第10讲 指数与指数函数讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第10讲 指数与指数函数 第10讲 指数与指数函数 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．熟练进行根式与分数指数幂的互化与化简，掌握指数幂的三条运算性质； 2．理解指数函数的图象与性质，会求图象所过定点、比较指数幂的大小； 3．能处理底数含参的指数函数的单调性问题，会分情况讨论最值； 4．会用"同增异减"判断指数型复合函数的单调区间与值域，并进行整体代换求值。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 根式与分数指数幂的化简 选择题、填空题 第 2~5 题 中档 偶次方根先取绝对值，负指数先翻倒数 指数幂的整体代换与求值 选择题、填空题 第 5~7 题、第 13 题 中档 拆指数或配平方，从已知那一层逐层向上算 指数函数的图象与定点 选择题 第 4~6 题 中档 令指数为零求横坐标，再代回求纵坐标 比较指数幂的大小 选择题 第 6~8 题 中偏难 同底看单调性，都不同先统一底数或插入 指数型复合函数的单调性与值域 选择题、解答题 第 8 题、第 14 题、第 20~22 题 中偏难 先定内外层再用"同增异减"，值域由内层范围映射 命题规律分析 指数与指数函数是函数板块的基石，也是后续对数、数列、导数的必备工具。新高考中，指数幂的化简多落在第 1~5 题，指数型复合函数的单调性与比较大小常出现在第 6~8 题、第 13~14 题，属于"讲清套路就能稳拿"的中档分。本讲在夯实运算法则的基础上，重点突破三类培优问题：一是含负指数、分数指数与根式的混合化简；二是底数含参时"单调性带动参数范围"的分类讨论；三是用"同增异减"判断指数型复合函数的单调区间与值域。同时守住两条失分红线：偶次方根开出来要取绝对值，底数在 与 之间时脱去底数要变号。 考点1 根式与指数幂的运算 知识点1 根式与分数指数幂 若 （，），则 叫做 的 次方根；当 为偶数时 ，当 为奇数时 。 分数指数幂 （，，，）；运算性质 ，，。 【易错清单】 1．偶次方根开出来一定是非负数：，不是 ； 2．分数指数幂的运算性质要求底数大于 ，遇负底数先按方根的奇偶单独处理； 3． 的前提是 ，含参时先扣掉使底数为 的取值。 知识点2 指数函数的图象与性质 指数函数 （ 且 ）定义域为 、值域为 ，图象恒过定点 。 当 时在 上单调递增，当 时在 上单调递减； 与 的图象关于 轴对称。 【易错清单】 1．底数限制" 且 "不能漏，含参时先写基础范围； 2．形如 的定点：令指数 求出 ，再代回求 ； 3．底数在 与 之间时脱去底数要变号，与单调递增的情形方向相反。 考点2 指数型函数的单调性与值域 知识点3 指数型复合函数的单调性 形如 的复合函数：当 时 与 单调性一致，当 时相反，即"同增异减"。 求值域先求内层 的取值范围，再用外层单调性映射；内层取不到的值，外层也取不到。 【易错清单】 1．判断复合单调性前先求定义域，别把区间写到了定义域之外； 2．"内层递减、外层递减"整体是递增，别误判成递减； 3．求值域要写出"内层范围 外层范围"的推理，只给结论不给理由会失分。 知识点4 指数式中整体代换求值 ，；已知 时，，故 。 已知 （）求 ：先平方得 ，再由 开方取正值。 【易错清单】 1． 不能拆成 ，指数相加对应的是幂相乘； 2． 而不是 ，两者差一个平方关系； 3．开方后要由原式的符号定正负， 恒成立，答案只能取正值。 【题型1 指数幂的化简与求值】 【例1】计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】化简 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】计算 ____________。 【变式1-3】计算 （　　）（，） A．　B．　C．　D． 【题型2 指数函数的图象与定点】 【例2】函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，则点 的坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】函数 的图象恒过定点____________。 【变式2-2】若函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，则 ____________。 【变式2-3】函数 与 的图象关于（　　）对称。 A． 轴　B． 轴　C．原点　D．直线 【题型3 比较指数幂的大小】 【例3】设 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】比较大小：____________（填""或""）。 【变式3-2】设 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】设 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 指数函数的单调性与参数】 【例4】若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】函数 的单调递减区间是____________。 【变式4-3】已知函数 （ 且 ）在区间 上的最大值为 ，则 ____________。 【题型5 指数型复合函数的单调性与值域】 【例5】函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】函数 的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】函数 的最大值是____________。 【变式5-3】已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 指数式整体代换与恒等变形求值】 【例6】已知 （），则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】已知 ，则 ____________。 【变式6-2】已知 ，则 ____________。 【变式6-3】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★★）计算 （　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）函数 的图象恒过定点（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）化简 （　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）比较 与 的大小，正确的是（　　） A．　B．　C．　D．无法确定 5．（★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）函数 （）的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）设 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知函数 （ 且 ）在区间 上的最大值与最小值之差为 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 二、多选题 9．（★★）关于指数函数 （ 且 ），下列说法正确的是（　　） A．定义域为 　B．值域为 　C．图象过点 　D．当 时在 上单调递增 10．（★★）下列计算正确的是（　　） A．（）　B．（）　C．　D． 11．（★★★）已知函数 （），则下列说法正确的是（　　） A． 的最小值为 　B．当 时， 在 上单调递增　C．若 在 上单调递增，则 　D．若 在 上的最大值为 ，则 12．（★★★）已知函数 （），令 ，则下列说法正确的是（　　） A． 可化为关于 的二次式 （）　B．当 时， 的最小值为 　C．若 的最小值为 ，则 　D．若 在 上单调递增，则 三、填空题 13．（★★）计算 ____________。 14．（★★）函数 的图象恒过定点____________。 15．（★★★）已知函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是____________。 16．（★★★）已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是____________。 四、解答题 17．（★★）计算下列各式的值： (1) ； (2) 。 18．（★★）已知函数 （ 且 ）在区间 上的最大值为 。 (1) 求 的值； (2) 求 在 上的值域。 19．（★★）已知函数 。 (1) 求 的单调区间； (2) 求 的最大值。 20．（★★★）已知函数 。 (1) 求 的最小值； (2) 求 在区间 上的值域。 21．（★★★）已知函数 。 (1) 求 的值域； (2) 若 ，求 的取值范围。 22．（★★★）已知函数 （）。 (1) 若 ，求 的最大值； (2) 若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围。 23．（★★★）已知函数 （）。 (1) 当 时，求 的最小值； (2) 若 的最小值为 ，求实数 的值； (3) 若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围。 24．（★★★）已知函数 （）。 (1) 求 的最大值 ； (2) 若 ，求实数 的值； (3) 若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第10讲 指数与指数函数 第10讲 指数与指数函数 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．熟练进行根式与分数指数幂的互化与化简，掌握指数幂的三条运算性质； 2．理解指数函数的图象与性质，会求图象所过定点、比较指数幂的大小； 3．能处理底数含参的指数函数的单调性问题，会分情况讨论最值； 4．会用"同增异减"判断指数型复合函数的单调区间与值域，并进行整体代换求值。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 根式与分数指数幂的化简 选择题、填空题 第 2~5 题 中档 偶次方根先取绝对值，负指数先翻倒数 指数幂的整体代换与求值 选择题、填空题 第 5~7 题、第 13 题 中档 拆指数或配平方，从已知那一层逐层向上算 指数函数的图象与定点 选择题 第 4~6 题 中档 令指数为零求横坐标，再代回求纵坐标 比较指数幂的大小 选择题 第 6~8 题 中偏难 同底看单调性，都不同先统一底数或插入 指数型复合函数的单调性与值域 选择题、解答题 第 8 题、第 14 题、第 20~22 题 中偏难 先定内外层再用"同增异减"，值域由内层范围映射 命题规律分析 指数与指数函数是函数板块的基石，也是后续对数、数列、导数的必备工具。新高考中，指数幂的化简多落在第 1~5 题，指数型复合函数的单调性与比较大小常出现在第 6~8 题、第 13~14 题，属于"讲清套路就能稳拿"的中档分。本讲在夯实运算法则的基础上，重点突破三类培优问题：一是含负指数、分数指数与根式的混合化简；二是底数含参时"单调性带动参数范围"的分类讨论；三是用"同增异减"判断指数型复合函数的单调区间与值域。同时守住两条失分红线：偶次方根开出来要取绝对值，底数在 与 之间时脱去底数要变号。 考点1 根式与指数幂的运算 知识点1 根式与分数指数幂 若 （，），则 叫做 的 次方根；当 为偶数时 ，当 为奇数时 。 分数指数幂 （，，，）；运算性质 ，，。 【易错清单】 1．偶次方根开出来一定是非负数：，不是 ； 2．分数指数幂的运算性质要求底数大于 ，遇负底数先按方根的奇偶单独处理； 3． 的前提是 ，含参时先扣掉使底数为 的取值。 知识点2 指数函数的图象与性质 指数函数 （ 且 ）定义域为 、值域为 ，图象恒过定点 。 当 时在 上单调递增，当 时在 上单调递减； 与 的图象关于 轴对称。 【易错清单】 1．底数限制" 且 "不能漏，含参时先写基础范围； 2．形如 的定点：令指数 求出 ，再代回求 ； 3．底数在 与 之间时脱去底数要变号，与单调递增的情形方向相反。 考点2 指数型函数的单调性与值域 知识点3 指数型复合函数的单调性 形如 的复合函数：当 时 与 单调性一致，当 时相反，即"同增异减"。 求值域先求内层 的取值范围，再用外层单调性映射；内层取不到的值，外层也取不到。 【易错清单】 1．判断复合单调性前先求定义域，别把区间写到了定义域之外； 2．"内层递减、外层递减"整体是递增，别误判成递减； 3．求值域要写出"内层范围 外层范围"的推理，只给结论不给理由会失分。 知识点4 指数式中整体代换求值 ，；已知 时，，故 。 已知 （）求 ：先平方得 ，再由 开方取正值。 【易错清单】 1． 不能拆成 ，指数相加对应的是幂相乘； 2． 而不是 ，两者差一个平方关系； 3．开方后要由原式的符号定正负， 恒成立，答案只能取正值。 【题型1 指数幂的化简与求值】 【例1】计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】负指数翻倒数、分数指数化幂，两步把底数化成最简幂再算。 【解答过程】。故选B。 【多解·巧解】也可先把"负指数"一次性交给倒数处理：，让分数指数只负责"把底数化成幂"，两种顺序都行，选自己不留错的那条。 【易错提醒】负指数忘记翻倒数，误算成 而选 A；由于 ，它的负指数幂一定大于 ，可据此快速排除。 【变式1-1】化简 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】偶次方根先取绝对值，奇次方根直接脱根号。 【解答过程】，因为 ，所以 ；。所以原式 。故选A。 【变式1-2】计算 ____________。 【答案】 【解题思路】逐项化到最简再合并。 【解答过程】；；。所以原式 。 【变式1-3】计算 （　　）（，） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】系数与同底数幂分开运算：系数乘除，指数相加减。 【解答过程】系数部分：； 的指数：； 的指数：。所以原式 。故选A。 【题型2 指数函数的图象与定点】 【例2】函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，则点 的坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】令指数部分为零求出横坐标，再代回求纵坐标。 【解答过程】令 ，得 ，此时 。所以定点 的坐标为 。故选A。 【多解·巧解】也可用图象平移看定点： 恒过 ，把它右移 个单位、上移 个单位，定点随之变为 ；抓住"原定点 随图象整体平移"就不会漏掉常数项。 【易错提醒】只做右移不做上移，误得 或 ；另一个常见错误是把 忽略，忘记 也要计入纵坐标。 【变式2-1】函数 的图象恒过定点____________。 【答案】 【解题思路】令指数 求 ，再代回求 。 【解答过程】令 ，得 ，此时 ，故定点为 。 【变式2-2】若函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】把定点坐标代入解析式，利用 解出 。 【解答过程】当 时 ，由定点为 得 。 【变式2-3】函数 与 的图象关于（　　）对称。 A． 轴　B． 轴　C．原点　D．直线 【答案】B 【解题思路】，与 互为"倒底"。 【解答过程】因为 ，而 与 的图象关于 轴对称，所以两图象关于 轴对称。故选B。 【题型3 比较指数幂的大小】 【例3】设 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先把三个数都凑成以 为底的幂，再比较指数大小。 【解答过程】；；。因为 单调递增，且 ，所以 。故选A。 【多解·巧解】比较大小的第一选择是"统一底数"： 用负指数翻倒数立刻变成 ，三个数就都是 的幂，一次单调性比较全部搞定；若底数确实无法统一，再用中间量 或 分别搭桥。 【易错提醒】看到底数 小于 就以为 小于 ，忽略了负指数已经把它翻成大于 的数；比较 与 时也容易看反。 【变式3-1】比较大小：____________（填""或""）。 【答案】 【解题思路】同底数幂比较大小用指数函数的单调性。 【解答过程】因为 的底数 ，函数单调递增，又 ，所以 。 【变式3-2】设 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】同指数用幂函数单调性，指数不同的再取同次方比较。 【解答过程】 与 指数相同，底数 ，故 ；又 。比较 与 ：，，故 。所以 。故选A。 【变式3-3】设 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把负指数翻成正指数后再与 比较。 【解答过程】； 的底数在 与 之间、指数大于 ，故 ；而 。所以 。故选A。 【题型4 指数函数的单调性与参数】 【例4】若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把 整体看成底数 ，减函数要求 。 【解答过程】，由指数函数单调递减知 。由 得 ；由 得 ，即 。取交得 且 ，即 。故选B。 【多解·巧解】底数含参时先"整体换元"：记 ，条件就是 ，一眼看出 ，即 且 ，比展开比较更清爽；也可先解 得 ，再单独挖掉 。 【易错提醒】漏掉 ：此时底数 ， 不是指数函数，必须排除；另外 的解是 ，不是 。 【变式4-1】若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】底数含参先设整体为 ，减函数要求 。 【解答过程】由指数函数单调递减知 ，解得 。故选A。 【变式4-2】函数 的单调递减区间是____________。 【答案】 【解题思路】外层递增，内层递减的地方整体就是递减。 【解答过程】设 ， 在 上递减、在 上递增；外层 递增。由"同增异减"， 的单调递减区间为 。 【变式4-3】已知函数 （ 且 ）在区间 上的最大值为 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】分 与 讨论最值位置，再检验是否符合前提。 【解答过程】当 时 递增，最大值 ，得 ，符合；当 时 递减，最大值 ，与 矛盾，舍去。所以 。 【题型5 指数型复合函数的单调性与值域】 【例5】函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】外层递减，整体与内层单调性相反，找内层的递减区间。 【解答过程】设 ， 在 上递增、在 上递减；外层 递减。由"同增异减"， 在 递减处递增，即单调递增区间为 。故选B。 【多解·巧解】也可直接把内层配方成 看顶点：顶点在 ，右侧 下降，而外层是减函数，"减减得增"，故右侧是增区间。判断复合单调性时把内外层的增减"箭头"都写出来，最不容易错。 【易错提醒】把外层递减误当成"同增"，得到 的反向答案；注意底数 ，外层是减函数。 【变式5-1】函数 的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求内层范围，再映射到外层。 【解答过程】设 ，即内层 ；外层 单调递增，故 。故选A。 【变式5-2】函数 的最大值是____________。 【答案】 【解题思路】外层递减，内层最小处整体取最大。 【解答过程】设 ， 的最小值为 ；外层递减，故 的最大值为 。 【变式5-3】已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】外层递增，只需内层在 上递增。 【解答过程】设 ，其图象的对称轴为 ， 在 上递增。外层 递增，要使 在 上递增，只需 在 上递增，即 ，得 。故选A。 【题型6 指数式整体代换与恒等变形求值】 【例6】已知 （），则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把已知式平方，中间项是常数 。 【解答过程】。由已知得 ，故 。故选A。 【多解·巧解】这类题的通法是"从已知那一层平方，逐层向上算"，不必求出 本身：若还要求 ，把 再平方一次即得 ；每平方一次就向上一层。 【易错提醒】忘记平方展开式中的中间项 ，直接从 得 ；中间项是常数 ，这是"和式平方"的固定结构。 【变式6-1】已知 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】， 是它的倒数。 【解答过程】，，故原式 。 【变式6-2】已知 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】把 拆成 ，再把 写成 。 【解答过程】。 【变式6-3】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把已知式平方，注意中间项是 。 【解答过程】，故 。故选A。 一、单选题 1．（★★）计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】负指数翻倒数、分数指数化幂。 【解答过程】。故选B。 2．（★★）函数 的图象恒过定点（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】令指数为零求出横坐标，再代回求纵坐标。 【解答过程】令 ，得 ，此时 ，故定点为 。故选C。 3．（★★）化简 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】偶次方根先取绝对值，再判断正负。 【解答过程】，因为 ，所以 。故选B。 4．（★★）比较 与 的大小，正确的是（　　） A．　B．　C．　D．无法确定 【答案】A 【解题思路】底数在 与 之间，指数函数递减。 【解答过程】因为 单调递减，且 ，所以 。故选A。 5．（★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把 拆成 ，再用 代入。 【解答过程】。故选B。 6．（★★★）函数 （）的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】换元 化为二次函数，先写出 的范围再求值域。 【解答过程】令 。当 时 ，且 ，于是 ，它关于 在 上单调递增，故最小值为 处的 ，最大值为 处的 。所以值域为 。故选A。 7．（★★★）设 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把三者统一成 的幂或取同次幂比较：能"同底"的先比，其余取 次方化为整数的幂比较。 【解答过程】，而 ，由 递增得 。比较 与 ：两边取 次方，，，故 。再比较 与 ：，，故 。所以 。故选A。 8．（★★★）已知函数 （ 且 ）在区间 上的最大值与最小值之差为 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】C 【解题思路】按底数 与 分类确定最值位置，再列方程求解并回代检验。 【解答过程】① 当 时， 递增，最大值 、最小值 ，由 得 ，解得 或 ，结合 得 ；② 当 时， 递减，最大值 、最小值 ，由 得 ，解得 或 ，结合 得 。综上 或 。故选C。 二、多选题 9．（★★）关于指数函数 （ 且 ），下列说法正确的是（　　） A．定义域为 　B．值域为 　C．图象过点 　D．当 时在 上单调递增 【答案】ABC 【解题思路】对照指数函数的定义与性质逐项判断。 【解答过程】指数函数的定义域为 、值域为 、图象过点 ，A、B、C 均正确；当 时函数单调递减，D 错误。故选ABC。 10．（★★）下列计算正确的是（　　） A．（）　B．（）　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】逐项对照幂的运算法则与方根的定义，注意偶次方根非负。 【解答过程】A 中同底数幂相乘、指数相加得 ，正确；B 中幂的乘方、指数相乘得 ，正确；C 中 的立方为 ，故 ，正确；D 中偶次方根为非负数，，错误。故选ABC。 11．（★★★）已知函数 （），则下列说法正确的是（　　） A． 的最小值为 　B．当 时， 在 上单调递增　C．若 在 上单调递增，则 　D．若 在 上的最大值为 ，则 【答案】ABC 【解题思路】外层递增，整体单调性与内层一致；逐项用内层二次函数的配方与含参讨论独立推导。 【解答过程】设 ，其最小值为 ；外层 递增。A： 的最小值为 ，正确；B：当 时 在 上递增，外层递增，故 递增，正确；C： 在 上递增，要使 在 上递增需 ，即 ，正确；D： 在 上的最大值由 的最大值 决定。令 的最大值为 ，即 ：若 得 ，此时 ，不合；若 得 ，此时 ，符合。故 而非 ，D 错误。故选ABC。 12．（★★★）已知函数 （），令 ，则下列说法正确的是（　　） A． 可化为关于 的二次式 （）　B．当 时， 的最小值为 　C．若 的最小值为 ，则 　D．若 在 上单调递增，则 【答案】ABC 【解题思路】换元 （）把问题化为二次函数在 上的最值与单调性，含参时注意顶点是否落在 内。 【解答过程】令 ，则 ，（）。A：换元结果即为 （），正确；B：当 时 ，顶点 可取到，最小值为 ，正确；C： 的最小值为 。若 ，顶点 ，最小值 得 ；若 ， 在 上递增，最小值趋近 ，不为 。故 ，正确；D： 递增，要使 递增需 在 上递增，由于 的对称轴为 ，需 ，即 ，而非 ，D 错误。故选ABC。 三、填空题 13．（★★）计算 ____________。 【答案】 【解题思路】分别化负分数指数与零指数。 【解答过程】，，故原式 。 14．（★★）函数 的图象恒过定点____________。 【答案】 【解题思路】令指数为零求横坐标，再代回求纵坐标。 【解答过程】令 ，得 ，此时 ，故定点为 。 15．（★★★）已知函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】底数含参的指数函数为减函数要求底数在 与 之间，解出两组不等式再取交集。 【解答过程】由指数函数单调递减知 。由 得 ，即 或 ；由 得 ，即 ，解得 。取交集得 或 。 16．（★★★）已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】外层递减，整体与内层单调性相反；"整体递减"要求内层递增，再由内层对称轴定参数。 【解答过程】设 ，其图象开口向上，对称轴为 ，故 在 上递增。外层 递减，要使 在 上递减，只需 在 上递增，即 ，得 。故实数 的取值范围是 。 四、解答题 17．（★★）计算下列各式的值： (1) ； (2) 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 化分数指数为幂、负指数为倒数；(2) 偶次方根取绝对值、奇次方根直接脱。 【解答过程】(1) ，，所以原式 。 (2) ，，所以原式 。 【多解·巧解】根式化简有固定的处理顺序：见到偶次方根先用 加绝对值，见到奇次方根直接脱根号，两种根式混合时逐个化到最简再合并；(2) 也可先把每一项化成分数指数幂再相加，但反而不如直接去根号利落。 【易错提醒】把 也当成偶次方根去加绝对值，得到 ，结果就错了；奇次方根不需要绝对值，这是本题最容易踩的坑。 18．（★★）已知函数 （ 且 ）在区间 上的最大值为 。 (1) 求 的值； (2) 求 在 上的值域。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 按底数分两种情况讨论最值位置，再检验；(2) 由单调性代入两端点。 【解答过程】(1) 当 时 递增，最大值 ，得 ，符合；当 时 递减，最大值 ，与 矛盾，舍去。所以 。 (2) 由 (1) 知 ，在 上递增，故在 上的最小值为 、最大值为 ，值域为 。 【多解·巧解】(1) 可以先用单调性排除 ：此时最大值只能是 ，绝不可能等于 ，一句"舍去"即可，不必真去解方程；底数含参的最值题一律"分两种情况再检验"，两种情况都要写出来。 【易错提醒】漏掉 的讨论（"舍去"的理由必须写清，否则不完整）；(2) 中区间 含负值，最小值为 ，别误用 。 19．（★★）已知函数 。 (1) 求 的单调区间； (2) 求 的最大值。 【答案】(1) 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； (2) 。 【解题思路】内层配方定单调性，外层递减，用"同增异减"；最大值由内层最小值代入求得。 【解答过程】设 ， 在 上递减、在 上递增；外层 递减。 (1) 由"同增异减"， 在 上递增、在 上递减。 (2) 外层递减，内层 取最小值时 取最大值； 的最小值为 ，故 的最大值为 。 【多解·巧解】(2) 不必先求出单调区间：只要抓住"外层递减 内层最小处整体最大"，直接配方求 的最小值代入即可；(1) 则要把内外层在两个区间上的增减"箭头"都写出来再定结论。 【易错提醒】外层底数 小于 ，容易把"内层递增"直接当成"整体递增"；必须先判定外层是减函数，再"异减为增"。 20．（★★★）已知函数 。 (1) 求 的最小值； (2) 求 在区间 上的值域。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】换元 （）化为二次函数，先求最小值，再把区间化成 的范围求值域。 【解答过程】令 ，则 、，所以 。 (1) 由 知 （此时 ）可取到，故 的最小值为 。 (2) 当 时 ，二次函数 在 上递增， 故最小值 、最大值 ，值域为 。 【多解·巧解】换元后必须写出新元的范围：本题 ，于是"求值域"就变成"求二次函数在 上的值域"。由于对称轴 恰在区间左端点，函数在 上单调递增，直接代两端点即可。 【易错提醒】换元后忘记写 的范围是本题的典型错误；此外 而不是 ，，两个系数别混。 21．（★★★）已知函数 。 (1) 求 的值域； (2) 若 ，求 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 先求内层 的范围，再映射到外层；(2) 把右端化成同底幂后脱去底数，注意底数小于 要变号。 【解答过程】(1) 设 ，外层 递减， 故 ，值域为 。 (2) ，因为底数 ，所以 ， 即 ，也就是 ，解得 。 【多解·巧解】(1) 的规范写法是"先求内层值域 ，再映射到外层"：外层递减把 映到 ；(2) 把 化成 是同底的唯一办法。 【易错提醒】(1) 只写""而漏掉下界 （指数函数的值恒正）；(2) 底数 时脱去底数要变号，若写成 会得到完全相反的解集。 22．（★★★）已知函数 （）。 (1) 若 ，求 的最大值； (2) 若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 求内层最小值，外层递减故整体取最大；(2) 外层递减，"整体递增"要求内层在区间上递减，再由内层对称轴定参数。 【解答过程】(1) 当 时，， 的最小值为 ， 外层 递减，故 的最大值为 。 (2) 设 ，开口向上，对称轴为 ， 在 上递减。 外层递减，要使 在 上递增，只需 在 上递减， 即 ，得 ，即 。 【多解·巧解】复合函数单调性的判断口诀"同增异减"在本题两次用到：外层是减函数，故"整体递增"对应"内层递减"；再由内层对称轴 落在区间右端之外定出 。 【易错提醒】(2) 容易把"整体递增"误判成"内层递增"而得到 ；必须先确认外层 是减函数，再反向取内层的递减区间。 23．（★★★）已知函数 （）。 (1) 当 时，求 的最小值； (2) 若 的最小值为 ，求实数 的值； (3) 若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】换元 化为二次函数 ，把最值与恒成立问题都转化为二次函数在 上的问题。 【解答过程】令 ，则 （）。 (1) 当 时，，顶点 可取到，故最小值为 。 (2) 的最小值为 。若 ，顶点 ，最小值 得 ； 若 ， 在 上递增，最小值趋近 ，不为 。故 。 (3) 对一切 恒成立等价于 对一切 恒成立。 若 ， 在 上递增，，恒成立； 若 ，需顶点值 ，即 ，结合 得 。 综上 。 【多解·巧解】换元 把指数型问题整体化为二次函数问题，是这类题的通用思路；但要注意 （不是 ），因此"顶点能否落在 内"必须分类讨论： 时顶点在 ，最小值由端点趋势给出。 【易错提醒】(2) 容易只解 得 而忘记"顶点在 内"这一条件，从而多保留 ；(3) 中 时函数在 上递增、值恒大于 ，恒成立，这一支容易漏掉。 24．（★★★）已知函数 （）。 (1) 求 的最大值 ； (2) 若 ，求实数 的值； (3) 若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 内层最小值决定外层最大值；(2) 由最大值反求参数；(3) 外层递减，"整体递增"对应内层递减，再由内层对称轴定参数。 【解答过程】(1) 设 ，其最小值为 ； 外层 递减，故最大值 。 (2) 由 得 ，即 ，解得 。 (3) 外层递减，要使 在 上递增，只需 在 上递减。 因为 的对称轴为 、开口向上，故 的递减区间为 ， 需 ，得 。 【多解·巧解】(1) 的关键是"内层最小、外层最大"：复合函数中内外层的单调方向决定最值取自内层的哪一端。把 写成 后，(2) 就只是解一个指数方程；(3) 再用一次"同增异减"。 【易错提醒】(2) 由 得 ，两根 都要保留，别只取正根；(3) 外层是减函数，"整体递增"对应"内层递减"，条件为 而不是 。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $