精品解析：上海市宜川中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段练数学试卷

宜川中学2026学年第一学期阶段练 高一数学 考生注意： 1．本练习设试卷和答题纸，答案写在答题纸上，写在试卷上无效． 2．答题前，考生务必在答题纸上清楚填涂班级、姓名和准考证号． 3．本试卷共3页，答题时间90分钟，试卷满分100分． 一、填空题（本大题共有10题，共35分，第1~5题，每题3分，第6~10题，每题4分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知全集为，集合，则______. 2. 将化简为指数幂的形式为__________． 3. 已知集合，集合，则__________（用列举法表示）． 4. 已知，，则__________． 5. 已知等式恒成立，则实数c=________. 6. 已知，，且，则的最小值是__________． 7. 已知关于的不等式（、为实数）的解集为，则不等式的解集为__________． 8. 设，则方程的解集为__________． 9. 已知集合有且仅有一个真子集，则实数__________． 10. 已知全集，若集合，且对任意，均存在，使得：，则称集合为“对称对点集”．给出如下集合： （1）； （2）； （3）； （4）． 其中是“对称对点集”的序号为__________（写出所有正确的序号） 二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题3分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 11. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. ，，，，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 13. 已知关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14. 某种生产设备购买时费用千元，每年的设备管理费共计千元，这种生产设备的维修费前（）年共千元，问这种生产设备使用多少年报废最合算？（即年平均费用最少）（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有4题，满分53分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 15. （1）设集合，，若，求实数的取值范围； （2）已知一元二次方程的两个不等实根为，，且，求实数的值． 16. 设全集为，已知集合，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 17. （1）已知，为正实数，若，试用反证法求证：和中至少有一个大于； （2）设，为正实数，，，试比较，的大小，并说明理由． 18. 已知集合，为正整数． （1）设，，，，，若互不相同的三个实数，，，满足，求有序数组； （2）设，，其中，，且，中所有元素之和为124，求集合A； （3）设，有7个互不相同的集合A分别记为，，，…，，且、，记，求中元素个数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜川中学2026学年第一学期阶段练 高一数学 考生注意： 1．本练习设试卷和答题纸，答案写在答题纸上，写在试卷上无效． 2．答题前，考生务必在答题纸上清楚填涂班级、姓名和准考证号． 3．本试卷共3页，答题时间90分钟，试卷满分100分． 一、填空题（本大题共有10题，共35分，第1~5题，每题3分，第6~10题，每题4分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知全集为，集合，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的定义运算即可. 【详解】因为，全集为，根据补集的定义可知. 故答案为： 2. 将化简为指数幂的形式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接将根式化为指数幂的形式即可. 【详解】由题知，，则. 3. 已知集合，集合，则__________（用列举法表示）． 【答案】 【解析】 【详解】联立方程，解得， 所以. 4. 已知，，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用指数和对数的互化公式，结合同底数幂的运算即可求解. 【详解】由题知，，， 所以， 所以. 5. 已知等式恒成立，则实数c=________. 【答案】4 【解析】 【分析】据多项式相等，对应项系数相等，列方程求解. 【详解】等式恒成立, 即 即, 由得:,. 故答案为： 6. 已知，，且，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【详解】由，，且， 则， 即，解得， 所以的最小值是． 7. 已知关于的不等式（、为实数）的解集为，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次不等式解集的特点，得到，代入求解不等式即可. 【详解】关于的不等式（、为实数）的解集为， 所以，即. 对比可得. 因为，所以，即， 所以解集为 8. 设，则方程的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用分类讨论去绝对值求解即可. 【详解】当，则，解得. 当，则，此时方程恒成立. 当，，解得. 综上所述解集为. 9. 已知集合有且仅有一个真子集，则实数__________． 【答案】或 【解析】 【详解】因为集合有且仅有一个真子集， 所以方程只有唯一解， 当时，，符合题意； 当时，，即， 所以实数或. 10. 已知全集，若集合，且对任意，均存在，使得：，则称集合为“对称对点集”．给出如下集合： （1）； （2）； （3）； （4）． 其中是“对称对点集”的序号为__________（写出所有正确的序号） 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】利用“对称对点集”的概念判断（1）（2）是“对称对点集”；通过特例判断（3）不是“对称对点集”；根据概念，结合方程解存在情况判断（4）不是“对称对点集”. 【详解】对（1），设，. 令，则， 所以，且. 所以集合是“对称对点集”． 对（2），函数可化为，为偶函数. 设，令，因为，即， 且， 所以集合是“对称对点集”． 对（3），，假设，为点在中的对称对点， 则，该方程无解. 即在中不存在对称对点， 所以集合不是“对称对点集”． 对（4），，， 设，是中的对称对点，则. 因为同号时，；异号时，. 所以方程无解. 所以集合不是“对称对点集”． 二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题3分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 11. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出分式不等式的解集，根据充分必要条件定义判断. 【详解】因为，解得或， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 12. ，，，，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断. 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 13. 已知关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因二次项系数恒为正，故只需对应二次函数的判别式小于即可求解的取值范围. 【详解】关于的不等式对于一切实数都成立， 对应二次函数的判别式小于即可，即，得， 即实数的取值范围是. 14. 某种生产设备购买时费用千元，每年的设备管理费共计千元，这种生产设备的维修费前（）年共千元，问这种生产设备使用多少年报废最合算？（即年平均费用最少）（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设这种生产设备使用（）年的年平均费用为， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以这种生产设备使用年报废最合算． 三、解答题（本大题共有4题，满分53分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 15. （1）设集合，，若，求实数的取值范围； （2）已知一元二次方程的两个不等实根为，，且，求实数的值． 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）分别求出集合、，根据交集运算即可求解； （2）根据韦达定理可得两根之和、两根之积，利用完全平方公式运算即可求解. 【详解】（1），， ，或， ， 或，解得或. （2）一元二次方程有两个不等实根， ，解得或， 根据韦达定理可得：，，， 解得，或（舍）. 16. 设全集为，已知集合，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用集合交集运算即可求解； （2）利用集合交集性质即可求解； 【小问1详解】 由， ， ，，， 此时，满足，符合题意，则. 【小问2详解】 由（1）知，，， 则， ，，或，解得或， 实数的取值范围为. 17. （1）已知，为正实数，若，试用反证法求证：和中至少有一个大于； （2）设，为正实数，，，试比较，的大小，并说明理由． 【答案】（1）假设和都不大于，即，， 因为，所以，所以， 两式相加得，即，与已知矛盾， 所以假设不成立，即和中至少有一个大于； （2）.因为，所以， 所以要比较，的大小只需比较的大小. . 因为，所以，所以，即， 因为，所以. 【解析】 【分析】（1）用反证法证明即可； （2）利用不等式的性质，将比较，的大小转化为比较的大小，再用比差法判断即可. 【详解】略 18. 已知集合，为正整数． （1）设，，，，，若互不相同的三个实数，，，满足，求有序数组； （2）设，，其中，，且，中所有元素之和为124，求集合A； （3）设，有7个互不相同的集合A分别记为，，，…，，且、，记，求中元素个数的最小值． 【答案】（1），，，，， （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）求出集合，设，根据条件列出方程组，求出，，即可得解； （2）由条件分析出，，从而推出或，再分两种情况讨论，最终确定，进而求出，即可得解； （3）设中元素个数为，分和两种情况讨论并排除，从而得到，再取验证即可得解. 【小问1详解】 由题意可知， 由题意，不妨设，， 则可得三个数两两之和为，解得， 所以满足条件的有序数组为三个数字的全部排列， 所以有序数组为，，，，，； 【小问2详解】 因为，所以，所以是集合中某个正整数的平方， 又因为是最小的正整数，所以只能是，此时满足. 又，所以，所以也是集合中某个正整数的平方， 因为，所以，则有或. 若，则，， 因为，且为正整数，所以只能是， 故，，，符合题意， 则，此时， 故不符合题意，所以只能， 故，，此时， 则有， 即，解得正整数. 此时，，， 满足，中所有元素之和为， 故； 【小问3详解】 当时，每个集合均为含有2个元素的二元集合， 设中元素个数为， 若，从个元素中最多能得到个不同二元集合，不足7个， 故不可能. 若，则有个不同二元集合，数量超过7个，符合要求. 因为，， 即要求7个互不相同的二元集合排成环，且相邻（含首尾）集合交集为空集. 假设，不妨设，，，则： 与矛盾 与矛盾 或 与矛盾 与矛盾 与矛盾 或 与矛盾 故不可能. 综上，，取， 令，，，， ，，. 此时，，，…，是7个互不相同的二元集合， 且，，，， ，，，满足全部条件， 故中元素个数的最小值为6. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $