吉林长春市德惠市第八中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

( 装 订 线 ) 学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________ 第八中学 2026—2027 学年度上学期第一次月考 九 年 级 数 学 试 题 （华师大版　考试范围：第 21 章 二次根式、第 22 章 一元二次方程　满分 120 分　考试时间 120 分钟） 题号 一 二 三 总分 得分 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写清楚。 2．本试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟。 3．所有答案均须写在答题区域内，超出区域或写在草稿纸上的答案无效。 4．可以使用不带编程功能的计算器。 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是（　　） A．　　　B． C．　　　D． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A．　　　B． C．　　　D． 3．下列计算正确的是（　　） A．　　　B． C．　　　D． 4．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．　　　B． C．　　　D． 5．用配方法解方程 ，下列变形正确的是（　　） A．　　　B． C．　　　D． 6．已知 是关于 x 的方程 的一个根，则 m 的值为（　　） A．　　　B． C．　　　D． 7．如图 1，矩形 ABCD 的面积为 cm²， cm，则 BC 的长为（　　） 图 1 A．　　　B． C．　　　D． 8．冬季是流感高发季节。有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感。设每轮传染中平均一个人传染 x 人，则可列出的方程为（　　） A．　　　B． C．　　　D． 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 9．计算：＝__________。 10．化简：＝__________。 11．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 a＝__________。 12．如图 2，正方形 ABCD 与正方形 CEFG 的顶点 D、C、G 在同一条直线上，它们的面积分别为 5 和 20，则线段 DG 的长为__________。 图 2 13．若关于 x 的方程 是一元二次方程，则 m 的取值范围是__________。 14．冰雪旅游季，某冰雪乐园 2025 年 12 月接待游客 3 万人次，2026 年 2 月接待游客 4.32 万人次。设接待游客人数的月平均增长率为 x，则可列出的方程为__________。 三、解答题（本题共 10 小题，共 78 分） 15．（6 分）计算： （1）（3 分）； （2）（3 分）。 16．（6 分）解下列方程： （1）（3 分）； （2）（3 分）。 17．（6 分）已知 ，。 （1）（3 分）求 与 的值； （2）（3 分）求 的值。 18．（7 分）已知关于 x 的一元二次方程 。 （1）（3 分）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； （2）（4 分）在（1）的条件下，若 m 是正整数，且方程的两个根都是正整数，求 m 的值及这两个根。 19．（7 分）如图 3，某农户要用长为 40 m 的篱笆靠墙（墙长 18 m）围一块矩形玉米育苗地，靠墙的一边不用篱笆，设垂直于墙的一边长为 x m。 图 3 （1）（3 分）用含 x 的代数式表示这块育苗地的面积 S（m²）； （2）（4 分）当育苗地的面积为 168 m² 时，求 x 的值，并结合实际说明所求的值是否都符合要求。 20．（7 分）净月潭景区 2024 年接待游客 200 万人次，2026 年接待游客 288 万人次。 （1）（4 分）求这两年该景区接待游客人数的年平均增长率； （2）（3 分）若按这个增长率持续增长，预计 2027 年该景区接待游客多少万人次？ 21．（8 分）某粮店经销一种玉米胚芽油，进价为每桶 30 元。当售价为每桶 40 元时，每天可售出 60 桶；市场调查表明，售价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 2 桶。 （1）（3 分）设每桶售价上涨 x 元，用含 x 的代数式表示该粮店每天的销售利润 W（元）； （2）（5 分）若粮店要求每天的销售利润达到 750 元，且要尽量让利给顾客，求每桶售价应定为多少元。 22．（8 分）如图 4，某小区有一块长为 32 m、宽为 20 m 的矩形空地，计划在空地中修筑两条互相垂直且等宽的小路（两条小路分别与矩形的一组对边平行），其余部分铺设草坪。 图 4 （1）（3 分）设小路的宽为 x m，用含 x 的代数式表示草坪的面积； （2）（5 分）若草坪的面积为 540 m²，求小路的宽。 23．（11 分）如图 5，在矩形 ABCD 中， cm， cm。点 P 从点 A 出发，沿边 AB 以每秒 1 cm 的速度向点 B 运动；同时点 Q 从点 B 出发，沿边 BC 以每秒 2 cm 的速度向点 C 运动。设运动时间为 t 秒。 图 5 （1）（3 分）用含 t 的代数式表示线段 AP 与 BQ 的长，并直接写出 t 的取值范围； （2）（4 分）是否存在某一时刻 t，使△PBQ 的面积为 cm²？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由。 （3）（4 分）是否存在某一时刻 t，使五边形 APQCD 的面积为 cm²？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由。 24．（12 分）已知关于 x 的一元二次方程 （k 为实数）。 （1）（4 分）当 时，求这个方程的两个根； （2）（4 分）判断这个方程的根的情况，并说明理由；再求出这个方程的两个根（用含 k 的代数式表示）。 （3）（4 分）探究迁移：某新能源汽车展示区要用围栏围一块矩形展区，要求矩形展区两条邻边的长（单位：m）恰好是这个方程的两个根。 ① 若矩形展区的周长为 18 m，求 k 的值及展区的面积； ② 是否存在实数 k，使这块矩形展区为正方形？若存在，求出 k 的值及正方形的面积；若不存在，请说明理由。 第 页（共 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027 学年九年级上学期第一次月考 数 学 试 题 参 考 答 案 与 评 分 标 准（华师大版　满分 120 分） 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 答案速查：1．B　2．D　3．C　4．A　5．A　6．B　7．A　8．B 1．【分析】二次根式有意义的条件是被开方数非负。 【详解】由 得 。 【答案】B 2．【分析】最简二次根式需满足：被开方数不含分母、不含能开尽方的因数或因式。 【详解】，，，被开方数都含分母或能开尽方的因数；只有 是最简二次根式。 【答案】D 【易错提醒】判断最简二次根式要先化简，不能只看形式。 3．【详解】 不能合并，不等于 ，A 错；，B 错；，C 对；，D 错。 【答案】C 4．【详解】一元二次方程需满足：只含一个未知数、最高次数是 2、两边都是整式。B 含两个未知数，C 是分式方程，D 化简后最高次数是 3。 【答案】A 5．【详解】移项得 ，两边同加 9 得 ，即 。 【答案】A 6．【详解】把 代入得 ，解得 。 【答案】B 7．【分析】矩形面积＝相邻两边之积，已知一边可求另一边，结果需化成最简二次根式。 【详解】（cm）。 【答案】A 【易错提醒】结果必须化为最简二次根式，不要选 。 8．【详解】第一轮后共 人患病，第二轮每人再传染 x 人，两轮后共 人患病，故 。 【答案】B 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 9．【详解】，，所以原式 。 【答案】 10．【详解】分子分母同乘 ，得 。 【答案】 11．【详解】，由同类二次根式的定义得 ，解得 。 【答案】1 12．【分析】正方形的面积已知，由"面积＝边长²"可求边长；D、C、G 共线，故 DG 等于两正方形边长之和。 【详解】正方形 ABCD 的边长 ，正方形 CEFG 的边长 ，所以 。 【答案】 13．【详解】一元二次方程的二次项系数不为 0，即 ≠ 0，所以 ≠ 1。 【答案】 14．【详解】从 2025 年 12 月到 2026 年 2 月经过两个月，故 。 【答案】 【易错提醒】月平均增长率对应两个月的增长，不要列成 。 三、解答题（共 78 分） 15．（6 分） 【详解】（1）原式 。 （2）原式 。 【答案】（1）　（2） 【易错提醒】乘除运算可先合并被开方数再化简，加减运算必须先化为最简二次根式。 16．（6 分） 【详解】（1）因式分解得 ，所以 或 。 （2）这里 a＝2，b＝3，c＝－1，Δ＝， 所以 。 【答案】（1） 或 　（2） 17．（6 分） 【分析】（2）不必分别求 、，可利用完全平方公式 整体求解。 【详解】（1）； 。 （2）。 【答案】（1），　（2） 18．（7 分） 【详解】（1）Δ＝。 因为方程有两个不相等的实数根，所以 ，解得 。 （2）由求根公式，。 由（1）知 ，且 m 是正整数，故 ， 或 。 当 时，，两根不是整数； 当 时，，两根不是整数； 当 时，，即 或 ，都是正整数，符合要求。 所以 ，此时原方程为 ，两个根为 和 。 【答案】（1）　（2）m＝3，两根为 2 和 4 【易错提醒】求 m 的值必须在且 m 为正整数的范围内逐一检验，不要只验证一个值就下结论。 19．（7 分） 【分析】篱笆总长 40 m 由三条边组成，平行于墙的一边长为 m，它不能超过墙长 18 m。 【详解】（1）。 （2）由 得 ， 解得 或 。 当 时，平行于墙的一边长 m，超过墙长 18 m，不符合要求，舍去； 当 时，平行于墙的一边长 m，不超过墙长，符合要求。 【答案】（1）　（2）x＝14 【易错提醒】求出根后要检验是否符合实际：平行于墙的一边不能超过墙长 18 m。 20．（7 分） 【详解】（1）设这两年接待游客人数的年平均增长率为 x。由题意得 ， 即 ，所以 ， 解得 或 （不合实际，舍去）。所以年平均增长率为 20%。 （2）（万人次）。 【答案】（1）20%　（2）约 345.6 万人次 【易错提醒】由 开方时不要漏掉负根，但要结合实际舍弃负值。 21．（8 分） 【分析】每桶利润＝售价－进价＝ 元；每天销量＝ 桶，且销量必须为正，即 。 【详解】（1）。 （2）由 得 ， 解得 或 。 当 时，售价为 45 元；当 时，售价为 55 元。 因为要尽量让利给顾客，所以售价应定为每桶 45 元 【答案】（1）　（2）45 元 【易错提醒】本题有两个售价都符合利润要求，需按"让利给顾客"的要求取舍。 22．（8 分） 【分析】两条互相垂直的等宽小路，把草坪分割成四块；将小路平移到矩形边上，草坪可拼成一个长为 、宽为 的矩形。 【详解】（1）草坪的面积为 （m²）。 （2）由 得 ，即 ， 解得 或 。因为小路的宽必须小于矩形的宽 20 m，所以 舍去。 即小路的宽为 2 m。 【答案】（1） m²　（2）2 m 【易错提醒】列方程后必须检验根的实际意义，路宽不能超过矩形的边长。 23．（11 分） 【分析】五边形 APQCD 的面积＝矩形 ABCD 的面积－△PBQ 的面积；△PBQ 中 ，。 【详解】（1），。因为 ，即 ，所以 。 （2），所以 。 由 得 ，解得 或 。 因为 ，所以 舍去，。 （3）矩形 ABCD 的面积为 （cm²）。 若五边形 APQCD 的面积为 39 cm²，则 ，即 ， 解得 。 因为 ，而 不在范围内，舍去； 在范围内。 所以存在，。 【答案】（1），，　（2）存在，　（3）存在， 【易错提醒】第（3）问解出的两个 t 值必须逐一检验是否满足 ，不合要求的要舍去。 24．（12 分） 【分析】第（2）问先用判别式判断根的情况：Δ＝，配方后为完全平方式；第（3）问把两根作为矩形的邻边长，把实际问题转化为方程求解，并检验边长的实际意义。 【详解】（1）当 时，原方程为 ， 因式分解得 ，所以 或 。 （2）Δ＝。 因为 ，所以无论 k 取何实数，这个方程总有实数根； 当 时，Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当 ≠ 3 时，Δ＞0，方程有两个不相等的实数根。 由求根公式，，所以两个根为 和 。 （3）由（2）知，矩形展区的两条邻边长分别为 3 m 和 k m（边长为正，即 ）。 ① 由周长为 18 m 得 ，解得 ， 此时展区的面积为 （m²）。 ② 存在。若矩形展区为正方形，则两邻边相等，即 。 此时 Δ＝，方程有两个相等的实数根 ，正方形边长为 3 m，面积为 （m²）。 【答案】（1） 或 　（2）Δ＝，总有实数根；k＝3 时两根相等，≠ 3 时两根不相等；两根为 和 　（3）① k＝6，面积 18 m²　② 存在，k＝3，面积 9 m² 【易错提醒】第（2）问讨论根的情况时，不要只写"Δ≥0"而漏掉对 与 ≠ 3 的分类；第（3）问中 k 必须使边长为正数。 学科网（北京）股份有限公司 $