上海市晋元高级中学2025-2026学年高一上学期12月单月教学诊断数学试题

高一第一学期12月单月散学诊断数学学科试卷 一、填空题（1-6每题3分、7-12每题4分，满分42分） 1. 设全集，，则________. 2. 已知一个扇形的圆心角为，面积为27，则该扇形的半径为______． 3. 不等式的解集是________． 4. 已知且，则函数的图象经过定点________． 5. 已知角的终边经过点，则________． 6. 已知，若函数是幂函数，且在上是严格减函数，则________． 7. 已知，且，则的最小值为______. 8. 已知，函数是定义在上的偶函数，且在上是严格增函数．若，则实数的取值范围是________． 9. 已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 10. 已知，函数，若对任意实数k，函数总有零点，则a的取值范围是________． 11. 设圆的半径为2，点为圆周上给定一点，如图，放置边长为2的正方形（实线所示，正方形的顶点与点重合，点在圆周上），现将正方形沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点首次回到点的位置时，点所走过的路径的长度为______． 12. 已知函数，若存在满足，则的取值范围为__________． 二、选择题（13-14每题3分、15-16每题4分，满分14分） 13. 中，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 14. 下列说法正确的是（ ） A. 第二象限角都比第一象限角大 B. 将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为 C. 角和角是终边相同的角 D. 都是正数 15. 已知，若存在实数x，使得不等式成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数的定义域均为，给出下列两个命题： 命题甲：若均为奇函数，则均为奇函数； 命题乙：若均为上的严格增函数，则至少有一个是上的严格增函数． 下列说法正确的是（ ） A. 甲是真命题，乙是真命题 B. 甲是真命题，乙是假命题 C. 甲是假命题，乙是真命题 D. 甲是假命题，乙是假命题 三、解答题（17-19每题10分，20题14分） 17. 已知，且是定义在上的偶函数． （1）求a的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明． 18. （1）已知，求的值； （2）已知角是第二象限角，且，若角的终边与单位圆交于第二象限内的点P，求点P坐标． 19. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米时）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时，研究表明，当时，车流速度v是车流密度x的一次函数． （1）当时，求车流速度v关于车流密度x的函数的表达式； （2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大？最大值是多少（精确到1辆/时）？ 20. 对于定义域为D的函数，区间，若满足以下两个条件： ①对任意的，都有； ②存在常数，使得对任意的，都有； 则称为区间上的压缩函数 特别地，若常数，我们称为区间I上的严格压缩函数． （1）判断是否为区间上的压缩函数，并说明理由； （2）已知，函数，证明：“是区间上的压缩函数”的充要条件是“”； （3）若函数是区间上的严格压缩函数，且在I上的图像是一段连续曲线，求证：存在唯一的，使得． 高一第一学期12月单月散学诊断数学学科试卷 一、填空题（1-6每题3分、7-12每题4分，满分42分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】6 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】## 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（13-14每题3分、15-16每题4分，满分14分） 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】D 【15题答案】 【答案】A 【16题答案】 【答案】B 三、解答题（17-19每题10分，20题14分） 【17题答案】 【答案】（1）1 （2）函数在上单调递增；证明如下： 由（1）可得， 任取，且， 则 因为，所以，，，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增. 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）； （2），最大值为3333. 【20题答案】 【答案】（1）不是，理由如下： 假设函数是区间上的压缩函数， 则存在常数，使得对任意的，都有 ， 当，时，， 则，即， 令， 则， 构造函数，其中， 则， 则在内单调递减，由此，则， 所以，则在内单调递减， 又因为，则恒成立， 故要使恒成立，则， 这与矛盾，故假设错误， 所以函数不是区间上的压缩函数. （2）证明： 充分性：当时，， 对于任意，，满足条件①， 对于任意，， 即存在，满足， 所以是区间上的压缩函数. 必要性：已知是区间上的压缩函数， 则存在常数，对于任意，都有， 因为，则有，， 所以，所以，又因为， 所以，故对于任意，， 若， 当，时，则恒成立； 由，由函数在上单调递减， 可得， 所以可化为，化简得； 则，这与矛盾，故不满足题意； 若， 当，时， 由，可得，即恒成立， 由函数在上也单调递减， 则，这与矛盾，故也不满足题意； 若，对于任意，，满足题意； 因此是区间上的压缩函数，则. 综上所述，“是区间上的压缩函数”的充要条件是“”. （3）证明： 令，因为在上的图像是一段连续曲线， 所以在上也是连续的，且对任意， 所以由，则， 则，，即； 同理，则，，即. 若，或，则或， 故满足，使得； 若，且，则且，且在上连续， 则由零点存在性定理可知，，使得； 下面证明唯一存在性. 假设存在，，使得，， 则， 由题意函数是区间上的严格压缩函数， 但根据条件②，存在，使得， 即， 则，这与矛盾，故假设错误； 所以存在唯一的，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $