第03讲 等式与不等式性质（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦等式与不等式性质核心考点，以不等式性质应用、数式大小比较、取值范围求解为重点，按“知识解构-题型破译-真题溯源”逻辑架构，通过考情分析明确天津卷命题趋势，结合方法技巧指导与分层训练，帮助学生系统构建知识网络，突破性质应用易错点。 资料创新采用题型靶向突破策略，如“比较大小”模块融合作差法与函数单调性，“求取值范围”强调线性组合避免直接运算，培养学生数学思维与推理能力。设置基础与创新分层练习，配合真题与课本典例溯源，助力教师精准把控复习节奏，提升学生解题效率与应考能力。

第03讲 等式与不等式性质（复习讲义） 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 等式的基本性质 知识点2 不等式的性质 知识点3 比较大小的基本方法 题型破译 (含超链接） 题型1 不等式性质的应用 【方法技巧】不等式性质的应用 题型2 用不等式表示不等关系 【方法技巧】用不等式表示不等关系 题型3 比较数（式）的大小 【方法技巧】比较数（式）的大小 题型4 利用不等式的性质证明不等式 【方法技巧】证明不等式 题型5 利用不等式的性质求目标式的取值范围 【方法技巧】求目标式的取值范围 题型6 不等式的综合问题 【方法技巧】综合问题 题型7 糖水不等式 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 等式的基本性质与恒等变形 —— 不等式的基本性质与大小比较 天津卷 T3（5 分） 天津卷 T3（5 分） 天津卷 T3（5 分） 不等式性质的综合应用（命题真假、范围判断） 考情分析 高考中 “等式与不等式的性质” 是天津卷的基础高频考点，常以单选题形式考查，多位于第 3 题，分值 5 分，整体难度低，属于基础必拿分题型。近三年命题以不等式的基本性质、作差 / 作商比较大小为核心，常与函数单调性、指数对数运算结合考查，极少单独考查纯理论性质，重点考查性质的应用能力。该考点也会渗透到后续函数、数列、解析几何的压轴问题中，是构建代数推理能力的基础，无偏难怪题，是考生必须掌握的基础模块。 复习目标 1.理解等式的基本性质，掌握恒等变形的基本方法，能进行代数式的化简与等价变形。 2.掌握不等式的基本性质（对称性、传递性、可加性、可乘性等），能准确判断命题真假，区分性质成立的前提条件。 3.熟练运用作差法、作商法比较两个代数式的大小，能结合函数单调性、中间量法判断数式的大小关系。 4.能利用不等式的性质解决简单的范围问题、命题真假判断问题，掌握含参不等式的基础分析方法，为后续模块学习打好基础。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 必记结论 1.加减不变性：等式两边同时加上（或减去）同一个数或整式，等式仍然成立。即若a=b，则a±c=b±c。 2.乘除不变性：等式两边同时乘（或除以）同一个不为 0 的数或整式，等式仍然成立。即若a=b，则ac=bc；若c=0，则ca=cb。此外，等式具有对称性（若a=b，则b=a）与传递性（若a=b,b=c，则a=c），是解方程、代数式变形的根本依据，变形时需注意除数不为 0 的前提条件； 自主检测已知，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 知识点2 不等式的性质 (1)_______性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)_______性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)_______性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)_______性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)______________性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)______________性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)______________性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 不等式的两类常用性质 (1)_______性质 ①a>b，ab>0⇒；②a<b<0⇒；③a>b>0，0<c<d⇒；④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则①_______的性质； ②_______的性质. 必记结论 不等式性质的易错点集中在特殊前提和反向推导。可乘性需注意 c 的符号，乘负数时不等号要反向；同向不等式可加但不可减，同正同向才可乘。乘方、开方性质仅对正数成立，负数不适用；倒数性质需区分同号、异号情况。传递性中若中间量符号不定，易出现错误推导，解题时需时刻关注字母的正负和取值范围. 自主检测下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 知识点3 比较大小的基本方法 关系 方法 _______法 与0比较 _______法 与1比较 或 或 1.中间量法：借助 0、1 等中间量，判断两数与中间量的大小关系，间接比较大小。 2.单调性法：利用函数单调性，将两数转化为同一函数的函数值，根据自变量大小判断函数值大小。 3.特殊值法：适用于含参数的选择题，通过代入特殊值快速排除错误选项 必记结论 比较大小的易错点集中在方法适用条件与变形细节。作差法要注意因式分解或配方时符号判断失误，差的正负与大小关系要对应，不能颠倒。作商法仅适用于正数，忽略分母正负直接判断商与 1 的关系，会导致不等号方向出错。中间量法易选错参照值，误判与 0、1 等的大小关系。单调性法要先确定函数定义域与单调性，避免在非单调区间内误用性质。特殊值法只能用于排除选项，不能直接证明一般性结论 自主检测若x为任意实数，____；____（用“＞”或“＜”填空） 题●型●破●译 题型1 不等式性质的应用 例1-1（2026·天津·模拟预测）已知，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 例1-2设，给出下列命题：①若，则，②“”是“”的充要条件，③若，则，④若，则，⑤若，则，其中真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 方法技巧 不等式性质的应用 利用不等式性质解题，核心是先明确条件中各变量的正负与范围，避免误用性质。同向不等式可加但不可减，同正同向才可乘；乘除负数时不等号必须反向。解决含参范围问题，需通过变量范围线性组合求解，而非直接相减；比较大小优先用差 / 商法，结合函数单调性辅助判断。解题后要验证特殊值，防止因忽略前提条件导致结论偏差。 【变式训练1-1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期是； B．函数与是同一函数； C．若，则； D．已知命题“”，则该命题的否定为“.” 【变式训练1-3】对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 题型2 用不等式表示不等关系 例2-1已知，且，，，则（   ） A． B． C． D． 例2-2（2026·天津·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 利用不等式表示不等关系 梳理题目文字描述，找准关键词转化为不等关系。识别大于、小于、不大于、不小于、至多、至少、不足、超过等表述，对应写出不等号。分清变量与常量，合理设置未知数，结合实际场景确定取值范围。多个条件并列时，联立多个不等式组成不等式组。注意区分严格不等与含等号的情况，不混淆表述含义，确保列式准确贴合题意。 【变式训练2-1】已知，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若则 D．若，则 【变式训练2-2】下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则， 【变式训练2-3·变考法】若，给出下列不等式： ①；②；③；④． 其中错误的不等式是__________（只填序号）． 题型3 比较数（式）的大小 例3-1（2026·天津·模拟预测）（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 例3-2已知，均为大于0的实数，下列不等式中不恒成立的是（   ） A． B． C． D． 例3-3若，则不等式：①；②；③；④，其中成立的不等式为（   ）. A．②③ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 方法技巧 比较数（式）的大小 比较数式大小优先选用作差法，通过判断差值正负得出结果，适用范围广。若数式均为正数，可使用作商法，对比商值与 1 的大小。遇到指数、对数形式，借助函数单调性判断。也可选取 0、1 等中间量间接比较。含参数的选择题可代入特殊值快速排除答案。解题时留意式子符号与取值范围，严格遵循对应方法的使用条件。 【变式训练3-1】（1）计算； （2）若，比较与的大小. 【变式训练3-2】若为实数，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型4 利用不等式的性质证明不等式 例4-1（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 例4-2已知，，，求证： 方法技巧 证明不等式 利用不等式性质证明，先梳理已知条件，依据性质逐步推导。灵活运用加减、乘除、传递性等基本性质，注意乘除负数时不等号方向改变，同向不等式可相加，正数才可相乘。推导过程保证每一步有理有据，不随意跳步。可结合作差法辅助论证，遇到多步推导借助传递性衔接。严格区分性质适用前提，规避符号、取值范围相关错误，确保逻辑严谨。 【变式训练4-1·变载体】下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．若实数满足，则 C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【变式训练4-2】下列结论正确的个数为（    ） ①两个实数，之间，有且只有，，三种关系中的一种； ②若，则； ③一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变； ④一个非零实数越大，则其倒数就越小； ⑤，； ⑥若，则． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练4-3】给出下列命题： ①若，，则； ②若，则； ③若，，则； ④对于正数，若，则． 其中真命题的序号是：__________． 题型5 利用不等式的性质求目标式的取值范围 例5-1“，”是假命题，则实数的最大值为_______． 例5-2已知，则的取值范围为______ 方法技巧 求目标式的取值范围 求解代数式取值范围，切勿直接对不等式相减、相除。先根据已知范围，利用同向可加性做线性组合推导。若涉及乘除、乘方，务必先判断式子正负。可设目标式为已知式子的线性形式，结合范围逐步推算。全程紧盯不等号方向与变量符号，乘负数及时变号。最后检验边界取值，避免因盲目运算放大取值范围，保证结果精准。 利用不等式性质证明，先梳理已知条件，依据性质逐步推导。灵活运用加减、乘除、传递性等基本性质，注意乘除负数时不等号方向改变，同向不等式可相加，正数才可相乘。推导过程保证每一步有理有据，不随意跳步。可结合作差法辅助论证，遇到多步推导借助传递性衔接。严格区分性质适用前提，规避符号、【变式训练5-1】若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知，，则的取值范围是_______. 【变式训练5-3】（1）设，，求的范围； （2）已知，求的最小值，并求取到最小值时的值； 题型6 不等式的综合问题 例6-1设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例6-2已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 方法技巧 不等式的综合问题 解决不等式综合题，需先拆解题干条件，结合不等式性质、大小比较方法灵活解题。遇到参数问题，优先转化为集合或区间范围，借助数轴分析边界。常融合函数、逻辑用语等知识，要兼顾各模块规则。运算时牢记乘除负数变号、同向不等式仅可相加等要点，避开常见误区。多步推导保证逻辑连贯，做完后验证特殊值，确保范围、不等关系准确无误。 【变式训练6-1】若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】定义：设不等式F(x)<0的解集为M，若M中只有唯一整数，则称M是最优解.若关于x的不等式有最优解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．∪ D．∪ 【变式训练6-3】定义域为R的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数t的取值范围是________. 题型7 糖水不等式 例7-1已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例7-2已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 【变式训练7-1】若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练7-2】若R，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练7-3】下列四个命题正确的个数是 （   ） ①命题“”的否定为：“”； ②若，则； ③的最小值为4； ④ ； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2014·天津·高考真题）设则 A． B． C． D． 2．（2005·天津·高考真题）给出下列三个命题： ①若，则； ②若正整数m和n满足，则； ③设为圆上任一点，圆以为圆心且半径为1．当时，圆与圆相切． 其中假命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为，．甲有一半的时间以m m/s的速度行走，另一半的时间以n m/s的速度行走；乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走，且． (1)请用含m，n的代数式表示甲、乙两人所用的时间和； (2)比较与的大小，并判断甲、乙两人谁先到达B地． 3．试比较与的大小． 4．（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 5．如图，试用直观的方法比较以为边长的正方形的面积与四个长为、宽为的矩形面积之和的大小，把这种大小关系用不等式表示出来，并证明．    6．试比较下面各组中两式的大小： (1)与； (2)与． 7．证明不等式： (1)若，，则； (2)若，，则． 8．如果，则有（用“>”或“<”填空）： （1）______；                        （2）______． （3）______；                    （4）______1． 9．比较大小： (1)与； (2)与； (3)与． 10．设a，b，m均为正数，且，那么（    ） A． B． C． D．与的大小随m变化而变化 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考模拟基础演练中，等式与不等式性质以基础题型为主。重点考查不等式基本性质的理解与应用，常设置大小比较、不等关系判断类题目。多结合实数、代数式、简单函数命题，高频考查作差、作商法比较大小，也会判断不等式命题真假。题型简单，侧重基础概念与公式运用，偶尔融入简单取值范围求解，是试卷里的基础送分考点。 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知x，y是实数，则“”是“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若、，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 4．已知，当时，有，则必有（   ） A． B． C． D． 5．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知,则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知，，，比较a，b，c的大小为（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c 9．已知函数为定义在的奇函数，且，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．设函数，则 A． B． C． D． 重难·创新演练 设题创新:天津该考点的创新题，常融合函数、指数对数、常用逻辑用语综合命题。不再单独考查基础性质，多结合含参代数式比较大小、求解复杂取值范围。还会设置判断多命题真假的题型，利用不等式性质进行多步推理，同时融入分类讨论。命题侧重考查知识迁移与逻辑推理，放大正负取值、不等号方向等易错点，区分答题层次。 1．下列命题中正确的序号是______. ①是的充分不必要条件；②，； ③若，则；④当时，的最大值为. 2．下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 3．给出下列四个命题： ①的解集是全体实数R； ②，都有； ③若则 ④已知，“”是命题“，”为真命题的一个充分不必要条件 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．记表示这3个数中最大的数．已知，，都是正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则在上的最小值为______，最大值为______. 6．下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．函数的定义域为 C．若命题“，”为假命题，则实数m的取值范围是 D．当时，的最小值为 7．下列命题正确的有（    ）个 ①若，则的最小值为； ②函数，则 ③若，则； ④函数在定义域内是减函数 A．1 B．2 C．3 D．4 8．设，，记，，分别为a，b的算术平均数、几何平均数、调和平均数，古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过时A，G，H的大小关系，则A，G，H中最大的为______，最小的为______． 9．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10．以下五个命题中： ①若，则的取值范围是； ②不等式，对一切x恒成立，则实数的取值范围为； ③若椭圆的两焦点为、，且弦过点，则的周长为16； ④若常数，，，成等差数列，则，，成等比数列； ⑤数列的前项和为=+2－1，则这个数列一定是等差数列. 所有正确命题的序号是_____________. 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 等式与不等式性质（复习讲义） 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 等式的基本性质 知识点2 不等式的性质 知识点3 比较大小的基本方法 题型破译 (含超链接） 题型1 不等式性质的应用 【方法技巧】不等式性质的应用 题型2 用不等式表示不等关系 【方法技巧】用不等式表示不等关系 题型3 比较数（式）的大小 【方法技巧】比较数（式）的大小 题型4 利用不等式的性质证明不等式 【方法技巧】证明不等式 题型5 利用不等式的性质求目标式的取值范围 【方法技巧】求目标式的取值范围 题型6 不等式的综合问题 【方法技巧】综合问题 题型7 糖水不等式 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 等式的基本性质与恒等变形 —— 不等式的基本性质与大小比较 天津卷 T3（5 分） 天津卷 T3（5 分） 天津卷 T3（5 分） 不等式性质的综合应用（命题真假、范围判断） 考情分析 高考中 “等式与不等式的性质” 是天津卷的基础高频考点，常以单选题形式考查，多位于第 3 题，分值 5 分，整体难度低，属于基础必拿分题型。近三年命题以不等式的基本性质、作差 / 作商比较大小为核心，常与函数单调性、指数对数运算结合考查，极少单独考查纯理论性质，重点考查性质的应用能力。该考点也会渗透到后续函数、数列、解析几何的压轴问题中，是构建代数推理能力的基础，无偏难怪题，是考生必须掌握的基础模块。 复习目标 1.理解等式的基本性质，掌握恒等变形的基本方法，能进行代数式的化简与等价变形。 2.掌握不等式的基本性质（对称性、传递性、可加性、可乘性等），能准确判断命题真假，区分性质成立的前提条件。 3.熟练运用作差法、作商法比较两个代数式的大小，能结合函数单调性、中间量法判断数式的大小关系。 4.能利用不等式的性质解决简单的范围问题、命题真假判断问题，掌握含参不等式的基础分析方法，为后续模块学习打好基础。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 必记结论 1.加减不变性：等式两边同时加上（或减去）同一个数或整式，等式仍然成立。即若a=b，则a±c=b±c。 2.乘除不变性：等式两边同时乘（或除以）同一个不为 0 的数或整式，等式仍然成立。即若a=b，则ac=bc；若c=0，则ca=cb。此外，等式具有对称性（若a=b，则b=a）与传递性（若a=b,b=c，则a=c），是解方程、代数式变形的根本依据，变形时需注意除数不为 0 的前提条件； 自主检测已知，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，解得，， 故选：A． 知识点2 不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒；②a<b<0⇒；③a>b>0，0<c<d⇒；④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则①真分数的性质； ②假分数的性质. 必记结论 不等式性质的易错点集中在特殊前提和反向推导。可乘性需注意 c 的符号，乘负数时不等号要反向；同向不等式可加但不可减，同正同向才可乘。乘方、开方性质仅对正数成立，负数不适用；倒数性质需区分同号、异号情况。传递性中若中间量符号不定，易出现错误推导，解题时需时刻关注字母的正负和取值范围. 自主检测下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A：由，所以，故A正确； 对于B：由，得，所以，又，所以，故B正确； 对于C：当时，，故C错误； 对于D：由，所以，所以，故D正确. 知识点3 比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 1.中间量法：借助 0、1 等中间量，判断两数与中间量的大小关系，间接比较大小。 2.单调性法：利用函数单调性，将两数转化为同一函数的函数值，根据自变量大小判断函数值大小。 3.特殊值法：适用于含参数的选择题，通过代入特殊值快速排除错误选项 必记结论 比较大小的易错点集中在方法适用条件与变形细节。作差法要注意因式分解或配方时符号判断失误，差的正负与大小关系要对应，不能颠倒。作商法仅适用于正数，忽略分母正负直接判断商与 1 的关系，会导致不等号方向出错。中间量法易选错参照值，误判与 0、1 等的大小关系。单调性法要先确定函数定义域与单调性，避免在非单调区间内误用性质。特殊值法只能用于排除选项，不能直接证明一般性结论 自主检测若x为任意实数，____；____（用“＞”或“＜”填空） 【答案】 > > 【详解】， ∴， ， ∴， 故答案为：>，>. 题●型●破●译 题型1 不等式性质的应用 例1-1（2026·天津·模拟预测）已知，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，因为，故，故， 故，故A成立； 对于B，因为，故，又，故，故B成立； 对于C，因为，故，又，故，故C成立； 对于D，因为，故，故，故D不成立. 例1-2设，给出下列命题：①若，则，②“”是“”的充要条件，③若，则，④若，则，⑤若，则，其中真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】对于①，取，满足，而，①是假命题； 对于②，，②是真命题； 对于③，，③是真命题； 对于④，取，满足，而，④是假命题； 对于⑤，由，得，由，则，⑤是真命题. 方法技巧 不等式性质的应用 利用不等式性质解题，核心是先明确条件中各变量的正负与范围，避免误用性质。同向不等式可加但不可减，同正同向才可乘；乘除负数时不等号必须反向。解决含参范围问题，需通过变量范围线性组合求解，而非直接相减；比较大小优先用差 / 商法，结合函数单调性辅助判断。解题后要验证特殊值，防止因忽略前提条件导致结论偏差。 【变式训练1-1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，所以，又在上单调递增，所以，故A错误； 由，所以，故B正确； 由，又，所以， 所以，故C错误； 由，又， 所以，所以，故D错误； 故选：B. 【变式训练1-2】下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期是； B．函数与是同一函数； C．若，则； D．已知命题“”，则该命题的否定为“.” 【答案】C 【详解】对于A，根据正弦函数的性质，可得函数的最小正周期是，所以A错误； 对于B，函数，则满足，解得或， 所以函数的定义域为， 函数，则满足，解得，所以的定义域为， 所以函数和的定义域不同，所以不是同一函数，所以B错误； 对于C，由，可得，则，所以，所以C正确； 对于D，由全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”，则命题的否定为“”，所以D错误. 故选：C. 【变式训练1-3】对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，由，得，则，，D正确. 故选：D 题型2 用不等式表示不等关系 例2-1已知，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，当，，时，，故A错误； 对于B，当，，时，，故B错误. 对于C，当，，时，，故C错误； 对于D，因为，，所以，故D正确. 例2-2（2026·天津·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对不等式化简变形可得： ，即，进一步化简可得： ，即， 所以原不等式等价于：， 若，则，，， 因此，原不等式成立， 即，充分性成立， 若取，，此时，​， 满足（原不等式成立），但不满足， 即，所以必要性不成立。 因此“”是“​”的充分不必要条件. 方法技巧 利用不等式表示不等关系 梳理题目文字描述，找准关键词转化为不等关系。识别大于、小于、不大于、不小于、至多、至少、不足、超过等表述，对应写出不等号。分清变量与常量，合理设置未知数，结合实际场景确定取值范围。多个条件并列时，联立多个不等式组成不等式组。注意区分严格不等与含等号的情况，不混淆表述含义，确保列式准确贴合题意。 【变式训练2-1】已知，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于：取，，故错误； 对于：，则，故错误； 对于：则，所以，故正确； 对于：取，则，故错误. 故选：C 【变式训练2-2】下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则， 【答案】C 【详解】对于A：当 时，，则 ， 此时 成立，但 不成立（因为 不成立）. 因此，该命题不是真命题，故A错误； 对于B：取反例：设 ，，满足 计算：，， 则 不成立（实际 ). 因此，该命题不是真命题，故B错误； 对于C：由条件 ，得 ，，. 比较差：. 分子 （因为 ，)，分母 （因为 ，). 故，即 .因此，该命题是真命题，故C正确； 对于D：取反例：设 ，，满足 （因为 ). 且 ，，满足 （因为 ). 但结论要求 且 ，而此处 ，不满足，所以该命题不是真命题，故D错误. 故选：C 【变式训练2-3·变考法】若，给出下列不等式： ①；②；③；④． 其中错误的不等式是__________（只填序号）． 【答案】②④ 【详解】因，，给出下列不等式： ①，，所以①正确； ②由，所以，因此②不正确； ③，，又，，所以③正确； ④由，，所以④不正确． 其中错误的不等式是②④． 故答案为：②④． 题型3 比较数（式）的大小 例3-1（2026·天津·模拟预测）（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【详解】（1）解：由，， 则， 因为，可得，所以； （2）证明：因为，可得， 又因为，所以，所以， 因为，所以. 例3-2已知，均为大于0的实数，下列不等式中不恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 对于A，， 当且仅当，即时取得等号，即恒成立，故A不符合题意； 对于B，， 因为， 所以， 所以，即恒不成立，故B符合题意； 对于C，， 所以，即恒成立，故C不符合题意； 对于D，， 设，当且仅当，即时取得等号， 所以， 所以当时，有最小值为0， 所以，即恒成立，故D不符合题意； 故选：B. 例3-3若，则不等式：①；②；③；④，其中成立的不等式为（   ）. A．②③ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【详解】对①，，因为，则， 所以，即，即，故①正确； 对②，，因为， 则，，则，则，故②正确； 对③，，则，故③错误； 对④，因为，则，则，则， 则， 因为 ，即，故④正确； 故选：C. 方法技巧 比较数（式）的大小 比较数式大小优先选用作差法，通过判断差值正负得出结果，适用范围广。若数式均为正数，可使用作商法，对比商值与 1 的大小。遇到指数、对数形式，借助函数单调性判断。也可选取 0、1 等中间量间接比较。含参数的选择题可代入特殊值快速排除答案。解题时留意式子符号与取值范围，严格遵循对应方法的使用条件。 【变式训练3-1】（1）计算； （2）若，比较与的大小. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）原式； （2）， ，则，， 故，即. 【变式训练3-2】若为实数，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】选项A：当时，满足， 此时，，故A错误； 选项B：， 因为，所以， 所以，即，故B错误； 选项C：若，则，故C错误； 选项D：若，则，， 所以，故D正确. 故选：D 题型4 利用不等式的性质证明不等式 例4-1（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】（1）， 则； （2）因为，且，则， 则，则，则， 则， 则，又 则. 命题得证. 例4-2已知，，，求证： 【答案】证明见解析 【详解】∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴. 方法技巧 证明不等式 利用不等式性质证明，先梳理已知条件，依据性质逐步推导。灵活运用加减、乘除、传递性等基本性质，注意乘除负数时不等号方向改变，同向不等式可相加，正数才可相乘。推导过程保证每一步有理有据，不随意跳步。可结合作差法辅助论证，遇到多步推导借助传递性衔接。严格区分性质适用前提，规避符号、取值范围相关错误，确保逻辑严谨。 【变式训练4-1·变载体】下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．若实数满足，则 C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】B 【详解】对A，由解得或，故A错误； 对B，由于，对两边同除，得到，故B正确； 对C，由于，利用基本不等式知，故C错误； 对D，①当时，不等式为，恒成立；②当时，若要使不等式恒成立，则，解得，所以当时，不等式恒成立，则k的取值范围是，故D错误； 故选：B 【变式训练4-2】下列结论正确的个数为（    ） ①两个实数，之间，有且只有，，三种关系中的一种； ②若，则； ③一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变； ④一个非零实数越大，则其倒数就越小； ⑤，； ⑥若，则． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：对于①，任意两个实数显然成立； 对于②，若，则，故且或且，故错误； 对于③，不等式的两边乘以同一个正数，不等号方向不变，故错误； 对于④，例如，，故错误； 对于⑤，，进而由可得，故正确； 对于⑥，由得同号，故当时，，当时，，故若，则正确； 综上正确的是：①⑤⑥ 故选：B. 【变式训练4-3】给出下列命题： ①若，，则； ②若，则； ③若，，则； ④对于正数，若，则． 其中真命题的序号是：__________． 【答案】①②④ 【详解】对于①，若，则，又，则，所以，所以①正确. 对于②，若，则，所以②正确. 对于③，若，则，所以，所以，所以不成立，所以③错误. 对于④，对于正整数，若，则成立， 即，所以，所以，所以正④确 综上，正确命题序号是①②④. 故答案为: ①②④. 题型5 利用不等式的性质求目标式的取值范围 例5-1“，”是假命题，则实数的最大值为_______． 【答案】6 【详解】因“，”是假命题，故命题的否定为，为真命题， 分离参数可得： 令，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立， 即当时，不等式右侧表达式取得最小值为6，所以的最大值为6. 例5-2已知，则的取值范围为______ 【答案】 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 方法技巧 求目标式的取值范围 求解代数式取值范围，切勿直接对不等式相减、相除。先根据已知范围，利用同向可加性做线性组合推导。若涉及乘除、乘方，务必先判断式子正负。可设目标式为已知式子的线性形式，结合范围逐步推算。全程紧盯不等号方向与变量符号，乘负数及时变号。最后检验边界取值，避免因盲目运算放大取值范围，保证结果精准。 利用不等式性质证明，先梳理已知条件，依据性质逐步推导。灵活运用加减、乘除、传递性等基本性质，注意乘除负数时不等号方向改变，同向不等式可相加，正数才可相乘。推导过程保证每一步有理有据，不随意跳步。可结合作差法辅助论证，遇到多步推导借助传递性衔接。严格区分性质适用前提，规避符号、【变式训练5-1】若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，即， 则，解得. 由，得； 由，得. 所以. 所以的取值范围是. 故选：B. 【变式训练5-2】已知，，则的取值范围是_______. 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，即的取值范围. 故答案为： 【变式训练5-3】（1）设，，求的范围； （2）已知，求的最小值，并求取到最小值时的值； 【答案】（1）；（2）最小值为，取到最小值时的值为 【详解】（1）因为，，则，， 所以. （2）因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，取到最小值时的值为. 题型6 不等式的综合问题 例6-1设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，或，则，即充分性成立； 当时，，则，即必要性成立； 综上可知，“”是“”的充要条件. 故选：C. 例6-2已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】由知, 结合，以及换底公式可知， ， 当且仅当，， 即时等号成立， 即时等号成立， 故的最小值为， 故选：B. 方法技巧 不等式的综合问题 解决不等式综合题，需先拆解题干条件，结合不等式性质、大小比较方法灵活解题。遇到参数问题，优先转化为集合或区间范围，借助数轴分析边界。常融合函数、逻辑用语等知识，要兼顾各模块规则。运算时牢记乘除负数变号、同向不等式仅可相加等要点，避开常见误区。多步推导保证逻辑连贯，做完后验证特殊值，确保范围、不等关系准确无误。 【变式训练6-1】若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，∴， 而，∴，即， 因此. 故选：C. 【变式训练6-2】定义：设不等式F(x)<0的解集为M，若M中只有唯一整数，则称M是最优解.若关于x的不等式有最优解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．∪ D．∪ 【答案】D 【详解】可转化为， 在同一平面直角坐标系中分别作出函数f(x)＝|x2－2x－3|，g(x)＝mx－2的图象，如图所示. 易知m＝0时不满足题意. 当m>0时，要存在唯一的整数x0，满足f(x0)<g(x0)， 则，即，解得. 当m<0时，要存在唯一的整数x0，满足f(x0)<g(x0)， 则，即，解得. 综上，实数m的取值范围是∪. 故选：D    【变式训练6-3】定义域为R的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数t的取值范围是________. 【答案】 【详解】当时，， 当时，， 所以当时，的最小值为. 因为函数满足， 所以当时，的最小值为， 所以当时，的最小值为， 因为时，恒成立， 所以，即， 解得， 故答案为：. 题型7 糖水不等式 例7-1已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，则充分性成立； 若，则满足，但不满足，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 例7-2已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 【答案】(1)，证明见解析(2)(3)证明见解析 【详解】（1）由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 根据（1）中的结论，可得， 同向不等式相加可得，①， 又由，同理可得， 则，② 综合①②，得. 【变式训练7-1】若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】利用不等式性质判断A；举例说明判断BD；作差比较大小判断C. 【详解】对于A，由，得，因此，A正确； 对于B，取，得，B错误； 对于C，，由，得， 则，，即，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：A 【变式训练7-2】若R，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于A，当时，不成立，A错误 对于B，，， ， ，，即，B正确 对于C，，所以若，则，C错误 对于D，当时，，D错误 故选：B 【变式训练7-3】下列四个命题正确的个数是 （   ） ①命题“”的否定为：“”； ②若，则； ③的最小值为4； ④ ； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】对于①：命题“”的否定为：“”，故①错误； 对于②：因为， 且，则， 可得，即，故②正确； 对于③：因为，则， 可得， 但等号成立的条件为， 所以的最小值不为4，故③错误； 对于④：因为，故④正确； 综上所述：正确的个数是2. 故选：B. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2014·天津·高考真题）设则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：因为所以，选C. 考点：比较大小 2．（2005·天津·高考真题）给出下列三个命题： ①若，则； ②若正整数m和n满足，则； ③设为圆上任一点，圆以为圆心且半径为1．当时，圆与圆相切． 其中假命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：①a≥b＞﹣1时，由于a（1+b）﹣b（1+a）＝a﹣b≥0，故≥成立，所以①为真命题； ②由基本不等式可知：，当且仅当时，等号成立，所以②为真命题； ③中P（x1，y1）为圆O1：x2+y2＝9上任一点，（a﹣x1）2+（b﹣y1）2＝1表示P（x1，y1）Q（a，b）两点间的距离为1，又圆O2以Q（a，b）为圆心且半径为1，所以圆O2与圆O1有公共点，但不一定相切.故③是假命题. 故选：B 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，则，即，由基本不等式得， 又，即， 所以. 故选：D. 2．甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为，．甲有一半的时间以m m/s的速度行走，另一半的时间以n m/s的速度行走；乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走，且． (1)请用含m，n的代数式表示甲、乙两人所用的时间和； (2)比较与的大小，并判断甲、乙两人谁先到达B地． 【答案】(1)；.(2)，甲先到达B地． 【详解】（1）设A地到B地的路程为， 因为甲有一半的时间以m m/s的速度行走，另一半的时间以n m/s的速度行走， 所以，所以， 因为乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走， 所以, （2） 因为，所以，因为 所以 所以，所以甲先到达B地． 3．试比较与的大小． 【答案】 【详解】 , 所以. 4．（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）， 因为，， 所以，所以， 所以； （2）， 因为，， 所以， 所以， 所以，即. 5．如图，试用直观的方法比较以为边长的正方形的面积与四个长为、宽为的矩形面积之和的大小，把这种大小关系用不等式表示出来，并证明．    【答案】，证明见解析. 【详解】根据题意，由图形可得， 以为边长的正方形的面积大于等于四个长为、宽为的矩形面积之和， 即， 证明如下： ， 当且仅当时取得等号， 故. 6．试比较下面各组中两式的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）， 所以. （2）， 所以. 7．证明不等式： (1)若，，则； (2)若，，则． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析； 【详解】（1），两边同乘以，则 又，两边同乘以，则 即 （2），两边同乘以，得； 两边同乘以，得，所以 又，则，又，则， 即 8．如果，则有（用“>”或“<”填空）： （1）______；                        （2）______． （3）______；                    （4）______1． 【答案】 > > > < 【详解】（1）由可得； （2），，，即； （3），，； （4），，即. 故答案为：>；>；>；<. 9．比较大小： (1)与； (2)与； (3)与． 【答案】(1)>(2)(3) 【详解】（1）-= , 故 （2））= ， 故； （3）= ， 故. 10．设a，b，m均为正数，且，那么（    ） A． B． C． D．与的大小随m变化而变化 【答案】C 【详解】由， 因为，且为正数，可得，所以， 即，所以. 故选：C. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考模拟基础演练中，等式与不等式性质以基础题型为主。重点考查不等式基本性质的理解与应用，常设置大小比较、不等关系判断类题目。多结合实数、代数式、简单函数命题，高频考查作差、作商法比较大小，也会判断不等式命题真假。题型简单，侧重基础概念与公式运用，偶尔融入简单取值范围求解，是试卷里的基础送分考点。 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若，则由无法推出，即充分性不满足； 若，则由可推出，不能推出，即必要性不满足； 综上“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 2．已知x，y是实数，则“”是“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若，满足，此时，所以不是的充分条件， 反过来，若，满足，此时，所以也不是的必要条件，所以”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 3．若、，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，当时，满足， 而，故A错误； 对于B，当时，满足， 而，故B错误； 对于C，由，得，， 则，当且仅当时等号成立，故C正确； 当时，满足， 而，故D错误. 故选：C. 4．已知，当时，有，则必有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】画出的图象： 对于A，不能同时成立，因为时，函数单调递减，得不到，故A错误； 对于B，如图，当时，有，则可能小于零，也可能大于零，故B错误； 对于C，如图，当时，，故C错误； 对于D，由图象可知，，所以， 又，所以， 所以，故D正确. 故选：D. 5．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，当时，有，则成立，即充分性成立； 当时，，即成立，而，即不成立，进而必要性不成立. 所以，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．已知,则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】根据不等关系的运算法则,知当时,，所以充分性成立； 当时,,但不满足，所以必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7．设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为，，由可得，则，即， 因此，若，，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 8．已知，，，比较a，b，c的大小为（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c 【答案】D 【详解】，因函数在上单调递增， 则，. ，因，则 . 故，综上有. 故选：D 9．已知函数为定义在的奇函数，且，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数为定义在的奇函数，则，且， 因为，则， 对于A，，即， 即，根据不等式的性质可知A不正确； 对于B，，即， 即，由已知可知，故B不正确； 对于C，，即， 即，即，根据不等式的性质可知C不正确； 对于D，，即， 即，根据不等式的性质，不等式满足同向相加，可知D正确； 故选：D 10．设函数，则 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：,,又，，又，，即.选D. 重难·创新演练 设题创新:天津该考点的创新题，常融合函数、指数对数、常用逻辑用语综合命题。不再单独考查基础性质，多结合含参代数式比较大小、求解复杂取值范围。还会设置判断多命题真假的题型，利用不等式性质进行多步推理，同时融入分类讨论。命题侧重考查知识迁移与逻辑推理，放大正负取值、不等号方向等易错点，区分答题层次。 1．下列命题中正确的序号是______. ①是的充分不必要条件；②，； ③若，则；④当时，的最大值为. 【答案】③④ 【详解】对于①命题，当，时，，但是，，此时，所以不能推出. 当，时，，，但，所以也不能推出.所以是的既不充分也不必要条件. 所以①错误. 对于②命题，对于方程，判别式，根据一元二次方程，当时方程无实数解，所以不存在.所以②错误.   对于③命题，因为，两边同时乘以（），得到. 再两边同时乘以（），得到，所以③正确.   对于④命题，令,则，由基本不等式知道，，当且仅当，，即时，取得最大值,所以④正确.   故答案为：③④. 2．下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】对于，， 因为，所以，， 所以，即，故错误； 对于，若，，则，，所以，故错误； 对于，， 因为，，所以，所以， 所以，即，故正确； 对于，若，，，， 则，，所以，故错误. 故选：. 3．给出下列四个命题： ①的解集是全体实数R； ②，都有； ③若则 ④已知，“”是命题“，”为真命题的一个充分不必要条件 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】，解得，故①为假命题； 当时，，故②为假命题； 因为，得，故③为真命题； 因为，，所以，得 当且仅当时，即时等号成立， 因为，显然当时，， 故最小值为，无最大值， 所以若命题“，”为真命题，则，故， 所以“”不是命题“，”为真命题的一个充分条件，故④为假命题. 故选：A 4．记表示这3个数中最大的数．已知，，都是正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，，所以， 所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为． 故选：A 5．已知函数，则在上的最小值为______，最大值为______. 【答案】 /0.5 【详解】由题意可得：， 令，解得；令，解得； 则在上单调递减，在上单调递增， 空1：所以当时，取到最小值； 空2：又因为， 且， 可得，所以当时，取到最大值. 故答案为：；. 6．下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．函数的定义域为 C．若命题“，”为假命题，则实数m的取值范围是 D．当时，的最小值为 【答案】C 【详解】时，，A错误； 由得，，因此B错误； 命题“，”为假命题，则，即，C正确； 时，，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值是，D错误． 故选：C． 7．下列命题正确的有（    ）个 ①若，则的最小值为； ②函数，则 ③若，则； ④函数在定义域内是减函数 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对①，.时,,则，当且仅当，即（负舍）时等号成立，故错误， 对②，，令,则, 故,故,故正确, 对③，，则，，，则，故正确， 对④，根据反比例函数图像，可知在和的各自范围内是减函数，故错误， 综上，有两个是正确的， 故选：B. 8．设，，记，，分别为a，b的算术平均数、几何平均数、调和平均数，古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过时A，G，H的大小关系，则A，G，H中最大的为______，最小的为______． 【答案】 A H 【详解】解：因为，，， 所以， 所以，， 所以， 所以A，G，H中最大的为A，最小的为H． 故答案为：A；H． 9．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 通过作差法，，确定符号，排除C选项； 通过作差法，，确定符号，排除A选项； 【详解】由，且，故； 由且，故； 且，故. 所以， 故选：B. 10．以下五个命题中： ①若，则的取值范围是； ②不等式，对一切x恒成立，则实数的取值范围为； ③若椭圆的两焦点为、，且弦过点，则的周长为16； ④若常数，，，成等差数列，则，，成等比数列； ⑤数列的前项和为=+2－1，则这个数列一定是等差数列. 所有正确命题的序号是_____________. 【答案】④ 【详解】对于①,,则,所以,故①错误; 对于②,当时,不等式变为,对一切x恒成立,所以成立;当时,由二次函数的性质可知,解得.综上可知,故②错误; 对于③,椭圆.则.弦过点,则的周长为,故③错误; 对于④,,,成等差数列则.常数,则,所以,,成等比数列,故④正确; 对于⑤,数列的前项和为,当时,代入解得.当时,由可得,化简可得.且,所数列是从第二项开始的等差数列.故⑤错误. 综上可知,正确的为④. 故答案为: ④ 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $