第01讲 集合讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第01讲 集合 第01讲 集合 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解集合的含义与元素的确定性、互异性、无序性，能准确识别给定集合的表示与元素； 2．掌握集合间包含、相等、真包含关系，熟练运用 系列结论计数子集； 3．会求交集、并集、补集，能用数轴法与 Venn 图处理区间运算并准确判断端点开闭； 4．能解决含参集合的包含与交并补问题、容斥原理计数问题及集合新定义问题，体会分类讨论与数形结合。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 集合的概念与表示 选择题 第1~3题 易 看确定性，含参必验互异性 集合间关系与子集个数 选择题、填空题 第3~5题 中 数元素个数 n，套 2^n 系列公式 集合的基本运算 选择题、填空题 第3~7题 中 数轴法 + Venn 图，端点开闭看等号 含参集合与容斥原理 选择题、填空题、解答题 第6~7题、第12~13题、第15~17题 中偏难 画数轴列端点不等式、容斥先加后减 集合的新定义问题 选择题、解答题 第7~10题、第18题 中偏难 把新符号拆成交并补，逐元素判断 命题规律分析 集合是新高考的"卷首送分"板块，但培优层不能只满足于概念题：它常与不等式、函数交汇，并以含参集合、容斥计数、新定义三种形式把难度推到选择第 6~7 题、多选第 9~10 题、填空第 12~13 题，甚至作为解答题第 15~18 题的一问出现。本讲在夯实"确定性、互异性、包含关系、交并补"四个基本功的前提下，重点突破含参集合的端点取舍、容斥的先加后减、以及把新定义翻译成交并补的套路，目标是把这套"必拿分"练到不出错、不丢步骤分。 考点1 集合的表示与元素特性 知识点1 元素的三大特性与常用数集 元素的三大特性：确定性（能否成集只看标准是否明确）、互异性（元素互不相同）、无序性（与顺序无关）。 元素与集合的关系： 表示 属于 ， 表示 不属于 。 常用数集：自然数集 （含 ）、正整数集 或 、整数集 、有理数集 、实数集 。 【易错清单】 1．判断能否构成集合，只看"确定性"；"较大的数""著名的人"标准模糊，不能成集； 2．互异性是高频失分点：含参集合求出的参数必须代回，剔除使元素重复的值； 3． 但 ，正整数集不含 。 知识点2 集合的表示法 列举法逐一写出元素，如 ；描述法形如 ，竖线前为"代表元素"。 描述法省略范围时默认在实数范围内讨论；Venn 图用封闭曲线直观表示关系与运算。 【易错清单】 1． 是函数值的集合， 是点的集合，代表元素不同，集合不同； 2．读题先看代表元素：它决定集合里装的是"数"还是"点"还是"数对"。 考点2 集合的关系与运算 知识点3 基本关系与子集计数 表示 是 的子集； 表示 是 的真子集； 当且仅当 且 。 空集 不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 含 个元素的集合：子集 个，真子集 个，非空真子集 个。 【易错清单】 1．（属于，元素是集合）与 （包含于，集合是集合）含义不同，切勿混淆； 2．涉及 时先想 是否可能，空集是"隐形"情形。 知识点4 基本运算（交、并、补） 交集 ；并集 。 补集 ；区间运算用数轴，端点开闭看不等号是否带等号。 【易错清单】 1．德摩根律：，交并互补，顺序不能乱； 2．"或"连接的两个区间用并集 表示，如 或 记作 。 【题型1 集合的表示与元素特性（含参、互异性）】 【例1】设 ，集合 ，。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】已知集合 中的三个元素互不相同，则实数 的取值范围是____________。 【变式1-2】已知集合 中恰有一个元素，则实数 的值为（　　） A． 或 　B．　C．　D． 【变式1-3】已知集合 ，则 用列举法表示为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 集合间的基本关系与子集个数】 【例2】已知集合 ，则满足 的集合 的个数为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】已知集合 ，则满足 的集合 的个数为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】集合 的真子集个数为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】满足 的集合 的个数为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 集合的基本运算（交、并、补）】 【例3】设全集 ，集合 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】已知集合 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】设全集 ，集合 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】已知集合 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 含参集合的包含与运算（端点取舍）】 【例4】已知集合 ，。若 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】已知集合 ，。若 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】已知集合 ，。若 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】已知集合 ，。若 恰有 个元素，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 集合的元素个数与容斥原理】 【例5】某班有 名学生，参加数学兴趣小组的有 人，参加物理兴趣小组的有 人，两项都参加的有 人。则两项都不参加的人数为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】设全集 中共有 个元素，集合 ，，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】已知集合 ，，则 中元素的个数为 ____________。 【变式5-3】设 为有限集，，，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 集合的新定义问题】 【例6】定义集合的对称差 。已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】定义 。已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】定义 。已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】定义 。已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★★）下列各组对象能构成集合的是（　　） A．很大的数　B．好看的花　C．大于 的实数　D．附近的人 2．（★★）已知集合 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）集合 的真子集个数为（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）设全集 ，集合 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）已知集合 ，则 的子集个数为（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知集合 ，。若 恰有 个元素，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知集合 ，。若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． 或 　B．　C． 或 　D． 8．（★★★）已知集合 ，。若 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）下列关系式正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 10．（★★）已知集合 ，，则（　　） A．　B．　C．　D． 11．（★★★）已知全集 ，集合 ，（），则（　　） A．若 ，则 　B．若 ，则 或 　C．存在实数 ，使 　D．当 时， 12．（★★★）已知集合 ，（），则（　　） A．当 时，　B． 的充要条件是 　C．存在实数 ，使 　D． 的充要条件是 三、填空题 13．（★★）已知集合 ，用列举法表示集合 ____________。 14．（★★）集合 的非空子集个数为 ____________。 15．（★★★）已知集合 ，（）。若 ，则实数 的取值范围是____________。 16．（★★★）某班共 名学生，每人至少参加数学、物理、化学三个兴趣小组中的一个。参加数学组的有 人，参加物理组的有 人，参加化学组的有 人；同时参加数学组和化学组的有 人，同时参加物理组和化学组的有 人，三个组都参加的有 人。若同时参加数学组和物理组的有 人，则 ____________。 四、解答题 17．（★★）已知集合 ，。 (1) 求 ； (2) 求 。 18．（★★）已知集合 ，。 (1) 若 ，求实数 的取值范围； (2) 若 ，求实数 的取值范围。 19．（★★）某班有 名学生，其中参加数学兴趣小组的有 人，参加物理兴趣小组的有 人，两个小组都参加的有 人。 (1) 求至少参加一个小组的人数； (2) 求两个小组都不参加的人数。 20．（★★★）已知集合 ，。 (1) 当 时，求 ； (2) 若 ，求实数 的取值范围。 21．（★★★）已知集合 ，（）。 (1) 用区间表示集合 ； (2) 若 ，求实数 的取值范围。 22．（★★★）已知集合 ，（）。 (1) 若 ，求实数 的取值范围； (2) 若 ，求实数 的取值范围。 23．（★★★）已知集合 ，（）。 (1) 求集合 ； (2) 当 时，求 ； (3) 若 ，求实数 的取值范围。 24．（★★★）定义集合的对称差 。已知 ，。 (1) 求 与 ； (2) 求 ； (3) 记 ，若 ，求实数 的取值范围。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第01讲 集合 第01讲 集合 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解集合的含义与元素的确定性、互异性、无序性，能准确识别给定集合的表示与元素； 2．掌握集合间包含、相等、真包含关系，熟练运用 系列结论计数子集； 3．会求交集、并集、补集，能用数轴法与 Venn 图处理区间运算并准确判断端点开闭； 4．能解决含参集合的包含与交并补问题、容斥原理计数问题及集合新定义问题，体会分类讨论与数形结合。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 集合的概念与表示 选择题 第1~3题 易 看确定性，含参必验互异性 集合间关系与子集个数 选择题、填空题 第3~5题 中 数元素个数 n，套 2^n 系列公式 集合的基本运算 选择题、填空题 第3~7题 中 数轴法 + Venn 图，端点开闭看等号 含参集合与容斥原理 选择题、填空题、解答题 第6~7题、第12~13题、第15~17题 中偏难 画数轴列端点不等式、容斥先加后减 集合的新定义问题 选择题、解答题 第7~10题、第18题 中偏难 把新符号拆成交并补，逐元素判断 命题规律分析 集合是新高考的"卷首送分"板块，但培优层不能只满足于概念题：它常与不等式、函数交汇，并以含参集合、容斥计数、新定义三种形式把难度推到选择第 6~7 题、多选第 9~10 题、填空第 12~13 题，甚至作为解答题第 15~18 题的一问出现。本讲在夯实"确定性、互异性、包含关系、交并补"四个基本功的前提下，重点突破含参集合的端点取舍、容斥的先加后减、以及把新定义翻译成交并补的套路，目标是把这套"必拿分"练到不出错、不丢步骤分。 考点1 集合的表示与元素特性 知识点1 元素的三大特性与常用数集 元素的三大特性：确定性（能否成集只看标准是否明确）、互异性（元素互不相同）、无序性（与顺序无关）。 元素与集合的关系： 表示 属于 ， 表示 不属于 。 常用数集：自然数集 （含 ）、正整数集 或 、整数集 、有理数集 、实数集 。 【易错清单】 1．判断能否构成集合，只看"确定性"；"较大的数""著名的人"标准模糊，不能成集； 2．互异性是高频失分点：含参集合求出的参数必须代回，剔除使元素重复的值； 3． 但 ，正整数集不含 。 知识点2 集合的表示法 列举法逐一写出元素，如 ；描述法形如 ，竖线前为"代表元素"。 描述法省略范围时默认在实数范围内讨论；Venn 图用封闭曲线直观表示关系与运算。 【易错清单】 1． 是函数值的集合， 是点的集合，代表元素不同，集合不同； 2．读题先看代表元素：它决定集合里装的是"数"还是"点"还是"数对"。 考点2 集合的关系与运算 知识点3 基本关系与子集计数 表示 是 的子集； 表示 是 的真子集； 当且仅当 且 。 空集 不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 含 个元素的集合：子集 个，真子集 个，非空真子集 个。 【易错清单】 1．（属于，元素是集合）与 （包含于，集合是集合）含义不同，切勿混淆； 2．涉及 时先想 是否可能，空集是"隐形"情形。 知识点4 基本运算（交、并、补） 交集 ；并集 。 补集 ；区间运算用数轴，端点开闭看不等号是否带等号。 【易错清单】 1．德摩根律：，交并互补，顺序不能乱； 2．"或"连接的两个区间用并集 表示，如 或 记作 。 【题型1 集合的表示与元素特性（含参、互异性）】 【例1】设 ，集合 ，。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由 出发，分 、、 三种情形讨论，并用互异性排除。 【解答过程】因为 且 ，所以 ，即 或 或 。 若 ，则 ， 违反互异性，舍去； 若 ，由 得 ，则 违反互异性，舍去； 故 ，即 。此时 ，。 若 ，则 ，；由 得 （），于是 ，； 若 ，则 ， 违反互异性，舍去。 综上，。 【多解·巧解】先抓" 在集合里"这个突破口：因为 属于 ，它必然也属于 ，所以立刻锁定 中哪个元素等于 。讨论时始终把"互异性"挂在嘴边，凡是出现重复元素（如 ）的情形一律舍去，能快速排除 与 。 【易错提醒】最容易漏掉"互异性检验"：若不做检验，会误以为 也成立而选错。另外 时 与已有的 重复，也必须舍去——含参集合题，求出参数后务必代回验证互异性。 【变式1-1】已知集合 中的三个元素互不相同，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】互异性要求任意两元素不等，分别列不等式求解集的并集补集。 【解答过程】由互异性：（恒成立）； 得 ； 即 ，得 。综上 。 【变式1-2】已知集合 中恰有一个元素，则实数 的值为（　　） A． 或 　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】"恰有一个元素"即方程有且仅有一个实根，判别式为零。 【解答过程】集合元素为方程实根，恰有一个元素等价于判别式 ，解得 或 。故选A。 【变式1-3】已知集合 ，则 用列举法表示为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先解不等式，再在解集中取整数。 【解答过程】 得 ，其中整数有 ，故 。故选A。 【题型2 集合间的基本关系与子集个数】 【例2】已知集合 ，则满足 的集合 的个数为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先定必含元素 ，再从 中至少选一个（真包含要求非空）。 【解答过程】 必含 ，且 、 要求 至少还多一个元素。于是 ， 是 的非空子集，共 个。故选B。 【多解·巧解】求"满足关系"的集合个数，套路是：先圈出必含元素，再把"可选元素"当作一个独立集合计数。真包含（）对应"至少选一个"，包含于（）对应"任意选"。 【易错提醒】忽略"真包含"会算成 ；误把 也算进去也会得到 。 【变式2-1】已知集合 ，则满足 的集合 的个数为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】 必含 ，再从 中任意选取。 【解答过程】 必含 ，对元素 可选可不选，共 个。故选C。 【变式2-2】集合 的真子集个数为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】真子集个数为 。 【解答过程】，真子集个数为 。故选B。 【变式2-3】满足 的集合 的个数为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】含 的子集共 个，去掉 与 两种极端。 【解答过程】含 的子集即从 中任意选取，共 个；去掉 （非真超集）和 （非真子集），剩 个。故选C。 【题型3 集合的基本运算（交、并、补）】 【例3】设全集 ，集合 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求 的补集，再与 取交。 【解答过程】，所以 。故选A。 【多解·巧解】先求补集再取交；也可心算： 且 ，取更紧的约束 即可一步到位。 【易错提醒】把 错写成 （取反时方向或端点弄错），会得到交集为 而误选C。 【变式3-1】已知集合 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】画数轴取公共部分，注意端点开闭。 【解答过程】，，公共部分为 ，即 。故选B。 【变式3-2】设全集 ，集合 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分别求补集再并，或用德摩根律。 【解答过程】，，并集为 。故选A。 【变式3-3】已知集合 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先解 的区间，再看与 有无公共元素。 【解答过程】 得 ；，与 无公共元素，故 。故选C。 【题型4 含参集合的包含与运算（端点取舍）】 【例4】已知集合 ，。若 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】D 【解题思路】解出 的区间，由 转化为端点数的不等关系，再检验端点。 【解答过程】由 得 ，即 。 。要使 ，需 中最大元素 满足 ，即 。故选D。 【多解·巧解】画数轴，含参"整体包含"看端点： 全在 左侧，最大元素必须小于 。先看"有界/无界"可判断真包含是否自动成立，省去额外排除相等。 【易错提醒】端点 不可取：此时 不含 ，而 ，故应为 而非 。 【变式4-1】已知集合 ，。若 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】两区间无公共元素，看 的左端是否越过 的右端。 【解答过程】，。要使交集为空，需 ；检验 时 与 无公共元素，符合。故选B。 【变式4-2】已知集合 ，。若 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】D 【解题思路】 整体落在 内，看 的最大元素是否不超过 。 【解答过程】，需 ，即 。故选D。 【变式4-3】已知集合 ，。若 恰有 个元素，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】逐段讨论 变化时 的元素个数。 【解答过程】。 时交 个元素； 时交 共 个； 时交 共 个； 时交为空。故 。故选B。 【题型5 集合的元素个数与容斥原理】 【例5】某班有 名学生，参加数学兴趣小组的有 人，参加物理兴趣小组的有 人，两项都参加的有 人。则两项都不参加的人数为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用容斥原理先求至少参加一科的人数，再用总人数减。 【解答过程】至少参加一科的有 人，所以两项都不参加的有 人。故选B。 【多解·巧解】容斥"先加后减"：两集合人数相加后，重叠部分只应算一次，所以减去一次交集人数；"都不"等于总人数减去"至少参加一科"，两步环环相扣。 【易错提醒】把重叠的 人重复减（写成 ）或漏减（只减一次却把"都不"算错）。 【变式5-1】设全集 中共有 个元素，集合 ，，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先求 的元素个数，再用总数减（或直接用德摩根律）。 【解答过程】，故 。故选B。 【变式5-2】已知集合 ，，则 中元素的个数为 ____________。 【答案】 【解题思路】先求并集再数个数，注意去重。 【解答过程】，共 个元素。 【变式5-3】设 为有限集，，，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】两集合不相交，并集元素个数等于两者之和。 【解答过程】因为 ，两集合无公共元素，故 。故选A。 【题型6 集合的新定义问题】 【例6】定义集合的对称差 。已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】按定义先算并集再去掉交集元素。 【解答过程】，，去掉公共元素得 。故选A。 【多解·巧解】对称差 = 并集减交集；也可逐元素判断"只属于其中一个集合"： 只属其一， 属两者，故结果 。新定义题一律先翻译成旧运算，再计算，不跳步。 【易错提醒】误把交集 当成对称差而误选B；对称差是"只在其中一个"，不是"两个都在"。 【变式6-1】定义 。已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】同定义先算并集再去掉交集。 【解答过程】，，去掉公共元素得 。故选A。 【变式6-2】定义 。已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】枚举所有可能的和，再去重。 【解答过程】，，，，去重得 。故选A。 【变式6-3】定义 。已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】对每个元素平方后收集结果。 【解答过程】，，，故 。故选B。 一、单选题 1．（★★）下列各组对象能构成集合的是（　　） A．很大的数　B．好看的花　C．大于 的实数　D．附近的人 【答案】C 【解题思路】根据元素的确定性判断。 【解答过程】A、B、D 中"很大""好看""附近"标准不明确，对象不确定，不能构成集合；C 的对象确定。故选C。 2．（★★）已知集合 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】交集取公共元素。 【解答过程】公共元素为 ，所以 。故选B。 3．（★★）集合 的真子集个数为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】真子集个数为 。 【解答过程】，真子集个数为 。故选B。 4．（★★）设全集 ，集合 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】补集是全集中去掉 后剩下的元素。 【解答过程】去掉 后剩下 ，即 。故选B。 5．（★★）已知集合 ，则 的子集个数为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】D 【解题思路】先用列举法数出元素个数，再套 。 【解答过程】，共 个元素，子集个数为 。故选D。 6．（★★★）已知集合 ，。若 恰有 个元素，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先解出整数集合 ，再由"恰好圈住 中最大的 个元素"锁定 的左闭右开区间。 【解答过程】由 得 ，即 ，故 。 即 中大于 的元素。恰有 个元素时，这 个必为 中最大的三个 ， 于是需 ：当 时 ；当 略小于 时会多出 ，当 时只剩 。故选A。 7．（★★★）已知集合 ，。若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． 或 　B．　C． 或 　D． 【答案】A 【解题思路】 是两条射线的并集， 等价于 与 的补集（一个开区间）没有公共点。 【解答过程】由 得 ，即 ，故 。 的补集为 ， 等价于 ， 即区间 完全落在 的左侧或 的右侧，故 或 ， 解得 或 。故选A。 8．（★★★）已知集合 ，。若 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】含参区间 可能为空集，先分 与 两类讨论。 【解答过程】由 得 ，即 。 ① 当 ，即 时，，满足 ； ② 当 时 ，要 ，需 （自动成立）且 ，即 ， 于是 。 综上 。故选A。 二、多选题 9．（★★）下列关系式正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】逐一按数集定义判断。 【解答过程】 是自然数，A 正确； 是实数，B 正确； 是整数，C 正确； 不是整数，D 错误。故选ABC。 10．（★★）已知集合 ，，则（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】分别求交集、并集并判断包含关系。 【解答过程】，A 正确；，元素个数为 ，B、C 正确； 中元素 不属于 ，D 错误。故选ABC。 11．（★★★）已知全集 ，集合 ，（），则（　　） A．若 ，则 　B．若 ，则 或 　C．存在实数 ，使 　D．当 时， 【答案】ABC 【解题思路】先把 化成区间，再逐项用端点关系判断，注意 为开区间、 为闭区间。 【解答过程】，。 A： 需 且 ，即 且 ，故 ，正确； B： 需 或 ，即 或 ，正确； C： 是闭区间、 是开区间且长度相同（均为 ），闭区间不可能含于长度相同的开区间，故不存在这样的 ，错误； D： 时 ，， ，错误。故选ABC。 12．（★★★）已知集合 ，（），则（　　） A．当 时，　B． 的充要条件是 　C．存在实数 ，使 　D． 的充要条件是 【答案】ABD 【解题思路】 的两根为 与 ，其区间随 与 的大小而变，需分类讨论。 【解答过程】，由 得 由 与 决定。 A： 时两根为 （），，正确； B： 恒为 中元素， 等价于 。若 ，， 即 ；若 ， 不含 。故 ，正确； C：因 且 恒成立，，故交集不可能为空，错误； D： 需 。若 ， 即 ；若 ， 不满足。故 ，正确。故选ABD。 三、填空题 13．（★★）已知集合 ，用列举法表示集合 ____________。 【答案】 【解题思路】在给定范围内找出所有满足条件的整数。 【解答过程】在 内的整数有 ，所以 。 14．（★★）集合 的非空子集个数为 ____________。 【答案】 【解题思路】非空子集个数为 。 【解答过程】，非空子集个数为 。 15．（★★★）已知集合 ，（）。若 ，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】 是开区间， 等价于两区间"错开"失败，注意开区间对应严格不等号。 【解答过程】由 得 ，即 ；由 得 。 需 且 ，解得 且 ，即 。 （ 时 的右端为 ，而 ； 时 的左端为 ，而 ，均不相交，故端点不取。） 16．（★★★）某班共 名学生，每人至少参加数学、物理、化学三个兴趣小组中的一个。参加数学组的有 人，参加物理组的有 人，参加化学组的有 人；同时参加数学组和化学组的有 人，同时参加物理组和化学组的有 人，三个组都参加的有 人。若同时参加数学组和物理组的有 人，则 ____________。 【答案】 【解题思路】由"每人至少参加一个"得三个小组的并集恰为全班人数，再用三集合容斥公式建立方程。 【解答过程】设参加数学、物理、化学组的学生集合分别为 ，由"每人至少参加一个"得 。 由三集合容斥公式 ， 代入得 ，即 ，解得 。 四、解答题 17．（★★）已知集合 ，。 (1) 求 ； (2) 求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】借助数轴求交集、并集，再取补集，注意每个端点的开闭。 【解答过程】(1) 在数轴上，，，公共部分为 ，故 。 (2) ，所以 。 【多解·巧解】交集、并集、补集统一用数轴法：先分别画出区间，交集取公共覆盖部分，补集取全集里剩余部分，端点开闭由不等号是否带等号决定，最稳妥。 【易错提醒】最容易错在端点： 的补集应写成 ，注意 用圆括号（属于并集）、 用方括号（不属于并集）。 18．（★★）已知集合 ，。 (1) 若 ，求实数 的取值范围； (2) 若 ，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】把集合关系画在数轴上，转化为端点数的不等关系，并单独检验端点。 【解答过程】(1) ，。要使 ，需 ，即 ；检验 时 不含 ，舍去。 (2) 要使 ，两区间不能相交，需 ；检验 时 与 无公共元素，符合。 【多解·巧解】含参集合的"包含"与"相交"都靠端点： 看 的最小元素是否大于 ； 看 的左端是否越过 的右端。 【易错提醒】 时 不可取（此时 不含 ）； 时 可取（此时 不含 ），端点方向相反，容易记混。 19．（★★）某班有 名学生，其中参加数学兴趣小组的有 人，参加物理兴趣小组的有 人，两个小组都参加的有 人。 (1) 求至少参加一个小组的人数； (2) 求两个小组都不参加的人数。 【答案】(1) 人； (2) 人。 【解题思路】容斥原理：两部分相加，重叠部分只算一次。 【解答过程】(1) 至少参加一个小组的有 人。 (2) 两个小组都不参加的有 人。 【多解·巧解】容斥原理"先加后减"：两集合人数相加后，重叠部分只应算一次，所以减去一次交集人数；"都不"等于总人数减去"至少参加一科"。 【易错提醒】把重叠的 人重复减（写成 之类），或把"都不"误算成 。 20．（★★★）已知集合 ，。 (1) 当 时，求 ； (2) 若 ，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 解出 后取交；(2) 整体落在 内，只需看 的最大元素。 【解答过程】(1) 由 得 ，即 。 当 时，，故 。 (2) 要使 ，需 的最大元素 满足 （ 时 不含 ），故 。 【多解·巧解】含参"整体包含"只需盯住最"危险"的那个端点： 要求 的最大元素严格小于 ，一步锁定。 【易错提醒】端点 不可取：此时 不含 ，而 ，故应为 而非 。 21．（★★★）已知集合 ，（）。 (1) 用区间表示集合 ； (2) 若 ，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 解一元二次不等式；(2) 把 配方成以 为中心的对称区间，再与 比端点。 【解答过程】(1) 由 得 ，即 。 (2) 由 得 ，即 ，故 。 要使 ，需 且 ，解得 。 【多解·巧解】两区间端点一一代入： 的左端不小于 的左端、右端不大于 的右端，两式联立即得； 长度恒为 ，不必考虑空集。 【易错提醒】 开方时应写成 ，即 ，切勿漏掉平移而误写成 。 22．（★★★）已知集合 ，（）。 (1) 若 ，求实数 的取值范围； (2) 若 ，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 等价于 ；(2) 两区间有公共元素，看区间是否"错开"。 【解答过程】由 得 ，即 ，。 (1) 即 ，需 且 ，解得 。 (2) 即两区间相交，需 且 ，解得 。 【多解·巧解】并集、交集等于其中一个集合，都先翻译成"包含"：，，方向看清再比端点。 【易错提醒】(2) 相交的临界是"端点刚好搭上"： 时 含 ， 时 含 ，两端都能取到，故为闭区间 。 23．（★★★）已知集合 ，（）。 (1) 求集合 ； (2) 当 时，求 ； (3) 若 ，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(3) 带参区间 可能为空集，须先判断 的情形再讨论非空。 【解答过程】(1) 由 得 ，即 。 (2) 当 时，，故 。 (3) ① 当 ，即 时，，满足 ； ② 当 时 ，要 ，需 且 ，即 且 ，无解。 综上 。 【多解·巧解】含参"区间含于区间"第一反应是"先看它会不会是空集"： 时包含关系自动成立，往往正是唯一的解区间，漏掉就会全盘算错。 【易错提醒】不要一上来就列 且 ——那会得到 且 的空集，从而误判为无解，恰好漏掉了 的正确情形。 24．（★★★）定义集合的对称差 。已知 ，。 (1) 求 与 ； (2) 求 ； (3) 记 ，若 ，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ，； (2) ； (3) 。 【解题思路】先把新定义翻译成"并集减交集"，再逐问用数轴求区间；包含关系看区间的右端。 【解答过程】(1) 由 得 ；由 得 ， 故 ，。 (2) 是 中去掉 后剩余的元素，即 。 (3) 由 ，需区间 完全落在 的左侧， 即 （当 时 恰好含 ），故 。 【多解·巧解】对称差 = 并集减交集；也可逐点判断"只属于其中一个集合"。本题 ，所以对称差就是 去掉 的部分 ，一眼可辨。 【易错提醒】(2) 中端点 是否属于对称差要看清： 且 ，故 不在对称差中，右端写 ；而 只在 中，属于对称差。(3) 中 可取，别误写成 。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $