精品解析：吉林省长春市德惠市2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试卷

九年级第二次阶段性练习数学学科试卷 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式．最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数，且根指数为2． 【详解】∵A为三次根式，不是二次根式；C中，可化简；D中，可化简；B中的被开方数3无平方因子，且不可化简． ∴最简二次根式是B． 故选：B． 2. 下列成语所描述的事件是必然发生的是（　　） A. 水中捞月 B. 拔苗助长 C. 守株待兔 D. 瓮中捉鳖 【答案】D 【解析】 【分析】必然事件是指一定会发生的事件；不可能事件是指不可能发生的事件；随机事件是指可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解： A选项，不可能事件，不符合题意； B选项，不可能事件，不符合题意； C选项，随机事件，不符合题意； D选项，必然事件，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的定义是本题的关键． 3. 下列二次根式的运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算规则，包括加减乘除．加减法要求同类二次根式才能合并；乘除法可直接进行，但结果需化简． 【详解】解：∵选项A：与不是同类二次根式，不能相减，错误； 选项B：，正确； 选项C：，错误； 选项D：，错误． 故选：B． 4. 如图，要测量小河两岸相对的两点，的距离，可以在小河边取的垂线上的一点，测得米，，则小河宽等于（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查是解直角三角形，根据锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：在中， ∴ 故选：A． 5. 已知2是关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根的值是（ ） A. 0 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键；根据一元二次方程的解的概念，把代入一元二次方程求出a的值，再解一元二次方程即可． 【详解】解：2是关于x的一元二次方程的一个根， ， ， 一元二次方程为， 解得：， 另一个根的值是， 故选：． 6. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 9 B. 3 C. 5 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．由平行线分线段成比例定理，得，代入已知线段得长度求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴即， ∴． ∴ 故选：D． 7. 一次函数和二次函数（，，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，解题的关键是根据一次函数、二次函数的图象，分别确定系数的符号，再作出判断． 对每个图象中的一次函数的图象确定，的符号，再对照二次函数得出，的符号比较是否一致，然后作出选择． 【详解】从选项A中的直线可知，，，抛物线开口向下，所以错误； 从选项B中的直线可知，，，抛物线对称轴在轴左侧，所以错误； 从选项C中的直线可知，，，抛物线开口向上，所以错误； 从选项D中的直线可知，，，抛物线开口向上，对称轴在轴右侧，所以正确． 故选：D． 8. 欧几里得是古希腊数学家，所著的《几何原本》闻名于世．在《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：如图，以和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝，则图中哪条线段的长是方程x2+ax＝b2的解？答：是（    ） A. AC B. AD C. AB D. BC 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次方程，由求根公式求得， 已知AC、BC，由勾股定理求得AB，则AD等于AB和BD之差，比较AD的长度和x的解即可知结论. 【详解】x2+ax＝b2 , 即x2+ax-b2=0 , ∴ ∵∠ACB=90°， ∴AB=， 则 故答案为B. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，与勾股定理，解题关键在于能够求出AB的长度. 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分母不为零的条件．根据二次根式有意义的条件和分母不为零的条件，可知被开方数必须大于零． 【详解】解：由二次根式在实数范围内有意义，需满足分母，且被开方数必须大于或等于零．但由于分母不为零，因此被开方数必须大于零． 解不等式，得，即． 故答案为：． 10. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】m﹤且m≠0 【解析】 【分析】由于关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，由此可以得到m≠0，并且方程的判别式△＞0，由此即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴m≠0，且△＝−4ac＝9-4m＞0， ∴m﹤且m≠0． 故答案为：m﹤且m≠0． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件： （1）二次项系数不为零； （2）在有不相等的实数根下必须满足△＝−4ac＞0． 11. “ ”（汗水是成功的润滑剂）在这个句子所有英文字母中，字母出现的频率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求频率；需要计算句子中所有英文字母的总数和字母出现的次数，然后求频率． 【详解】解：句子“ ”中，英文字母总数为：有个字母，有个字母，有个字母，有个字母，有个字母，总字母数为． 字母出现的位置：中有次，中有次，共次． 因此频率为． 故答案为：． 12. 若二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握抛物线与x轴两交点的横坐标为一元二次方程的两个根，是解题的关键． 根据二次函数图象与x轴的交点得方程的两个根为． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于 ，两点， ∴关于的一元二次方程的解为． 故答案为：． 13. 若抛物线经过点，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，代数式求值．由点在抛物线上，代入得，即．将代数式中的分式部分化简，利用，代入计算即可． 【详解】因为抛物线经过点，所以，即． ∴ 代数式 ． 故答案为：． 14. 二次函数（）的图象如图所示，对称轴是直线，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤．则上述结论正确的是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与系数的关系；由抛物线开口方向得到，由抛物线与轴交点位置得到，则可对②进行判断；利用抛物线的对称轴方程可对①⑤进行判断；由抛物线与轴的交点个数可对③进行判断；由于时函数值小于，则可对④进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交点位于轴正半轴， ，所以②正确； 抛物线的对称轴为直线， ，即，所以①正确，⑤错误； 抛物线与轴有两个不同的交点， ，所以③正确； 时，， ，所以④错误． 故答案为：①②③． 三、解答题（共10小题，满分78分） 15. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得： 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，二次根式的混合运算； （1）利用特殊角的三角函数值代入计算； （2）通过化简根式后进行合并． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 书院是中国古代教育机构，最早出现在唐玄宗时期，其中“应天书院”“岳麓书院”“嵩阳书院”和“白鹿洞书院”是我国的“四大书院”．某校开展“书院文化讲解员”风采展示活动，甲、乙两位同学分别从嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院古代四大书院中随机选择一个进行讲解．设嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院分别用、、、表示． （1）甲选择讲解白鹿洞书院的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学选择讲解的书院中有“应天书院”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率． （1）甲从四个书院中随机选择，每个书院被选中的概率相等，白鹿洞书院对应，故概率为． （2）甲、乙分别选择书院，总共有16种等可能结果，通过列表找出包含应天书院（）的结果有7种，故概率为 ． 【小问1详解】 解：共有4个书院，甲选择讲解白鹿洞书院（）的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 甲乙 共有种等可能结果，其中甲、乙两位同学选择讲解的书院中有“应天书院”（）的结果有7种，即、、、、、、。 ∴甲、乙两位同学选择讲解的书院中有“应天书院”的概率为． 18. 随着科技发展，骑共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计，某市2025年7月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，9月份租车量达9360人次，求平均每个月的增长率． 【答案】平均每个月的增长率为． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用增长率模型求解，其中为初始值，为最终值，为平均每月增长率． 【详解】解：设平均每个月的增长率为， 由题意得：， ， 或（舍去）， ， 答：平均每个月的增长率为． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中以线段为边画，使点在格点上，且； （2）在图②中以线段为边画等腰，使点在格点上； （3）在图③中以线段为边画，使点在格点上，使． 【答案】（1） 如图所示，即为所求（答案不唯一）： （2） 如图所示，即为所求（答案不唯一）： （3） 如图所示，即为所求（答案不唯一）： 【解析】 【分析】本题考查网格作图，等腰三角形的性质与判定，勾股定理与网格，锐角三角函数中的正切值，掌握正切值等于对边与邻边的比是关键； （1）根据，作直角三角形，使得，即可求解； （2）作，即可； （3）在（2）的基础上作的中点，连接，即可求解． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 ∵，，， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，平行四边形中，于，于，与、分别相交于点、．求证：． 【答案】 证明：，， ， 四边形是平行四边形， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质；根据平行四边形的对角相等，以及垂直的定义可得△ABE和△ADF的两角对应相等，则两个三角形相似． 【详解】略 21. 如图，二次函数的图象与轴交于点和点（点在点的左侧），与一次函数的图象交于两点． （1）求的值； （2）求点的坐标； （3）根据图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（）利用二次函数求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）联立两函数解析式，求出方程组的解即可； （）根据函数图象解答即可； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入二次函数，得， 解得，， ∴， 把代入一次函数，得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴一次函数， 由，解得或， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时的取值范围为或． 22. 已知正比例函数的图象与抛物线相交于点． （1）求与的值； （2）若点在函数的图象上，抛物线的顶点是，求的面积； （3）若点是轴上一个动点，求当最小时点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式，解答本题的关键是求出与以及点和点的坐标． （1）先把点的坐标代入中，得，再把点的坐标代入，即可求得答案； （2）根据题意求出点的坐标，再根据三角形的面积公式，进行计算即可得到答案； （3）设点关于轴的对称点为，则的坐标为，连接交轴于点，此时最小，用待定系数法求出直线的解析式，令进行计算，即可得到答案． 【小问1详解】 解：把点的坐标代入中， 得， ． 把点的坐标代入， 得； 【小问2详解】 解：如图 ∵点在函数的图象上， ∴， 由（1）可得抛物线解析式为 ∵抛物线的顶点是C， ∴， ∴， ∴ 求的面积； 【小问3详解】 解：设点关于轴的对称点为，则的坐标为，连接交轴于点，此时最小， 设直线的解析式是， 把，的坐标代入， 得， 解得：， ， 当时，， 点的坐标是． 23. 【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，，是的中点，、分别是直线、上一个动点，连接、、，且，求线段的最小值． 【问题分析】 小明发现、的长度不变且互相垂直，可将沿的方向平移，使和重合，点的对应点为点，将两个动线段拼接在一起，转化成两个定点之间的最短距离问题． 【问题解决】如图②，过点作∥，且． 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求的值；（提示：可过点作的垂线，构造相似三角形进行求解） （2）线段的最小值为______； 【方法应用】 如图③，，，，则最小值为______． 【答案】问题解决：（1）；（2）；方法应用： 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及两点之间线段最短等知识，能正确作出辅助线构造平行线解答本题的关键． [问题解决]（1）过点作于点，证明，可得出的值 （2）由是的中点得，由勾股定理得，由得，过点作，且，连接，则四边形是平行四边形，得，则，当，，三点共线时，最小值为，由勾股定理得即可； [方法应用]过点作，且，连接，过作于点，，当、、三点共线时的值最小，最小值为；由平行四边形的性质得，，得，，，由勾股定理求出即可． 【详解】解：[问题解决]（1）过点作于点，则，如图， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）∵是的中点， ∴， 在中， ∵, ∴， 过点作，且，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当，，三点共线时，最小值为， ∵，， ∴ ∴； [方法应用]过点作，且，连接，过作于点，图， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴当、、三点共线时的值最小，最小值为； 在中，， ∴的最小值为． 24. 如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发沿向终点运动，运动速度为每秒个单位长度，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接．设点的运动时间为秒． （1）______； （2）当点落在边上时，求的值； （3）当与的一边平行时，求的值； （4）连接，当点在的内部（包括边界）时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质； （1）根据三角函数求出，再根据勾股定理进行计算即可； （2）当点在上时，，证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）分情况讨论，当时，过点作于点，当时，如图，过点作于点，则，根据平行线的性质，是等腰直角三角形，进而求得，即可求解． （3）分当点在上时，当点在上时两种情况进行分类讨论即可． 【小问1详解】 解：在中，， 根据勾股定理可得； 【小问2详解】 解：是的中点，， ， 线段绕点逆时针旋转得线段， 是等腰直角三角形， 如图，当点在上时，， ， 又， ， ， 解得， ∴ 【小问3详解】 如图，当时，过点作于点， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 解得：； 当时，如图，过点作于点，则 ∵， ∴ ∴ ∴ 在中，，， ∴， ∴ 解得：； 当在上时，如图， 直线重合，此情形舍去， 综上所述，当点在的内部（包括边界）时，或； 【小问4详解】 如图，当点在上时， 是的中点，， ， ， 又， ， ， 解得， ， ∴， 由（2）可得当点在上时，， ∴当点在的内部（包括边界）时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第二次阶段性练习数学学科试卷 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语所描述的事件是必然发生的是（　　） A. 水中捞月 B. 拔苗助长 C. 守株待兔 D. 瓮中捉鳖 3. 下列二次根式的运算正确的是（） A. B. C. D. 4. 如图，要测量小河两岸相对的两点，的距离，可以在小河边取的垂线上的一点，测得米，，则小河宽等于（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 已知2是关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根的值是（ ） A. 0 B. C. D. 3 6. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 9 B. 3 C. 5 D. 14 7. 一次函数和二次函数（，，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 欧几里得是古希腊数学家，所著的《几何原本》闻名于世．在《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：如图，以和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝，则图中哪条线段的长是方程x2+ax＝b2的解？答：是（    ） A. AC B. AD C. AB D. BC 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 10. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 11. “ ”（汗水是成功的润滑剂）在这个句子所有英文字母中，字母出现的频率是______． 12. 若二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是______． 13. 若抛物线经过点，则代数式的值是______． 14. 二次函数（）的图象如图所示，对称轴是直线，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤．则上述结论正确的是______． 三、解答题（共10小题，满分78分） 15. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 书院是中国古代教育机构，最早出现在唐玄宗时期，其中“应天书院”“岳麓书院”“嵩阳书院”和“白鹿洞书院”是我国的“四大书院”．某校开展“书院文化讲解员”风采展示活动，甲、乙两位同学分别从嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院古代四大书院中随机选择一个进行讲解．设嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院分别用、、、表示． （1）甲选择讲解白鹿洞书院的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学选择讲解的书院中有“应天书院”的概率． 18. 随着科技发展，骑共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计，某市2025年7月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，9月份租车量达9360人次，求平均每个月的增长率． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中以线段为边画，使点在格点上，且； （2）在图②中以线段为边画等腰，使点在格点上； （3）在图③中以线段为边画，使点在格点上，使． 20. 如图，平行四边形中，于，于，与、分别相交于点、．求证：． 21. 如图，二次函数的图象与轴交于点和点（点在点的左侧），与一次函数的图象交于两点． （1）求的值； （2）求点的坐标； （3）根据图象，直接写出当时的取值范围． 22. 已知正比例函数的图象与抛物线相交于点． （1）求与的值； （2）若点在函数的图象上，抛物线的顶点是，求的面积； （3）若点是轴上一个动点，求当最小时点的坐标． 23. 【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，，是的中点，、分别是直线、上一个动点，连接、、，且，求线段的最小值． 【问题分析】 小明发现、的长度不变且互相垂直，可将沿的方向平移，使和重合，点的对应点为点，将两个动线段拼接在一起，转化成两个定点之间的最短距离问题． 【问题解决】如图②，过点作∥，且． 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求的值；（提示：可过点作的垂线，构造相似三角形进行求解） （2）线段的最小值为______； 【方法应用】 如图③，，，，则最小值为______． 24. 如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发沿向终点运动，运动速度为每秒个单位长度，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接．设点的运动时间为秒． （1）______； （2）当点落在边上时，求的值； （3）当与的一边平行时，求的值； （4）连接，当点在的内部（包括边界）时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $