第03讲 等式性质与不等式性质 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第03讲 等式性质与不等式性质 第03讲 等式性质与不等式性质 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．掌握等式的基本性质，能对代数式进行恒等变形并整体代换求值； 2．掌握不等式的基本性质，能判断不等式是否一定成立，注意乘除变号的前提； 3．熟练运用作差法比较两式大小，会把差化为可定号的形式（配方、因式分解）； 4．会利用不等式性质求取值范围，能把目标式整体表示为已知条件的组合。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 比较大小（作差法） 选择题、填空题 第1~4题 中 作差后配方或因式分解，化到能定号为止 不等式性质的判断 选择题、多选题 第1~5题、第9~10题 中 负数、零、相反数是三大反例来源 由条件求代数式范围 选择题、填空题 第6~8题、第13~14题 中偏难 把目标式写成已知整体的组合，不单独求分量 恒等变形与整体代换 选择题、填空题 第3~6题 中 抓住和、积、平方关系的相互转化 不等式的证明 解答题 第17~20题 中偏难 作差是万能入口，配方是关键一步 命题规律分析 等式性质与不等式性质是整个代数运算的"地基"，高考中很少单独命题，却融在函数、导数、解析几何的每一步变形里，也是基本不等式、恒成立问题的直接前置。命题规律上，"比较大小"与"判断不等式是否成立"多落在第 1~5 题；"由条件求代数式取值范围"是培优的分水岭，常落在第 6~8 题或第 13~14 题，其陷阱集中在"相减相除无性质"与"先求各自范围再组合导致区间偏宽"。本讲重点训练作差法定号、糖水不等式的方向判断，以及把目标式整体写成已知条件的线性组合，力争把结构变形类问题一次做对。 考点1 等式性质与不等式性质 知识点1 等式的性质 可加性：若 ，则 （移项的依据）；可乘（除）性：若 ，则 ，且 （）。 常用恒等变形：，。 【易错清单】 1．等式两边同除的数不能为 ； 2．由 、 求 时，用 ，别逐项展开。 知识点2 不等式的性质 可加性：（方向不变）；可乘性：、，、（乘负数变号）。 、；两个负数越大越"接近 "，取倒数要变方向。 【易错清单】 1．两条不等式不能相减、不能相除：由 、 推不出 ； 2．乘（除）一个符号不明的字母时方向不定，必须讨论或举反例。 知识点3 比较大小——作差法 四步：作差 → 变形（通分、因式分解、配方）→ 定号 → 结论（正则 ，零则 ，负则 ）。 定号利器：完全平方非负 ；乘积式则逐个因式判符号。 【易错清单】 1．变形不到"能定号"的形式就下结论，是作差法最常见的失败； 2．差的正负依赖参数时要按零点分段讨论，别漏情形。 知识点4 利用不等式性质求取值范围（基础） 同向可加：、，且 （最小减最大、最大减最小）。 线性组合：（）在端点处取得两端值；系数为负时该端点要与另一变量的反端组合。 【易错清单】 1．不能先求 、 各自范围再相减相除，否则区间会偏宽； 2．求 时用"最小减最大、最大减最小"，不能同向相减。 【题型1 等式性质与整体代换】 【例1】已知 ，，则 与 的值分别为（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 【变式1-1】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】已知 （），则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】已知 ，，则下列各式不一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 作差法比较大小】 【例2】已知 ，，且 ，比较 与 的大小。 A．　B．　C．　D．大小关系无法确定 【变式2-1】比较 与 的大小（　　） A．　B．　C．　D．大小关系无法确定 【变式2-2】已知 ，比较 与 的大小（　　） A．　B．　C．　D．大小关系无法确定 【变式2-3】已知 ，比较 与 的大小（　　） A．　B．　C．　D．大小关系无法确定 【题型3 不等式性质的判断（一定成立）】 【例3】已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】下列不等式一定成立的是（　　） A．若 ，则 　B．若 ，则 　C．若 ，则 　D．若 ，则 【变式3-3】若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 利用不等式性质求取值范围】 【例4】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 不等式的证明（作差法）】 【例5】已知 ，求证：。 【变式5-1】已知 ，求证：。 【变式5-2】已知 ，，求证：。 【变式5-3】已知 ，求证：。 【题型6 不等式性质的综合应用】 【例6】已知 ，则 与 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D．无法确定 【变式6-1】已知 ，比较 与 的大小（　　） A．　B．　C．　D．大小关系无法确定 【变式6-2】已知 ，则 、、 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】已知 ，，比较 与 的大小（　　） A．　B．　C．　D．大小关系无法确定 一、单选题 1．（★★）已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）若 ，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）比较 与 的大小（　　） A．　B．　C．　D．大小关系无法确定 5．（★★）已知 ，，则 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知 ，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知实数 满足 ，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知 ，，，则 与 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D．大小关系无法确定 二、多选题 9．（★★）已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 10．（★★）已知 ，则（　　） A．　B．　C．　D． 11．（★★★）已知 ，，则（　　） A． 的取值范围是 　B． 的取值范围是 　C． 的取值范围是 　D． 的取值范围是 12．（★★★）已知 ，，则（　　） A．　B．　C．　D． 三、填空题 13．（★★）已知 ，比较大小： ____________ （填""或""）。 14．（★★）已知 ，，则 的取值范围是____________。 15．（★★★）已知 ，，则 的取值范围是____________。 16．（★★★）已知实数 满足 ，，则 的最大值是____________。 四、解答题 17．（★★）已知 ，用作差法比较下列两式的大小： (1) 与 ； (2) 与 。 18．（★★）已知 ，。 (1) 求 与 的取值范围； (2) 求 的取值范围。 19．（★★）已知 ，用作差法证明：。 20．（★★★）已知 ，，用作差法证明 ，并指出等号成立的条件。 21．（★★★）已知 ，。 (1) 求 的取值范围； (2) 求 的取值范围。 22．（★★★）已知 ，，且 。 (1) 用作差法证明 ； (2) 求 的最小值。 23．（★★★）已知 ，，。 (1) 用作差法证明 ； (2) 证明 ； (3) 若 ，求 的最小值。 24．（★★★）已知 ，，且 。 (1) 求 的最大值； (2) 求 的最小值，并说明等号成立的条件。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第03讲 等式性质与不等式性质 第03讲 等式性质与不等式性质 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．掌握等式的基本性质，能对代数式进行恒等变形并整体代换求值； 2．掌握不等式的基本性质，能判断不等式是否一定成立，注意乘除变号的前提； 3．熟练运用作差法比较两式大小，会把差化为可定号的形式（配方、因式分解）； 4．会利用不等式性质求取值范围，能把目标式整体表示为已知条件的组合。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 比较大小（作差法） 选择题、填空题 第1~4题 中 作差后配方或因式分解，化到能定号为止 不等式性质的判断 选择题、多选题 第1~5题、第9~10题 中 负数、零、相反数是三大反例来源 由条件求代数式范围 选择题、填空题 第6~8题、第13~14题 中偏难 把目标式写成已知整体的组合，不单独求分量 恒等变形与整体代换 选择题、填空题 第3~6题 中 抓住和、积、平方关系的相互转化 不等式的证明 解答题 第17~20题 中偏难 作差是万能入口，配方是关键一步 命题规律分析 等式性质与不等式性质是整个代数运算的"地基"，高考中很少单独命题，却融在函数、导数、解析几何的每一步变形里，也是基本不等式、恒成立问题的直接前置。命题规律上，"比较大小"与"判断不等式是否成立"多落在第 1~5 题；"由条件求代数式取值范围"是培优的分水岭，常落在第 6~8 题或第 13~14 题，其陷阱集中在"相减相除无性质"与"先求各自范围再组合导致区间偏宽"。本讲重点训练作差法定号、糖水不等式的方向判断，以及把目标式整体写成已知条件的线性组合，力争把结构变形类问题一次做对。 考点1 等式性质与不等式性质 知识点1 等式的性质 可加性：若 ，则 （移项的依据）；可乘（除）性：若 ，则 ，且 （）。 常用恒等变形：，。 【易错清单】 1．等式两边同除的数不能为 ； 2．由 、 求 时，用 ，别逐项展开。 知识点2 不等式的性质 可加性：（方向不变）；可乘性：、，、（乘负数变号）。 、；两个负数越大越"接近 "，取倒数要变方向。 【易错清单】 1．两条不等式不能相减、不能相除：由 、 推不出 ； 2．乘（除）一个符号不明的字母时方向不定，必须讨论或举反例。 知识点3 比较大小——作差法 四步：作差 → 变形（通分、因式分解、配方）→ 定号 → 结论（正则 ，零则 ，负则 ）。 定号利器：完全平方非负 ；乘积式则逐个因式判符号。 【易错清单】 1．变形不到"能定号"的形式就下结论，是作差法最常见的失败； 2．差的正负依赖参数时要按零点分段讨论，别漏情形。 知识点4 利用不等式性质求取值范围（基础） 同向可加：、，且 （最小减最大、最大减最小）。 线性组合：（）在端点处取得两端值；系数为负时该端点要与另一变量的反端组合。 【易错清单】 1．不能先求 、 各自范围再相减相除，否则区间会偏宽； 2．求 时用"最小减最大、最大减最小"，不能同向相减。 【题型1 等式性质与整体代换】 【例1】已知 ，，则 与 的值分别为（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 【答案】A 【解题思路】由平方和与和的关系求 ，再用立方和恒等式求 。 【解答过程】由 得 ，所以 ； 由 。故选A。 【多解·巧解】也可整体代换：由 、，直接套 ，不必展开 ，运算量更小。遇到"和、平方和、立方和"的混合，优先找能整体代换的恒等式。 【易错提醒】本题涉及三个整体量 、、，彼此由 联系，先求 再求 ，顺序别乱；注意 （不是 ）。 【变式1-1】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】用 。 【解答过程】。故选C。 【变式1-2】已知 （），则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用 。 【解答过程】。故选A。 【变式1-3】已知 ，，则下列各式不一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】逐项检查等式性质，注意除法要求除数不为 。 【解答过程】A、B、D 分别由可加性、可减性、可乘性成立；C 中当 时无意义，故不一定成立。故选C。 【题型2 作差法比较大小】 【例2】已知 ，，且 ，比较 与 的大小。 A．　B．　C．　D．大小关系无法确定 【答案】A 【解题思路】作差、通分，分子化为完全平方。 【解答过程】作差：。 因为 ，；又 ，所以差大于 ，即 。故选A。 【多解·巧解】更快的思路是用三个平均数的大小关系：（算术平均不小于几何平均、几何平均不小于调和平均），且因 取不到等号，故严格大于。把左、右两式分别与 比较即可秒判。 【易错提醒】作差后一定要通分到"分子分母都能定号"：本题分母 、分子 ，两处都为正才能判定差为正；若只把 看成非负而忘记 ，会误判为"不小于"。 【变式2-1】比较 与 的大小（　　） A．　B．　C．　D．大小关系无法确定 【答案】A 【解题思路】作差后配方定号。 【解答过程】作差：，所以 。故选A。 【变式2-2】已知 ，比较 与 的大小（　　） A．　B．　C．　D．大小关系无法确定 【答案】B 【解题思路】作差后通分，判断分子 的符号。 【解答过程】作差：。 由 得 ，又 ，所以差小于 ，即 。故选B。 【变式2-3】已知 ，比较 与 的大小（　　） A．　B．　C．　D．大小关系无法确定 【答案】A 【解题思路】作差后配成两个完全平方之和。 【解答过程】作差：，所以 ，当且仅当 时取等号。故选A。 【题型3 不等式性质的判断（一定成立）】 【例3】已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】举反例排除，能由性质直接推出的即为答案。 【解答过程】A：，故 ，不成立； B：由 两边平方保序， 成立； C：应为 ，不成立； D：应为 ，不成立。故选B。 【多解·巧解】这类题最省时的入口是举一组简单数试算：取 、，A 中 不成立，C 中 不成立，D 中 不成立，只剩 B。凡是给出 （或类似范围）的判断题，先代一组满足条件的数，可快速排除错误项。 【易错提醒】C 是最常见的错点： 时取倒数应反向，即 。另外 A 项"分子分母同加 "会使真分数变大，方向容易看反。 【变式3-1】已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】乘除负数要变号，加减不受影响， 时要单独考虑。 【解答过程】A：，由 两边同乘 得 ，不成立； B：由 两边同加 得 ，成立； C：若 则 ，不一定大于，不成立； D：应为 ，不成立。故选B。 【变式3-2】下列不等式一定成立的是（　　） A．若 ，则 　B．若 ，则 　C．若 ，则 　D．若 ，则 【答案】B 【解题思路】逐项检验，条件不足时举反例。 【解答过程】A：取 、 不成立； B： 时取倒数反向，成立； C： 符号未知，不成立； D：应为 ，不成立。故选B。 【变式3-3】若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】作差判断 A、B，取倒数判断 C，用指数单调性判断 D。 【解答过程】A：（），成立； B：，不成立； C：应为 ，不成立； D：由 得 ，不成立。故选A。 【题型4 利用不等式性质求取值范围】 【例4】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把目标式整体表示为已知整体 与 的线性组合，再同向可加。 【解答过程】由 （验证：）， 又 得 ，， 同向相加得 ，故 ，取值区间为 。故选A。 【多解·巧解】关键是"整体表达"而不是"分别求范围"：若先由两个条件解出 、 各自的范围，再把两个独立区间组合，会得到偏宽的错误结果（如 D）。正确做法是把目标式写成 这样的已知整体组合，再逐项用同向可加。 【易错提醒】① 最常见的错误是" 与 分别算 、 范围再组合"，导致区间偏宽；② 端点能否取到需检验： 时取 、 可同时成立，故端点取得到。 【变式4-1】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】，两个整体直接相加。 【解答过程】，由 、，同向相加得 。故选A。 【变式4-2】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】仍用 ，最后记得除以 。 【解答过程】由 得 ，又 ，同向相加得 ，两边同除以 得 。故选A。 【变式4-3】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把 表示为 与 的组合：。 【解答过程】（验证：）。 由 得 ，又 ，同向相加得 。故选B。 【题型5 不等式的证明（作差法）】 【例5】已知 ，求证：。 【答案】证明见详解 【解题思路】作差后配方成三个完全平方之和。 【解答过程】证明： 。 所以 ，当且仅当 时取等号。 【多解·巧解】两边同乘 再配方是处理"循环对称型"不等式的固定技巧：，比逐个配对配方更整齐。这个等式在向量、复数模长等场景也会反复出现。 【易错提醒】作差后必须化成"若干个非负项之和"或"能判号的因式乘积"：只写出 而不变形，无法直接判号。 【变式5-1】已知 ，求证：。 【答案】证明见详解 【解题思路】作差后提取公因式 ，剩下的因式为正。 【解答过程】证明： 。 因为 所以 ，又 ，故差大于 ，即 。 【变式5-2】已知 ，，求证：。 【答案】证明见详解 【解题思路】作差后化为 。 【解答过程】证明：， 所以 ，当且仅当 时取等号。 【变式5-3】已知 ，求证：。 【答案】证明见详解 【解题思路】作差后通分，分子可因式分解为完全平方与恒正因式之积。 【解答过程】证明： 。 又 时分母 、因式 ，故差非负，原不等式成立。 【题型6 不等式性质的综合应用】 【例6】已知 ，则 与 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D．无法确定 【答案】B 【解题思路】两式分母同为正，通分后只需比较分子 与 。 【解答过程】因为 ，所以 。 通分：，故只需比较 与 。 因为 ，所以 。故选B。 【多解·巧解】也可换元：令 ，两式分别化为 与 ，作差得 。换元后只剩一个变量，比较更清爽。 【易错提醒】含分式比较大小，先判断分母符号再通分：只有分母为正时，分子的大小顺序才与整体相同；若分母为负，顺序要反过来。本题 保证了分母为正。 【变式6-1】已知 ，比较 与 的大小（　　） A．　B．　C．　D．大小关系无法确定 【答案】A 【解题思路】作差、通分，把分子因式分解成 。 【解答过程】作差：。 而 ， 所以差 ，即前者大于 。故选A。 【变式6-2】已知 ，则 、、 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】三个平均数满足"算术平均不小于几何平均不小于调和平均"。 【解答过程】由 （基本不等式）且 取不到等号，得 ； 由 （即 ，由前面不等式两边同乘 得），且 取不到等号，得 。 所以 。故选A。 【变式6-3】已知 ，，比较 与 的大小（　　） A．　B．　C．　D．大小关系无法确定 【答案】B 【解题思路】作差后通分，分子为 。 【解答过程】作差：。 由 得 ，又 、，所以差小于 ，即 。故选B。 一、单选题 1．（★★）已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】同减一个数方向不变；其余各项举反例。 【解答过程】A：取 、 不成立；B：取 、 不成立；C：由可加性成立；D： 符号未知，取 不成立。故选C。 2．（★★）已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】正数范围内乘方、开方保序；倒数、相反数变序。 【解答过程】A、D 应变向，C 应变向，只有 B 由立方单调递增得到，成立。故选B。 3．（★★）若 ，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】同向可加：最小加最小、最大加最大。 【解答过程】最小 ，最大 ，范围为 。故选A。 4．（★★）比较 与 的大小（　　） A．　B．　C．　D．大小关系无法确定 【答案】B 【解题思路】两式都展开，作差定号。 【解答过程】作差：，所以前者小于后者。故选B。 5．（★★）已知 ，，则 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用 。 【解答过程】。故选A。 6．（★★★）已知 ，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 解成两个已知整体的线性组合 ，再同向相加。 【解答过程】设整体 、，则 、。 解出 、，得 。 由 得 ，又 ，同向相加得 。故选A。 7．（★★★）已知实数 满足 ，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】令 、，把 表示成 ，再在矩形区域内取最值。 【解答过程】令 ，，则 ，，从而 。 因为 、，当 、（即 ，）时 取最小值 ； 当 、（即 ，）时 取最大值 。 由于 在矩形 上连续取值，故 的取值范围是 。故选A。 8．（★★★）已知 ，，，则 与 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D．大小关系无法确定 【答案】A 【解题思路】作差后通分，分子分解出 ，由其正负定号。 【解答过程】作差：。 而 ， 故原式差 。由 、 得 、；又 得 ， 所以差大于 ，即 。故选A。 二、多选题 9．（★★）已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】AB 【解题思路】同减方向不变、乘负数变号；其余举反例。 【解答过程】A 由可加性成立；B 由乘负数变号成立；C 取 、 不成立；D 取 、 不成立。故选AB。 10．（★★）已知 ，则（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】正数范围内乘方、开方保序，倒数变序； 符号未定。 【解答过程】A、B、C 由正数范围内性质成立；D 中 符号未知，取 不成立。故选ABC。 11．（★★★）已知 ，，则（　　） A． 的取值范围是 　B． 的取值范围是 　C． 的取值范围是 　D． 的取值范围是 【答案】ABD 【解题思路】逐项按"同向可加""最小减最大""乘积取四组端点极值"求范围。 【解答过程】A： 最小 ，最大 ，即 ，正确； B： 最小 ，最大 ，即 ，正确； C： 的最小值在 处取到 ，最大值在 处取到 ，故为 ， 并非 ，错误； D： 最小 ，最大 ，即 ，正确。 故选ABD。 12．（★★★）已知 ，，则（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】作差比较分母含参数的两个分式；C 借助 与糖水不等式夹逼。 【解答过程】A：， 由 、 知分子分母均为正，差为正，正确； B：， 由 、 知该差为正，故 ，正确； C：因 ，故 ；又由 A 知 ， 故 ，正确； D：由 A 知 ，故 D 错误。 故选ABC。 三、填空题 13．（★★）已知 ，比较大小： ____________ （填""或""）。 【答案】 【解题思路】正数取倒数要变方向。 【解答过程】由 两边取倒数得 。 14．（★★）已知 ，，则 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】最小减最大、最大减最小。 【解答过程】最小 ，最大 ，范围为 。 15．（★★★）已知 ，，则 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】把 解成 ，再对两个整体分别取端点求和。 【解答过程】设整体 、，则 ，， 于是 。 由 得 ；由 得 。 两式同向相加得 。 16．（★★★）已知实数 满足 ，，则 的最大值是____________。 【答案】 【解题思路】令 、，用 求最大值。 【解答过程】令 ，，则 。 要使 最大，需 最大且 最小，取 、（即 ），此时 。 故 的最大值为 。 四、解答题 17．（★★）已知 ，用作差法比较下列两式的大小： (1) 与 ； (2) 与 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 通分判分子；(2) 把差拆成"整式差 + 分式差"分别定号。 【解答过程】(1) 作差：。由 得分子为正、分母 ，所以差为正，即 。 (2) 作差：。所以 。 【多解·巧解】(2) 可把差拆成两组分别定号：，前者为正，后者化为 也为正，两组同正即得结论，比通分合并更快。"整式部分 + 分式部分"分别判号是处理混合结构差式的常用手法。 【易错提醒】(1) 中不要凭"分子分母同加 分数变大"的印象下结论——那只对"真分数（小于 ）"成立；本题 时 是假分数，正确的判定必须通过作差。 18．（★★）已知 ，。 (1) 求 与 的取值范围； (2) 求 的取值范围。 【答案】(1) ，； (2) 。 【解题思路】同向可加（减）与线性组合；系数为负的项要"反着取端点"。 【解答过程】(1) ：最小 ，最大 ，范围 ； ：最小 ，最大 ，范围 。 (2) ：最小 ，最大 ，范围 。 【多解·巧解】(2) 中含负系数时"反着取端点"： 要取最小，需 取最大；要取最大，需 取最小。把目标式写成 ，正系数项取两端、负系数项取反端，逐一配对即可。 【易错提醒】求 范围时不能用"两个范围同向相减"，必须用"最小减最大、最大减最小"求两端；否则会得到偏窄或错误的区间。 19．（★★）已知 ，用作差法证明：。 【答案】证明见详解 【解题思路】两边同乘 后配方成三个完全平方之和。 【解答过程】证明： ， 两边同除以 得 ，当且仅当 时取等号。 【多解·巧解】" 再配方"是循环对称型不等式的通行证：，写成这个形式后，非负性一目了然。 【易错提醒】作差后必须化成"若干非负项之和"或"可判号因式乘积"；直接写出 而不变形，无法判号。 20．（★★★）已知 ，，用作差法证明 ，并指出等号成立的条件。 【答案】证明见解答，等号当且仅当 时成立。 【解题思路】作差后通分，分子恰好化为完全平方 。 【解答过程】作差：。 因为 ，又 、 使 ，所以差非负， 即 ，当且仅当 时取等号。 【多解·巧解】右边是 的调和平均，左边是算术平均，比较的本质是"算术平均 调和平均"。作差通分后分子恰为 ，一步定号。 【易错提醒】判号时须说明分母 ，否则无法由分子非负推出差非负；等号条件 即 ，不要漏写。 21．（★★★）已知 ，。 (1) 求 的取值范围； (2) 求 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) "最小减最大、最大减最小"；(2) 先把 、 各自的范围算出，再同向相加。 【解答过程】(1) 的最小值 ，最大值 ，故取值范围为 。 (2) 由 得 ；由 得 。 两式同向相加得 ，即取值范围为 。 【多解·巧解】求 要用"最小减最大、最大减最小"，绝不能对两个范围同向相减；求 时分别算好 、 的范围再相加，可避免符号出错。 【易错提醒】(1) 若错误地对两个范围同向相减会得到 ，区间偏宽；正确做法是"最小减最大、最大减最小"。 22．（★★★）已知 ，，且 。 (1) 用作差法证明 ； (2) 求 的最小值。 【答案】(1) 证明见解答； (2) 最小值为 。 【解题思路】(1) 作差 并利用 化为 ；(2) 把 化为 。 【解答过程】(1) 由 得 ， 故 ，即 ，当且仅当 时取等号。 (2) 。由 (1) 知 且 ，故 ， 当且仅当 时取等号，最小值为 。 【多解·巧解】(2) 也可用"1 的代换"：，与 (1) 的结论殊途同归。 【易错提醒】(2) 中由 取倒数时不等号要反向，得 ，再乘 得 ，切勿把方向弄反。 23．（★★★）已知 ，，。 (1) 用作差法证明 ； (2) 证明 ； (3) 若 ，求 的最小值。 【答案】(1)、(2) 证明见解答； (3) 最小值为 。 【解题思路】(1) 完全平方；(2) 两边乘 后配方成三个平方和；(3) 结合 的展开式与 (2) 求下界。 【解答过程】(1) 作差：，故 。 (2) 两边同乘 后作差： ， 两边同除以 得 。 (3) 由 及 (2) 得 ， 故 ，当且仅当 时取等号，即最小值为 。 【多解·巧解】(3) 也可直接套用"平方和不等式" ，一步得 ；该式正是 (2) 与均值思想的结合。 【易错提醒】(2) 作差后必须化为"平方和"形式才能判号，直接写 无法定号；(3) 的取等条件 要写明。 24．（★★★）已知 ，，且 。 (1) 求 的最大值； (2) 求 的最小值，并说明等号成立的条件。 【答案】(1) ； (2) 最小值为 ，此时 。 【解题思路】(1) 凑"和定积最大"：；(2) 把 （其值为 ）乘进待求式展开。 【解答过程】(1) 由"和定积最大"得 ， 故 ，当 （即 ，）时取等号。 (2) 由 ，。 由基本不等式 ，故原式 。 当 即 时取等号，最小值为 。 【多解·巧解】(2) 是"1 的代换"的标准形式：条件 的值恒为 ，直接乘进待求式，展开后常数项为 、交叉项之积为 ，最小值为 。 【易错提醒】(2) 展开 共四项：，常数项是 ，勿漏 ；等号条件 即 ，需检验 满足 。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $