第19讲导数与恒成立、存在性问题（知识清单+3典例精讲+6方法技巧+分层训练）-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦导数与恒成立、存在性问题核心考点，按定义、等价转化、分离参数、分类讨论、双变量混搭等逻辑层次构建知识体系，通过知识清单梳理、典例精讲示范、方法技巧总结、分层训练巩固的教学流程，帮助学生系统突破高考高频难点。 讲义创新采用解题大招与分层训练结合模式，如分类讨论按参数符号、极值点位置有序推进培养数学思维，分离参数技巧将复杂问题转化为函数最值提升解题效率。设置基础、拔高、错题三层练习适配不同学生，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生用数学语言表达和解决问题的应考能力。

第19讲导数与恒成立、存在性问题 （知识清单+3典例精讲+6方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 恒成立最值转化： 解答题 12分 存在性问题： 解答题 12分 分离参数恒成立： 解答题 12分 双变量恒成立，导数求最值定参数范围 解答题 12分 导数单调性、最值证明恒成立不等式 解答题 12分 存在性速解： 填空题 5分 含参恒成立，分类讨论求最值边界 解答题 12分 分离参数： 解答题 12分 恒成立与不等式综合，多区间最值求参数 解答题 12分 恒成立+存在性混搭，双最值嵌套应用 解答题 12分 存在性参数范围： 解答题 12分 存在性参数范围： 解答题 12分 【知识点01】导数恒成立与存在性问题核心定义 1. 恒成立定义（任意性） 若对于区间 内任意一个，不等式 （或 ）始终成立，则称该不等式在区间 上恒成立。符号语言：。 2. 存在性（能成立/有解）定义 若区间 内至少存在一个，使得不等式 （或 ）成立，则称该不等式在区间 上能成立。符号语言：。 【例1】判断命题：① ；② 的真假。 解析：① 对任意实数，平方恒非负，为真命题（恒成立）； ② 存在 使等式成立，为真命题（存在性成立）。 【知识点02】恒成立问题等价转化核心公式 已知函数 在区间 上可导、存在最值，高考通用转化结论： 不等式对所有自变量成立，只需函数最苛刻的最值满足条件：大于等于恒成立看最小值，小于等于恒成立看最大值。 【例2】已知 ，，若 恒成立，求 的取值范围。 解析：，函数在 单调递增 由恒成立结论： 即 【知识点03】存在性（能成立）问题等价转化核心公式 存在性问题与恒成立问题最值相反，是高考高频易错点： 核心解读 只需区间内有一个自变量满足不等式即可，大于等于看最大值，小于等于看最小值。 【例3】已知 ，，若 使得 成立，求 范围。 解析：， 单调递增 存在性条件： 即 【知识点04】分离参数法核心原理 1. 原理定义 将含参不等式 变形为「参数单独在一侧，函数在另一侧」的形式，将参数范围问题转化为已知函数的最值问题。 2. 标准结论 在 上恒成立 在 上恒成立 在 上能成立 在 上能成立 【例4】若 ， 恒成立，求 的取值范围。 解析：令 ， 令 ，得 递减，递增 故 ，即 【知识点05】含参恒成立分类讨论核心依据 1. 适用场景 参数无法完全分离、分离后函数复杂、出现分式分母含参等情况，必须采用分类讨论。 2. 高考标准讨论顺序 ① 一次项、常数项参数符号；② 二次函数开口方向；③ 判别式正负；④ 极值点零点大小；⑤ 零点与区间位置关系。 3. 核心解题逻辑 分类讨论参数范围 确定函数单调性 求解最值 验证恒成立条件 合并有效参数范围 【例5】已知 ， 恒成立，求 范围。 解析：① 当 时， 在 恒成立，符合条件； ② 当 时，抛物线开口向上，区间右端点 ，存在正数，不满足恒成立； ③ 当 时，开口向下，对称轴 ，函数在 单调递减，，恒成立； 综上： 【知识点06】双变量恒成立、存在性混搭核心知识点 设函数 分别在定义域 上有最值，四类核心等价关系（高考必考）： 1. 2. 3. 4. 【例6】已知 ，；，，满足 ，验证条件。 解析： 不成立，故该命题不成立。 【知识点07】无参数不等式恒成立证明知识点 1. 核心思路 无参数不等式证明 ，核心为构造差值函数。 2. 标准步骤 ① 构造 ；② 求导分析单调性；③ 求 区间最值；④ 证明 。 【例7】证明： 时，。 解析：令 ， 时 在 单调递增 即 ，得证。 【题型一】利用导数研究不等式恒成立问题 【例1】（2024·陕西·模拟预测），有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，求导可得函数的单调性，即可求解最值，进而即可. 【详解】由在上恒成立，令， 则．令，则， 当时，，故在上单调递增； 当时，，故在上单调递减； 则，所以， 故选:C． 【例2】（多选）（2025·江苏苏州·三模）已知，则下列说法正确的是（    ） A．时，有唯一的零点 B．时，存在极小值 C．时，存在极大值 D．若，则的范围为 【答案】AC 【分析】求导后结合零点存在定理判断A；由单调性可判断BC；有单调性举反例当可判断D. 【详解】对于A，， 当时，，有唯一零点； 当时，恒成立，函数单调递增， 当时，，当时，，由零点存在定理可得有唯一的零点， 综上时，有唯一的零点，故A正确； 对于B、C，令，可得， 易得函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数存在极大值，故B错误，C正确； 对于D，因为，所以， 由B选项可得当，函数取得极大值，此时， 所以，故D错误. 故选：AC. 【例3】（2026·陕西咸阳·二模）已知，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】将原不等式拆分为左右两个独立的不等式，对于拆分后的每个不等式，将参数分离出来，转化为或在上恒成立的形式，因此利用导数法求函数、在区间的最值即可 【详解】左侧不等式：，整理得 设，求导得 当时，，单调递减； 当时，，单调递增 的最大值在端点处取得，经计算​， 最大值为​，故 右侧不等式：，整理得： 设，求导得​ 当时，，单调递减； 当时，，单调递增 最小值在处：​，故 综上，的取值范围为 【变式1】已知函数，，若，恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数判断单调性，根据单调性求解最值，根据两个函数最值之间的关系即可求解. 【详解】， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在上的最大值是． ， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在上的最小值是， 若，，恒成立，则，即， 所以，所以实数k的取值范围是． 故选:D． 【变式2】（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知函数，若，，则a的取值范围是_________. 【答案】 【分析】按照，，，分类解不等式，通过参变分离求最值即可求解. 【详解】当时，恒成立，此时. 当时，由，得，所以恒成立，即. 当时，由，得，即. 设（），则（）， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，则. 综上，a的取值范围是. 【变式3】（2026·湖南长沙·二模）已知函数. (1)若曲线在处的切线斜率为1，求实数a的值； (2)若在定义域上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义知函数在的导数值是切线的斜率，进而得a的值； （2）利用分离参数法将恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数法求函数的最值即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为. 则.因为曲线在处的切线斜率为1， 所以 ，解得； （2）函数的定义域为. 则在上恒成立，即在上恒成立， 令，则 ，当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，所以． 【题型二】分离参数法 【例4】（2026·河南·三模）已知关于的不等式对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】将问题转化为对任意的，，因为，令，，则问题转化为对任意的，恒成立，构造函数，，求导，利用导数分析的单调性，求出最大值即可求解． 【详解】对任意的恒成立，即对任意的，恒成立， ， 令，，，则对任意的，恒成立， 令，， ， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，所以，所以的最小值为. 【例5】（2026·陕西西安·模拟预测）若不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用 将原不等式变形，结合重要不等式 进行求解，推得 ，并验证该范围恒成立，求得实数的取值范围即可. 【详解】因为，所以原不等式转化为， 将 代入，得：，整理得：， 设，则，令，可得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以对任意 ， 所以，当且仅当 时，等号成立， 当 时，， 不等式变为：， 因为 ，所以必须满足：，即， 当 时，原不等式为：，即：， 令 ，则不等式化为 ，显然恒成立， 当且仅当 （即 ）时取等号， 当 时，在 （即 ）处，左边为 ，右边为 ，不等式不成立， 所以实数 的取值范围为. 【例6】（2025·江西·模拟预测）已知函数. (1)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，记函数的最大值为，证明：.（参考数据：） 【答案】(1)（或） (2)证明见解析 【分析】（1）先分离参数得：，设，求函数的最小值即可. （2）利用导数讨论函数的单调性，得出的最大值，构造函数，用导数分析函数单调性，可得即可. 【详解】（1）由，得， 令，则， 设，， 则，因为，所以. 所以在单调递增， 所以. 所以时，，可知， 所以在上单调递减， 所以， 故（或）. （2）由可知，的定义域为， 设， ，所以在上单调递减， ， 存在，使得，即， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以在处取得唯一的极大值，也是最大值，. 所以， 令， 则在区间上单调递增， 故， 所以. 【变式1】（2024·宁夏银川·模拟预测）已知，函数恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】D 【分析】由题意函数恒成立，可得到为正奇数，讨论的范围，参变分离转化成恒成立问题，定义新函数求导求最小值，从而得到的最大值. 【详解】当为正偶数时，当时，，不合题意，所以为正奇数， 则当时，恒成立，只需研究时，恒成立即可， 当时，成立，则当时，，因为此时，所以恒成立. 当时，恒成立， 设，则， 令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，又因为为正奇数， 所以的最大值为7. 故选：D 【变式2】（2024·江西·模拟预测）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用参变分离可得，然后构造函数，利用导数求函数的最值即得. 【详解】因为关于的不等式在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则， 令，则， 易得在上单调递增， 又， 所以存在，使得，即， 则， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故， 所以在上恒成立， 所以在区间上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】本题的关键是利用参变分离，再运用函数的思想研究不等式，并结合导数研究函数的单调性与最值. 【变式3】（2026·河北保定·三模）已知函数． (1)当时恒成立，求实数的取值范围； (2)若对于任意的，存在使得成立，求实数的值； (3)若有三个不同的零点，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析． 【分析】(1)根据列出不等式，分离参数，利用恒成立，则，求导判断的单调性和最值进行计算的取值范围； (2)根据题意分析，对于任意的，存在使得成立，可化为两个函数在定义域为上的值域包含问题，通过讨论的取值范围判断是否符合题意，从而确定的取值； (3)含参函数零点问题可以通过分离参数转化为两个函数图象的交点问题，通过(1)的分析，可确定三个根的取值范围，从而进行证明． 【详解】（1）因为当时恒成立： 当时，恒成立； 当，不等式恒成立等价于不等式恒成立； 则； 令，则； 令，则； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故； 故a的取值范围为． （2）因为，令； 即对任意的，存在，使得， 即在上的值域包含在上的值域； 因为，，故； 当时，，单调递减， 则的值域为；的值域为， 因为的最大值等于，因此不可能属于的值域， 故在上的值域不可能包含在上的值域，舍去； 当时，，单调递增，则的值域为； 的值域为，则， 故 且 ，解得，故； 当时，令，解得； 当，，单调递增； 当，，单调递减； 故，， 此时的值域无法包含的值域，舍去； 综上，． （3）证明：由(1)可知，有三个不同的零点等价于与有三个不同的交点； ，求导得：； 当时，，单调递增，； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增；；则； 设，则三个零点满足，， 则：对于：，，， 故； 则：对于：，，则，故， 因为，故； 令，则，令，求的最大值： ， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，故； 对于：需证； 因为，可得：，， 作差可得，则； 要证，即证，即 ； 令，则，即证， 即证时，； 令，则， 故在时单调递减，故，故； 综上：． 【点睛】对于含参的问题，常采用分离参数的方法，构造新函数，通过求导研究新函数的性质，从而解决问题． 【题型三】导数与存在性问题 【例7】（2026·湖北·模拟预测）已知，函数，若存在值，使得对任意成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求，令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，构造函数，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值. 【详解】， ， 令，， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 当时，， 当时，，画出大致图像如下：   当时，与仅有一个交点， 令，则，且， 当时，，则，单调递增， 当时，，则，单调递减， 为的极大值点，故存在唯一的极值点； ，此时，， ， ， ， 令，， 若存在a，使得对任意成立， 等价于存在，使得，即， ，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，故， 实数b的取值范围，的最小值为. 故选：D 【例8】（2025·陕西西安·模拟预测）若对于，都，使得成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】对已知等式进行变形，根据条件得出的值域是的值域的子集，进而得到关于的不等式，通过构造函数并分析其单调性来求解的取值范围. 【详解】,即, 对于，总等式成立， 即的值域是的值域子集． 而函数在上时，， 在恒成立即可． |,或. 令, . 在单增，且, 在递减，递增， . ②令,, 令,, 令,, 函数在递减，递增， , , 在递增， 不恒成立． 综上：. 故答案为：. 【例9】已知函数，为的导函数. (1)讨论的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求得，设，求得，分和，两种情况讨论，结合函数的单调性和极值的定义，即可求解； （2）根据题意转化为存在，使得，构造函数，求得，分、和，结合函数的单调性和极值、最值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数， 可得函数的定义域为，且， 设，则， ①当时，可得，所以在上单调递增，所以没有极值； ②当时，若，则，在上单调递减， 若，则，在上单调递增， 所以在处取得极小值，且极小值为，在上没有极大值， 综上，当时，没有极值；当时，的极小值为，无极大值. （2）由题意知，存在，使得， 即存在，使得， 构造函数，则， 当，即时，在上恒成立，单调递增， 所以，可得，与矛盾，不满足题意； 当，即时，若，则，单调递减， 若，则，单调递增，此时， 由，可得，所以， 因为，所以不等式不成立； 当，即时，在上恒成立，单调递减， 所以，可得，满足题意. 综上，实数a的取值范围为. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 【变式1】（2024·四川·模拟预测）已知 ，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】先用导数证明不等式，然后对和分类讨论，即可得出结果. 【详解】设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，故对任意有，即. 一方面，当时，由于，故存在使得成立； 另一方面，当时，由于对任意都有 （这里用到，，） ， 所以对任意都有. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：对于求取值范围问题，本质上就是要确定一个集合，使得命题成立的充要条件是参数属于该集合. 故本题中我们从两个方面入手，证明了存在使得的充要条件是，即可解决问题. 【变式2】（2025·广东广州·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当时，函数存在唯一的极值点； (3)若存在，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）只需求得，即可得解； （2）只需证明当时，存在唯一的变号零点，分离参数，转换为函数图象交点问题即可； （3）存在，使得成立，等价于，利用导数分析函数单调性，进一步求得最值即可得解. 【详解】（1）当时，，所以，切点为． 因为，所以切线斜率． 所以切线方程为，即． （2）因为，所以； 令，得． 要证明当时，函数存在唯一的极值点， 即证明当时，存在唯一的变号零点， 即证明当时，直线与函数的图象只有一个交点． 令，则．令，得． 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 因为当时，；；当时，； 当时，； 当时，．画出的大致图象如下： 所以当时，直线与函数的图象只有一个交点． 由上可知，当时，函数存在唯一的极值点． （3）对任意成立，等价于． 由（2）可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点． 令，则，且， 当时，，则，在上单调递减； 当时，，则，在上单调递增． 所以当时， 有唯一的极小值． 所以，且． 所以， 存在，使得成立，等价于． 设，则． 因为， 当时，，在单调递增；当时，，在单调递减． 所以． 所以，所以实数b的取值范围是． 【变式3】（2026·浙江台州·二模）已知，函数. (1)当时，求函数的极小值； (2)证明：当时，对任意，，都有； (3)若存在，，，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数研究函数的极小值，即可得； （2）首先应用导数确定为增函数，再得到为增函数，利用单调性即可证明； （3）设，，从而得到能成立，利用导数及分析法求右侧的最小值，即可得. 【详解】（1）由，得. 令，解得，， 当时，；当时，； 当时，. 所以在、上单调递增，在上单调递减， 因此，的极小值为； （2）当时，，其中时取等号， 所以为增函数， 对任意的，，不妨设，则， 又， 所以为增函数，得，即， 故； （3）由题意，不妨设，， 因为，所以， 整理得，， 令，，. ①当时，， 此时. ②当时，令，解得， 因此，在上单调递减，在上单调递增，故， 法一：因为， 又因为，得，即 所以， 记，， 则， 因为，所以， 即， 因此，当时，， 又， 综上，， 法二：求最小值的第二种解法. 令，因为，，所以， 下证：， 因为 ， 只需证：， 只需证：， 令，则， 因为， 所以，即恒成立， 因此，， 令，则，对于，， 所以，当且仅当时，. 所以a的取值范围是. 【解题大招01】恒成立最值判定技巧 核心口诀：恒成立问题，要求区间内全部满足，取最严苛最值 万能公式： 【例1】已知 ， 恒成立，求实数 的取值范围。 解析：由恒成立技巧可得： 求导：，令 ，得 函数单调递减， 函数单调递增 极小值 ，端点值 故 ，得 取值范围： 【解题大招02】存在性最值判定技巧 核心口诀：存在性问题，只需区间内局部满足，取最宽松最值 万能公式： 【例2】已知 ，使得 成立，求 的取值范围。 解析：由存在性技巧可得： 求导：，极值点 故 ，取值范围： 【解题大招03】分离参数秒杀技巧 技巧精髓：参数单独分离，转化为无参函数求最值，规避复杂分类讨论，适配80%基础、中档题型 解题步骤：移项分离参数→构造单变量函数→导数求最值→锁定参数范围 【例3】， 恒成立，求 的取值范围。 解析：由 ，分离参数得： 令 ，则 求导： 令 ，得 ，，函数递减；，，函数递增 故 【解题大招04】含参分类讨论技巧 技巧精髓：参数无法分离时，按「参数正负→极值点位置→区间范围」有序讨论，不重不漏 【例4】，， 恒成立，求 的取值范围。 解析：由 ，，可辅助验证分类结果 求导： ① 时，， 在 单调递增 ② 时，，，不满足恒成立 综上： 【解题大招05】差值构造证明技巧 技巧精髓：不等式恒成立证明，统一构造差值函数 ，转化为证明最值大于等于0 【例5】证明： 时， 恒成立。 证明：构造差值函数： 求导： 在 上单调递增 即 ，原不等式得证。 【解题大招06】双变量混搭秒杀技巧 技巧精髓：熟记四大固定模型，无需临场推导，直接匹配最值关系 四大模型： 【例6】，，，使 ，验证条件。 解析：匹配模型： 单调递增， 单调递增， ，条件成立。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2024·云南昆明·一模）“曲线恒在直线的上方”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得,设，利用导数求出函数的最小值，令最小值大于零，得出的取值范围，再进行判断即可. 【详解】由曲线恒在直线上方，可得， 设，则恒成立， 因为，所以在R上单调递增，且当时，， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值即最小值， 令，得. 所以“曲线恒在直线的上方”的充要条件是，故A错误； 对B：是的既不充分也不必要条件，故B错误； 对C：由可推出，但反之不成立，故C正确； 对D：是的既不充分也不必要条件，故D错误； 故选：C 2．（2026·广东佛山·模拟预测）若恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在进行两边取对数和换元法化简后，再通过求导求出函数极值来判断的范围. 【详解】因为，当时，能够得出. 设，，那么得到，. 设，. 因为，， ， 所以在上单调递增，上单调递减，最大值为. 因此. 若，对于任意恒成立. 若，，所以对于任意恒成立. 综上所述，. 二、多选题 3．（2025·江西新余·模拟预测）已知不等式恒成立，则实数k的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．1 D． 【答案】ACD 【分析】由题知不等式恒成立，过点作曲线的切线，求出两条切线斜率即可得解. 【详解】 由题知，不等式恒成立，设，， 即直线恒在函数图象的上方，直线恒过点，，当时，，当时，， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴当时，，，当时，， 在同一坐标系中作出函数与直线的图象， 设直线与函数的图象相切时切点为，，解得或； ∴当直线与函数的图象相切时切线斜率为2或，由图知，， 故选：ACD． 三、填空题 4．（2026·四川成都·二模）函数．若在区间上恒成立，则整数的最小值是__________． 【答案】 【分析】利用特值法判断成立的必要条件，再根据导数判断函数单调性，即可证明其充分性. 【详解】由，要使在区间上恒成立，则， 当时，， 此时在上恒成立， 故在区间上单调递增， 此时，也即在上恒成立， 故整数的最小值为． 5．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知函数．若对任意恒成立，则实数的值为_____ 【答案】1 【分析】先将不等式整理，构造函数，通过导数分析其单调性，分和讨论；再构造，求导分析其最值，得到. 【详解】函数，所以对任意恒成立， 所以恒成立，所以恒成立， 令，所以， 当时，，单调递增，且， 所以，，不满足题意； 当时，，单调递增，，单调递减， 所以当时，成立， 令，， 当单调递减，当，单调递增， 所以， 所以当时，满足成立，则实数的值为. 四、解答题 6．（2026·甘肃·模拟预测）已知函数，其导函数为. (1)当时，求函数的值域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过连续求导来判断导函数的单调性，进而找出它的最小值，从而确定整个导函数的值域； （2）采用分离参数法构造出一个新的函数，然后通过多次求导分析其导数的符号，证明该新函数在给定区间内单调递增，最终利用端点处的最大值来确定参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则. 令，则. 令，则， 所以在上单调递增，且. 所以时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 所以，所以的值域为. （2）当时，，则恒成立，所以. 当时，由，得. 令，则. 令，则. 令，则. 令，则. 当时，，当且仅当时，等号成立，故在上单调递减， 又，所以，故在上单调递减. 因为， 所以存在，使得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 由于，于是当时，，此时， 所以在上单调递增，在上的最大值为， 所以， 综上，实数的取值范围是. 7．（2026·重庆·模拟预测）设函数（）满足恒成立. (1)求的值； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由于，恒成立即恒成立，，从而得到(必要条件)，然后再验证当时，通过导数求得函数最小值，再证明（充分条件）； （2）利用第一问可知，把不等式转化为证明不等式. 【详解】（1）由于，所以，恒成立即恒成立，处取最小值， ，故由（必要条件）； 验证充分性：当时，；令，得， 令，得，令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 故，即恒成立. 综上所述， （2）由（1）知恒成立，故； 又 ， 所以，， 故，即. 8．（2026·山东潍坊·模拟预测）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若存在，对任意恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）借助导数计算即可得； （2）令，，借助导数计算可得该函数单调递减，则，结合的范围即可得解. 【详解】（1）由题意可知，， 令，得 令，得，令，得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）令，可得， 令，，因为，所以， 所以在单调递减， 要使得对任意的恒成立， 所以，即， 因为存在实数，使得成立， 所以，即， 所以的最大值为. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·河北·一模）已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原式转化为，以此构造函数，由题意得，参变分离后可得，由导数计算的最小值即可求解. 【详解】由题意得，即， 设，则在上单调递增， 即上恒成立， 则恒成立，即， 设，则，令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以. 二、多选题 2．（2025·湖南岳阳·二模）已知不等式在上恒成立（当且仅当时等号成立），下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】将替换为即可判断A，根据和，取即可求解B，取得，即可相加求解C，利用放缩法即可求解D. 【详解】对于A，将替换为，则，所以，所以A正确； 对于B，由A可得，故，又由题设得， 故，即，故B正确； 对于C，由A令得， 即，所以C错误； 对于D， ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 3．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据恒成立，构造函数，求解导数，判断单调性，求出函数的最值即可. 【详解】原不等式等价于恒成立， 设，，因为，所以， 令，，为增函数， 又，，所以存在唯一，使得， 即，. 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以的最小值为. 实数的取值范围为. 故答案为： 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）若恒成立，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用换元法，结合余弦函数的最值性质、任意性的定义，通过构造函数，利用导数研究函数的最值即可． 【详解】易知， 令，则， 所以．当时，， 当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 由，得函数的最小值为， 因为，所以． 所以实数a的取值范围为. 四、解答题 5．（2026·山东滨州·二模）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，根据导数求得函数，结合题意可得成立，令，求导，根据导数计算即可求解. 【详解】（1）若，则，， 则，， 所以过点的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数有最小值，即， 若存在，使，则成立， 即，即， 令， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数有最小值，即， 所以在区间恒成立， 所以函数在区间上单调递增， 因为， 所以当 时， 成立，故的取值范围为. 6．已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若对任意，都有恒成立，求整数a的最大值. 【答案】（1）的极大值为，无极小值；（2）4. 【分析】（1）将代入，先求导，求出导数的零点，结合导数正负判断原函数增减性即可得到答案. （2）由题意分离参数得，设，则所求问题转化为求，求出，结合零点存在定理，得出函数的单调性，得出其最值，再得出其范围，即可求出的最小整数； 【详解】（1）当时，，定义域为 ，注意到 当时，单调递增 当时，单调递减 ∴的单调递增区间为，递减区间为 在时取得极大值且极大值为，无极小值. （2）原不等式恒成立 变形有 即在恒成立. 设原问题等价于 ，令   则，在单调递增 由零点存在定理有在存使即 当时，单调递减 当时，单调递增 ，利用   ，的最大值为4. 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数研究函数增减性，分离参数法和构造函数法求解存在性问题，解答本题的关键是由的导数得出单调性，进一步得出其最值，利用 ，可得，得出答案，属于难题. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·四川绵阳·二模）已知对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】记，由，可知只要时恒成立即可，从而将问题转化为在恒成立， 令，结合导数求出的最值即可求解. 【详解】原不等式等价于，记， 注意到，这说明只要时，则当时也有. 故下只考虑时的情况，要使， 只需在恒成立， 令，. 因为，故，经验证，满足题意. 故选：D 二、填空题 2．（2026·云南昆明·模拟预测）已知关于x的不等式恒成立，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】先利用导数分析函数单调性，由不等式恒成立条件推导出参数的约束关系，再通过指数与对数的互化，将目标表达式转化为单变量二次函数，最后利用二次函数的性质求出最小值. 【详解】设 ，，原不等式恒成立，等价于 ， 则， 若 ，则 ， 在 上单调递减， 当 时，，不满足 ，舍去； 若 ，令 ，得 ， 当 时，， 单调递减； 当 时，， 单调递增， 因此， 在 处取得最小值： ， 所以 ，即 ，则， 当时，，; 当 时，两边同乘 ，可得，此时 ，无最小值； 当 时，两边同乘 ，可得， 设 ，，则， 当 时，，， 综上可得， 的最小值为. 三、解答题 3．（2026·陕西商洛·二模）已知函数，其中． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； (3)若R，对任意的恒成立，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导得出斜率并用点斜式即可求解； （2）可以利用反证法把存在性问题转化为恒成立问题分离参数再取补集即可求答案； （3）利用（2）判断导函数零点所在区间从而判断原函数单调性 【详解】（1）当时，，函数定义域为 故， 又，所以切线方程为. （2）由题意得 若不存在单调增区间，则恒成立，即恒成立， 令， 当时，当时 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以即 因此所求实数的取值范围为. （3）由（2）知 所以在单调递减，又，， 所以必存在正数，使得，即 由（2）知当时，即，当时，即， 当时，即， 由上可知在单调递增，在单调递减， 所以， 所以，即， 令 因为 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以， 所以的最小值为 4．（2024·辽宁·一模）已知函数，（其中a，b为实数，且） (1)当时，恒成立，求b； (2)当时，函数有两个不同的零点，求a的最大整数值．（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用导数分类讨论的最大值； （2）分离常数转化为关于的方程有两个不同的解，设，利用导数求函数的极大值，则， 当时，设，验证有两解即可. 【详解】（1）设，则其定义域为， 当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，对于恒成立， 即恒成立，所以合理． 当时，令，即， 解得（舍）， 当时，，单调递增； 又有，所以当时，，不合题意． 当时，令，即， 解得（舍）， 当时，，单调递减； 又有，所以当时，，不合题意． 综上所述，． （2）由题意，方程有两个不同的解， 即关于的方程有两个不同的解， 设，则， 设，由可知， 所以在上单调递减， 又，， 所以存在使得，即，所以， 所以当时，，即，进而函数单调递增； 当时，，即，进而函数单调递减， 所以函数的极大值为 要使得关于的方程有两个不同的解，则， 当时，设， 则，可知在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以有两个不同的零点，符合题意， 所以的最大整数值为． 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 5．（2026·广东广州·一模）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有且仅有1个零点，求的值； (3)若存在，使得对任意恒成立，证明：． 【答案】(1)的单调递增区间为 ，单调递减区间为. (2) (3)证明见解析； 【分析】（1）先求定义域，再对函数求导，利用导数即可得到单调区间； （2）由有且仅有1个零点，分离参数得到有且仅有1个解，令， 利用导数得到的单调性和最小值，所以. （3）由对任意恒成立，得到，则只需证明即可，利用导数得到最大值为.因此，再令，得到 时取得最大值，因此，即，故得证. 【详解】（1）当时，，定义域为， 求导得到， 令，则当时， 所以在内单调递减，且， 即在内单调递减，且， 所以当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 综上所述，单调递增区间为 ，单调递减区间为. （2）因为有且仅有1个零点， 所以方程有且仅有1个解， 即有且仅有1个解， 令， ， 则， 令，则， 所以在区间 上单调递增， 又因为 ， 所以当 时，，即，单调递减； 当 时，，即，单调递增； 所以函数在处取得极小值也是最小值， 当时，，时，， 因为有且仅有1个解， 所以. （3）因为对任意恒成立， 所以，即， 因此， 要证，只需证明即可， 对函数求导得到， 令，则， 所以在区间单调递减， 即在区间单调递减， 存在唯一极大值点，满足，即， 在内函数单调递增， 内函数单调递减， 所以当时取得极大值也是最大值 . 因此， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在时取得最大值， 因此， 所以，所以， 故得证. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲导数与恒成立、存在性问题 （知识清单+3典例精讲+6方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 恒成立最值转化： 解答题 12分 存在性问题： 解答题 12分 分离参数恒成立： 解答题 12分 双变量恒成立，导数求最值定参数范围 解答题 12分 导数单调性、最值证明恒成立不等式 解答题 12分 存在性速解： 填空题 5分 含参恒成立，分类讨论求最值边界 解答题 12分 分离参数： 解答题 12分 恒成立与不等式综合，多区间最值求参数 解答题 12分 恒成立+存在性混搭，双最值嵌套应用 解答题 12分 存在性参数范围： 解答题 12分 存在性参数范围： 解答题 12分 【知识点01】导数恒成立与存在性问题核心定义 1. 恒成立定义（任意性） 若对于区间 内任意一个，不等式 （或 ）始终成立，则称该不等式在区间 上恒成立。符号语言：。 2. 存在性（能成立/有解）定义 若区间 内至少存在一个，使得不等式 （或 ）成立，则称该不等式在区间 上能成立。符号语言：。 【例1】判断命题：① ；② 的真假。 【知识点02】恒成立问题等价转化核心公式 已知函数 在区间 上可导、存在最值，高考通用转化结论： 不等式对所有自变量成立，只需函数最苛刻的最值满足条件：大于等于恒成立看最小值，小于等于恒成立看最大值。 【例2】已知 ，，若 恒成立，求 的取值范围。 【知识点03】存在性（能成立）问题等价转化核心公式 存在性问题与恒成立问题最值相反，是高考高频易错点： 核心解读 只需区间内有一个自变量满足不等式即可，大于等于看最大值，小于等于看最小值。 【例3】已知 ，，若 使得 成立，求 范围。 【知识点04】分离参数法核心原理 1. 原理定义 将含参不等式 变形为「参数单独在一侧，函数在另一侧」的形式，将参数范围问题转化为已知函数的最值问题。 2. 标准结论 在 上恒成立 在 上恒成立 在 上能成立 在 上能成立 【例4】若 ， 恒成立，求 的取值范围。 【知识点05】含参恒成立分类讨论核心依据 1. 适用场景 参数无法完全分离、分离后函数复杂、出现分式分母含参等情况，必须采用分类讨论。 2. 高考标准讨论顺序 ① 一次项、常数项参数符号；② 二次函数开口方向；③ 判别式正负；④ 极值点零点大小；⑤ 零点与区间位置关系。 3. 核心解题逻辑 分类讨论参数范围 确定函数单调性 求解最值 验证恒成立条件 合并有效参数范围 【例5】已知 ， 恒成立，求 范围。 【知识点06】双变量恒成立、存在性混搭核心知识点 设函数 分别在定义域 上有最值，四类核心等价关系（高考必考）： 1. 2. 3. 4. 【例6】已知 ，；，，满足 ，验证条件。 【知识点07】无参数不等式恒成立证明知识点 1. 核心思路 无参数不等式证明 ，核心为构造差值函数。 2. 标准步骤 ① 构造 ；② 求导分析单调性；③ 求 区间最值；④ 证明 。 【例7】证明： 时，。 【题型一】利用导数研究不等式恒成立问题 【例1】（2024·陕西·模拟预测），有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（多选）（2025·江苏苏州·三模）已知，则下列说法正确的是（    ） A．时，有唯一的零点 B．时，存在极小值 C．时，存在极大值 D．若，则的范围为 【例3】（2026·陕西咸阳·二模）已知，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为________. 【变式1】已知函数，，若，恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知函数，若，，则a的取值范围是_________. 【变式3】（2026·湖南长沙·二模）已知函数. (1)若曲线在处的切线斜率为1，求实数a的值； (2)若在定义域上恒成立，求实数a的取值范围. 【题型二】分离参数法 【例4】（2026·河南·三模）已知关于的不等式对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【例5】（2026·陕西西安·模拟预测）若不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 【例6】（2025·江西·模拟预测）已知函数. (1)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，记函数的最大值为，证明：.（参考数据：） 【变式1】（2024·宁夏银川·模拟预测）已知，函数恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 【变式2】（2024·江西·模拟预测）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________. 【变式3】（2026·河北保定·三模）已知函数． (1)当时恒成立，求实数的取值范围； (2)若对于任意的，存在使得成立，求实数的值； (3)若有三个不同的零点，证明：． 【题型三】导数与存在性问题 【例7】（2026·湖北·模拟预测）已知，函数，若存在值，使得对任意成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例8】（2025·陕西西安·模拟预测）若对于，都，使得成立，则实数的取值范围是______． 【例9】已知函数，为的导函数. (1)讨论的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围. 【变式1】（2024·四川·模拟预测）已知 ，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_________. 【变式2】（2025·广东广州·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当时，函数存在唯一的极值点； (3)若存在，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 【变式3】（2026·浙江台州·二模）已知，函数. (1)当时，求函数的极小值； (2)证明：当时，对任意，，都有； (3)若存在，，，使得成立，求实数a的取值范围. 【解题大招01】恒成立最值判定技巧 核心口诀：恒成立问题，要求区间内全部满足，取最严苛最值 万能公式： 【例1】已知 ， 恒成立，求实数 的取值范围。 【解题大招02】存在性最值判定技巧 核心口诀：存在性问题，只需区间内局部满足，取最宽松最值 万能公式： 【例2】已知 ，使得 成立，求 的取值范围。 【解题大招03】分离参数秒杀技巧 技巧精髓：参数单独分离，转化为无参函数求最值，规避复杂分类讨论，适配80%基础、中档题型 解题步骤：移项分离参数→构造单变量函数→导数求最值→锁定参数范围 【例3】， 恒成立，求 的取值范围。 【解题大招04】含参分类讨论技巧 技巧精髓：参数无法分离时，按「参数正负→极值点位置→区间范围」有序讨论，不重不漏 【例4】，， 恒成立，求 的取值范围。 【解题大招05】差值构造证明技巧 技巧精髓：不等式恒成立证明，统一构造差值函数 ，转化为证明最值大于等于0 【例5】证明： 时， 恒成立。 【解题大招06】双变量混搭秒杀技巧 技巧精髓：熟记四大固定模型，无需临场推导，直接匹配最值关系 四大模型： 【例6】，，，使 ，验证条件。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2024·云南昆明·一模）“曲线恒在直线的上方”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东佛山·模拟预测）若恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2025·江西新余·模拟预测）已知不等式恒成立，则实数k的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．1 D． 三、填空题 4．（2026·四川成都·二模）函数．若在区间上恒成立，则整数的最小值是__________． 5．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知函数．若对任意恒成立，则实数的值为_____ 四、解答题 6．（2026·甘肃·模拟预测）已知函数，其导函数为. (1)当时，求函数的值域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 7．（2026·重庆·模拟预测）设函数（）满足恒成立. (1)求的值； (2)求证：. 8．（2026·山东潍坊·模拟预测）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若存在，对任意恒成立，求实数的最大值. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·河北·一模）已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2025·湖南岳阳·二模）已知不等式在上恒成立（当且仅当时等号成立），下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 3．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为______. 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）若恒成立，则实数a的取值范围为______． 四、解答题 5．（2026·山东滨州·二模）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围. 6．已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若对任意，都有恒成立，求整数a的最大值. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·四川绵阳·二模）已知对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 2．（2026·云南昆明·模拟预测）已知关于x的不等式恒成立，则的最小值为__________． 三、解答题 3．（2026·陕西商洛·二模）已知函数，其中． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； (3)若R，对任意的恒成立，求的最小值． 4．（2024·辽宁·一模）已知函数，（其中a，b为实数，且） (1)当时，恒成立，求b； (2)当时，函数有两个不同的零点，求a的最大整数值．（参考数据：） 5．（2026·广东广州·一模）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有且仅有1个零点，求的值； (3)若存在，使得对任意恒成立，证明：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $