精品解析：吉林长春市 九台区第三中学2026-2027学年度上学期九年级第一次学情自测数学试卷

九台三中九年级数学能力提升练习 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 2. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母． 【详解】解：，，均不是最简二次根式；无法继续化简，是最简二次根式；，不是最简二次根式，则C选项符合题意． 3. 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值是（ ） A. 14 B. 11 C. 5 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先化简已知二次根式，再根据同类二次根式定义列方程求解即可． 【详解】解：， ∵是最简二次根式，且与是同类二次根式， ∴， 解得． 4. 已知是一个正整数，是整数，则的最小值为（ ） A. 7 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据是整数，可得是完全平方数，即可求解． 【详解】解：， ∵是整数， ∴是整数，即是完全平方数， ∵是正整数， ∴的最小值为． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的除法、二次根式的加减运算法则逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，故选项计算正确，符合题意； B、和不是同类二次根式，不能直接相加，故选项计算错误，不符合题意； C、，故选项计算错误，不符合题意； D、和不是同类二次根式，不能直接相加，故选项计算错误，不符合题意． 6. 下列方程中，有一个根为3的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需同时满足一元二次方程的定义及有一个根为3两个条件，先从方程类型入手筛选． 【详解】解：∵ 一元二次方程是只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程． ∴ A选项为一元一次方程，不符合题意； B选项未知数最高次数为3，不符合题意； D选项不是整式方程，不符合题意； 将代入C选项， 左边右边，符合题意； 7. 若关于的一元二次方程的一个根是．则的值是（ ） A. 2029 B. 2023 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入方程得到的整体值，整体代入所求代数式求值． 【详解】解：将代入，得， ， ． 8. 如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（　　） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】通过正方形的面积求出边长为，根据图形之间的联系求出空白小正方形的边长，即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积是75， ∴， ∵， ∴， ∴空白小正方形的边长， ∴这个小正方形的面积为． 二．填空题（每题3分，共18分） 9. 若方程是关于的一元二次方程，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴， 解，得或，即或， 又∵，即， ∴． 10. 把方程化为一般形式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】展开方程左边两个一次式的乘积，合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可. 【详解】解： ； 原方程化为一般形式为. 11. 若一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________． 【答案】 且 【解析】 【分析】该方程是一元二次方程，因此二次项系数不为0；再根据方程有实数根可得根的判别式大于等于0，列不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴根的判别式， 计算得：，解得：， 综上，的取值范围是且． 12. 已知，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，将原方程转化为关于的一元二次方程求解，再根据平方和的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， ∵，， ∴，原方程可化为，开方得， 当时，解得，符合， 当时，解得，不符合，舍去， 因此． 13. 如果与互为相反数，那么的平方根是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相反数的性质得到两个算术平方根的和为0，利用算术平方根的非负性求出和的值，代入计算后求出目标式的平方根即可． 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， ，， 解得，， 代入得， 的平方根为， 的平方根为． 14. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】估算得到的整数部分与小数部分，代入代数式计算即可． 【详解】解：， ， ，， ， ． 三．解答题（共78分） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式乘法，化简后合并同类二次根式． （2）先计算二次根式乘除，化简后合并同类二次根式． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 16. 用指定方法解下列方程 （1）（直接开平方法） （2）（因式分解法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ， 解得：，； 【小问2详解】 解： ， ， ， 解得：，． 17. 用指定方法解下列方程 （1）（配方法） （2）（公式法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ， ， 即， 解得：，； 【小问2详解】 解： ∵， ∴， 所以， 解得：，． 18. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 19. 已知a、b、c为△ABC的三边长，化简：+． 【答案】2a． 【解析】 【分析】由a、b、c为△ABC的三边长，根据三角形三边关系可得，a+b-c＞0，b-c-a＜0，化简二次根式可得答案. 【详解】解：∵a、b、c为△ABC的三边长， ∴a+b-c＞0，b-c-a＜0， ∴原式=a+b-c-（b-c-a） =2a． 【点睛】本题主要考查三角形三边的关系及二次根式的性质与化简. 20. 已知关于的一元二次方程的两根为，且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，进而求出的值，再代入方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 将代入方程得：， 解得． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若一元二次方程的两个根和满足，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再代入即可解答． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：； 【小问2详解】 解：∵方程的两个根为和， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 由（1）得：， ∴． 22. 用整式乘法的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即．例如：分解因式时，，即： 这样我们就可以把分解为． 试用十字相乘法解下列一元二次方程： （1） （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解： ， 或， 解得，； 【小问3详解】 解：， ， 或， 解得，. 23. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是平行四边形的两条对角线的长． （1）当时，求的值． （2）当为何值时，四边形是矩形？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入一元二次方程，求解关于的一元一次方程． （2）根据矩形对角线相等的性质，得方程有两个相等的正实数根，结合判别式与根的符号求解． 【小问1详解】 解：∵是方程的实数根， ∴代入得， ， ， 解得． 【小问2详解】 解：∵平行四边形是矩形， ∴对角线，且，． ∵，是方程的两个实数根， ∴方程有两个相等的正实数根， ∴，且两根之和、两根之积均为正．， 令，即， 因式分解得， 解得，． 由根与系数的关系，得，， ∵对角线长为正数， ∴且，即， ∴不符合题意，舍去． 综上所述，． 24. 阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数满足，且，则可将看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数满足，则可以将看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： （1）已知一元二次方程的两根分别为，则_________，_________． （2）已知实数且满足，求的值． （3）已知实数满足，且，直接写出的值． 【答案】（1）3， （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程的根与系数的关系求解即可； （2）将看作方程的两个不相等的实数根，再求出，的值，代入计算即可； （3）将，看作方程的两个相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两根， ∴，． 【小问2详解】 解：∵实数且满足， ∴可将看作方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴ ． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵，即， ∴可将，看作方程的两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 整理得：， ∴， ∴，符合题意， 即的值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九台三中九年级数学能力提升练习 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值是（ ） A. 14 B. 11 C. 5 D. 3 4. 已知是一个正整数，是整数，则的最小值为（ ） A. 7 B. 4 C. 2 D. 1 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列方程中，有一个根为3的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程的一个根是．则的值是（ ） A. 2029 B. 2023 C. D. 8. 如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（　　） A. B. C. D. 5 二．填空题（每题3分，共18分） 9. 若方程是关于的一元二次方程，则的值是_________． 10. 把方程化为一般形式是_________． 11. 若一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________． 12. 已知，则的值为_________． 13. 如果与互为相反数，那么的平方根是_________． 14. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是_________． 三．解答题（共78分） 15. 计算： （1） （2） 16. 用指定方法解下列方程 （1）（直接开平方法） （2）（因式分解法） 17. 用指定方法解下列方程 （1）（配方法） （2）（公式法） 18. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 19. 已知a、b、c为△ABC的三边长，化简：+． 20. 已知关于的一元二次方程的两根为，且，求的值． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若一元二次方程的两个根和满足，求实数的值． 22. 用整式乘法的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即．例如：分解因式时，，即： 这样我们就可以把分解为． 试用十字相乘法解下列一元二次方程： （1） （2） （3） 23. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是平行四边形的两条对角线的长． （1）当时，求的值． （2）当为何值时，四边形是矩形？ 24. 阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数满足，且，则可将看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数满足，则可以将看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： （1）已知一元二次方程的两根分别为，则_________，_________． （2）已知实数且满足，求的值． （3）已知实数满足，且，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $