 ，端点 不能取（此时存在使左端等于 的 ）；(2) 分离参数时要说明 才能直接除过去，否则要变号。 23．（★★★）已知函数 （）。 (1) 求 在 上的最小值 ； (2) 若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围； (3) 若存在 使 ，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) ；(3) 。 【解题思路】先配方定轴求最小值，(2)(3) 都归结为最小值 的符号，用同一分段结论一次解决。 【解答过程】，对称轴 。 ① 当 时， 在 上递增，；② 当 时，；③ 当 时， 在 上递减，。(2) 恒成立需 ：当 时 成立；当 时由 得 ，即 ；当 时 不成立。综上 。(3) 存在使 需 ，即 。 【多解·巧解】(2)(3) 是一组互为否定的条件（"任意 "与"存在 "），答案在 处分界：一个取 ，另一个取 ，恰好拼成全体实数。先算好分段最小值 ，两问都能一步得到。 【易错提醒】(1) 中容易漏掉 （最小值在左端点）或 （在右端点）两段，只保留中间一段；另外 是 (2)(3) 的分界点，注意 (2) 取等号而 (3) 不取。 24．（★★★）已知关于 的不等式 （）。 (1) 当 时，求不等式的解集； (2) 解关于 的不等式（对 分类讨论）。 【答案】(1) ； (2) 当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 。 【解题思路】化为整式 且 ，再按两根 与 的大小关系写解集。 【解答过程】(1) 当 时， 等价于 且 ，即 且 ，解集为 。该不等式等价于 且 。① 当 时，两根之间为 ，掏空 得 ；② 当 时化为 ，只有 ，但分母不为 ，解集为 ；③ 当 时，两根之间为 ，掏空 得 。 【多解·巧解】分式不等式的固定动作是"化整式 + 掏空分母零点"。本题分母零点 永远要掏空，即使原不等式带等号也取不到；而分子零点 在带等号时可取，于是解集在 端为闭、在 端为开。 【易错提醒】① 漏掉 的情形（此时解集为空集，而非 ）；② 端点开闭搞反： 必须掏空， 可以取；③ 分类判据是"两根 与 的大小"，写解集时不要把 与 两类的端点写反。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第05讲 二次函数与一元二次方程、不等式 第05讲 二次函数与一元二次方程、不等式 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．掌握二次函数的图象与性质，会求对称轴、顶点、最值与单调区间，并能处理含参对称轴； 2．熟练解一元二次不等式，理解"三个二次"的关系，能由解集反求参数； 3．掌握"解集为全体实数"与恒成立的判别式法，会先讨论二次项系数； 4．会解分式不等式，并能对含参一元二次不等式按"两根大小"分类讨论。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 二次函数的图象与性质 选择题、填空题 第1~4题 中 开口定增减，对称轴与区间位置定最值 解一元二次不等式 选择题、填空题 第1~5题 中 化正→看判别式→写解集，注意端点开闭 恒成立与解集为全体实数 选择题、填空题 第6~8题、第13~14题 中偏难 先讨论二次项系数，再用判别式 由解集反求参数 选择题、填空题 第5~8题 中偏难 端点即根，用韦达定理列方程 含参二次不等式（分类讨论） 解答题 第17~24题 中偏难 因式分解后按两根大小分三类 命题规律分析 一元二次不等式是高考的"保分题"：选择、填空直接考解法，解答题中又作为工具反复出现，也是函数、导数问题的运算基础。命题规律上有三条主线：一是直接解法（"大于取两边、小于取中间"）；二是恒成立与"解集为全体实数"（判别式法），常落在第 6~8 题或第 13~14 题；三是含参二次不等式"比根讨论"，多作为解答题的中档一问。陷阱集中在三点：二次项系数为负忘了变号、端点开闭看错、忘记讨论二次项系数是否为 。本讲把"先化正、再看判别式、后写解集"的三步法打牢，并把含参分类讨论讲透。 考点1 二次函数与一元二次方程 知识点1 二次函数的图象与性质 开口方向： 向上、 向下；对称轴 ；顶点纵坐标 。 时对称轴左侧递减、右侧递增，值域为 ； 时相反。 【易错清单】 1．对称轴是 ，负号别丢； 2．闭区间求最值要先看对称轴是否落在区间内，再比较顶点与端点。 知识点2 一元二次方程的根 判别式 ； 时两根为 。 韦达定理：，（仅在 时可用）。 【易错清单】 1．由解集反求参数时，解集端点就是方程的根； 2．两根之和等于 （带负号），别写成 。 考点2 一元二次不等式 知识点3 一元二次不等式的解法 设 、两根 ，则 的解集为 或 （大于取两边）， 的解集为 （小于取中间）。 口诀： 时 的解集为 ； 时 的 解集为 、 解集为 。 【易错清单】 1．二次项系数为负时，先两边同乘 并变号； 2．端点开闭看不等号：带等号用方括号、不带用圆括号；"两边"用 连接。 知识点4 由解集反求参数与恒成立 若 （）的解集为 或 ，则 是方程的两根，用韦达定理列方程求参数。 恒成立 且 （带等号的恒成立用 ）。 【易错清单】 1．二次项系数含参时，先讨论系数为 ，再按开口与判别式求解； 2．"解集为 "与"恒成立"是同一类问题。 知识点5 分式不等式（基础） 且 ； 且 。 解法：化为整式不等式（分母不为 ）后按"大于取两边、小于取中间"求解。 【易错清单】 1．分母为 的点永远不在解集内，即使乘过去后能取等号； 2． 不能直接交叉相乘（分母符号未知），必须移项通分。 【题型1 二次函数的图象与性质】 【例1】已知函数 。 (1) 求 在 上的值域； (2) 若 在 上单调递增，求实数 的取值范围。 【变式1-1】函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】函数 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 解一元二次不等式】 【例2】不等式 的解集为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】不等式 的解集为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】不等式 的解集为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】不等式 的解集为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 三个二次关系与恒成立】 【例3】若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】若不等式 对一切实数 恒成立，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】若不等式 对一切实数 恒成立，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】若关于 的不等式 有解，则实数 的取值范围是（　　） A． 或 　B．　C． 或 　D． 【题型4 由解集反求参数】 【例4】已知关于 的不等式 的解集为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】已知不等式 的解集为 或 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】已知关于 的不等式 的解集为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】已知关于 的不等式 的解集为 ，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 【题型5 分式不等式】 【例5】不等式 的解集为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】不等式 的解集为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】不等式 的解集为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】不等式 的解集为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 含参一元二次不等式（分类讨论）】 【例6】解关于 的不等式 。 【变式6-1】解关于 的不等式 。 【变式6-2】解关于 的不等式 （）。 【变式6-3】若关于 的不等式 的解集为 ，则 （　　） A． 或 　B．　C．　D． 或 一、单选题 1．（★★）不等式 的解集为（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）函数 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）不等式 的解集为（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）若关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）已知不等式 的解集为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）若关于 的不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知关于 的方程 的两个实根都大于 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）已知函数 ，则（　　） A．图象开口向上　B．对称轴为直线 　C．最小值为 　D．与 轴交于 和 10．（★★）已知不等式 的解集为 ，则（　　） A．　B．　C． 与 是方程 的两根　D． 11．（★★★）已知函数 （），，则下列结论正确的是（　　） A． 在 上的最小值为 　B．若 对一切 恒成立，则 　C．若存在 使 ，则 　D． 在 上的最大值为 12．（★★★）已知关于 的不等式 （），则下列结论正确的是（　　） A．当 时，解集为 　B．当 时，解集为 　C．当 时，解集为 　D．若解集为 且 ，则 三、填空题 13．（★★）不等式 的解集为____________。 14．（★★）已知关于 的不等式 的解集为 ，则 ____________。 15．（★★★）若关于 的不等式 的解集非空，则实数 的取值范围是____________。 16．（★★★）若关于 的不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是____________。 四、解答题 17．（★★）已知函数 。 (1) 求 在 上的最大值与最小值； (2) 解不等式 。 18．（★★）已知关于 的不等式 。 (1) 当 时，求不等式的解集； (2) 若不等式的解集为 ，求实数 的值。 19．（★★）已知关于 的不等式 。 (1) 当 时，求不等式的解集； (2) 解关于 的不等式（对 分类讨论）。 20．（★★★）已知函数 （）。 (1) 若 在区间 上单调，求实数 的取值范围； (2) 当 时，求 在 上的值域； (3) 求 在 上的最小值 。 21．（★★★）已知函数 。 (1) 求 在 上的值域； (2) 若 对一切 恒成立，求 的取值范围； (3) 若存在 使 成立，求 的取值范围。 22．（★★★）已知函数 （）。 (1) 若 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围； (2) 若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围。 23．（★★★）已知函数 （）。 (1) 求 在 上的最小值 ； (2) 若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围； (3) 若存在 使 ，求实数 的取值范围。 24．（★★★）已知关于 的不等式 （）。 (1) 当 时，求不等式的解集； (2) 解关于 的不等式（对 分类讨论）。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $