函数与导数：第14讲 恒成立与存在性 讲义-2027届高考数学一轮复习

恒成立与存在性 函数与导数 · 专题篇 · 能分离就分离，分离不动就构造 一、分离参数法：能甩到一边就先甩 恒成立问题的长相都差不多：一个含参的不等式，要在整段区间上成立，问参数的取值范围。题目花样很多，但主干道只有两条，而走哪条，第一步要问的永远是同一句话 —— 参数能不能干净地甩到一边。 什么叫「干净地甩到一边」？就是不等式能整理成「参数单独在一侧、另一侧只含 」的样子。做到这一点，问题就活了。因为参数是不动的常数，而另一侧的式子随 变化；要求它「对区间里的一切 都成立」，等于要求这个常数不超过右侧所有取值中最小的那个。于是恒成立问题一下变成求函数最值的问题 —— 这是本讲最要紧的一次转化。 方向千万别记反。 恒成立，要看的是 的最小值； 恒成立，看的是 的最大值。两句话只差一个「大」一个「小」，结论却完全相反。记不住时就想： 要处处不超过 ，那它得比 最小的时候还小。 右侧那个函数的最值怎么求？还是老三样：求导、定单调、看端点。这里有一个直接决定答案写法的细节 —— 区间是闭的还是开的。区间闭，最值取得到，答案写「」；区间开，最值取不到，答案只能写严格小于。不少题的分水岭就在这一处差别上。 分离之前还要先看一眼：除的那个式子恒正吗？同除一个正数，不等号方向不变，可以放心；如果它符号不定，就得按 分段；如果它在区间内部会变成零，那一点还得单独代回去验。这些都对付不了时，就说明参数甩不动，得换整体构造那条路 —— 下一节接着讲。 例1（解答·★★★★☆） 已知函数 ．当 时， 恒成立，求 的取值范围． 【切入点】不等式的两边都带着 ，先把含 的项单独拎出来。由 得，移项：。区间是 ，两边同除正数 不改变不等号方向：。到这里 已经单独在左边，分离成功 —— 接下来只剩求右边那个函数的最小值。 【关键】第一段：把「恒成立」译成「不超过最小值」。记 （）。原命题「 对一切 成立」中， 是不动的常数，右边随 变；要使一个常数处处不超过它，当且仅当这个常数不超过它的最小值。所以原命题等价于 （）。第二段：求 的最小值。先求导。。再看第二个因子的符号。令 ，则 （），所以 在 上单调递增，，即 。 【关键】第三段：定单调、取最值、下结论。既然 且 ， 的符号就完全由 决定： 时 ， 单调递减； 时 ， 单调递增。所以 在 处取到最小值：。于是 ，即 的取值范围是 。 【易错】三处要留意。第一，同除 之前必须说明 —— 同除负数要变号，这里是正数才可以照除不误。第二， 分解成两个因子后，要先证 再定号；这个不等式是常客，证明只需构造 求一次导，但不能写成「显然」。第三，答案的端点要取：区间是开区间 ，但 本身在区间内， 是取得到的，所以写「」而不是严格小于 —— 开区间丢的是端点，不是内点。 【答案】 例2（解答·★★★★★） 已知函数 ．若对任意的 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围． 【切入点】还是先甩参数。 两边同乘正数 ：，即 。 已经单独在左边。与上一题不同的是，这次 在大于号这一侧，所以要找的是右边那个函数的最大值。 【关键】第一段：把「恒成立」译成「大于最大值」。记 （）。「 对一切 成立」等价于（）。道理与上一题对称： 要处处大于 ，就得大于 最大的那一次取值。第二段：求 的最大值。。所以 时 ，， 递增； 时 ，， 递减。于是 在 处取到最大值 。 【关键】第三段：把严格性交代清楚。由上面的单调性， 时都有 ，也就是说 的最大值 只在 这一处取到。题目要求的是 ，即 对一切 成立 —— 包括 那一点。若 ，则 处 ，不满足严格大于，故 不行。所以只能是 。 【易错】三处要留意。第一，两边同乘 之前要说明 ：区间本身就是 ，这一点顺手就能交代。第二， 的最大值取得到（在 ），而题目要的是严格不等式，所以 不能等于 —— 这一步不能省，否则会写成 。第三，本题与上一题正好是一对：上一题是「不超过最小值」，本题是「严格大于最大值」，方向与严格性各差了半格，做的时候要逐字对。 【答案】 变式2-1（解答·★★★★★） 已知函数 （），．若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【切入点】条件式里两边都出现了 ，先化简再动手。把 代进：。两边的 正好抵消，整理得 。先化简、能消的先消掉，是这类题的常规起手式。 【关键】第一段：分离参数。把含 的项单独放到一边：。区间是 ，除以正数 不变号：。记 （），则原命题等价于 （）。第二段：求 的最小值。。分子的符号要单独看：记 （），。 时 ，所以 ， 单调递增，。分母 ，故 ， 在 上单调递增。 【关键】第三段：取最小值、下结论。因为 在 上单调递增，最小值在左端点取到：。所以 ，即 的取值范围是 。 【易错】三处要留意。第一，代入之后要先把能消的项消掉再分离 —— 两边的 抵消以后，剩下的式子才是一个规整的「一次参数」不等式。第二， 的分子是 ，它不能直接看出符号，要再求一次导、说明 在 上递增，才能得到 。第三，端点在区间内可取（ 属于 ），所以答案写「」。 【答案】 变式2-2（解答·★★★★★） 已知 （），．若对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【切入点】把 写开：（）。区间是 ，两边同乘正数 ：，即 。分离完成。 【关键】第一段：译成最小值问题。记 （），则原命题等价于 （）。第二段：求 的最小值。。这个式子里既有 又有 ，直接看不出正负，再求一次导：。 时 ，所以 ， 在 上单调递增。于是 ， 在 上单调递增。 【关键】第三段：把题设里的 一起用上。最小值在左端点取到：，所以 。但题目一开始就写明 ，两条一夹：，即 的取值范围是 。 【易错】三处要留意。第一， 里 与 一正一负，不能想当然地说它为正；正路是再求一次导，由 说明 递增，再用 定出符号。第二，答案的左端点是题设给的（），不是分离算出来的 —— 这类「题设有范围、分离又有范围」的题，一定要把两个范围求交。第三，左端点开、右端点闭： 被题设排除， 可以取到。 【答案】 变式2-3（解答·★★★★☆） 已知函数 ，（）．，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【切入点】先把 展开。左边是 ，右边是 。两边的 又抵消了，剩下 ，即 （）。分离完成，而且这次 在大于号这一侧，要找最大值。 【关键】第一段：译成最大值问题。记 （）。原命题是「 对一切 成立」，等价于 超过 的所有取值，即 ；等号能不能取，要看最大值是否真被取到，留到最后再定。第二段：求 的最大值。。记 ，则 。 时两项都非正、且第二项严格为负，所以 ， 在 上单调递减。于是 ，即 ， 在 上单调递减。 【关键】第三段：取最大值、定严格性。最大值在左端点取到：。题目要的是严格小于（），即 对一切 都要成立， 那一点也算在内。若 ，则 处 ，不满足严格大于，故 不行。所以 ，即 的取值范围是 。 【易错】三处要留意。第一，展开之后要发现两个 抵消 —— 这是题目故意设计的，不抵消的话 会同时出现在两边，分离就没法做。第二， 的正负要靠二阶导定： 说明 递减，再由 得到 ；少了「」这一步，只能说 递减，说不出它的符号。第三，最大值恰好在端点 取到，而题目是严格不等式，所以 必须排除，答案是开区间。 【答案】 二、分离时的三道坎：除式变号 / 分式无意义 / 端点取不到 分离参数听着简单，可真正的功夫全在「除」的那一下。同一道题，除得干净就一路顺风，除得毛糙答案就会错一半。这一节把除之前必须过的三道坎说清楚。 第一道坎：除式的符号。同除一个正数，不等号方向不变；同除一个负数，方向反过来。所以动笔之前一定要先看清除式在区间上到底是正是负。能一眼看出符号的（比如 、、 在 上）就顺手交代一句；看不出来的，就先把那个式子单独求导求最小值 —— 只要最小值是个正数，它就恒正，可以放心除。 第二道坎：除式在区间内部为零。如果除式在区间里某一点等于零，那一点根本不能除，而且原式的两边在那里是否成立，得单独代回去验。还有一类更隐蔽的：除式在区间的一个端点是零，比如分母是 而区间从 起 —— 这时候要先把端点拿出来单独看，再对剩下的部分分离。 第三道坎：区间是开的还是闭的。这决定了答案带不带等号。分离之后要求的是最值：最值取得到（在区间内部或闭端点上），答案带等号；最值取不到（只在开端点附近逼近），答案不带等号。不少题的答案就差这半个符号，而这半个符号恰恰是采分点。 如果这三道坎都过不去 —— 除式符号不定、会变号、还会为零，那就说明参数甩不动，硬除只会把自己绕进去。这时候应当果断换路：整体构造、含参求导、分类讨论。这正是下一节要讲的内容。 例3（解答·★★★★★） 已知函数 ．若不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【切入点】先把不等式化简。代入 的定义域是 （因为含 ）。由 得，两边的 与 抵消，剩下 ，即 。参数已经聚成一个因子，只差把它除过去。 【关键】第一段：先看除式的符号（第一道坎）。记 （），。所以 在 上递减、在 上递增，最小值 。除式恒正，可以放心除，且不等号方向不变。第二段：分离并译成最大值问题。两边同除正数 ：。记 （）。因为 要处处不小于 ，所以原命题等价于 。 【关键】第三段：求 的最大值。。分母为正（前面已证 ），，所以 的符号由 决定： 时 ， 时 。所以 在 处取到最大值。第四段：算出最大值。 时 ，，所以。于是 ，即 的取值范围是 。 【易错】三处要留意。第一， 这一句必须写 —— 它同时管两件事：说明可以除，也说明后面 的分母恒正、只需看分子。第二，除式的最小值 是在 处取到的，算完别忘了回头核对一下：把 代入 确实得 。第三，最大值在 处取到，这一点在区间内部，所以答案的端点要取到，写「」。 【答案】 变式3-1（解答·★★★★★） 已知函数 （）．若 恒成立，求 的取值范围． 【切入点】定义域是 。不等式是 。含 的那一项系数是 ，而 在 处变号 —— 除之前必须先分段。另外 时 ，这一项直接消失，也要单独看一看。 【关键】第一段：先把 摘出来。 时左边为 ，对任何实数 都成立，所以 这一点不限制 ，可以单独放过去。第二段： 时 ，同除 不变号。得 。记 （）。。 时 ，所以 ，分母为正，故 ， 在 上单调递增。又分子 为负、分母 为正，所以 恒成立。一个恒负且递增的式子，要 处处不小于它，只能 。 【关键】第三段： 确实不行（必要性）。取 ，因为 ，所以 。再取 ，此时 ，由 得 ，两边取倒数并变号：，即 不成立，与恒成立矛盾。所以只能 。第四段： 时 ，同除负数 ，不等号反向：。 的表达式不变，符号由 决定： 时 ， 时 。所以 在 上递减、在 上递增，最小值 。于是 。第五段：合并。把三段的结论合起来： 且 ，即 ，所以 的取值范围是 。 【易错】四处要留意。第一， 在 处为零，既不能除也不能直接跳过 —— 要先把它单独验一遍（本题恰好自动成立）。第二， 与 两段除的时候，一段除正数、一段除负数，不等号方向正好相反，这是本题最容易写错的地方。第三， 的排除要取一个具体的点：取 是一个可验证的构造，不要只写「显然 不能为负」。第四，最后一段的最小值 在区间内部取到，所以 可以取，写「」。 【答案】 变式3-2（解答·★★★★★） 已知函数 ，．当 时，，求 的取值范围． 【切入点】不等式是 ，区间是 。要分离，除式就是 —— 而 恰好是区间的端点，除式在那里等于零。所以动手之前先把 摘出来。 【关键】第一段： 单独验。代入得 ，对任何实数 都成立，所以 不限制 。第二段： 时同除正数 ，分离参数。得 。记 （），原命题等价于 对一切 成立。 【关键】第三段：证明 。这一步等价于证 ，即 （）。；，；。由 得 ；由 得 。两式相加：，所以 。第四段：说明 。令 ，则 ，所以 在 上单调递增，。于是 ， 单调递增，；进而 单调递增，。所以 ，只要 就有 恒成立。第五段：说明 确实不行。直接看原式的差函数：记 （），。，；而 （上面已证），所以 单调递增，。若 ，则 ；由 在 处连续，存在正数 ，使 时 ，于是 在 上单调递减，，与恒成立矛盾。所以 ，即 的取值范围是 。 【易错】四处要留意。第一，除式 在区间端点为零，所以必须先单独验 ；这一步不做，后面的分离就没有依据。第二， 这一串放缩要用到两个基本不等式 与 ，方向都是把负项往大处放，这样得到的才是下界。第三， 要构造 求导证明，不能写成「显然」。第四，必要性那一段用到了 在端点的值，这是整体构造法的标准动作（求导后先看端点的符号），与「 所以 递增」是配套的，两步缺一不可。 【答案】 变式3-3（解答·★★★★★） 已知函数 ．若 恒成立，求 的取值范围． 【切入点】定义域是 。先把 写成一个指数：。于是 。这里出现了两次 ，很自然想到把它整体换元。 【关键】第一段：换元，并把除式的符号先查清楚。记 （）。，所以 在 上递减、在 上递增，最小值 。于是 ，而且 取遍整个 时， 取遍整个 。第二段：把不等式化成只含 的形式。 就是 ，即 （，除式恒正，可以放心除）。记 （），原命题等价于 （）。 【关键】第三段：求 的最小值。。 时 ，，，所以 ， 在 上单调递增。最小值在左端点取到：。所以 ，即 的取值范围是 。 【易错】三处要留意。第一，换元之后要说明「 的取值范围恰好是 」—— 既要说 ，也要说 里的每个值都取得到（ 连续且两端无界），否则换元前后的不等式不一定等价。第二， 是常用的结论（等价于 ），这里用它来保证除式恒正。第三，换元的好处是把 、 同时消掉，剩下一个只含 的式子；今后遇到「 与 同时出现、指数上又是 」的题，先试试能不能凑出一个公共的整体。 【答案】 例4（解答·★★★★★） 已知函数 （）．对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围． 【切入点】先把不等式整理成「 乘一个因子」的样子。由 得，把含 的两项合起来：，即 。区间是 ，这时 、，所以因子 恒正。 【关键】第一段：除过去，并译成最大值问题。两边同除正数 ，不等号方向不变：。记 （）。 要处处大于 ，故原命题等价于 。第二段：求 的最大值。记分子 ，分母 。，。由商的求导法则：。把分子展开并合并同类项（ 与 两项正好消掉）：分子化简得 。所以 。 【关键】第三段：定出 的符号。分母为正，只需看分子。记 （），，所以 在 上单调递减。又 ，故 时 ， 时 。于是 在 上递增、在 上递减，最大值在 处取到。第四段：算出最大值并定严格性。 时 ，。这个最大值在区间内部取到，而题目要求 严格成立，所以 不行，只能 ，即 的取值范围是 。 【易错】三处要留意。第一，区间是 ，所以 恒正 —— 这一句是「可以除、不用变号」的唯一依据，必须写。（若区间换成 ，这个因子就恒负，除的时候不等号要反过来。）第二， 的分子展开时要把 、 这类项耐心合并，别急着省步骤。第三， 是这道题的支点，它把区间切成两半，直接决定最大值在哪取到。 【答案】 三、参数甩不出去：换元与整体构造 前两节都建立在「参数能甩到一边」这个前提上。可有一类题偏偏不给你这个机会：参数藏在指数或对数的内部，比如 、、；或者不等式两边都带着参数。这时候硬分离，参数会被切碎成好几块，越分越乱。 「甩不出去」其实有两种情形，要分清楚。第一种是真的甩不动：参数被包在指数或对数里面，从外面乘一个系数、加一个函数都碰不到它，只有先取对数或者先取指数，才能把它从里面拽出来。第二种是甩得动但不划算：分离时除的那个式子，在区间端点处恰好为零，商在那一点没有意义；或者除式本身在区间内部有零点，得拆成两段看。这时候求商的最值反而要再做一轮分类讨论，不如换个写法。 对付它们有两条路，先试第一条：换元。把反复出现的那个组合整体换成一个新变量，常见的比如 、、。换元的好处是把指数与对数打包，原来两个函数搅在一起的式子，换完只剩一个新变量。★ 换元时一定要交代两件事：新变量的范围，以及它能不能把原范围取遍 —— 少了这两句，换元前后的不等式不一定等价。 第二条路是整体构造：把含参的式子整个整理成一个函数 ，直接对它求导。求完之后会发现 的符号依赖参数，于是只能分类讨论：按参数的取值把定义域切开，一段一段判断。分类的分界点通常来自「 里含参的那部分什么时候换号」，把它解出来，分界点就出来了。 还有一类需要换个角度看：题目问的不是「恒成立」，而是「有几个极值点」「有几个零点」。这类题的参数往往能解出来 —— 把方程整理成「 等于某个只含 的式子」，于是「有几个点」就变成「水平线 与那条曲线有几个交点」，绕一圈又回到了最值问题。 顺序上有个原则：能分离就先分离，分离不动再构造。因为分离之后只要求一个不含参的函数的最值，干净利落；而整体构造要讨论，讨论就多一分漏掉情形的风险。 例5（解答·★★★★☆） 已知函数 ．若 恒成立，求 的取值范围． 【切入点】不等式是 ，参数 藏在对数里面。分离的思路是先把对数打开：由 两边取指数，得 。这一下 就露出来了：。 【关键】第一段：把题目翻译成最值问题，并说明定义域不用另外操心。记 （），则原命题等价于 对一切 成立，即 。另外要注意 要求 ；但因为 ，由 自动得到 有没有问题 —— 不等式一旦成立，定义域就自动满足。第二段：求 的最小值。。令 ：。两边取对数（都为正）：，即 。 【关键】第三段：说明这个方程有唯一解，且解是 。 时左边 、右边 ，等号成立，所以 是一个解。再看唯一性： 在 上严格递增， 严格递减，一增一减最多交一次，所以解唯一，就是 。于是 在 处变号： 时 ，， 递减； 时 ， 递增。所以 在 处取到最小值 。第四段：下结论。由 得 ，即 的取值范围是 。 【易错】三处要留意。第一，两边取指数之前要确认这是等价变形： 与 在 时等价，而 一旦有意义就保证了 ，所以可以放心取指数。第二， 这个方程解不出来，但不需要解出来 —— 只要知道它有唯一解，并且把解代进去算最小值就行；这里恰好 满足，是题目设计好的。第三，说明唯一性用的是「一增一减」： 递增、 递减，两条曲线最多交一次。这句不能省，否则无法断定 只变号一次。 【答案】 变式5-1（解答·★★★★★） 已知函数 （）．若 有两个极值点，求 的取值范围． 【切入点】「有两个极值点」要翻译成「 在 上有两个变号零点」，而不是「有两个零点」—— 若 在某点为零但两侧同号，那一点并不是极值点。。想把 分离出来：，即 。麻烦在于分母 在 处为零，那一点要单独处理；而且本题要的是零点个数，直接盯着 自己的变化趋势更省事。于是把 整体当成一个新函数来研究。 【关键】第一段：对 再求一次导，定出它的单调性与最小值。记 （），。分母 ，所以 的符号由 决定。第二段：分 与 两种情形。若 ，对一切 都有 ，， 在 上递减。又 靠近 时 很大， 取正值； 很大时 变得很小， 取负值。所以 恰好一个根， 恰好变号一次， 只有一个极值点，不合题意。第三段： 时求出最小值。 时 ， 时 ，所以 在 上递减、在 上递增，在 处取到最小值 。 【关键】第四段：看两端的走向，用最小值定出两个零点的条件。当 从右侧靠近 时， 要多大有多大， 虽然在减小，但压不住 的增大，所以 取正值；当 很大时， 要多大有多大， 很小，所以 也取正值。于是 的图象是一条左端高高翘起、先降到最低点、再升回右上方的曲线。这样一条曲线与 轴恰好交于两点，当且仅当最低点在 轴下方：。因为 ，所以 ，即 ，解得 。第五段：说明 时两个零点确实都是极值点。此时 在 上由正降到负，在 上由负升到正，与 轴的两个交点处 都穿过 轴， 的符号在这两点都改变，所以这两点都是 的极值点。于是 的取值范围是 。 【易错】四处要留意。第一，极值点是导函数的变号零点。若只数零点个数，碰到「零点两侧同号」的情形就会多算，本题虽然恰好都是变号零点，这句判断仍必须写出来。第二， 的情形要单独说明：此时 单调递减， 恰好一个根， 只有一个极值点，一定凑不出两个。第三，把 化成 之前，必须先说明 ，才能两边同除 。第四，结论取开区间： 时 ， 只在 处碰到 轴而不穿过， 不变号，此时没有极值点。 【答案】 变式5-2（解答·★★★★★） 已知函数 ．若不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【切入点】不等式两边都带着 ，直接分离会把 撕成两半，先把含 的项归到一边。原不等式即 ，右边展开是 ，两边的 抵消，得 。因为 ，两边同除 ：。此时两边长得像「同一个东西的一次方」：右边可以写成 ，左边恰好是 。这就是同构的信号，令 ，两边都化成只含 的式子。 【关键】第一段：换元，交代新变量的范围，并说明换元前后等价。记 （）。，所以 在 上递减、在 上递增，最小值 。 靠近 与 很大时 都取到很大的值，中间是连续过渡的，所以 的取值范围是 ，并且其中每个值都能取到。原命题于是等价于： 对一切 成立。 【关键】第二段：分离参数并求最小值，再处理取等的那一点。因为 ，把 除过去： 对一切 成立。记 （），。所以 在 上递减、在 上递增，在 处取到最小值 。要 对一切 成立，就要 小于 的最小值，即 。 这里必须是严格不等号： 是可以取到的，若 ，则在 处 ，不满足「小于 」。另外 处还要求 ，它比 宽松，所以最终由 决定。于是 的取值范围是 。 【易错】四处要留意。第一，化简 用的是 ，这一步只在 时成立。第二，换元后必须交代「 能取遍 」，少了这一句，换元前后的不等式不一定等价。第三， 的范围左端点是闭的： 在 处确实取到，所以 那一点也要代进去看。第四，最后是「 小于 的最小值」而不是「不大于」—— 最小值在 处取到，取等就出问题。 【答案】 变式5-3（解答·★★★★★） 已知函数 （），其中 ，且 ．若 恒成立，求 的取值范围． 【切入点】先把条件式化简。由 得。代进 ：，两边的 抵消，剩下 。所以原题就是： 对一切 恒成立。参数 在指数的指数上，硬分离没有出路，只能两边取对数把它拆下来。 【关键】第一段：取对数，先把 排除。两边都是正数，取自然对数：。若 ，则 ，左边 ；取 时右边 ，不等式不成立。所以必须有 ，此时 。第二段：换元，把两个变量并成一个。记 ，条件式变成 （）。再令 ；因为 ， 取遍 时 也取遍 ，且 。代入得 ，即 对一切 成立。第三段：证明 时确实成立。记 。由常用不等式 得 ，所以 。记 。，，所以 在 上严格递增， 在 即 处取到最小值：。当 时 ，所以 ，从而 ，进而 对一切 成立。 【关键】第四段：证明 时不行。取 （即 ，它在 内）：。当 时， 且 ，所以 ，不满足「对一切 ，」。所以必须有 。第五段：还原成 的范围。由 得 ，即 的取值范围是 。 【易错】四处要留意。第一，两边取对数之前必须确认两边都为正： 恒成立，，所以可以取。第二， 要单独排除，而且要给一个具体的反例点（取 ），不能只说「 所以不行」。第三，放缩 的方向要看清：用它是要把 往小处压，压完还为正，原式自然为正；方向反了就白证。第四，必要性一步取的是 ，而不是去求 的最小值 —— 要否定一个「处处为正」的命题，只需给出一个反例点，这比求最值省力得多。 【答案】 例6（解答·★★★★☆） 已知函数 （）．当 时， 恒成立，求实数 的取值范围． 【切入点】先把不等式整理成「 乘一个含参式子不超过 」的样子。原不等式即 ，两边的 抵消，得 。因为 ，把 挪到右边翻成 ：。直接分离 也能做，但要除 ，而 处分子分母同时为零，商在那一点没有意义；分离出来的商再求一次导，判断符号的工作量也不比现在小。写成上面这个形式，求导后含参的部分是二次式，刚好能分解成两个一次因子的积。 【关键】第一段：造出辅助函数，先看端点的值。记 （），则原命题等价于 对一切 成立。。端点处刚好取到等号，这意味着从 往右， 只要抬头一次就立刻违反要求 —— 这是本题分类讨论的起点。第二段：求导、分解因式，再按两个零点的大小关系分类。，合并同类项得 ，提出 ：，方括号内的二次式分解为 ，所以 。第三段：定出两个零点，说明为什么要分类。 时 ，所以 的符号与积 的符号相反，两个零点分别是 与 。 一变，这两者谁左谁右就变，所以要分情形讨论。 【关键】第四段：第一种情形。若 ，即 ： 时两个因子一负一正，积为负，， 在 上递增，于是 ，不合题意。第五段：第二种情形。若 ，即 ： 在 与 上递减、在 上递增，所以 在 上的最大值只可能是 或 。而 ，于是条件等同于 。，由 得 ，解得 。第六段：第三种情形。若 ，即 ： 在 与 上递减、在 上递增，最大值只可能是 或 。记 （），由 得 。要说明它小于 ，只需证 。记 ，，。 时 ，所以 在 上递增；又 ，所以 时 ， 递增；又 ，所以 时 。于是 ，此时 的最大值就是 ，条件自动满足。第七段：把三种情形合起来。情形 ① 中 ，于是 ，与要求矛盾，已经排除；情形 ② 归结为 ；情形 ③ 中 时 ，，要求同样满足。三种情形合起来，条件等价于 ，即 ，所以 的取值范围是 。 【易错】五处要留意。第一，两边乘 之前要说明它为正，乘完不等号不反向。第二，两个零点是 与 ，谁左谁右随 变，分界点就是 （即 ）与 （即 ），不能凭感觉只讨论一段。第三， 是端点取等，别误以为「端点为零就没问题」；恰恰相反，端点为零意味着右边不允许有任何一点把函数抬上去。第四，情形 ③ 里 要另外证，用辅助函数 求两次导是标准做法，不能一句「显然」带过。第五，答案中的 约等于 ，是个负数，看到不要以为算错了。 【答案】 四、存在性与量词搭配：方向最容易反 前三节处理的都是「对一切 都成立」。这一节把量词换掉，先记住一句话：存在与任意，看的方向正好相反。 「对一切 都有 」要求每一个点都合格，所以要看最差的那个点 —— 也就是 的最小值；「存在 使 」只要求有一个点合格，所以只要最好的那个点合格就够 —— 也就是 的最大值。同样一个不等式，一个看最低点，一个看最高点。判断的办法只有一个：动笔之前把量词原样抄一遍，再问一句「这次是要压住最差的，还是要顶开最好的」。 量词有两层的时候，从里往外剥。「存在 ，使对一切 都有某个式子成立」，先把 当成已知数，问「对 提出了什么要求」；很多时候能把 夹在中间，化成两个只含 的函数之间的双边不等式。于是「存在这样的 」就等价于「 不小于左边那个函数的最大值，同时不大于右边那个函数的最小值」—— 两个外层量词一下合并成一个不等式，这就是这类题的主干。 量词反过来、「对一切 」在最外层时， 反倒成了陪衬。既然每个 都得让结论立住，那么最难缠的那个 也必须立住 —— 找到它就等于找到了全部。难缠的 通常出现在某一项恰好消失、或者某一项被推到极端的时候；把那个值代回去算出最坏情况，双变量问题就缩成了单变量问题。 还有一类题不问「求范围」，而问「这个式子存在最大值还是最小值」。这类题要分两步走：先拿一个特殊的点（多半是曲线与坐标轴的交点）定出所求量的一个上界或者下界，说明它至少被卡住了一头；再构造出一条恰好达到这个界的情形，才算证明确实是最大值或最小值。只做第一步得到的只是上确界，取不到就不能叫最大值 —— 这一点是判分的分水岭。 例7（解答·★★★★☆） 已知函数 ．若存在 ，使 成立，求 的取值范围． 【切入点】先把量词抄一遍：存在 ，使 。「存在」是最好说话的量词 —— 只要一个点合格就算过关，所以要看所有点里最有利的那一头，也就是最大值。把不等式整理成参数与 分离的形式： 即 （）。于是问题变成：存在 使 不超过 ，这等价于 不超过 的最大值。后面的功夫全在求这个最大值上。 【关键】第一段：求 的最大值。，分母 ，所以 的符号由 决定。 时 ， 递增； 时 ， 递减。所以 在 处取到最大值 。 【关键】第二段：把「存在」翻译成最大值，并两头交代清楚。若 ，取 ，则 ，即 ，合格的 确实存在。若 ，则对一切 都有 ，于是 ，一个合格的 也找不到。所以 ，即 的取值范围是 。 【易错】三处要留意。第一，「存在」对应最大值，「恒成立」对应的才是最小值；同样一个 ，两种量词要看的点正好相反。本题若把 当成恒成立去做，会得到 这个错答案。第二， 的最大值在 处取到，这是区间内部的点，不是端点，别去端点上找。第三，结论左端取开： 很小时 是很小的负数，所以 要多么小都可以，没有下界。 【答案】 变式7-1（填空·★★★☆☆） 若存在实数 ，对任意的 都有 恒成立，则实数 的取值范围是______． 【切入点】量词是「存在 」加「任意 」，要从里往外剥。先把不等式整理成关于 的形式：。因为 ，两边同除 得 。这一步顺带交代了一件容易漏的事：右边必须非负，否则这个不等式根本无解。而 随着 增大而变小，所以只要在最大的那个 （也就是 ）处非负就够，这就给出一个隐藏条件 。 【关键】第一段：把「存在 」化成「左边最大值不超过右边最小值」。利用 与 等价（），上式即 ，也就是 。题目要求在 上存在一个这样的 。 要同时不小于左边所有值、不大于右边所有值，所以条件等价于 。到这一步，两层量词就并成了一个不等式。第二段：分别求两头的最大、最小值，再按 与 的大小分情形。记 ：因为 与 都在 上递增，所以 递增，。记 ：，所以 在 上递减、在 上递增，在 处取到最小值 。当 时， 在 上递减，。条件成为 ，即 ，解得 ，所以这一段里的 全部满足。当 时，，条件成为 ，即 ；两边乘 得 ，解得 ，与 合起来是 。 【关键】第三段：把隐藏条件并进来，下结论。第一段得到的 比 宽松（ 约等于 ），所以不起作用。因此 的取值范围是 。 【易错】四处要留意。第一， 中右边必须非负，这一步最容易被跳过；漏掉就会把 的范围算大。第二，去绝对值得到的是双边不等式，要求「 不小于左边的最大值，又不大于右边的最小值」，一头取最大、一头取最小，不要两边都取最大。第三， 的最小值在 处，而 是否落在 里要看 与 的大小，所以必须分 与 讨论。第四， 是递增的，右端点 取得到，所以 的最大值就是 ，不是 靠近 时的值。 【答案】 例8（解答·★★★★★） 已知函数 ，（）．若存在实数 ，使得 在 上恒成立，求实数 的取值范围． 【切入点】先把量词抄清楚：存在实数 ，使得对一切 都有 。两层量词方向相反 —— 前一层只要举出一个 ，后一层却要求每一个 。所以证「存在」只要构造一个出来，证「不存在」才需要说明任意 都办不到。先把 代进去，再把不等式整理干净。 【关键】第一段：整理成「某个函数不超过 」的形式。条件即 对一切 。两边乘 ：。把含 的项归到一边：，即 。记 ，则条件等价于 对一切 成立。第二段： 时确实存在这样的 —— 取 就够了。取 ，则 。因为 ，所以 ，于是 。只要证明 （），就得到 。记 ，，。 在 上递减、在 上递增，所以 的最小值是 。因为 ，所以 ，于是 恒成立， 在 上递增；又 ，所以 时 ，即 。所以 时取 ，原不等式对一切 都成立。 【关键】第三段： 时不存在这样的 。设 。若 ，取 ：此时 ，，所以 ，不合题意。若 ，二次方程 的判别式 ，两根之积为 ，所以它有一正一负两个根，取其中的正根记为 。由 得 ，同样不合题意。所以 时不存在满足条件的 。第四段：两头合并。 时存在， 时不存在，所以 的取值范围是 。 【易错】四处要留意。第一，两层量词要分清：「存在」只要举一个例子，「不存在」才要对任意 说明，两者的工作量差得很远。第二，整理不等式时 的二次项系数从 变成 ，这一步符号最容易丢。第三，证 不能只用 ；本题用两次求导定出 的最小值为正，是最省事的做法。第四， 的反证分成 与 两支，两支取的检验点不一样（一支取 ，一支取二次方程的正根），不能混用。 【答案】 变式8-1（解答·★★★★★） 已知函数 ．若 （）对 恒成立，试问 存在最大值还是最小值？说明你的理由． 【切入点】题目问的不是「求 」，而是「 有没有最大值、有没有最小值」。这类问法要先看清 的身份。 即 ，也就是说 的图象上每一个点都不在直线 的上方。而这条直线与 轴的交点是 —— 正是截距的相反数。问题于是变成：能压住 的图象的那些直线，它们的截距受什么限制。 【关键】第一段：先定出 的符号。若 ，取 且满足 （ 时这样的 一定存在）。此时 ，；这个式子随 变小而变小， 时它已经小于 ，所以 ，与条件 矛盾。所以必须有 。第二段：由 处的条件得到 的上界。，条件在 处给出 ，即 。因为 ，两边同除 （负数，不等号反向）得 。这说明 有上界。 【关键】第三段：说明这个上界能取到，因此是最大值而不是上确界。取 ，，则 。此时直线恰好是 在 处的切线（过同一点、斜率相同），下面验证它确实压住 。把 、 代入条件：，两边除 ，并记 ，左边化为 ，右边化为 ，于是条件等价于 。当 时两边除 ：，而 且 ，成立；当 时两边除 （不等号反向）：，这里若 ，左边非正，显然成立；若 ，因为 ，左边小于 ，也成立；当 时两边都是 。所以这条直线确实使条件成立， 取得到。第四段：再说明没有最小值。任取 ，把 取成 在 上的最大值（这个最大值存在： 很大时 按指数速度下降， 是很负的数时 本身又变成很大的负数），则对一切 都有 ，条件成立。此时 ，于是 （，除后不等号反向）。让 从左侧无限接近 ， 可以要多小有多小，所以 没有最小值。所以 有最大值 ，无最小值。 【易错】四处要留意。第一，说「有最大值」要证两件事：先证上界，再证上界能取到。只证出 只能说明它是上确界，还差一条切线。第二，判断 的符号不能凭感觉： 时直线在 为很负的数那一头会掉到 的下方。第三，验证切线时把 代进去是关键一步，换元之后 处两边同时变成 ，符号才看得清。第四，最后一段说明「没有最小值」用的是「 任意接近 时 可以要多小有多小」，而不是「 变小 就变小」。 【答案】有最大值 ，无最小值 变式8-2（解答·★★★★★） 已知函数 （，）．若对任意 ，对任意 都有 ，求 的取值范围． 【切入点】量词有两个，而且都是全称：「对任意 」「对任意 」。先看 出现在哪里 —— 只在 这一项里，而这一项永远非正，也就是说 只会把 往下压。既然要求「对任意 都成立」，那么压得最轻的那一刻（这一项几乎不起作用的时候）也必须成立。这一句就是本题的突破口。 【关键】第一段：把 这一层量词消化掉。记 ，。因为 取遍全体实数，所以 取遍 ；而 。下面说明条件等价于 「 对一切 成立」。一方面， 且 ，所以 ，只要 就有 ；而且取等号时必须 ，此时 严格小于 ，题目要的「小于」正好满足。另一方面，若某个 处 ：当 时 ，与 无关，直接矛盾；当 时，取 是小于 的正数（这样的 一定存在），则 ，同样矛盾。 【关键】第二段：求 的最大值，收口。，令 得 。 时 ， 递增； 时 ， 递减。所以 在 处取到最大值 。由 得 ，即 ，所以 的取值范围是 。 【易错】四处要留意。第一， 取遍 但不含 ，所以不能写「 取最小值时如何」，要用「取一个足够小的正数」来代替。第二，两个方向的做法不一样：充分性靠 放缩，必要性靠 能取到很小的正数来构造反例。第三， 要算准： 时 ，结果是 。第四，答案取闭区间：、 时 ，但此时 ，仍有 ，所以 取得到。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $ 恒成立与存在性 函数与导数 · 专题篇 · 能分离就分离，分离不动就构造 一、分离参数法：能甩到一边就先甩 恒成立问题的长相都差不多：一个含参的不等式，要在整段区间上成立，问参数的取值范围。题目花样很多，但主干道只有两条，而走哪条，第一步要问的永远是同一句话 —— 参数能不能干净地甩到一边。 什么叫「干净地甩到一边」？就是不等式能整理成「参数单独在一侧、另一侧只含 」的样子。做到这一点，问题就活了。因为参数是不动的常数，而另一侧的式子随 变化；要求它「对区间里的一切 都成立」，等于要求这个常数不超过右侧所有取值中最小的那个。于是恒成立问题一下变成求函数最值的问题 —— 这是本讲最要紧的一次转化。 方向千万别记反。 恒成立，要看的是 的最小值； 恒成立，看的是 的最大值。两句话只差一个「大」一个「小」，结论却完全相反。记不住时就想： 要处处不超过 ，那它得比 最小的时候还小。 右侧那个函数的最值怎么求？还是老三样：求导、定单调、看端点。这里有一个直接决定答案写法的细节 —— 区间是闭的还是开的。区间闭，最值取得到，答案写「」；区间开，最值取不到，答案只能写严格小于。不少题的分水岭就在这一处差别上。 分离之前还要先看一眼：除的那个式子恒正吗？同除一个正数，不等号方向不变，可以放心；如果它符号不定，就得按 分段；如果它在区间内部会变成零，那一点还得单独代回去验。这些都对付不了时，就说明参数甩不动，得换整体构造那条路 —— 下一节接着讲。 例1（解答·★★★★☆） 已知函数 ．当 时， 恒成立，求 的取值范围． 例2（解答·★★★★★） 已知函数 ．若对任意的 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围． 变式2-1（解答·★★★★★） 已知函数 （），．若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 变式2-2（解答·★★★★★） 已知 （），．若对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 变式2-3（解答·★★★★☆） 已知函数 ，（）．，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 二、分离时的三道坎：除式变号 / 分式无意义 / 端点取不到 分离参数听着简单，可真正的功夫全在「除」的那一下。同一道题，除得干净就一路顺风，除得毛糙答案就会错一半。这一节把除之前必须过的三道坎说清楚。 第一道坎：除式的符号。同除一个正数，不等号方向不变；同除一个负数，方向反过来。所以动笔之前一定要先看清除式在区间上到底是正是负。能一眼看出符号的（比如 、、 在 上）就顺手交代一句；看不出来的，就先把那个式子单独求导求最小值 —— 只要最小值是个正数，它就恒正，可以放心除。 第二道坎：除式在区间内部为零。如果除式在区间里某一点等于零，那一点根本不能除，而且原式的两边在那里是否成立，得单独代回去验。还有一类更隐蔽的：除式在区间的一个端点是零，比如分母是 而区间从 起 —— 这时候要先把端点拿出来单独看，再对剩下的部分分离。 第三道坎：区间是开的还是闭的。这决定了答案带不带等号。分离之后要求的是最值：最值取得到（在区间内部或闭端点上），答案带等号；最值取不到（只在开端点附近逼近），答案不带等号。不少题的答案就差这半个符号，而这半个符号恰恰是采分点。 如果这三道坎都过不去 —— 除式符号不定、会变号、还会为零，那就说明参数甩不动，硬除只会把自己绕进去。这时候应当果断换路：整体构造、含参求导、分类讨论。这正是下一节要讲的内容。 例3（解答·★★★★★） 已知函数 ．若不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 变式3-1（解答·★★★★★） 已知函数 （）．若 恒成立，求 的取值范围． 变式3-2（解答·★★★★★） 已知函数 ，．当 时，，求 的取值范围． 变式3-3（解答·★★★★★） 已知函数 ．若 恒成立，求 的取值范围． 例4（解答·★★★★★） 已知函数 （）．对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围． 三、参数甩不出去：换元与整体构造 前两节都建立在「参数能甩到一边」这个前提上。可有一类题偏偏不给你这个机会：参数藏在指数或对数的内部，比如 、、；或者不等式两边都带着参数。这时候硬分离，参数会被切碎成好几块，越分越乱。 「甩不出去」其实有两种情形，要分清楚。第一种是真的甩不动：参数被包在指数或对数里面，从外面乘一个系数、加一个函数都碰不到它，只有先取对数或者先取指数，才能把它从里面拽出来。第二种是甩得动但不划算：分离时除的那个式子，在区间端点处恰好为零，商在那一点没有意义；或者除式本身在区间内部有零点，得拆成两段看。这时候求商的最值反而要再做一轮分类讨论，不如换个写法。 对付它们有两条路，先试第一条：换元。把反复出现的那个组合整体换成一个新变量，常见的比如 、、。换元的好处是把指数与对数打包，原来两个函数搅在一起的式子，换完只剩一个新变量。★ 换元时一定要交代两件事：新变量的范围，以及它能不能把原范围取遍 —— 少了这两句，换元前后的不等式不一定等价。 第二条路是整体构造：把含参的式子整个整理成一个函数 ，直接对它求导。求完之后会发现 的符号依赖参数，于是只能分类讨论：按参数的取值把定义域切开，一段一段判断。分类的分界点通常来自「 里含参的那部分什么时候换号」，把它解出来，分界点就出来了。 还有一类需要换个角度看：题目问的不是「恒成立」，而是「有几个极值点」「有几个零点」。这类题的参数往往能解出来 —— 把方程整理成「 等于某个只含 的式子」，于是「有几个点」就变成「水平线 与那条曲线有几个交点」，绕一圈又回到了最值问题。 顺序上有个原则：能分离就先分离，分离不动再构造。因为分离之后只要求一个不含参的函数的最值，干净利落；而整体构造要讨论，讨论就多一分漏掉情形的风险。 例5（解答·★★★★☆） 已知函数 ．若 恒成立，求 的取值范围． 变式5-1（解答·★★★★★） 已知函数 （）．若 有两个极值点，求 的取值范围． 变式5-2（解答·★★★★★） 已知函数 ．若不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 变式5-3（解答·★★★★★） 已知函数 （），其中 ，且 ．若 恒成立，求 的取值范围． 例6（解答·★★★★☆） 已知函数 （）．当 时， 恒成立，求实数 的取值范围． 四、存在性与量词搭配：方向最容易反 前三节处理的都是「对一切 都成立」。这一节把量词换掉，先记住一句话：存在与任意，看的方向正好相反。 「对一切 都有 」要求每一个点都合格，所以要看最差的那个点 —— 也就是 的最小值；「存在 使 」只要求有一个点合格，所以只要最好的那个点合格就够 —— 也就是 的最大值。同样一个不等式，一个看最低点，一个看最高点。判断的办法只有一个：动笔之前把量词原样抄一遍，再问一句「这次是要压住最差的，还是要顶开最好的」。 量词有两层的时候，从里往外剥。「存在 ，使对一切 都有某个式子成立」，先把 当成已知数，问「对 提出了什么要求」；很多时候能把 夹在中间，化成两个只含 的函数之间的双边不等式。于是「存在这样的 」就等价于「 不小于左边那个函数的最大值，同时不大于右边那个函数的最小值」—— 两个外层量词一下合并成一个不等式，这就是这类题的主干。 量词反过来、「对一切 」在最外层时， 反倒成了陪衬。既然每个 都得让结论立住，那么最难缠的那个 也必须立住 —— 找到它就等于找到了全部。难缠的 通常出现在某一项恰好消失、或者某一项被推到极端的时候；把那个值代回去算出最坏情况，双变量问题就缩成了单变量问题。 还有一类题不问「求范围」，而问「这个式子存在最大值还是最小值」。这类题要分两步走：先拿一个特殊的点（多半是曲线与坐标轴的交点）定出所求量的一个上界或者下界，说明它至少被卡住了一头；再构造出一条恰好达到这个界的情形，才算证明确实是最大值或最小值。只做第一步得到的只是上确界，取不到就不能叫最大值 —— 这一点是判分的分水岭。 例7（解答·★★★★☆） 已知函数 ．若存在 ，使 成立，求 的取值范围． 变式7-1（填空·★★★☆☆） 若存在实数 ，对任意的 都有 恒成立，则实数 的取值范围是______． 例8（解答·★★★★★） 已知函数 ，（）．若存在实数 ，使得 在 上恒成立，求实数 的取值范围． 变式8-1（解答·★★★★★） 已知函数 ．若 （）对 恒成立，试问 存在最大值还是最小值？说明你的理由． 变式8-2（解答·★★★★★） 已知函数 （，）．若对任意 ，对任意 都有 ，求 的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $