第02讲 常用逻辑用语 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第02讲 常用逻辑用语 第02讲 常用逻辑用语 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解命题的概念与真假判断，掌握充分条件、必要条件、充要条件的含义； 2．会用集合观点判断充分必要性，能由充分条件、必要条件求参数范围并处理端点； 3．掌握全称量词命题与存在量词命题的否定，做到"量词互换 + 结论否定"两处同时变； 4．能判断含逻辑联结词的复合命题真假，会证明充要条件，体会等价转化思想。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 真假命题与充分必要性的判断 选择题 第1~3题 易 化简条件为集合，比包含关系，语序不反 由充分、必要条件求参数范围 选择题、填空题 第6~8题、第13~14题 中 列包含关系后回代检验端点 全称、存在量词命题的否定 选择题、填空题 第1~3题 易 量词互换与结论否定两处同时变 命题真假的判断（含联结词） 多选题、填空题 第9~11题 中偏难 定真假后查"且、或、非"真假表 充要条件的证明与等价转化 多选题、解答题 第11题、第17~19题 中偏难 证"等价"即证两个方向，注意恒等变形 命题规律分析 常用逻辑用语在新高考中一般以选择题形式出现，单独命题时属中低档，是必须拿满的分数，但它更常"隐身"在含参问题里：与集合、一元二次不等式交汇的充分必要性判断常落在第 6~8 题，否定命题与含参量词问题常落在第 13~14 题，复合命题真假则多见于多选第 9~11 题。本讲在夯实"语序不反、量词互换、端点检验"三个基本功的前提下，重点突破含参充分必要性的分类讨论与端点取舍，并把"量词到最值"的转化打通，力争把这部分分数稳稳拿住。 考点1 充分条件与必要条件 知识点1 命题的概念 可以判断真假的陈述句叫命题；把"若 则 "记作 ，其中 是条件、 是结论。 开语句（含变量、赋值后能判真假，如 ""）是条件的主要来源，本身不算命题。 【易错清单】 1．疑问句、感叹句、开语句都不是命题； 2．命题的真假是逻辑判断，与变量取值无关，如"若 则 "是假命题。 知识点2 充分条件与必要条件 由 成立知 是 的充分条件、 是 的必要条件； 且 时称 是 的充要条件。 集合观点：设 、 对应集合 、，则 为充分不必要， 为必要不充分， 为充要。 【易错清单】 1．先判断"谁推出谁"，" 是 的充分条件"指 ，语序别反； 2．充分不必要与必要不充分只由包含方向决定，与命题本身的难易无关。 知识点3 根据充分必要条件求参数范围 是 的充分条件 ； 是 的必要条件 。 "充分不必要"要求 ；含端点的等号要代特殊值回代检验。 【易错清单】 1．由包含关系列端点不等式后，端点（如 、）必须回代检验； 2．否定之后再比较（、）时，包含方向会反转。 考点2 全称量词与存在量词 知识点4 全称量词命题与存在量词命题 全称量词命题记作 ，存在量词命题记作 。 全称命题为真需"每一个都成立"、为假只需"一个反例"；存在命题为真只需"找到一个"、为假需"每一个都不成立"。 【易错清单】 1． 中 取自然数，别扩大到实数； 2．"存在"与"任意"的强弱完全不同，证假可举反例、证真需给出实例。 知识点5 命题的否定 ；。 否定两处同时变：量词互换，结论否定（ 与 、 与 、 与 互为否定）。 【易错清单】 1．只改量词不改结论（或反之），是最常见的失分点； 2．命题的否定与否命题不同：否定只否定结论，条件不动。 【题型1 充分必要条件的判断（集合观点）】 【例1】已知 ，，则 是 的（　　） A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　C．充要条件　D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】把 、 分别解成集合 、，比包含方向。 【解答过程】由 得 ，即 ； 由 得 ，即 。 因为 ，所以 成立而 不成立，故 是 的必要不充分条件。故选B。 【多解·巧解】也可举特值直接判方向：取 ，它满足 但不满足 ，说明 不成立；再任取满足 的 （如 ），它一定满足 ，说明 成立。特值法最适合"某一边含"两段式"解集"的情形。 【易错提醒】先入为主地认为" 的范围看起来大就是充要"会错。判断的唯一依据是包含方向： 比 小，故 是充分的一方、 是必要的一方。 【变式1-1】""是""的（　　） A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　C．充要条件　D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】先解出两个集合，再看包含方向。 【解答过程】；由 得 ，即 或 ，故 。 因为 ，所以 成立、 不成立，为充分不必要条件。故选A。 【变式1-2】设 ，，则 是 的（　　） A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　C．充要条件　D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】开方式隐含 ，先化成简单不等式。 【解答过程】由 得 （注意 ），即 ；又 。 因为 ，所以 ， 是 的充要条件。故选C。 【变式1-3】""是""的（　　） A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　C．充要条件　D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】解出两个集合： 即 。 【解答过程】，，。 由 可推出 ，故为充分条件；由 推不出 （如 ），故不必要。所以为充分不必要条件。故选A。 【题型2 由充分、必要条件求参数范围（端点取舍）】 【例2】已知 ，，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】充分不必要即 是 的真子集； 是无界射线，故只需求 。 【解答过程】由 得 ，即 ；。 由 是 的充分不必要条件得 。 要求 ；又 是无界射线、 有界，二者不可能相等，故真包含自动成立。所以 。故选A。 【多解·巧解】先用"包含方向"定结构，再用"有界/无界"判真子集：只要目标集合是无界射线、原集合是有界区间，就一定"真包含"，无需额外排除相等的情形。本题只解 即可，比逐情形讨论省一半功夫。 【易错提醒】端点 可取：此时 ，，符合要求。把答案写成 会漏掉这一端点。 【变式2-1】已知 ，，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】D 【解题思路】必要不充分即 ，注意"小于型"区间端点取反方向。 【解答过程】，。由 得 ，即 。故选D。 【变式2-2】已知 ，，若 是 的充分条件，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】充分条件即 ，端点 不能超过 的左端。 【解答过程】，需 。故选A。 【变式2-3】已知 ，，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D．不存在满足条件的实数 【答案】D 【解题思路】 是无界射线、 是有界区间，射线不可能真包含于有界区间。 【解答过程】由 得 ，即 ；。 是 的必要不充分条件要求 ，但 是无界射线、 有界，这种包含不可能成立，故不存在满足条件的实数 。故选D。 【题型3 全称量词命题与存在量词命题的否定】 【例3】命题"，"的否定是（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 【答案】B 【解题思路】全称改存在，结论""的否定是""。 【解答过程】全称量词命题的否定是存在量词命题，且结论""的否定为""，所以否定是"，"。故选B。 【多解·巧解】用"结论与它的否定应覆盖全体"来排除： 的对立面恰是 （既有小于、也有等于），故 C 只写 漏掉了等于 的情形；而 A、D 量词未换。抓住"两处同时变"一口气排掉三项。 【易错提醒】最常见的错误是把"大于 0"的否定写成"小于 0"，漏掉"等于 0"。严格不等式的否定一定带等号： 的否定是 ， 的否定是 。 【变式3-1】命题"，"的否定是____________。 【答案】"，" 【解题思路】存在改全称， 改 。 【解答过程】存在量词命题的否定为全称量词命题，结论""的否定为""，故否定是"，"。 【变式3-2】命题"，"的否定是（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 【答案】B 【解题思路】全称改存在， 改 。 【解答过程】否定为"，"。故选B。 【变式3-3】命题"，"的否定是____________，它是____________命题（填"真"或"假"）。 【答案】"，"；真 【解题思路】存在改全称， 改 ；再判断真假。 【解答过程】否定为"，"。因为对任意实数 都有 ，所以该否定命题是真命题。 【题型4 命题真假的判断（含逻辑联结词）】 【例4】已知命题 ，；命题 ，。则下列命题为真命题的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先分别判断 、 的真假，再按"且、或、非"真假表判断复合命题。 【解答过程】： 时 ，即 ，所以 为真； ： 恒成立，不存在使 的实数，所以 为假。 由" 一真即真"知 为真，其余含假命题 的项均为假。故选B。 【多解·巧解】更快的做法是"定真假、查表"：一旦定出 真、 假，含 的 、 立刻为假， 也含 为假，只剩 。复合命题的真假由各部分的真假与联结词决定，先定分命题真假是关键第一步。 【易错提醒】""仍含假命题 ，且 为假，故整体为假，容易与""混淆；记牢口诀"且全真才真、或一真即真、非真假相反"。 【变式4-1】命题"，"是____________命题（填"真"或"假"）。 【答案】真 【解题思路】对每一实数验证绝对值非负。 【解答过程】对任意实数 ，，所以 ，该全称命题为真。 【变式4-2】命题"，"是____________命题（填"真"或"假"）。 【答案】假 【解题思路】配方看符号，判断是否存在使其非正的 。 【解答过程】，对任意实数成立，故不存在使 的 ，该存在命题为假。 【变式4-3】已知命题 ，；命题 ，。则下列判断正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先定 、 真假： 的根为 ，都在 内。 【解答过程】： 或 都在 内满足方程，所以 为真； ：取 得 不满足 ，所以 为假。 故 为真（ 真），其余各项均含假命题而全假。故选C。 【题型5 由命题真假求参数范围】 【例5】已知命题 ， 是假命题，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】"存在命题为假"即"其否定为真"，也就是不等式恒不成立。 【解答过程】 为假 对任意 ， 恒成立。 二次项系数为 ，需 ，解得 。故选A。 【多解·巧解】也可从反面看： 有解当且仅当开口向上的抛物线最小值小于 ，即 ；其反面（无解，即命题为假）恰是 。"有解 、无解 "这一对关系对开口向上的二次式始终成立。 【易错提醒】① 混淆"有解"与"恒成立"：本题是"存在…< 0 为假"，等价于"恒 "，故带等号 ；② 判别式因式分解 的符号区间是 ，别写成 。 【变式5-1】已知命题 ， 为真命题，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】恒成立：开口向上且判别式小于 。 【解答过程】由 得 。故选A。 【变式5-2】已知命题 ， 为真命题，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】存在实根即判别式不小于 。 【解答过程】需 ，解得 。故选B。 【变式5-3】已知命题 ， 为真命题，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】分离参数：，"存在"取右式的最小值。 【解答过程】因为 时 ，由 得 。 要"存在"这样的 ，只需 。 由基本不等式 ，等号当且仅当 时成立，故最小值为 。 又原式为严格不等号，所以 。故选B。 【题型6 充要条件的证明与等价转化】 【例6】设 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　C．充要条件　D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】作差因式分解，判断 与 是否同号。 【解答过程】，而 ，仅当 时取 （此时 不成立）。 对满足 的 ，必有 ，故 与 同号，从而 ，为充要条件。故选C。 【多解·巧解】证充要即证"等价"。也可借助函数单调性： 在 上单调递增，由单调函数的定义， 一步即得。凡"判断 与 大小关系"的条件题，先看 是否在相关区间上单调，往往能秒判。 【易错提醒】本题两个方向都成立，答案不是"充分不必要"。若只验证了""就下结论，会误选 A——充要条件必须两个方向都验证。 【变式6-1】“”是“”的（　　） A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　C．充要条件　D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】看两个方向： 能否推出 ，反之如何。 【解答过程】由 得 ，故 ，为充分条件； 取 ， 则 而 ，故 推不出 ，不必要。 所以为充分不必要条件。故选A。 【变式6-2】设 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　C．充要条件　D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】解出两个集合： 即 或 。 【解答过程】，，。 由 必有 ，故为必要条件；由 不一定得 （如 ），故不充分。所以为必要不充分条件。故选B。 【变式6-3】设 ，则“ 且 ”是“ 且 ”的（　　） A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　C．充要条件　D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】两个方向都验证，反向借助"乘积同号"判断。 【解答过程】正向：， 时 、，成立； 反向：由 知 同号；若同为负则 ，与 矛盾，故只能同时为正，即 且 。 两个方向都成立，为充要条件。故选C。 一、单选题 1．（★★）""是""的（　　） A．必要不充分条件　B．充分不必要条件　C．充要条件　D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】看 与 的包含方向。 【解答过程】，小范围能推出大范围，故为充分不必要条件。故选B。 2．（★★）命题"，"的否定是（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 【答案】B 【解题思路】全称改存在， 改 。 【解答过程】否定为"，"。故选B。 3．（★★）设 ，，则 是 的（　　） A．必要不充分条件　B．充要条件　C．充分不必要条件　D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】。 【解答过程】，故为充分不必要条件。故选C。 4．（★★）若""是""的必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】必要条件即""能推出""。 【解答过程】由 推出 ，需 ，即 。故选B。 5．（★★）已知 ，，则 是 的（　　） A．充要条件　B．必要不充分条件　C．既不充分也不必要条件　D．充分不必要条件 【答案】D 【解题思路】解出 的集合： 即 或 。 【解答过程】，，，故为充分不必要条件。故选D。 6．（★★★）已知命题 ， 为真命题，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】恒成立转化为分离参数 ，再用基本不等式求 在 上的最小值。 【解答过程】由 且 知 ，分离参数得 对一切 恒成立。 设 ，由基本不等式 （等号在 处成立）， 故 的最小值为 ，从而 。故选A。 7．（★★★）已知 ，（）。若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】A 【解题思路】含否定的充分必要性先"翻转"： 是 的必要不充分条件等价于 。 【解答过程】由 得 ，即 ；由 得 ，即 。 " 是 的必要不充分条件"即 但反向不成立，等价于 而 不能推出 ，即 。 由 得 且 ，解得 ；又 长 、 长 ，真包含自动成立。 故 。故选A。 8．（★★★）已知命题 ， 为真命题，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】二次项系数含参，按 、、 分类，判断"存在使二次式取负值"的条件。 【解答过程】① 当 时，不等式化为 ，即 ，存在这样的 ，符合； ② 当 时，抛物线开口向下， 时 ，必存在 使其小于 ，符合； ③ 当 时，需最小值小于 ，即判别式 ，解得 。 综上 。故选A。 二、多选题 9．（★★）下列命题为真命题的是（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 【答案】AC 【解题思路】全称命题逐个验证，存在命题举一例即可；假命题举反例。 【解答过程】A：任意实数平方非负，真； B：，无解，假； C： 时 ， 时 ，恒成立，真； D：，不可能等于 ，假。故选AC。 10．（★★）已知 ，，则（　　） A． 是 的充分条件　B． 是 的必要条件　C． 是 的必要条件　D． 是 的充分条件 【答案】AB 【解题思路】由 得" 是 的充分条件、 是 的必要条件"。 【解答过程】，所以 ，A、B 正确，C、D 错误。故选AB。 11．（★★★）已知命题 ，；命题 ，。则（　　） A．若 为真命题，则 　B． 为真命题的充要条件是 　C．若 为真命题，则 为真命题　D．存在实数 ，使 都为真命题 【答案】ABD 【解题思路】 为真即判别式不大于 ； 为真需按 、、 分类讨论二次式能否取到负值。 【解答过程】A： 为真即对一切 有 ，需 ，即 ，正确； B： 为真即存在 使 。当 时开口向下，必能取负；当 时 有解 ； 当 时需 ，即 。综上 真 ，正确； C： 真只给出 ，例如 时 为假，故 C 错误； D：取 ，此时 真（）且 真（），故存在这样的 ，正确。 故选ABD。 12．（★★★）已知 ，（），则下列结论正确的是（　　） A． 的否定为"，"　B．若 是 的充分条件，则 　C．若 是 的充分不必要条件，则 　D．若 是 的既不充分也不必要条件，则 【答案】ABD 【解题思路】先解出 ，把"充分/必要"翻译成集合包含；注意 无界， 与 等价。 【解答过程】由 得 ，即 ，。 A：全称改存在、 改 ，正确； B： 是 的充分条件即 ，需 ，正确； C： 时因 无界、 有界， 恒成立，故"充分不必要"也只需 （ 即可），C 错误； D： 不充分即 ；而 （即 ）恒不成立，故 也不可能必要， 于是"既不充分也不必要"，正确。故选ABD。 三、填空题 13．（★★）命题"，"的否定是____________。 【答案】"，" 【解题思路】存在改全称， 改 。 【解答过程】否定为"，"。 14．（★★）""是""的____________条件（填"充分""必要""充要"之一）。 【答案】必要 【解题思路】看 与 的包含方向。 【解答过程】，由 能推出 ，故""是""的必要条件。 15．（★★★）已知命题 ， 是假命题，命题 ， 是真命题。若 是假命题且 是真命题，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】 假转化为"恒 "用判别式； 真分离参数后取 的最小值，两者取交集。 【解答过程】 为假 对任意 ， 恒成立，需 ，解得 。 为真 对一切 有 。由基本不等式 （等号在 处成立）， 故 的最小值为 ，于是 。 取交集得 。 16．（★★★）已知 ，（）。若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】" 是 的必要不充分条件"即 而 不能推出 ，翻译成 。 【解答过程】由 得 ，即 ； 由 得 。 是 的必要不充分条件 ，需 且 ，解得 ； 又 长 、 长 ，真包含自动成立。故 。 四、解答题 17．（★★）已知 ，。 (1) 若 是 的充分条件，求实数 的取值范围； (2) 若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】先把 解出来，再由包含关系列端点不等式；注意端点不能取等。 【解答过程】由 得 ，即 。 (1) 是 的充分条件即 ，需 中最小的元素 满足 ，即 （ 时 不含 ）。 (2) 是无界射线、 有界，真包含自动成立，故 是 的充分不必要条件仍得 。 【多解·巧解】两问结论完全相同，原因是 无界、 有界，二者永远不可能相等，所以"充分"与"充分不必要"的约束一样。判断是否要额外排除相等，只需比较两个集合的"有界性"。 【易错提醒】(1) 端点 不能取：此时 不含 ，而 ，故 并不成立。答案应为 而非 。 18．（★★）已知 ，（）。 (1) 分别用集合表示 与 ； (2) 若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ，； (2) 。 【解题思路】 配方为以 为中心的对称区间；充分不必要即 。 【解答过程】(1) 由 得 ，即 ； 由 得 ，又 ，故 ，即 ，。 (2) 由 是 的充分不必要条件得 ，需 且 ，即 （此时 比 宽，为真包含）。 【多解·巧解】从"区间长度"看更直观： 长度 ， 长度 。 要求 不比 窄，端点比较直接给出 ，即 ，一步到位。 【易错提醒】① 对称区间端点易错：""而非""；② 由 列不等式要两个端点都写，只比一端会漏解。 19．（★★）已知命题 ，；命题 ，。 (1) 若 为真命题，求实数 的取值范围； (2) 若 为真命题，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 恒成立用判别式；(2) 存在性分离参数后取最小值。 【解答过程】(1) 为真即对任意 恒有 ，需 ，解得 。 (2) 由 得 ；要"存在"这样的 ，只需 。 在 上的最小值为 （ 处），故 。 【多解·巧解】(2) 也可用补集思想：先求"对任意 ，"的范围，即 ，再取补得 ，与直接分离参数结果一致，但省去"存在"与"任意"方向的反复确认。 【易错提醒】(2) 中把"存在"当作"恒成立"，会误取右式的最大值而得 ；正确做法是"存在取最小值"。两个量词对应的最值方向恰好相反，务必逐字读题。 20．（★★★）已知 ，。 (1) 分别求 对应的集合 ； (2) 判断 是 的什么条件（充分不必要/必要不充分/充要/既不充分也不必要）。 【答案】(1) ，； (2) 是 的必要不充分条件。 【解题思路】先解两个不等式求 ，再由 的包含关系判断充分必要性：小范围推出大范围。 【解答过程】(1) 由 得 ，即 ； 由 得 ，即 。 (2) 因为 ，所以 ，但 不能推出 ， 故 是 的必要不充分条件。 【多解·巧解】判断充分必要性的"口诀"：由"小范围"能推出"大范围"。 更小，所以 能推出 ，即 是 的必要条件。 【易错提醒】不要把"谁推出谁"与"谁是充分/必要条件"搞反：这里 ，故 是 的必要条件、 是 的充分条件，方向恰好相反。 21．（★★★）已知 ，（）。 (1) 求集合 ； (2) 若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】" 是 的充分不必要条件"即 ，把 配方成对称区间后与 比端点。 【解答过程】(1) 由 得 ，即 。 (2) 由 得 。 是 的充分不必要条件 ，需 且 ，解得 ； 又 长 、 长 ，真包含自动成立。故 。 【多解·巧解】遇到"充分不必要"就翻译为"真包含"；若两区间长度不同，真包含往往自动满足，只需比较端点。 【易错提醒】 的两个端点条件都要写，只比一端会漏解；端点能否取等由原集合是否含该端点决定。 22．（★★★）已知命题 ， 是真命题。 (1) 求实数 的取值范围； (2) 写出 的否定命题，并说明 时该否定命题的真假。 【答案】(1) ； (2) 否定为"，"， 时为真命题。 【解题思路】(1) 分离参数取最小值；(2) 全称命题的否定是存在命题，再代 判断能否举出反例。 【解答过程】(1) 为真即对一切 有 。当 时 恒成立； 当 时分离参数得 ，由基本不等式 （等号在 处成立）， 故 。 (2) 的否定为"，"。当 时取 ，有 ， 故存在满足条件的 ，该否定命题为真。 【多解·巧解】全称命题的否定是"存在命题"，""的否定是""。判断存在命题为真，只要举出一个反例即可。 【易错提醒】(1) 中 含端点 ，分离参数须先声明 后再分离，端点 单独验证恒成立；(2) 中量词与不等号要"同时改变"，漏改一处就会写错否定。 23．（★★★）已知命题 ，；命题 ，。 (1) 若 为真命题，求实数 的取值范围； (2) 若 为真命题，求实数 的取值范围； (3) 判断 与 能否同时为真命题，并说明理由。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 不能同时为真命题。 【解题思路】 为真需二次项系数与判别式同时受限； 为真则按 、、 分类判断能否取到负值。 【解答过程】(1) 为真即对一切 有 。 ① 当 时，不等式化为 ，不可能对一切 成立，舍去； ② 当 时，需 且 ，即 ，结合 得 。故 。 (2) 为真即存在 使 。 ① 当 时， 有解 ，符合； ② 当 时，抛物线开口向下， 时 ，必能取到负值，符合； ③ 当 时，需最小值 ，即 。故 。 (3) 由 (1)(2)， 为真要求 ， 为真要求 ，两者不可能同时成立，故不能同时为真命题。 【多解·巧解】注意 恰好是 的否定（把"、"改为"、"），因此两问答案互补，第 (3) 问自然得出"不能同时为真"。 【易错提醒】含参二次问题务必先讨论二次项系数是否为 ： 时退化为一次式，此时 假而 真，正是两问答案分界的关键。 24．（★★★）已知命题 ，；命题 ，。 (1) 若 为真命题，求实数 的取值范围； (2) 若 为真命题，求实数 的取值范围； (3) 若 与 中恰有一个为真命题，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 配方求最小值小于零；(2) 恒成立分离参数取最小值；(3) 把两个真集并列后按"恰有一个"分段讨论。 【解答过程】(1) ，其最小值为 。 存在 使原式小于 ，即 。 (2) 为真即对一切 有 。设 ， 其在 上的最小值为 ，故 。 (3) 记" 真"为 ，" 真"为 。恰有一个为真： ① 真 假： 且 ，即 ； ② 假 真： 且 ，无解。 综上 。 【多解·巧解】(3) 用"数轴分段"组织：两个真集区间重叠处"都真"、两端"都假"、夹在中间的一小段"恰有一个真"，画图即可看出答案。 【易错提醒】(2) 求 在 上的最小值时，要检查顶点 是否落在区间内——本题顶点恰在端点上，最小值 ；(3) 中 使 都真、 使两者都假，均不属于"恰有一个"。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第02讲 常用逻辑用语 第02讲 常用逻辑用语 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解命题的概念与真假判断，掌握充分条件、必要条件、充要条件的含义； 2．会用集合观点判断充分必要性，能由充分条件、必要条件求参数范围并处理端点； 3．掌握全称量词命题与存在量词命题的否定，做到"量词互换 + 结论否定"两处同时变； 4．能判断含逻辑联结词的复合命题真假，会证明充要条件，体会等价转化思想。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 真假命题与充分必要性的判断 选择题 第1~3题 易 化简条件为集合，比包含关系，语序不反 由充分、必要条件求参数范围 选择题、填空题 第6~8题、第13~14题 中 列包含关系后回代检验端点 全称、存在量词命题的否定 选择题、填空题 第1~3题 易 量词互换与结论否定两处同时变 命题真假的判断（含联结词） 多选题、填空题 第9~11题 中偏难 定真假后查"且、或、非"真假表 充要条件的证明与等价转化 多选题、解答题 第11题、第17~19题 中偏难 证"等价"即证两个方向，注意恒等变形 命题规律分析 常用逻辑用语在新高考中一般以选择题形式出现，单独命题时属中低档，是必须拿满的分数，但它更常"隐身"在含参问题里：与集合、一元二次不等式交汇的充分必要性判断常落在第 6~8 题，否定命题与含参量词问题常落在第 13~14 题，复合命题真假则多见于多选第 9~11 题。本讲在夯实"语序不反、量词互换、端点检验"三个基本功的前提下，重点突破含参充分必要性的分类讨论与端点取舍，并把"量词到最值"的转化打通，力争把这部分分数稳稳拿住。 考点1 充分条件与必要条件 知识点1 命题的概念 可以判断真假的陈述句叫命题；把"若 则 "记作 ，其中 是条件、 是结论。 开语句（含变量、赋值后能判真假，如 ""）是条件的主要来源，本身不算命题。 【易错清单】 1．疑问句、感叹句、开语句都不是命题； 2．命题的真假是逻辑判断，与变量取值无关，如"若 则 "是假命题。 知识点2 充分条件与必要条件 由 成立知 是 的充分条件、 是 的必要条件； 且 时称 是 的充要条件。 集合观点：设 、 对应集合 、，则 为充分不必要， 为必要不充分， 为充要。 【易错清单】 1．先判断"谁推出谁"，" 是 的充分条件"指 ，语序别反； 2．充分不必要与必要不充分只由包含方向决定，与命题本身的难易无关。 知识点3 根据充分必要条件求参数范围 是 的充分条件 ； 是 的必要条件 。 "充分不必要"要求 ；含端点的等号要代特殊值回代检验。 【易错清单】 1．由包含关系列端点不等式后，端点（如 、）必须回代检验； 2．否定之后再比较（、）时，包含方向会反转。 考点2 全称量词与存在量词 知识点4 全称量词命题与存在量词命题 全称量词命题记作 ，存在量词命题记作 。 全称命题为真需"每一个都成立"、为假只需"一个反例"；存在命题为真只需"找到一个"、为假需"每一个都不成立"。 【易错清单】 1． 中 取自然数，别扩大到实数； 2．"存在"与"任意"的强弱完全不同，证假可举反例、证真需给出实例。 知识点5 命题的否定 ；。 否定两处同时变：量词互换，结论否定（ 与 、 与 、 与 互为否定）。 【易错清单】 1．只改量词不改结论（或反之），是最常见的失分点； 2．命题的否定与否命题不同：否定只否定结论，条件不动。 【题型1 充分必要条件的判断（集合观点）】 【例1】已知 ，，则 是 的（　　） A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　C．充要条件　D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】""是""的（　　） A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　C．充要条件　D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】设 ，，则 是 的（　　） A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　C．充要条件　D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】""是""的（　　） A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　C．充要条件　D．既不充分也不必要条件 【题型2 由充分、必要条件求参数范围（端点取舍）】 【例2】已知 ，，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】已知 ，，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】已知 ，，若 是 的充分条件，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】已知 ，，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D．不存在满足条件的实数 【题型3 全称量词命题与存在量词命题的否定】 【例3】命题"，"的否定是（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 【变式3-1】命题"，"的否定是____________。 【变式3-2】命题"，"的否定是（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 【变式3-3】命题"，"的否定是____________，它是____________命题（填"真"或"假"）。 【题型4 命题真假的判断（含逻辑联结词）】 【例4】已知命题 ，；命题 ，。则下列命题为真命题的是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】命题"，"是____________命题（填"真"或"假"）。 【变式4-2】命题"，"是____________命题（填"真"或"假"）。 【变式4-3】已知命题 ，；命题 ，。则下列判断正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 由命题真假求参数范围】 【例5】已知命题 ， 是假命题，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】已知命题 ， 为真命题，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】已知命题 ， 为真命题，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】已知命题 ， 为真命题，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 充要条件的证明与等价转化】 【例6】设 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　C．充要条件　D．既不充分也不必要条件 【变式6-1】“”是“”的（　　） A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　C．充要条件　D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】设 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　C．充要条件　D．既不充分也不必要条件 【变式6-3】设 ，则“ 且 ”是“ 且 ”的（　　） A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　C．充要条件　D．既不充分也不必要条件 一、单选题 1．（★★）""是""的（　　） A．必要不充分条件　B．充分不必要条件　C．充要条件　D．既不充分也不必要条件 2．（★★）命题"，"的否定是（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 3．（★★）设 ，，则 是 的（　　） A．必要不充分条件　B．充要条件　C．充分不必要条件　D．既不充分也不必要条件 4．（★★）若""是""的必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）已知 ，，则 是 的（　　） A．充要条件　B．必要不充分条件　C．既不充分也不必要条件　D．充分不必要条件 6．（★★★）已知命题 ， 为真命题，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知 ，（）。若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C． 或 　D． 8．（★★★）已知命题 ， 为真命题，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）下列命题为真命题的是（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 10．（★★）已知 ，，则（　　） A． 是 的充分条件　B． 是 的必要条件　C． 是 的必要条件　D． 是 的充分条件 11．（★★★）已知命题 ，；命题 ，。则（　　） A．若 为真命题，则 　B． 为真命题的充要条件是 　C．若 为真命题，则 为真命题　D．存在实数 ，使 都为真命题 12．（★★★）已知 ，（），则下列结论正确的是（　　） A． 的否定为"，"　B．若 是 的充分条件，则 　C．若 是 的充分不必要条件，则 　D．若 是 的既不充分也不必要条件，则 三、填空题 13．（★★）命题"，"的否定是____________。 14．（★★）""是""的____________条件（填"充分""必要""充要"之一）。 15．（★★★）已知命题 ， 是假命题，命题 ， 是真命题。若 是假命题且 是真命题，则实数 的取值范围是____________。 16．（★★★）已知 ，（）。若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是____________。 四、解答题 17．（★★）已知 ，。 (1) 若 是 的充分条件，求实数 的取值范围； (2) 若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围。 18．（★★）已知 ，（）。 (1) 分别用集合表示 与 ； (2) 若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围。 19．（★★）已知命题 ，；命题 ，。 (1) 若 为真命题，求实数 的取值范围； (2) 若 为真命题，求实数 的取值范围。 20．（★★★）已知 ，。 (1) 分别求 对应的集合 ； (2) 判断 是 的什么条件（充分不必要/必要不充分/充要/既不充分也不必要）。 21．（★★★）已知 ，（）。 (1) 求集合 ； (2) 若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围。 22．（★★★）已知命题 ， 是真命题。 (1) 求实数 的取值范围； (2) 写出 的否定命题，并说明 时该否定命题的真假。 23．（★★★）已知命题 ，；命题 ，。 (1) 若 为真命题，求实数 的取值范围； (2) 若 为真命题，求实数 的取值范围； (3) 判断 与 能否同时为真命题，并说明理由。 24．（★★★）已知命题 ，；命题 ，。 (1) 若 为真命题，求实数 的取值范围； (2) 若 为真命题，求实数 的取值范围； (3) 若 与 中恰有一个为真命题，求实数 的取值范围。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $