专题03 自由落体和竖直上抛 期中考试复习讲义 -2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

2026—2027学年高一上学期物理期中复习讲义（人教版2019·江苏专用） 专题三 自由落体和竖直上抛 2026—2027学年度第一学期 · 期中复习 专题三　自由落体和竖直上抛 高一物理（人教版2019）· 江苏专用　|　精讲精练 · 原卷版 70 分钟 建议用时 47 题 题量设置 ★★★★☆ 难度系数 原卷版 讲义版本 01　内容概览 01　自由落体运动 · 考点一　自由落体运动的基本规律 · 考点二　自由落体运动的比例关系 · 考点三　自由落体运动的实验探究 02　竖直上抛运动 · 考点四　竖直上抛运动的基本规律 · 考点五　竖直上抛运动的对称性 · 考点六　竖直上抛运动的图像 03　相遇问题 · 考点七　自由落体与竖直上抛的相遇 · 考点八　多物体的相对运动与相遇 04　综合练习 · 7 选择 + 7 解答 + 1 实验精选真题 · 限时闯关 · 查漏补缺 02　期中考情分析（江苏） 100 分 试卷满分 75 分钟 考试时长 11 题 / 44 分 单项选择题 5 题 / 56 分 非选择题 江苏高一物理期中一般由地市教研室或名校联考统一命题，全部答案写在答题卡上。下表汇总了近两年南京、苏州等地真题的典型结构： 题型 题量 分值 考查重点 单项选择题 11 题 44 分（每题 4 分） 概念辨析、比例与对称、图像理解、相遇临界判断 实验题 1～2 题 约 14～18 分 用打点计时器、频闪、光电门研究自由落体并测量重力加速度 计算与综合题 3～4 题 约 38～42 分 自由落体与竖直上抛、最大高度与总时间、多过程、相遇与相对运动 考试范围 本次期中统考范围为必修第一册：第一章《运动的描述》、第二章《匀变速直线运动的研究》、第三章《相互作用——力》，以及第四章第一节《牛顿第一定律》。 本专题聚焦第二章中的自由落体运动与竖直上抛运动，覆盖自由落体规律、初速度为零的比例关系、自由落体的实验探究、竖直上抛规律与对称性、v-t／h-t／a-t 图像，以及自由落体与竖直上抛的相遇、竖直方向多物体的相对运动等核心内容。请以本校考试说明为准。 命题特点 ■ 规律公式为核心：自由落体三公式（v=gt、h=½gt²、v²=2gh）和竖直上抛的最大高度、上升与总时间是命题主干，常结合井深、坠物、球类运动考查。 ■ 比例与对称高频：初速度为零的比例（1:2:3、1:4:9、1:3:5）、竖直上抛时间与速度的对称性是热点，常以滴水计时、频闪摄影、杂技抛球等为情境。 ■ 图像贯穿始终：v-t 图斜率（−g）与面积、h-t 抛物线顶点、a-t 水平直线是读图关键，图像题在选择题中占比高。 ■ 相遇与相对运动压轴：自由落体与竖直上抛的相遇、多物体相对运动常作压轴，抓住“重力项相消、相对匀速”的临界，要求“写公式—代数据—带单位”。 备考建议 · 记牢公式与正方向：自由落体取竖直向下为正、竖直上抛取向上为正，各量带符号代入，先规定方向再列式； · 分清比例与对称：熟记初速为零的各套比例，分清“累计位移”与“各段位移”，用最高点的对称性快速求时间与速度； · 过好图像关：v-t 看斜率与面积、h-t 看顶点与交点、a-t 看是否恒定，最高点处加速度不为零； · 相遇相对抓临界：落体与上抛相遇时间 t=H/v₀ 与 g 无关，两物体加速度相同可按相对匀速处理，计算题分段建模、规范书写。 03　期中复习目标 序号 复习目标 要求层级 对应考点 自评达成 1 理解自由落体运动的条件与性质，掌握 v=gt、h=½gt²、v²=2gh，能求下落时间、速度和高度 应用 考点一 □ 2 掌握初速度为零的比例关系，能区分“累计位移”与“各段位移”，会逆向处理问题 掌握 考点二 □ 3 了解伽利略的研究方法与牛顿管实验，会用打点计时器、频闪、光电门测量重力加速度 应用 考点三 □ 4 掌握竖直上抛规律与分段、全程两种方法，能求最大高度、上升时间和总时间 掌握 考点四 □ 5 理解竖直上抛的时间、速度对称性与三类图像，能解决相遇与相对运动问题 掌握 考点五～八 □ 04　知识体系（思维导图） 图1　自由落体和竖直上抛知识体系思维导图 考向一　自由落体运动 考点一 　自由落体运动的基本规律 知识梳理 1．自由落体运动 （1）定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动，叫作自由落体运动。 （2）条件：①初速度为零；②只受重力（空气阻力很小、可忽略）。 （3）性质：自由落体运动是初速度为零、加速度为 g 的匀加速直线运动。 2．重力加速度 g：方向竖直向下；粗略计算时 g 可取 10 m/s²。g 随纬度增大而增大，随高度增大而减小。 3．自由落体运动的基本规律（取竖直向下为正）： （1）速度公式： （2）位移公式： （3）速度—位移公式： （4）下落时间： 表1　自由落体运动的基本公式 公式名称 公式 适用情形 速度公式 求速度、时间 位移公式 求下落高度、时间 速度—位移公式 不含时间 下落时间 已知下落高度求时间 重难诠释 自由落体运动的两个条件缺一不可：初速度为零、只受重力（空气阻力可忽略）。 物体下落的快慢与质量无关：真空中重物与轻物下落得一样快，加速度同为 g。 自由落体是“从静止出发的匀加速”，是匀变速直线运动的特例，公式中的 t、h、v 均从释放点起算。 图2　自由落体运动的 v-t 图像（过原点的倾斜直线，斜率为 g） 例题 （2025秋•射阳县校级期中）关于自由落体运动，下列说法正确的是（　　） A．物体竖直向下的运动就是自由落体运动 B．从水平飞行的飞机上释放的物体将做自由落体运动 C．雨滴下落的过程是自由落体运动 D．从水龙头上滴落的水滴下落的过程可近似看作自由落体运动 易错点 　自由落体下落快慢与质量无关：两球同时从静止释放，加速度均为 g，任意时刻速度、下落高度都相同，故两球速度差、间距均恒定，不会在空中相撞。切勿认为“质量大的下落得快、会追上质量小的”。 变式 1 （2025秋•射阳县校级期中）某同学将一石块从一竖直山洞洞口由静止释放，约过1s听到石块落地的声音。若忽略声音传播的时间，取g＝10m/s2，则山洞的深度约为（　　） A．1m B．5m C．10m D．15m 变式 2 （2025秋•高新区校级期中）实验小组让一个小石块从井口自由落下，2s后听到石块击水的声音。估测得水面到井口的距离为（　　） A．5m，估测值偏大 B．5m，估测值偏小 C．20m，估测值偏大 D．20m，估测值偏小 变式 3 （2025秋•如皋市期中）如图所示，用直尺制作一把“反应时间测量尺”，标上等时间间隔的刻度。A同学用两个手指捏住一把长50cm的直尺的顶端，B同学用一只手在直尺0刻度位置做捏住直尺的准备，但手不碰到直尺。在A同学放开手指让直尺下落时，B同学立刻捏住直尺，读出B同学捏住直尺的刻度，可以算出B同学的反应时间，g取10m/s2，则（　　） A．B同学捏住直尺时的位置越靠近上端说明“反应时间”越短 B．若B同学捏住直尺20cm处，则反应时间约为0.4s C．该“反应时间测量尺”刻度均匀 D．该“反应时间测量尺”刻度下密上疏 考点二 　自由落体运动的比例关系 知识梳理 1．等分时间的比例（初速度为零）： （1）1T、2T、3T…末速度之比： （2）前 1T、2T、3T…内（累计）位移之比： （3）第 1T、第 2T、第 3T…内（各段）位移之比：1：3：5。 2．等分位移的比例： （1）通过连续相等位移末速度之比： （2）通过连续相等位移所用时间之比： 表2　初速度为零的比例关系 类别 比例关系 记忆要点 等分时间·末速度 1：2：3 与时间成正比 等分时间·累计位移 1：4：9 与时间平方成正比 等分时间·各段位移 1：3：5 连续奇数比 等分位移·末速度 末速度与位移的平方根成正比 等分位移·各段时间 所用时间越来越短 重难诠释 比例关系只适用于初速度为零的匀加速运动，使用前要先确认初速度为零。 分清“前 nT 内（累计）位移”1：4：9 与“第 nT 内（各段）位移”1：3：5，两者不可混用。 通过连续相等位移的累计时间比为 ，相邻两段时间比为 。 图3　自由落体等时间间隔的位置（各段间距 1：3：5，累计位移 1：4：9） 例题 （2025秋•宜兴市期中）如图所示，一水龙头损坏后不能完全关闭，有水滴从管口由静止开始不断下落，相邻两个水滴之间时间间隔相等，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．落地前，水滴1、2之间距离保持不变 B．落地前，水滴1、2之间速度差逐渐增大 C．水滴1、2的落地时间差大于水滴2、3的落地时间差 D．落地前，水滴1、2之间的距离与水滴2、3之间的距离差值保持不变 易错点 　要区分“累计时间、累计位移”与“各段时间、各段位移”：通过 1m、4m、9m 处是累计位移，累计时间之比为 1：2：3，相邻两段时间之比不是 1：4：9 或 1：3：5，而是 1：（。 变式 1 （2025秋•惠山区校级期中）如图是小球自由下落时的频闪照片示意图，照片中的数字是小球落下的距离，单位是厘米，重力加速度g取10m/s2，则频闪仪相邻两次闪光的时间间隔为（　　） A．0.04s B．0.05s C．0.08s D．0.16s 变式 2 （2025秋•高新区校级期中）暗室中小球做自由落体，按下胶片照相机的快门并使之处于常开状态，频闪仪每隔时间T发出一次强烈闪光，得频闪照片如图所示，测量并按照比例尺换算得相邻位置距离，重力加速度为g，则小球在图中D位置瞬时速度为（　　） A．3gT B． C． D． 变式 3 （2025秋•高新区校级期中）有一弹性小球，在某高度处由静止开始自由下落，与桌面碰撞后反弹，不计空气阻力与碰撞时间，其速度—时间图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 考点三 　自由落体运动的实验探究 知识梳理 1．伽利略的研究方法 （1）逻辑推理：用“归谬”否定“重物下落得快、轻物下落得慢”的观点； （2）斜面实验：让小球沿斜面下滑以“冲淡”重力，间接证明自由落体是匀加速运动，再合理外推； （3）科学方法：观察现象→提出假设→逻辑推理→实验验证→修正推广。 2．牛顿管（毛钱管）实验：有空气时羽毛比硬币下落得慢；抽去空气后羽毛与硬币同时落地，说明下落快慢与质量无关。 3．测量重力加速度：利用打点计时器、频闪、光电门等研究自由落体运动。 由纸带相邻相等时间 T 内位移差恒定可求 g： 表3　研究自由落体的方法 研究方法 内容 结论或公式 逻辑推理 归谬分析“重物与轻物” 下落快慢与质量无关 斜面实验 “冲淡”重力，小球滚下斜面 自由落体是匀加速运动 牛顿管 对比有无空气时的下落 真空时同时落地 纸带/频闪 记录各时刻位置 重难诠释 牛顿管中有空气时羽毛慢，是因为空气阻力相对其重力影响大；抽真空后两者加速度相同、同时落地。 伽利略用斜面“冲淡”重力、放慢运动，再把结论合理外推到自由落体，开创了实验与推理结合的方法。 用打点计时器测 g 时常用 Δx=gT²，要先判断纸带起始点是否为自由释放点。 图4　牛顿管（真空管）实验：抽真空后羽毛与硬币同时落地 例题 （2025秋•镇江期中）某实验小组用如图1所示的实验装置测自由落体运动的加速度。 （1）如图2所示，用刻度尺测量纸带上a点的坐标，其读数为_________ cm。 （2）某次实验打出的纸带如图3所示，则纸带的_____ （选填“左”或“右”）侧与重锤相连。 （3）如图3所示，选择纸带上某一点为0点，依次取后面连续的点为1、2、3、4、5点，量出各点到0点的距离x1、x2、x3、x4、x5。以打下0点时为t＝0时刻，记录数据如表所示。请在图4中作出的关系图像。 计数点序号 1 2 3 4 5 x/m 0.0270 0.0584 0.0950 0.1344 0.1790 t/s 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 1.35 1.46 1.58 1.68 1.79 （4）根据图4的图像可知，本次测得的重力加速度g＝_________ m/s2，打下0点时，重锤的速度为_________ m/s。 易错点 　牛顿管抽成真空后，硬币与羽毛都只受重力、加速度同为 g，因而同时落地，与质量、形状无关。有空气时羽毛慢，是因为空气阻力相对其重力影响大，并非“轻的下落得慢”。 变式 1 （2025秋•新吴区校级期中）如图甲，某同学利用光电门计时器测自由落体运动的加速度，小球直径为d。小球被电磁铁吸住时，球心到光电门的距离为h，小球通过光电门的时间为Δt，画出图像，如图乙，下列说法正确的是（　　） A．实验中选同体积的小木球比小钢球要好 B．实验中应该先释放小球再接通光电门计时器的电源 C．若图乙中直线斜率为k，则重力加速度 D．比小球球心通过光电门的真实速度偏大 变式 2 （2025秋•射阳县校级期中）伽利略对自由落体运动的研究，是科学实验和逻辑思维的完美结合，如图所示，可大致表示其实验和思维的过程，对这一过程的分析，下列正确的是（　　） A．运用丁图实验，可“放大”重力的作用，从而使实验现象更明显 B．其中丁图是实验现象，甲图是经过合理外推得到的结论 C．运用甲图实验，可“冲淡”重力的作用，更方便进行实验测量 D．伽利略认为自由落体运动的速度是均匀变化的，这是他用实验直接进行了验证的 变式 3 （2025秋•邳州市期中）人们发现了伽利略做斜面实验时的一页手稿，其中三列数据见图，第二列是时间，第三列是物体沿斜面运动的距离，第一列是伽利略在分析实验时添加的数据，根据图中的数据，可能得出的结论是（　　） A．物体做匀速直线运动 B．物体做非匀变速直线运动 C．物体运动的距离与时间成正比 D．物体运动的距离与时间的平方成正比 考向二　竖直上抛运动 考点四 　竖直上抛运动的基本规律 知识梳理 1．竖直上抛运动：将物体以一定的初速度竖直向上抛出去，物体只在重力作用下的运动。 2．特点：初速度竖直向上，加速度恒为 g（竖直向下），是匀变速直线运动。 3．运动规律（取竖直向上为正）： （1）速度公式： （2）位移公式： （3）速度—位移公式： 4．两个重要物理量：最大高度　；上升到最高点的时间　，落回抛出点的总时间　。 表4　分段法与全程法 项目 分段法 全程法 上升过程 匀减速到 0： 全程使用： 下落过程 自由落体：、 位移公式自动给出 最高点 速度为 0、加速度为 g 取 t 使 v=0 落回抛出点下方 需分两段计算 h 为负，带符号代入 关键 抓住最高点速度为 0 注意矢量性，统一正方向 重难诠释 竖直上抛的物体在最高点速度为零，但仍受重力、加速度仍为 g，并非“不受力、处于平衡”。 最高点是“瞬间静止”而不是“静止状态”，上升过程和下落过程的加速度始终为 g。 用全程法处理落回抛出点下方的问题时，位移 h 为负，必须带符号代入。 图5　竖直上抛运动示意（取向上为正，初速度 v0，最高点距抛出点 H） 例题 （2025秋•六合区期中）将甲、乙两个小球从离地面40m高的地方分别以10m/s的速率竖直上抛和竖直下抛，两小球落地后均不反弹。若不计空气阻力，取g＝10m/s2，则下列说法不正确的是（　　） A．两小球均未落地前，速度变化率相同 B．两小球落地的时间差为2s C．两小球均未落地前，速度之差不变 D．两小球均未落地前，小球间的距离先增大后减小 易错点 　竖直上抛的物体在最高点速度为零，但仍受重力、加速度仍为 g，并非“不受力、处于平衡”；从抛出到落回抛出点的总时间为 2v₀/g，全程法处理落回下方时 h 为负。 变式 1 （2025秋•常州校级期中）将一小球以某一初速度竖直向上抛出，以抛出时刻为计时起点，经t＝5s落回抛出点．不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．小球在第3s内的平均速度为0 B．小球落回抛出点时的速度为50m/s C．小球上升的最大高度为40m D．小球在5s内的平均速度为12.5m/s 变式 2 （2025秋•锡山区校级期中）游客乘坐热气球游玩。他将手机伸到外面拍照，却不慎松手。脱手时热气球正在以10m/s速度匀速竖直上升。此时热气球距离地面15m高。松手前瞬间，手机相对热气球静止。手机最后落至地面。手机可视为质点，忽略一切阻力。若约定：以手机脱手处为坐标原点，以竖直向上为正方向，取g＝10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．手机在最高点的坐标为+10m B．从最高点到落地点，手机的位移为﹣30m C．从抛出点到落地点，手机的平均速度为+5m/s D．从抛出点到落地点，手机的速度变化量为﹣30m/s 变式 3 （2025秋•常州校级期中）一根长15cm的金属管竖直放置在足够高处，在其正下方距下端60cm处一小球以4m/s的初速度竖直向上抛出，小球直径小于金属管内径，如图所示，开始时金属管固定，不计一切摩擦，取g＝10m/s2。 （1）求小球上升的最高点距管上端的距离h； （2）求小球在金属管内运动的时间t； （3）若抛出小球时同时释放金属管，求小球在金属管内运动时间Δt。 考点五 　竖直上抛运动的对称性 知识梳理 1．时间对称性 （1）物体从某点上升到最高点的时间，等于从最高点下降到该点的时间； （2）从抛出到落回抛出点的总时间： 2．速度对称性 （1）物体在同一位置，上升时与下落时的速度大小相等、方向相反； （2）物体落回抛出点时速度大小等于初速度，方向竖直向下。 同一位置两次经过的速度： 表5　竖直上抛运动的对称性 项目 上升过程 下降过程 同一位置速度 竖直向上 竖直向下（等大反向） 同一段高度用时 与下落用时相等 与上升用时相等 最高点 速度为 0、加速度为 g 速度为 0、加速度为 g 抛出点速度 初速度向上 落回时速度向下、等大 重难诠释 利用时间对称性：两次经过同一位置的时刻，关于到达最高点的时刻对称。 利用速度对称性：同一位置上升与下落速度等大反向，可据此快速求速度。 竖直上抛运动关于最高点“左右对称”，上升与下落如“镜像”。 图6　竖直上抛运动的对称性（h-t 图关于最高点对称） 例题 （2025秋•泉山区校级期中）从地面上将一个小球竖直上抛，经t时间小球经过空中的某点A，再经过t时间小球又经过A点。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球上升的最大高度为 B．A点离抛出点的距离为gt2 C．小球抛出时的速率为2gt D．小球抛出时的速率为3gt 易错点 　利用竖直上抛的对称性：物体在同一位置上升与下落时的速度等大反向，两次经过同一位置的时间关于到达最高点的时刻对称，两次经过某点的时间中点即到达最高点的时刻。 变式 1 （2025秋•常州校级期中）如图所示，一位身高1.80m的高中学生，凭借2.12m的好成绩获得跳高冠军。根据以上信息，可以估算出该同学这次起跳离地时竖直向上的速度最接近于（　　） A．3m/s B．5m/s C．7m/s D．9m/s 变式 2 （2025秋•鼓楼区校级期中）一长为L＝0.45m的金属管从地面以2m/s的速率竖直上抛，管在运动过程中保持竖直，管口正上方高h处有一小球同时自由下落，已知重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力，若金属管落地前小球从管中穿过，则h可能是（　　） A．0.3m B．0.4m C．0.5m D．0.6m 变式 3 （2025秋•常州期中）校运会上，小明参加了跨越式跳高比赛，身高1.8米的他跳出了2米的好成绩。由此估算他的竖直起跳初速度最接近（　　） A．1m/s B．2m/s C．5m/s D．6m/s 考点六 　竖直上抛运动的图像 知识梳理 1．v-t 图像：是一条斜率为 −g 的直线，与 t 轴交点表示到达最高点；t 轴上方为上升、下方为下降，图线与 t 轴围成的面积表示位移。 2．h-t 图像：是一条开口向下的抛物线，顶点表示最高点，与 t 轴交点表示落回抛出点。 3．a-t 图像：全程加速度恒为 −g，是一条水平直线（最高点处也为 −g）。 表6　竖直上抛运动的三类图像 图像 形状 关键信息 v-t 图 斜率为 −g 的直线 与 t 轴交点为最高点，面积为位移 h-t 图 开口向下的抛物线 顶点为最高点，图像关于最高点对称 a-t 图 位于 −g 的水平直线 全程加速度恒定，含最高点 斜率/面积 v-t 斜率恒为 −g 最高点处斜率不变，面积上正下负 重难诠释 全过程（含最高点）加速度恒为 −g：v-t 图斜率不变、a-t 图为水平直线。 最高点处 v=0 但斜率不变，不要误判为“加速度为零”。 图像三看——v-t 看斜率，h-t 看顶点，a-t 看恒定。 图7　竖直上抛运动的 v-t 图像（斜率恒为 −g，t 轴交点为最高点） 例题 （2025秋•滨湖区校级期中）若一物体从火星表面竖直向上抛出（不计气体阻力）时的x﹣t图像如图所示，则（　　） A．该物体被抛出时的初速度大小为8m/s B．该火星表面的重力加速度大小为9.8m/s2 C．该物体上升的时间为10s D．该物体落到火星表面时的速度大小为16m/s 易错点 　竖直上抛全过程（含最高点）加速度恒为 −g：v-t 图是一条斜率不变的直线，a-t 图是位于 −g 的水平直线。最高点处 v=0 但斜率不变、加速度不为零，不要误判为“加速度为零”。 变式 1 （2025秋•海安市校级期中）t＝0时刻从某点竖直上抛一个小球，用一台固定的相机每隔时间T拍一张照片（不计曝光时间），0、T、2T时刻的照片从左向右排列如图所示，不计空气阻力，重力加速度为g，则图示位置小球的高度差为（　　） A．0.2gT2 B．0.5gT2 C．gT2 D．2gT2 变式 2 （2025秋•南京期中）从某点竖直上抛一个小球，用一台固定的相机分别于0、T、2T时刻通过曝光记录下小球在空中的位置，照片从左向右排列如图所示，不计空气阻力，重力加速度为g，则小球在0时刻的速度为（　　） A．gT B．gT C．gT D．2gT 变式 3 （2025秋•惠山区校级期中）小球A从地面开始做竖直上抛运动，同时小球B从距地面高度为h0处由静止释放，两小球距地面的高度h与运动时间t关系图像如图乙，重力加速度为g，不计空气阻力，则（　　） A．A到最高点时速度为零，加速度也为零 B．A上升过程的平均速度小于B下降过程的平均速度 C．A、B处于同一高度时距地面 D．A、B落地的时间差为 考向三　自由落体与竖直上抛的相遇问题 考点七 　自由落体与竖直上抛的相遇 知识梳理 1．建立运动方程（物体 A 从高 H 处自由下落，物体 B 从地面竖直上抛）： A：　B： 2．相遇条件：相遇时两物体高度相等。 解得相遇时间　（重力项 g 相消），相遇高度　。 3．临界条件（比较相遇时间与 B 上升时间）： 表7　自由落体与竖直上抛相遇的临界条件 初速度条件 相遇情形 判断依据 B 上升途中相遇 相遇时间早于 B 到最高点 B 下降途中相遇 相遇时间晚于 B 到最高点 恰在地面相遇 B 恰好落回地面时 不能相遇 A 已落地，B 尚未到达 重难诠释 相遇时间 t=H/v₀ 与重力加速度无关：两物体加速度相同，重力项相消，相当于一个静止、一个匀速靠近。 判断 B 上升还是下降，比较相遇时间与上升时间；判断能否相遇，比较临界速度 、。 临界值的推导：B 到最高点时 ，B 恰好落回地面时 。 图8　自由落体与竖直上抛的相遇（A 从高 H 下落，B 从地面上抛） 例题 （2025秋•秦淮区期中）如图所示，乙球静止于地面上，甲球位于乙球正上方h处，现从地面上竖直上抛乙球，初速度v0＝10m/s，同时让甲球自由下落，不计空气阻力。（取g＝10m/s2，甲乙两球可看作质点）下列说法正确的是（　　） A．当h＝10m时，乙球不可能与甲球相遇 B．当h＝15m时，乙球在下降过程中与甲球相遇 C．无论h为何值，甲乙两球一定能在空中相遇 D．两球在空中运动过程中，经过相同时间，甲的速度变化量大于乙的速度变化量 易错点 　自由落体与竖直上抛相遇的时间为 t=H/v₀，二者的重力项相消；再比较相遇时间与上升时间，即可判断 B 在上升途中还是下降途中相遇，注意区分临界速度。 变式 1 （2025秋•高新区校级期中）甲、乙两球在竖直方向上运动，t＝0时甲球以一定初速度从地面竖直上抛，同时乙球从距地面为h0的高度由静止释放，两球经过时间t0落回地面。重力加速度为g，不计空气阻力，求： （1）甲上升的最大高度h； （2）若乙球先落地，两球在空中到达同一高度的时刻t。 变式 2 （2025秋•苏州期中）如图所示，A球离地5m，B球在A球正上方某处。同时静止释放A、B两球，小球自由下落，其中A球为弹性球，落地立刻原速率反弹，忽略空气阻力，重力加速度大小g取10m/s2。求： （1）若释放时B球在A球正上方2.2m处，两小球落地的时间差； （2）第（1）问中，A球反弹后经过多长时间与B球相碰； （3）若A球是在上升过程中与B球相碰，B球释放时离地的高度。 变式 3 （2025秋•苏州校级期中）如图所示，某高楼距地面高H＝47m的阳台上的花盆因受扰动而掉落，掉落过程可看作自由落体运动（花盆可视为质点）。现有一辆长L1＝8m、高h＝2m的货车，正以v0＝10m/s的速度驶向阳台正下方的通道。花盆刚开始掉落时，货车车头距花盆的水平距离为L2＝24m，由于道路限制，货车只能直行通过阳台的正下方的通道。 （1）若司机没有发现花盆掉落，货车保持v0＝10m/s的速度匀速直行，通过计算说明货车是否会被花盆砸到？ （2）若司机发现花盆开始掉落，采取制动的方式来避险，货车最大加速度为5m/s2，使货车在花盆砸落点前停下，求货车司机允许反应的最长时间。 （3）若司机反应时间Δt＝1s，发现花盆开始掉落，司机还可以采取加速通过的方式避险，则其最小加速度是多少。 考点八 　竖直方向多物体的相对运动与相遇 知识梳理 1．相对运动规律 （1）两个物体都做竖直上抛（或自由落体）运动，加速度相同（均为 g）； （2）两物体的相对加速度为零，相对速度恒定，即相对做匀速运动。 2．先后释放（抛出）：设先后时间间隔为 Δt，后释放者开始时，先释放者已有速度 gΔt；此后两物体速度差恒为 gΔt，间距随时间增大。 先后自由落体的间距： 3．相遇判断：可在任一物体的参考系中，把另一物体看成匀速运动，用“相对速度＝相对位移／时间”求解。 表8　竖直方向多物体的相对运动 情形 相对速度 间距变化 同时、同初速度抛出 相对速度为零 间距保持不变 先后释放、同向 相对速度恒为 gΔt 间距随时间增大 相向（一上抛一落体） 相对速度为两速度之和 间距随时间减小，能相遇 同初速度、不同时 相对速度恒定 由时间间隔决定能否相遇 重难诠释 两物体加速度相同，相对速度恒定；但“先落者有初速度 gΔt”，两物体间距会随时间增大。 处理相遇时，可在一个物体的惯性参考系中，把另一物体看成匀速运动。 加速度相同，“相对抵消”重力，只看相对速度与初始间距即可。 图9　两竖直上抛物体的相对运动（h-t 图，交点即相遇时刻） 例题 （2025秋•如皋市期中）如图所示，无人机下方悬挂一重物，两者同时由静止从地面以加速度a＝2m/s2匀加速上升，达到速度v＝10m/s后匀速上升，当到达离地高度h＝75m时，悬挂重物的绳子突然断裂，无人机继续以速度v匀速上升。忽略空气阻力，不计悬挂重物的绳长，重力加速度g取10m/s2。求： （1）重物由静止加速到v＝10m/s的时间t； （2）重物落地时的速度大小v′； （3）重物落地时与无人机之间的距离H。 易错点 　两球加速度相同、相对速度恒定（相对做匀速运动）；但后释放的球开始运动时，先释放的球已有速度 gΔt，故两球间距随时间增大，不会缩小或相遇。切勿认为“后面的球会追上前面的球”。 变式 1 （2025秋•高新区校级期中）如图所示为无人机，它是一种能够垂直起降的小型遥控飞行器。在一次训练使用中，t＝0时无人机在地面上开始从静止匀加速竖直向上起飞，t＝2s时无人机出现故障突然失去升力，此时离地面高度为h＝12m。无人机运动过程中所受空气阻力不计，g取10m/s2。，求： （1）无人机匀加速竖直向上起飞的加速度大小； （2）无人机离地面的最大高度； （3）无人机从出现故障到刚坠落地面的时间。 变式 2 （2025秋•工业园区校级期中）如图所示，原物理老师有一长度为L（已知量）的空心上下无底的弹性圆筒，它的下端距水平地面的高度也为L，筒的轴线竖直。圆筒轴线上距水平地面的16L处有一小球，一开始圆筒固定，让小球静止自由落下，小球碰地后的反弹速率为落地速率的一半。在筒壁上顶端装有一个光电计数器，小球每次到达该处计数器就会计数一次，重力加速度为g，不计空气阻力，求： （1）小球第一次下落的时间； （2）计时器第一次到第二次计数的时间间隔； （3）若让小球和圆筒同时静止自由落下，圆筒碰地后原速率反弹，运动过程中圆筒的轴线始终位于竖直方向，求计数器第一次计数到最后一次计数的时间间隔。 变式 3 （2025秋•武进区校级期中）某跳伞运动员做低空跳伞表演。他离开悬停的飞机后先做自由落体运动，从静止开始下落h＝180m时开始打开降落伞，到达地面时速度减为v＝5m/s。如果认为开始打开降落伞直至落地前运动员在做匀减速运动，加速度为a＝12.5m/s2，g取10m/s2。问： （1）运动员打开降落伞时速度的大小v1是多少？ （2）运动员离开飞机时距地面的高度h总为多少？ （3）运动员离开飞机后，经过t总时间才能到达地面，求t总。 05　综合练习（15 题） 本部分精选 7 道选择题、7 道解答题和 1 道实验题，覆盖全部考点，建议限时 35 分钟独立完成。 练习 1 （2025秋•盐城期中）某同学利用手机长曝光模式研究自由落体运动。如图所示为某次曝光拍摄到的小球下落中途的一段径迹，测得径迹的实际长度为L，已知曝光时间为t，下列说法中正确的是（　　） A．小球在径迹中点的速度大小为 B．小球在曝光中间时刻的速度大小为 C．若曝光时间变为2t，则径迹的长度为2L D．接下来的曝光时间t内，拍摄到的径迹长度为3L 练习 2 （2025秋•常州期中）如图所示，长度为5m的细杆，上端悬挂在O点，A点在细杆正下方且距离细杆底端4m。若由静止释放细杆，让其自由下落，不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2，则细杆通过A点所用的时间为（　　） A．s B．s C．s D．s 练习 3 （2025秋•常熟市期中）用一架快门时间（曝光时间）固定为0.02s、光圈自动的照相机，拍摄从砖墙前自由落下的石子，得到如图所示的照片。由于石子的运动，使照片中形成了一段模糊的径迹。若每块砖的平均厚度为6cm，则石子刚下落位置距地面的高度约为（　　） A．1.8m B．2.5m C．2.7m D．3.0m 练习 4 （2025秋•苏州期中）伽利略对运动的研究，不仅确立了许多用于描述运动的基本概念，而且创造了一套对近代科学的发展极为有益的科学方法。关于伽利略对自由落体运动的研究，下列说法不正确的是（　　） A．伽利略利用逻辑推理说明了重物与轻物下落得同样快 B．伽利略设计斜面实验主要是为了减小空气阻力对实验的影响 C．伽利略在斜面实验中，直接测的是运动的位移而不是速度 D．伽利略对斜面实验结果合理外推，认为自由落体运动是匀加速直线运动，所有物体下落时的加速度都是一样的 练习 5 （2025秋•玄武区校级期中）关于下列图片说法正确的是（　　） A．图甲中为了描述运动员位置的变化快慢定义了速度v，运用了控制变量法 B．图乙中在观察桌面的形变时，利用了理想模型的研究方法 C．图丙中伽利略在研究自由落体运动规律时采用了实验和逻辑推理的研究方法 D．图丁中用极短曝光时间内的平均速度来表示A点的瞬时速度，运用了等效替代法 练习 6 （2025秋•苏州校级期中）t＝0时刻从某点竖直上抛一个小球，用一台固定的相机每隔时间T拍一张照片（不计曝光时间），0、T、2T时刻的照片从左向右排列如图所示，不计空气阻力，重力加速度为g，则小球的初速度为（　　） A．gT B．gT C．gT D．2gT 练习 7 （2025秋•射阳县校级期中）如图是伽利略著名的斜面实验示意图。让一个小球沿斜面从静止状态开始运动，小球将“冲”上另一个斜面。如果没有摩擦，小球将到达原来的高度。如果第二个斜面倾角减小，小球仍将到达原来的高度，但是运动的距离更长。当斜面变为水平，小球要达到原有高度将永远运动下去。下列说法正确的是（　　） A．伽利略在光滑斜面上成功地完成了这个实验 B．伽利略据这个实验推断出任何物体都具有惯性 C．伽利略据这个实验推断出力是维持物体运动状态不变的原因 D．伽利略据这个实验推断出物体的运动不需要力来维持 练习 8 （2025秋•宿迁期中）钢球由静止开始做自由落体运动，不计空气阻力，落地时的速度为40m/s，g取10m/s2。 （1）它下落的高度是多少？ （2）它在前2s内的平均速度是多少？ 练习 9 （2025秋•高新区校级期中）如图所示某攀岩爱好者在距离地面45m的崖壁上攀岩，踢落崖壁上的一个石块，若石块从静止开始下落到地面，不计空气阻力。g取10m/s2。求： （1）石块落地时的速度大小； （2）石块落地前最后2s内的位移大小。 练习 10 （2025秋•射阳县期中）从离地面500m的空中自由落下一小球，忽略空气阻力，g取10m/s2，求： （1）经过多长时间落到地面？ （2）自开始下落计时，在第1s内的位移大小？ （3）最后1s内的位移大小。 练习 11 （2025秋•秦淮区期中）雨秦东同学路演“会飞的鸡蛋”，将一枚鸡蛋（可视作质点）从离地面H＝7.2m高的三楼栏杆上端由静止释放，下落途中经t0＝0.3s的时间通过二楼窗口，窗口上、下边框之间的高度为h0＝1.5m，不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，求： （1）鸡蛋刚好落地前瞬间的速度大小v； （2）三楼栏杆上端距离窗口上边框的高度h。 练习 12 （2025秋•常州期中）高空坠物事件时有发生，造成严重安全隐患，《民法典》已规定“禁止从建筑物中抛掷物品”。假设距地面高H＝45m的阳台上的花盆因受扰动而掉落，掉落过程可看作自由落体运动，空气阻力忽略不计，重力加速度g取10m/s2，求： （1）花盆着地的速度大小v； （2）花盆最后1s内下落的距离h。 练习 13 （2025秋•新吴区校级期中）山区某景区内一名游客不慎摔伤，救援人员操控无人机在距离地面125m的高空悬停，将急救包由静止释放，确保精准投送至伤员附近。下落过程空气阻力不计，g取10m/s2。求： （1）急救包从释放到落地，全程需要的时间； （2）急救包落地瞬间的瞬时速度大小； （3）急救包下落过程中，最后2s内的位移大小。 练习 14 （2025秋•建邺区校级期中）某人以窗户为背景录像时，恰好把从高处落下的一个小石子拍摄在视频中，测得视频中石子通过窗框的时间为t＝0.2s，窗框上下边的长度为L＝1m，重力加速度g＝10m/s2，求： （1）石子通过窗框的平均速度大小v； （2）石子由静止开始下落的位置离窗框上边的高度h。 练习 15 （2025秋•邳州市期中）某同学利用甲图中所示的装置研究自由落体运动，并测重力加速度。 他选取一条较为理想的纸带如图乙所示，把开始模糊不清的点去掉，把清晰的第一个点标记为0，随后每隔一个点取一个计数点，依次标记为1、2、3、4，各计数点间的距离已标在纸带上，打点计时器所用电源的频率为50Hz。 （1）为了测量重物下落的加速度，还需要的实验器材有 _______ ；（填入正确选项前的字母） A.天平 B.秒表 C.刻度尺 D.8V交流电源 E.220V交流电源 （2）关于本实验的操作，下列说法正确的是 _______ ；（填正确选项前的字母） A.重物释放前应尽量靠近打点计时器 B.应该在手松开纸带后再启动计时器 C.实验应选择质量小，体积大的重物做实验 D.在手松开纸带时，应保持纸带与限位孔在同一竖直线上 E.为了保证纸带竖直下落，应该将拉纸带的手靠在打点计时器限位孔上，再释放纸带 （3）打下计数点2时重物的瞬时速度为 _________ m/s，学校所在地的重力加速度约为 _________ m/s2（计算结果均保留3位有效数字）； （4）若打点计时器所用电源的频率为51Hz，则通过实验测得的重力加速度值比当地的实际值相比 _______ （填“偏大”、“偏小”或“没有影响”）。 06　选择题答题栏 请将所选答案字母填入对应题号下方的空格内；标注“解答”“实验”的题目请直接在原题处作答。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 实验 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 解答 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 解答 解答 解答 解答 解答 题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 答案 解答 解答 解答 题号 41 42 43 44 45 46 47 答案 解答 解答 解答 解答 解答 解答 实验 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026—2027学年高一上学期物理期中复习讲义（人教版2019·江苏专用） 专题三 自由落体和竖直上抛 2026—2027学年度第一学期 · 期中复习 专题三　自由落体和竖直上抛 高一物理（人教版2019）· 江苏专用　|　精讲精练 · 解析版 70 分钟 建议用时 47 题 题量设置 ★★★★☆ 难度系数 解析版 讲义版本 01　内容概览 01　自由落体运动 · 考点一　自由落体运动的基本规律 · 考点二　自由落体运动的比例关系 · 考点三　自由落体运动的实验探究 02　竖直上抛运动 · 考点四　竖直上抛运动的基本规律 · 考点五　竖直上抛运动的对称性 · 考点六　竖直上抛运动的图像 03　相遇问题 · 考点七　自由落体与竖直上抛的相遇 · 考点八　多物体的相对运动与相遇 04　综合练习 · 7 选择 + 7 解答 + 1 实验精选真题 · 限时闯关 · 查漏补缺 02　期中考情分析（江苏） 100 分 试卷满分 75 分钟 考试时长 11 题 / 44 分 单项选择题 5 题 / 56 分 非选择题 江苏高一物理期中一般由地市教研室或名校联考统一命题，全部答案写在答题卡上。下表汇总了近两年南京、苏州等地真题的典型结构： 题型 题量 分值 考查重点 单项选择题 11 题 44 分（每题 4 分） 概念辨析、比例与对称、图像理解、相遇临界判断 实验题 1～2 题 约 14～18 分 用打点计时器、频闪、光电门研究自由落体并测量重力加速度 计算与综合题 3～4 题 约 38～42 分 自由落体与竖直上抛、最大高度与总时间、多过程、相遇与相对运动 考试范围 本次期中统考范围为必修第一册：第一章《运动的描述》、第二章《匀变速直线运动的研究》、第三章《相互作用——力》，以及第四章第一节《牛顿第一定律》。 本专题聚焦第二章中的自由落体运动与竖直上抛运动，覆盖自由落体规律、初速度为零的比例关系、自由落体的实验探究、竖直上抛规律与对称性、v-t／h-t／a-t 图像，以及自由落体与竖直上抛的相遇、竖直方向多物体的相对运动等核心内容。请以本校考试说明为准。 命题特点 ■ 规律公式为核心：自由落体三公式（v=gt、h=½gt²、v²=2gh）和竖直上抛的最大高度、上升与总时间是命题主干，常结合井深、坠物、球类运动考查。 ■ 比例与对称高频：初速度为零的比例（1:2:3、1:4:9、1:3:5）、竖直上抛时间与速度的对称性是热点，常以滴水计时、频闪摄影、杂技抛球等为情境。 ■ 图像贯穿始终：v-t 图斜率（−g）与面积、h-t 抛物线顶点、a-t 水平直线是读图关键，图像题在选择题中占比高。 ■ 相遇与相对运动压轴：自由落体与竖直上抛的相遇、多物体相对运动常作压轴，抓住“重力项相消、相对匀速”的临界，要求“写公式—代数据—带单位”。 备考建议 · 记牢公式与正方向：自由落体取竖直向下为正、竖直上抛取向上为正，各量带符号代入，先规定方向再列式； · 分清比例与对称：熟记初速为零的各套比例，分清“累计位移”与“各段位移”，用最高点的对称性快速求时间与速度； · 过好图像关：v-t 看斜率与面积、h-t 看顶点与交点、a-t 看是否恒定，最高点处加速度不为零； · 相遇相对抓临界：落体与上抛相遇时间 t=H/v₀ 与 g 无关，两物体加速度相同可按相对匀速处理，计算题分段建模、规范书写。 03　期中复习目标 序号 复习目标 要求层级 对应考点 自评达成 1 理解自由落体运动的条件与性质，掌握 v=gt、h=½gt²、v²=2gh，能求下落时间、速度和高度 应用 考点一 □ 2 掌握初速度为零的比例关系，能区分“累计位移”与“各段位移”，会逆向处理问题 掌握 考点二 □ 3 了解伽利略的研究方法与牛顿管实验，会用打点计时器、频闪、光电门测量重力加速度 应用 考点三 □ 4 掌握竖直上抛规律与分段、全程两种方法，能求最大高度、上升时间和总时间 掌握 考点四 □ 5 理解竖直上抛的时间、速度对称性与三类图像，能解决相遇与相对运动问题 掌握 考点五～八 □ 04　知识体系（思维导图） 图1　自由落体和竖直上抛知识体系思维导图 考向一　自由落体运动 考点一 　自由落体运动的基本规律 知识梳理 1．自由落体运动 （1）定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动，叫作自由落体运动。 （2）条件：①初速度为零；②只受重力（空气阻力很小、可忽略）。 （3）性质：自由落体运动是初速度为零、加速度为 g 的匀加速直线运动。 2．重力加速度 g：方向竖直向下；粗略计算时 g 可取 10 m/s²。g 随纬度增大而增大，随高度增大而减小。 3．自由落体运动的基本规律（取竖直向下为正）： （1）速度公式： （2）位移公式： （3）速度—位移公式： （4）下落时间： 表1　自由落体运动的基本公式 公式名称 公式 适用情形 速度公式 求速度、时间 位移公式 求下落高度、时间 速度—位移公式 不含时间 下落时间 已知下落高度求时间 重难诠释 自由落体运动的两个条件缺一不可：初速度为零、只受重力（空气阻力可忽略）。 物体下落的快慢与质量无关：真空中重物与轻物下落得一样快，加速度同为 g。 自由落体是“从静止出发的匀加速”，是匀变速直线运动的特例，公式中的 t、h、v 均从释放点起算。 图2　自由落体运动的 v-t 图像（过原点的倾斜直线，斜率为 g） 例题 （2025秋•射阳县校级期中）关于自由落体运动，下列说法正确的是（　　） A．物体竖直向下的运动就是自由落体运动 B．从水平飞行的飞机上释放的物体将做自由落体运动 C．雨滴下落的过程是自由落体运动 D．从水龙头上滴落的水滴下落的过程可近似看作自由落体运动 【答案】D 【解答】解：A．只有重力的作用下由静止开始下落的运动，才可称为自由落体运动，竖直向下的运动初速不一定为零，故A错误； B．从水平飞行的飞机上释放的物体具有水平初速度，根据自由落体运动的特点，物体还具有初速度，不是自由落体运动，故B错误； C．雨滴从空中下落，由于受到阻力和重力的作用，不符合自由落体的定义，故C错误； D．从水龙头上滴落的水滴的下落过程，初速度为零，阻力可以忽略，可以近似看成自由落体运动，故D正确。 故选：D。 易错点 　自由落体下落快慢与质量无关：两球同时从静止释放，加速度均为 g，任意时刻速度、下落高度都相同，故两球速度差、间距均恒定，不会在空中相撞。切勿认为“质量大的下落得快、会追上质量小的”。 变式 1 （2025秋•射阳县校级期中）某同学将一石块从一竖直山洞洞口由静止释放，约过1s听到石块落地的声音。若忽略声音传播的时间，取g＝10m/s2，则山洞的深度约为（　　） A．1m B．5m C．10m D．15m 【答案】B 【解答】解：设山洞的深度为H．则有H 代入数据解得：H＝5m 故B正确，ACD错误。 故选：B。 变式 2 （2025秋•高新区校级期中）实验小组让一个小石块从井口自由落下，2s后听到石块击水的声音。估测得水面到井口的距离为（　　） A．5m，估测值偏大 B．5m，估测值偏小 C．20m，估测值偏大 D．20m，估测值偏小 【答案】C 【解答】解：估算时可以不考虑声音传播所需要的时间。小石块做自由落体运动，运动时间为2s，根据自由落体运动的位移—时间公式可得Hm＝20m 声音在空中传播需要时间，故实际做自由落体的时间小于听到击水声音的时间，根据自由落体运动的位移—时间公式H，可知估算值偏大。 故ABD错误，C正确。 故选：C。 变式 3 （2025秋•如皋市期中）如图所示，用直尺制作一把“反应时间测量尺”，标上等时间间隔的刻度。A同学用两个手指捏住一把长50cm的直尺的顶端，B同学用一只手在直尺0刻度位置做捏住直尺的准备，但手不碰到直尺。在A同学放开手指让直尺下落时，B同学立刻捏住直尺，读出B同学捏住直尺的刻度，可以算出B同学的反应时间，g取10m/s2，则（　　） A．B同学捏住直尺时的位置越靠近上端说明“反应时间”越短 B．若B同学捏住直尺20cm处，则反应时间约为0.4s C．该“反应时间测量尺”刻度均匀 D．该“反应时间测量尺”刻度下密上疏 【答案】D 【解答】解：根据自由落体运动位移公式（h为直尺下落高度，t为反应时间），逐一分析： A、B同学捏住直尺的位置越靠上端，说明直尺下落的高度h越大 由可知，h越大，反应时间t越长，故A错误； B、若h＝20cm＝0.2m，代入公式得，故B错误； C、由可知，h与t2成正比（非线性关系），因此“反应时间测量尺“的刻度是不均匀的，故C错误； D、由可知，下落高度h越大，反应时间t越长。下端对应的h更小，故刻度“下密上疏“（下端对应相同时间间隔的位移间隔小，故刻度密集；上端对应相同时间间隔的位移间隔大，故刻度稀疏），故D正确。 故选：D。 考点二 　自由落体运动的比例关系 知识梳理 1．等分时间的比例（初速度为零）： （1）1T、2T、3T…末速度之比： （2）前 1T、2T、3T…内（累计）位移之比： （3）第 1T、第 2T、第 3T…内（各段）位移之比：1：3：5。 2．等分位移的比例： （1）通过连续相等位移末速度之比： （2）通过连续相等位移所用时间之比： 表2　初速度为零的比例关系 类别 比例关系 记忆要点 等分时间·末速度 1：2：3 与时间成正比 等分时间·累计位移 1：4：9 与时间平方成正比 等分时间·各段位移 1：3：5 连续奇数比 等分位移·末速度 末速度与位移的平方根成正比 等分位移·各段时间 所用时间越来越短 重难诠释 比例关系只适用于初速度为零的匀加速运动，使用前要先确认初速度为零。 分清“前 nT 内（累计）位移”1：4：9 与“第 nT 内（各段）位移”1：3：5，两者不可混用。 通过连续相等位移的累计时间比为 ，相邻两段时间比为 。 图3　自由落体等时间间隔的位置（各段间距 1：3：5，累计位移 1：4：9） 例题 （2025秋•宜兴市期中）如图所示，一水龙头损坏后不能完全关闭，有水滴从管口由静止开始不断下落，相邻两个水滴之间时间间隔相等，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．落地前，水滴1、2之间距离保持不变 B．落地前，水滴1、2之间速度差逐渐增大 C．水滴1、2的落地时间差大于水滴2、3的落地时间差 D．落地前，水滴1、2之间的距离与水滴2、3之间的距离差值保持不变 【答案】D 【解答】解：AB、水滴2刚滴下时水滴1具有一定的速度，水滴2滴下后二者具有相同的加速度，故水滴1相对于水滴2向下做匀速直线运动，二者距离逐渐增大，速度差保持不变，故A错误，B错误； D、水滴1相对于水滴2向下做匀速直线运动，水滴2相对于水滴3也向下做匀速直线运动，且相对运动的速度相等，即相等的时间内水滴1、2之间的距离与水滴2、3之间的距离的变化相等，故水滴1、2之间的距离与水滴2、3之间的距离之差保持不变，故D正确； C、每滴水滴下后在空中运动的时间都相同，故相邻的两滴水落地的时间差都相等，都等于水滴下的时间间隔，故C错误。 故选：D。 易错点 　要区分“累计时间、累计位移”与“各段时间、各段位移”：通过 1m、4m、9m 处是累计位移，累计时间之比为 1：2：3，相邻两段时间之比不是 1：4：9 或 1：3：5，而是 1：（。 变式 1 （2025秋•惠山区校级期中）如图是小球自由下落时的频闪照片示意图，照片中的数字是小球落下的距离，单位是厘米，重力加速度g取10m/s2，则频闪仪相邻两次闪光的时间间隔为（　　） A．0.04s B．0.05s C．0.08s D．0.16s 【答案】A 【解答】解：假设频闪仪相邻两次闪光的时间为T，将小球的每段位移依次设为x1、x2、x3、x4、x5，根据逐差法则有 解得T≈0.04s 故A正确，BCD错误。 故选：A。 变式 2 （2025秋•高新区校级期中）暗室中小球做自由落体，按下胶片照相机的快门并使之处于常开状态，频闪仪每隔时间T发出一次强烈闪光，得频闪照片如图所示，测量并按照比例尺换算得相邻位置距离，重力加速度为g，则小球在图中D位置瞬时速度为（　　） A．3gT B． C． D． 【答案】B 【解答】解：小球做自由落体，由匀变速直线运动推论，中间时刻的瞬时速度等于该段的平均速度，，故B正确，ACD错误； 故选：B。 变式 3 （2025秋•高新区校级期中）有一弹性小球，在某高度处由静止开始自由下落，与桌面碰撞后反弹，不计空气阻力与碰撞时间，其速度—时间图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：小球从某高度处由静止开始自由下落，与桌面碰撞后反弹，则速度方向改变，图像应在横轴上下方分别存在，并且先是向下匀加速，然后碰后向上匀减速。故A正确，BCD错误。 故选：A。 考点三 　自由落体运动的实验探究 知识梳理 1．伽利略的研究方法 （1）逻辑推理：用“归谬”否定“重物下落得快、轻物下落得慢”的观点； （2）斜面实验：让小球沿斜面下滑以“冲淡”重力，间接证明自由落体是匀加速运动，再合理外推； （3）科学方法：观察现象→提出假设→逻辑推理→实验验证→修正推广。 2．牛顿管（毛钱管）实验：有空气时羽毛比硬币下落得慢；抽去空气后羽毛与硬币同时落地，说明下落快慢与质量无关。 3．测量重力加速度：利用打点计时器、频闪、光电门等研究自由落体运动。 由纸带相邻相等时间 T 内位移差恒定可求 g： 表3　研究自由落体的方法 研究方法 内容 结论或公式 逻辑推理 归谬分析“重物与轻物” 下落快慢与质量无关 斜面实验 “冲淡”重力，小球滚下斜面 自由落体是匀加速运动 牛顿管 对比有无空气时的下落 真空时同时落地 纸带/频闪 记录各时刻位置 重难诠释 牛顿管中有空气时羽毛慢，是因为空气阻力相对其重力影响大；抽真空后两者加速度相同、同时落地。 伽利略用斜面“冲淡”重力、放慢运动，再把结论合理外推到自由落体，开创了实验与推理结合的方法。 用打点计时器测 g 时常用 Δx=gT²，要先判断纸带起始点是否为自由释放点。 图4　牛顿管（真空管）实验：抽真空后羽毛与硬币同时落地 例题 （2025秋•镇江期中）某实验小组用如图1所示的实验装置测自由落体运动的加速度。 （1）如图2所示，用刻度尺测量纸带上a点的坐标，其读数为_________ cm。 （2）某次实验打出的纸带如图3所示，则纸带的_____ （选填“左”或“右”）侧与重锤相连。 （3）如图3所示，选择纸带上某一点为0点，依次取后面连续的点为1、2、3、4、5点，量出各点到0点的距离x1、x2、x3、x4、x5。以打下0点时为t＝0时刻，记录数据如表所示。请在图4中作出的关系图像。 计数点序号 1 2 3 4 5 x/m 0.0270 0.0584 0.0950 0.1344 0.1790 t/s 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 1.35 1.46 1.58 1.68 1.79 （4）根据图4的图像可知，本次测得的重力加速度g＝_________ m/s2，打下0点时，重锤的速度为_________ m/s。 【答案】（1）3.60； （2）左； （3） ； （4）10.8；1.25。 【解答】解：（1）毫米刻度尺的精确度为1mm，读数为3.60cm； （2）释放重锤后，重锤做加速运动，相等时间间隔内的位移逐渐增大，因此纸带左侧与重锤相连； （3）根据描点法作图，如图所示： （4）根据匀变速运动公式 变形得 图像的纵截距b＝v0＝1.25m/s 打下0点时，重锤的速度为1.25m/s； 图像的斜率 结合函数斜率的含义，图像斜率 解得重力加速度g＝2k＝2×5.4m/s2＝10.8m/s2。 故答案为：（1）3.60； （2）左； （3） ； （4）10.8；1.25。 易错点 　牛顿管抽成真空后，硬币与羽毛都只受重力、加速度同为 g，因而同时落地，与质量、形状无关。有空气时羽毛慢，是因为空气阻力相对其重力影响大，并非“轻的下落得慢”。 变式 1 （2025秋•新吴区校级期中）如图甲，某同学利用光电门计时器测自由落体运动的加速度，小球直径为d。小球被电磁铁吸住时，球心到光电门的距离为h，小球通过光电门的时间为Δt，画出图像，如图乙，下列说法正确的是（　　） A．实验中选同体积的小木球比小钢球要好 B．实验中应该先释放小球再接通光电门计时器的电源 C．若图乙中直线斜率为k，则重力加速度 D．比小球球心通过光电门的真实速度偏大 【答案】C 【解答】解：A．为了减小空气阻力的影响，使小球的运动近似为自由落体运动，需要选用体积小质量大的物体，在本实验中选同体积的小钢球更好，故A错误； B．为了避免小球在光电门未接入电源之前进入光电门，无法得到实验数据，因此应该先接通光电门计时器的电源再释放小球，故B错误； C．根据极短时间内的平均速度等于瞬时速度，小球通过光电门的速度为 根据匀变速运动公式v2＝2gh 变形得 结合图像斜率的含义有 解得，故C正确； D．设小球刚好进入光电门的速度为v1，刚好离开光电门的速度为v2； 根据匀变速运动规律，中间时刻的瞬时速度 中间位移的瞬时速度 根据数学知识 因此比小球球心通过光电门的真实速度偏小，故D错误。 故选：C。 变式 2 （2025秋•射阳县校级期中）伽利略对自由落体运动的研究，是科学实验和逻辑思维的完美结合，如图所示，可大致表示其实验和思维的过程，对这一过程的分析，下列正确的是（　　） A．运用丁图实验，可“放大”重力的作用，从而使实验现象更明显 B．其中丁图是实验现象，甲图是经过合理外推得到的结论 C．运用甲图实验，可“冲淡”重力的作用，更方便进行实验测量 D．伽利略认为自由落体运动的速度是均匀变化的，这是他用实验直接进行了验证的 【答案】C 【解答】解：A．用丁图实验，小球做自由落体运动，没有“放大”重力的作用，由于小球下落过快，所以实验现象也不明显，不方便测量，故A错误； B．根据实验过程可知，甲图是实验现象，丁图是经过合理外推得到的结论，故B错误； C．运用甲图实验，利用斜面，小球受到的合力等于重力沿斜面向下的分力，故相当于“冲淡”重力的作用，使小球下滑更慢一些，更方便进行实验测量，故C正确； D．伽利略认为自由落体运动的速度是均匀变化的，但他没有用实验直接进行验证，而是通过斜面“冲淡”重力的作用，研究小球在斜面上的运动是匀加速运动，再进一步合理外推，得到自由落体运动是匀加速运动，故D错误。 故选：C。 变式 3 （2025秋•邳州市期中）人们发现了伽利略做斜面实验时的一页手稿，其中三列数据见图，第二列是时间，第三列是物体沿斜面运动的距离，第一列是伽利略在分析实验时添加的数据，根据图中的数据，可能得出的结论是（　　） A．物体做匀速直线运动 B．物体做非匀变速直线运动 C．物体运动的距离与时间成正比 D．物体运动的距离与时间的平方成正比 【答案】D 【解答】解：表中第一列数据的平方等于第二列数据，第三列数据与第一列数据的比值近似等于恒量，因此运动距离与时间的平方成正比，故物体运动为匀变速直线运动，故ABC错误，D正确。 故选：D。 考向二　竖直上抛运动 考点四 　竖直上抛运动的基本规律 知识梳理 1．竖直上抛运动：将物体以一定的初速度竖直向上抛出去，物体只在重力作用下的运动。 2．特点：初速度竖直向上，加速度恒为 g（竖直向下），是匀变速直线运动。 3．运动规律（取竖直向上为正）： （1）速度公式： （2）位移公式： （3）速度—位移公式： 4．两个重要物理量：最大高度　；上升到最高点的时间　，落回抛出点的总时间　。 表4　分段法与全程法 项目 分段法 全程法 上升过程 匀减速到 0： 全程使用： 下落过程 自由落体：、 位移公式自动给出 最高点 速度为 0、加速度为 g 取 t 使 v=0 落回抛出点下方 需分两段计算 h 为负，带符号代入 关键 抓住最高点速度为 0 注意矢量性，统一正方向 重难诠释 竖直上抛的物体在最高点速度为零，但仍受重力、加速度仍为 g，并非“不受力、处于平衡”。 最高点是“瞬间静止”而不是“静止状态”，上升过程和下落过程的加速度始终为 g。 用全程法处理落回抛出点下方的问题时，位移 h 为负，必须带符号代入。 图5　竖直上抛运动示意（取向上为正，初速度 v0，最高点距抛出点 H） 例题 （2025秋•六合区期中）将甲、乙两个小球从离地面40m高的地方分别以10m/s的速率竖直上抛和竖直下抛，两小球落地后均不反弹。若不计空气阻力，取g＝10m/s2，则下列说法不正确的是（　　） A．两小球均未落地前，速度变化率相同 B．两小球落地的时间差为2s C．两小球均未落地前，速度之差不变 D．两小球均未落地前，小球间的距离先增大后减小 【答案】D 【解答】解：A.两小球的速度变化率都为重力加速度，A选项说法正确，不符合题意，故不选A； B.以竖直向下为正方向，对竖直下抛运动，v0＝10m/s，加速度 a＝g，位移x＝40m，有，代入数据可得：t1＝2s， 对竖直上抛运动，有，代入数据可得：t2＝4s，两小球落地的时间差为2s，故B正确； C.以竖直向下为正方向，对竖直下抛运动，v1＝v0+gt，对竖直上抛运动，v2＝﹣v0+gt，两小球均未落地前，Δv＝v1﹣v2，代入数据可得：Δv＝2v0，故C正确； D.两小球均未落地前，，随时间的变化，小球间的距离一直增大，故D错误。 题目让选不正确的，故选：D。 易错点 　竖直上抛的物体在最高点速度为零，但仍受重力、加速度仍为 g，并非“不受力、处于平衡”；从抛出到落回抛出点的总时间为 2v₀/g，全程法处理落回下方时 h 为负。 变式 1 （2025秋•常州校级期中）将一小球以某一初速度竖直向上抛出，以抛出时刻为计时起点，经t＝5s落回抛出点．不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．小球在第3s内的平均速度为0 B．小球落回抛出点时的速度为50m/s C．小球上升的最大高度为40m D．小球在5s内的平均速度为12.5m/s 【答案】A 【解答】解：A、小球做竖直上抛运动，具有对称性，上升和下降的时间均为2.5s，则第3s内的位移为零，平均速度为零，故A正确； B、小球落回抛出点的速度为 25m/s 故B错误； C、小球上升的最大高度为 故C错误； D、小球在5s内的位移为零，平均速度为零，故D错误。 故选：A。 变式 2 （2025秋•锡山区校级期中）游客乘坐热气球游玩。他将手机伸到外面拍照，却不慎松手。脱手时热气球正在以10m/s速度匀速竖直上升。此时热气球距离地面15m高。松手前瞬间，手机相对热气球静止。手机最后落至地面。手机可视为质点，忽略一切阻力。若约定：以手机脱手处为坐标原点，以竖直向上为正方向，取g＝10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．手机在最高点的坐标为+10m B．从最高点到落地点，手机的位移为﹣30m C．从抛出点到落地点，手机的平均速度为+5m/s D．从抛出点到落地点，手机的速度变化量为﹣30m/s 【答案】D 【解答】解：A．手机从抛出到上升到最高点的高度为，若以抛出点为坐标原点，则手机在最高点的坐标为5m，故A错误； B．由上可知以抛出点为坐标原点，竖直向上为正方向，即从最高点到落地点，手机的位移为−20m，故B错误； C．手机从抛出点到最高点的时间 从最高点到落地做自由落体运动，下落时间 所以手机从抛出到落地总时间t＝t1+t2，解得t＝3s 所以从抛出点到落地点，手机的平均速度为，故C错误； D．以竖直向上为正方向，手机落地时的速度为v＝gt2 从抛出点到落地点，手机的速度变化量为Δv＝v﹣v0，解得Δv＝﹣30m/s，故D正确。 故选：D。 变式 3 （2025秋•常州校级期中）一根长15cm的金属管竖直放置在足够高处，在其正下方距下端60cm处一小球以4m/s的初速度竖直向上抛出，小球直径小于金属管内径，如图所示，开始时金属管固定，不计一切摩擦，取g＝10m/s2。 （1）求小球上升的最高点距管上端的距离h； （2）求小球在金属管内运动的时间t； （3）若抛出小球时同时释放金属管，求小球在金属管内运动时间Δt。 【答案】（1）小球上升的最高点距管上端的距离为5 cm； （2）小球在金属管内运动的时间0.2 s； （3）若抛出小球时同时释放金属管，求小球在金属管内运动时间为s 【解答】解：（1）利用逆向思维，由 解得小球上升总高度 所以距管上端的距离为h＝（h0﹣15﹣60）cm＝5cm （2）利用逆向思维，小球上升期从管上端到最高点时间 小球上升期管底到最高点时间 小球上升期在金属管内运动的时间为t2﹣t1，由竖直上抛运动的对称性可知：小球在金属管内运动的时间t＝2（t2﹣t1）＝0.2s （3）金属管自由落体 小球竖直上抛 小球与金属管下端相遇时有h1+h2＝60cm 代入数据得 同理小球与金属管上端相遇时有h1'+h2'＝75cm 代入数据得 则小球在金属管内运动时间 故答案为：（1）小球上升的最高点距管上端的距离为5 cm； （2）小球在金属管内运动的时间0.2 s； （3）若抛出小球时同时释放金属管，求小球在金属管内运动时间为s 考点五 　竖直上抛运动的对称性 知识梳理 1．时间对称性 （1）物体从某点上升到最高点的时间，等于从最高点下降到该点的时间； （2）从抛出到落回抛出点的总时间： 2．速度对称性 （1）物体在同一位置，上升时与下落时的速度大小相等、方向相反； （2）物体落回抛出点时速度大小等于初速度，方向竖直向下。 同一位置两次经过的速度： 表5　竖直上抛运动的对称性 项目 上升过程 下降过程 同一位置速度 竖直向上 竖直向下（等大反向） 同一段高度用时 与下落用时相等 与上升用时相等 最高点 速度为 0、加速度为 g 速度为 0、加速度为 g 抛出点速度 初速度向上 落回时速度向下、等大 重难诠释 利用时间对称性：两次经过同一位置的时刻，关于到达最高点的时刻对称。 利用速度对称性：同一位置上升与下落速度等大反向，可据此快速求速度。 竖直上抛运动关于最高点“左右对称”，上升与下落如“镜像”。 图6　竖直上抛运动的对称性（h-t 图关于最高点对称） 例题 （2025秋•泉山区校级期中）从地面上将一个小球竖直上抛，经t时间小球经过空中的某点A，再经过t时间小球又经过A点。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球上升的最大高度为 B．A点离抛出点的距离为gt2 C．小球抛出时的速率为2gt D．小球抛出时的速率为3gt 【答案】A 【解答】解：小球运动过程如图： A.小球从抛出到运动到最高点过程中经过的时间为，根据竖直上抛运动的位移公式可得，小球上升的最大高度为，故A正确。 B.A 点到最高点的时间为，对应的位移为，A点离抛出点的距离，故B错误。 CD.根据竖直上抛的速度公式可得，小球抛出的初速度大小为，故CD错误。 故选：A。 易错点 　利用竖直上抛的对称性：物体在同一位置上升与下落时的速度等大反向，两次经过同一位置的时间关于到达最高点的时刻对称，两次经过某点的时间中点即到达最高点的时刻。 变式 1 （2025秋•常州校级期中）如图所示，一位身高1.80m的高中学生，凭借2.12m的好成绩获得跳高冠军。根据以上信息，可以估算出该同学这次起跳离地时竖直向上的速度最接近于（　　） A．3m/s B．5m/s C．7m/s D．9m/s 【答案】B 【解答】解：根据题意可知，运动员在跳高过程中，重心上升的最大高度约为h＝（2.12）m＝（2.12﹣0.9）m＝1.22m 竖直上抛运动最高点的速度为零，由运动学公式有 解得v0≈5m/s 故ACD错误，B正确。 故选：B。 变式 2 （2025秋•鼓楼区校级期中）一长为L＝0.45m的金属管从地面以2m/s的速率竖直上抛，管在运动过程中保持竖直，管口正上方高h处有一小球同时自由下落，已知重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力，若金属管落地前小球从管中穿过，则h可能是（　　） A．0.3m B．0.4m C．0.5m D．0.6m 【答案】A 【解答】解：设金属管从抛出到落地的时间为t，以向上为正方向，根据竖直上抛运动位移公式有（地面为原点），代入，解得t＝0.4s（t＝0舍去）。 小球自由下落的位移为（小球从h处下落，穿过长度为L的金属管），代入L＝0.45m，t＝0.4s，解得h＝0.35m。 要使金属管落地前小球从管中穿过，h需小于0.35m，故A正确，BCD错误。 故选：A。 变式 3 （2025秋•常州期中）校运会上，小明参加了跨越式跳高比赛，身高1.8米的他跳出了2米的好成绩。由此估算他的竖直起跳初速度最接近（　　） A．1m/s B．2m/s C．5m/s D．6m/s 【答案】C 【解答】解：根据题意分析可知，运动员跳高过程可以看作竖直上抛运动，当重心达到横杆时速度恰好为零，运动员重心升高高度 根据竖直上抛运动的规律 v2＝2gh 解得 所以他的竖直起跳初速度最接近5m/s，故C正确，ABD错误。 故选：C。 考点六 　竖直上抛运动的图像 知识梳理 1．v-t 图像：是一条斜率为 −g 的直线，与 t 轴交点表示到达最高点；t 轴上方为上升、下方为下降，图线与 t 轴围成的面积表示位移。 2．h-t 图像：是一条开口向下的抛物线，顶点表示最高点，与 t 轴交点表示落回抛出点。 3．a-t 图像：全程加速度恒为 −g，是一条水平直线（最高点处也为 −g）。 表6　竖直上抛运动的三类图像 图像 形状 关键信息 v-t 图 斜率为 −g 的直线 与 t 轴交点为最高点，面积为位移 h-t 图 开口向下的抛物线 顶点为最高点，图像关于最高点对称 a-t 图 位于 −g 的水平直线 全程加速度恒定，含最高点 斜率/面积 v-t 斜率恒为 −g 最高点处斜率不变，面积上正下负 重难诠释 全过程（含最高点）加速度恒为 −g：v-t 图斜率不变、a-t 图为水平直线。 最高点处 v=0 但斜率不变，不要误判为“加速度为零”。 图像三看——v-t 看斜率，h-t 看顶点，a-t 看恒定。 图7　竖直上抛运动的 v-t 图像（斜率恒为 −g，t 轴交点为最高点） 例题 （2025秋•滨湖区校级期中）若一物体从火星表面竖直向上抛出（不计气体阻力）时的x﹣t图像如图所示，则（　　） A．该物体被抛出时的初速度大小为8m/s B．该火星表面的重力加速度大小为9.8m/s2 C．该物体上升的时间为10s D．该物体落到火星表面时的速度大小为16m/s 【答案】A 【解答】解：由x﹣t图像可知，物体上升和下落的时间均为t＝5s，下落的高度为h＝20m 根据自由落体运动规律，解得火星表面重力加速度gm/s2＝1.6m/s2 该物体落到火星表面的速度v＝gt＝1.6×5m/s＝8m/s 根据对称性物体被抛出时的速度也为8m/s，故A正确，BCD错误。 故选：A。 易错点 　竖直上抛全过程（含最高点）加速度恒为 −g：v-t 图是一条斜率不变的直线，a-t 图是位于 −g 的水平直线。最高点处 v=0 但斜率不变、加速度不为零，不要误判为“加速度为零”。 变式 1 （2025秋•海安市校级期中）t＝0时刻从某点竖直上抛一个小球，用一台固定的相机每隔时间T拍一张照片（不计曝光时间），0、T、2T时刻的照片从左向右排列如图所示，不计空气阻力，重力加速度为g，则图示位置小球的高度差为（　　） A．0.2gT2 B．0.5gT2 C．gT2 D．2gT2 【答案】C 【解答】解：设小球在t＝0时刻抛出位置的高度为0，初速度为v0，规定竖直向上为正方向。小球在t＝T和t＝2T时刻处于同一高度，根据位移时间公式，在t＝T时刻小球的高度为，在t＝2T时刻小球的高度为。由题意及题图可知h1＝h2，联立解得v0＝1.5gT。图示位置小球的高度差Δh即为t＝T时刻小球的高度h1，解得Δh＝gT2。故ABD错误，C正确。 故选：C。 变式 2 （2025秋•南京期中）从某点竖直上抛一个小球，用一台固定的相机分别于0、T、2T时刻通过曝光记录下小球在空中的位置，照片从左向右排列如图所示，不计空气阻力，重力加速度为g，则小球在0时刻的速度为（　　） A．gT B．gT C．gT D．2gT 【答案】B 【解答】解：设t＝0时刻小球的初速度为v0，由图可知2T时刻和t＝0时刻小球处于同一高度，说明2T时刻小球下降到与t＝0时刻等高位置，结合竖直上抛运动的时间对称性，可知从t＝0时刻运动到最高点需要的时间是T，即0＝v0﹣gT，解得v0＝gT，故B正确，ACD错误。 故选：B。 变式 3 （2025秋•惠山区校级期中）小球A从地面开始做竖直上抛运动，同时小球B从距地面高度为h0处由静止释放，两小球距地面的高度h与运动时间t关系图像如图乙，重力加速度为g，不计空气阻力，则（　　） A．A到最高点时速度为零，加速度也为零 B．A上升过程的平均速度小于B下降过程的平均速度 C．A、B处于同一高度时距地面 D．A、B落地的时间差为 【答案】C 【解答】解：A．A到最高点时速度为零；此时A只受重力，加速度为重力加速度，不为零，故A错误； B．B由静止释放时距地面的高度与A上升到最高点时距地面的高度相等，B由静止释放直到落地与A由抛出直到上升到最高点所用时间相等，所以，A上升过程的平均速度与B下降过程的平均速度大小相等，故B错误； C．设A竖直上抛的初速度为v0，则当AB到达同一高度时，有 对A，根据速度—位移之间的关系又有 联立解得时间与初速度为， 所以A、B处于同一高度时距地面，故C正确； D．B落地时A刚好上升到最高点，所以AB落地的时间差就等于A从最高点下落到地面所用的时间，满足 解得A、B落地的时间差为，故D错误。 故选：C。 考向三　自由落体与竖直上抛的相遇问题 考点七 　自由落体与竖直上抛的相遇 知识梳理 1．建立运动方程（物体 A 从高 H 处自由下落，物体 B 从地面竖直上抛）： A：　B： 2．相遇条件：相遇时两物体高度相等。 解得相遇时间　（重力项 g 相消），相遇高度　。 3．临界条件（比较相遇时间与 B 上升时间）： 表7　自由落体与竖直上抛相遇的临界条件 初速度条件 相遇情形 判断依据 B 上升途中相遇 相遇时间早于 B 到最高点 B 下降途中相遇 相遇时间晚于 B 到最高点 恰在地面相遇 B 恰好落回地面时 不能相遇 A 已落地，B 尚未到达 重难诠释 相遇时间 t=H/v₀ 与重力加速度无关：两物体加速度相同，重力项相消，相当于一个静止、一个匀速靠近。 判断 B 上升还是下降，比较相遇时间与上升时间；判断能否相遇，比较临界速度 、。 临界值的推导：B 到最高点时 ，B 恰好落回地面时 。 图8　自由落体与竖直上抛的相遇（A 从高 H 下落，B 从地面上抛） 例题 （2025秋•秦淮区期中）如图所示，乙球静止于地面上，甲球位于乙球正上方h处，现从地面上竖直上抛乙球，初速度v0＝10m/s，同时让甲球自由下落，不计空气阻力。（取g＝10m/s2，甲乙两球可看作质点）下列说法正确的是（　　） A．当h＝10m时，乙球不可能与甲球相遇 B．当h＝15m时，乙球在下降过程中与甲球相遇 C．无论h为何值，甲乙两球一定能在空中相遇 D．两球在空中运动过程中，经过相同时间，甲的速度变化量大于乙的速度变化量 【答案】B 【解答】解：设甲球与乙球经过时间t相遇，则有h，得t，根据竖直上抛运动的规律，可知，乙球上升的时间为t上，解得t上＝1s，乙球竖直上抛运动的总 时间t总＝2t上＝2s； C、甲乙两球能在空中相遇，必须满足：t＜t总，即t＜2s，得h＜20m，即当h＜20m时，甲乙两球一定能在空中相遇； 当h＞20m时，甲乙两球不能在空中相遇，故C错误； A、当t＝t上时，即1s，得h＝10m，乙球恰好在最高点与甲球相遇，故A错误； B、当t上＜t＜t总时，乙球能在下降过程中与甲球相遇，即1s2s，得10m＜h＜20m，故当h＝15m时，乙球能在下降过程中与甲球相遇，故B正确； D、根据加速度定义Δv＝aΔt，两球加速度都为g，经过相同时间Δt，所以甲的速度变化量等于乙的速度变化量，故D错误。 故选：B。 易错点 　自由落体与竖直上抛相遇的时间为 t=H/v₀，二者的重力项相消；再比较相遇时间与上升时间，即可判断 B 在上升途中还是下降途中相遇，注意区分临界速度。 变式 1 （2025秋•高新区校级期中）甲、乙两球在竖直方向上运动，t＝0时甲球以一定初速度从地面竖直上抛，同时乙球从距地面为h0的高度由静止释放，两球经过时间t0落回地面。重力加速度为g，不计空气阻力，求： （1）甲上升的最大高度h； （2）若乙球先落地，两球在空中到达同一高度的时刻t。 【答案】（1）甲上升的最大高度是； （2）若乙球先落地，两球在空中到达同一高度的时刻是。 【解答】解：（1）甲做竖直上抛运动，经时间t0落回地面， 则甲下落的时间为，甲上升的最大高度h， （2）以乙为参考系，甲做匀速直线运动，两球到达同一高度时，两者位移之和为h0， 甲抛出时的速度v＝g 设经过时间t两球到达同一高度，则h0＝vt 解得t 答：（1）甲上升的最大高度是； （2）若乙球先落地，两球在空中到达同一高度的时刻是。 变式 2 （2025秋•苏州期中）如图所示，A球离地5m，B球在A球正上方某处。同时静止释放A、B两球，小球自由下落，其中A球为弹性球，落地立刻原速率反弹，忽略空气阻力，重力加速度大小g取10m/s2。求： （1）若释放时B球在A球正上方2.2m处，两小球落地的时间差； （2）第（1）问中，A球反弹后经过多长时间与B球相碰； （3）若A球是在上升过程中与B球相碰，B球释放时离地的高度。 【答案】（1）若释放时B球在A球正上方2.2m处，两小球落地的时间差为0.2s； （2）第（1）问中，A球反弹后经过0.11s的时间与B球相碰； （3）若A球是在上升过程中与B球相碰，B球释放时离地的高度为5m≤H≤25m。 【解答】解：（1）设A球落地所用的时间为t1，则有自由落体运动规律可得：，解得： B球落地所用的时间为t2，由自由落体运动规律可得：，解得： 则两小球落地的时间差为：Δt＝t2﹣t1＝1.2s﹣1s＝0.2s； （2）A球落地时的速度为：vA＝gt1＝10×1m/s＝10m/s，此时B球的速度为：vB＝gt1＝10×1m/s＝10m/s，由题意可知A球反弹后的速度的大小为：vA′＝10m/s，A球落地时，B球下落的位移与A球下落的位移相等，则此时两球之间的距离为：l＝2.2m，设经过时间t3两球相遇，由运动学公式可得：，代入数据解得：t3＝0.11s； （3）A球反弹后上升到最高点所用的时间为：，若A球上升到最高点与B求相碰，则B球从开始下落到相碰的时间为：t5＝t1+t4＝1s+1s＝2s 则B球下落的高度为： 故B球释放时离地面的高度为：H＝h3+h1＝20m+5m＝25m 若A球反弹后的瞬时与B球相碰，则B球从开始下落到相碰的时间为：t6＝t1＝1s 则B球释放时离地面的高度为：，由此可知，若A球是在上升过程中与B球相碰，B球释放时离地的高度满足：5m≤H≤25m。 答：（1）若释放时B球在A球正上方2.2m处，两小球落地的时间差为0.2s； （2）第（1）问中，A球反弹后经过0.11s的时间与B球相碰； （3）若A球是在上升过程中与B球相碰，B球释放时离地的高度为5m≤H≤25m。 变式 3 （2025秋•苏州校级期中）如图所示，某高楼距地面高H＝47m的阳台上的花盆因受扰动而掉落，掉落过程可看作自由落体运动（花盆可视为质点）。现有一辆长L1＝8m、高h＝2m的货车，正以v0＝10m/s的速度驶向阳台正下方的通道。花盆刚开始掉落时，货车车头距花盆的水平距离为L2＝24m，由于道路限制，货车只能直行通过阳台的正下方的通道。 （1）若司机没有发现花盆掉落，货车保持v0＝10m/s的速度匀速直行，通过计算说明货车是否会被花盆砸到？ （2）若司机发现花盆开始掉落，采取制动的方式来避险，货车最大加速度为5m/s2，使货车在花盆砸落点前停下，求货车司机允许反应的最长时间。 （3）若司机反应时间Δt＝1s，发现花盆开始掉落，司机还可以采取加速通过的方式避险，则其最小加速度是多少。 【答案】（1）若司机没有发现花盆掉落，货车保持v0＝10m/s的速度匀速直行，会被花盆砸到； （2）若司机发现花盆开始掉落，采取制动的方式来避险，货车最大加速度为5m/s2，使货车在花盆砸落点前停下，货车司机允许反应的最长时间为1.4s。 （3）若司机反应时间Δt＝1s，发现花盆开始掉落，司机还可以采取加速通过的方式避险，则其最小加速度是1m/s2。 【解答】解：（1）花盆从47m高处落下，到达离地高2m的车顶过程中，下落的高度为h′＝H﹣h＝47m﹣2m＝45m 根据自由落体公式 得 代入数值得t＝3s 3s内货车位移为x＝v0t＝10×3m＝30m 由于车长L1＝8m，货车车头距花盆的水平距离为L2＝24m，则有L2＜x＜L2+L1 可知货车会被花盆砸到。 （2）货车匀减速运动到停止的最小距离为m＝10m 则制动过程中反应通过的最大距离为x2＝L2﹣x1＝24m﹣10m＝14m 货车司机允许反应的最长时间为1.4s （3）若司机反应时间Δt＝1s，货车在司机反应时间内通过的距离为x3＝v0Δt＝10×1m＝10m 若货车司机反应后立即加速，设加速度为a1＝2时恰好不会被花盆砸到，则有 其中t2＝t﹣Δt＝3s﹣1s＝2s 联立解得加速通过的最小加速度为 答：（1）若司机没有发现花盆掉落，货车保持v0＝10m/s的速度匀速直行，会被花盆砸到； （2）若司机发现花盆开始掉落，采取制动的方式来避险，货车最大加速度为5m/s2，使货车在花盆砸落点前停下，货车司机允许反应的最长时间为1.4s。 （3）若司机反应时间Δt＝1s，发现花盆开始掉落，司机还可以采取加速通过的方式避险，则其最小加速度是1m/s2。 考点八 　竖直方向多物体的相对运动与相遇 知识梳理 1．相对运动规律 （1）两个物体都做竖直上抛（或自由落体）运动，加速度相同（均为 g）； （2）两物体的相对加速度为零，相对速度恒定，即相对做匀速运动。 2．先后释放（抛出）：设先后时间间隔为 Δt，后释放者开始时，先释放者已有速度 gΔt；此后两物体速度差恒为 gΔt，间距随时间增大。 先后自由落体的间距： 3．相遇判断：可在任一物体的参考系中，把另一物体看成匀速运动，用“相对速度＝相对位移／时间”求解。 表8　竖直方向多物体的相对运动 情形 相对速度 间距变化 同时、同初速度抛出 相对速度为零 间距保持不变 先后释放、同向 相对速度恒为 gΔt 间距随时间增大 相向（一上抛一落体） 相对速度为两速度之和 间距随时间减小，能相遇 同初速度、不同时 相对速度恒定 由时间间隔决定能否相遇 重难诠释 两物体加速度相同，相对速度恒定；但“先落者有初速度 gΔt”，两物体间距会随时间增大。 处理相遇时，可在一个物体的惯性参考系中，把另一物体看成匀速运动。 加速度相同，“相对抵消”重力，只看相对速度与初始间距即可。 图9　两竖直上抛物体的相对运动（h-t 图，交点即相遇时刻） 例题 （2025秋•如皋市期中）如图所示，无人机下方悬挂一重物，两者同时由静止从地面以加速度a＝2m/s2匀加速上升，达到速度v＝10m/s后匀速上升，当到达离地高度h＝75m时，悬挂重物的绳子突然断裂，无人机继续以速度v匀速上升。忽略空气阻力，不计悬挂重物的绳长，重力加速度g取10m/s2。求： （1）重物由静止加速到v＝10m/s的时间t； （2）重物落地时的速度大小v′； （3）重物落地时与无人机之间的距离H。 【答案】（1）重物由静止加速到v＝10m/s的时间t为5s； （2）重物落地时的速度大小v′为40m/s； （3）重物落地时与无人机之间的距离H为125m。 【解答】解：（1）重物做匀加速直线运动，由匀变速速度公式v＝v0+at 得 （2）绳子断裂时，重物的速度为v＝10m/s（向上），位置为h＝75m处绳子断裂后，重物做竖直上抛运动（加速度a＝﹣g＝﹣10m/s2），落地时位移为﹣h＝﹣75m（以地面为原点，向上为正） 由匀变速速度—位移公式v′2﹣v2＝2（﹣g）（﹣h） 得v′＝40m/s （3）由匀变速速度公式v′＝v﹣gt1（v′＝﹣40m/s，向下为负） 得t1＝5s 无人机在绳子断裂后匀速上升，t1＝5s内的位移 x机＝vt1＝10×5m＝50m 重物落地时的位置为地面（位移0），无人机的位置为 h+x机＝75m+50m＝125m 故两者距离H＝125m﹣0＝125m 答：（1）重物由静止加速到v＝10m/s的时间t为5s； （2）重物落地时的速度大小v′为40m/s； （3）重物落地时与无人机之间的距离H为125m。 易错点 　两球加速度相同、相对速度恒定（相对做匀速运动）；但后释放的球开始运动时，先释放的球已有速度 gΔt，故两球间距随时间增大，不会缩小或相遇。切勿认为“后面的球会追上前面的球”。 变式 1 （2025秋•高新区校级期中）如图所示为无人机，它是一种能够垂直起降的小型遥控飞行器。在一次训练使用中，t＝0时无人机在地面上开始从静止匀加速竖直向上起飞，t＝2s时无人机出现故障突然失去升力，此时离地面高度为h＝12m。无人机运动过程中所受空气阻力不计，g取10m/s2。，求： （1）无人机匀加速竖直向上起飞的加速度大小； （2）无人机离地面的最大高度； （3）无人机从出现故障到刚坠落地面的时间。 【答案】（1）无人机匀加速竖直向上起飞的加速度大小6m/s2； （2）无人机离地面的最大高度19.2m； （3）无人机从出现故障到刚坠落地面的时间3.16s。 【解答】解：（1）根据运动学公式可得 代入数据解得，无人机匀加速竖直向上起飞的加速度大小为 a＝6m/s2 （2）t＝2s时，无人机的速度大小为 v＝at，解得v＝12m/s 失去动力后，无人机继续上升的高度为 则机离地面的最大高度为 H＝h+h1 解得H＝19.2m （3）无人机从出现故障到最高点所用时间为 无人机从最高点到落地过程，有 解得 t2＝1.96s 则无人机从出现故障到刚坠落地面的时间为 t＝t1+t2， 解得t＝3.16s 答：（1）无人机匀加速竖直向上起飞的加速度大小6m/s2； （2）无人机离地面的最大高度19.2m； （3）无人机从出现故障到刚坠落地面的时间3.16s。 变式 2 （2025秋•工业园区校级期中）如图所示，原物理老师有一长度为L（已知量）的空心上下无底的弹性圆筒，它的下端距水平地面的高度也为L，筒的轴线竖直。圆筒轴线上距水平地面的16L处有一小球，一开始圆筒固定，让小球静止自由落下，小球碰地后的反弹速率为落地速率的一半。在筒壁上顶端装有一个光电计数器，小球每次到达该处计数器就会计数一次，重力加速度为g，不计空气阻力，求： （1）小球第一次下落的时间； （2）计时器第一次到第二次计数的时间间隔； （3）若让小球和圆筒同时静止自由落下，圆筒碰地后原速率反弹，运动过程中圆筒的轴线始终位于竖直方向，求计数器第一次计数到最后一次计数的时间间隔。 【答案】（1）小球第一次下落的时间为； （2）计时器第一次到第二次计数的时间间隔为； （3）计数器第一次计数到最后一次计数的时间间隔为。 【解答】解：（1）小球下落时做自由落体运动，则有： 解得：； （2）小球从16L处下落，设到达计数器时的速度为v1，落地时的速度为v2，经地面反弹后的速度为v3，则有运动学公式可得： ，，解得：， 由题意可知： 则小球第一次经过计数器到落地的时间为： 小球第一次落地到第二次经过计数器的过程中，则有： ，解得： 计数器第一次到第二次计数的时间间隔为：； （3）让小球与圆筒同时自由落下，圆筒落地时，小球也下落相同的高度L，此时圆筒与小球的速度相等，为，圆筒反弹后速度大小不变，方向变为竖直向上，假定在竖直上抛的过程中经过时间t0第一次计数，小球相对于圆筒做匀速直线运动，则有： ，解得：，由于此时间大于圆筒竖直上抛的总时间，说明假设不成立，则第一次计数发生在第二次反弹之后。 设经过时间t圆筒第二次反弹，则有： 此时，小球的速度为：，小球离地的高度为： 设竖直上抛过程中经过时间t3第一次计数，则有：，解得： 则从开始到第一次计数所用的时间为： 由题意可知，小球每次反弹后速度减半，上升的高度变为原来的，第二次反弹后最大高度为L，以后不可能再计数，设小球第二次反弹到最高点所用的时间为T2，则有： 圆筒每次原速返回，每次下落、上升的时间相同，为，由于，说明此时圆筒正好位于地面，由此可知，计数器第一次到最后一次计数的时间间隔为：。 答：（1）小球第一次下落的时间为； （2）计时器第一次到第二次计数的时间间隔为； （3）计数器第一次计数到最后一次计数的时间间隔为。 变式 3 （2025秋•武进区校级期中）某跳伞运动员做低空跳伞表演。他离开悬停的飞机后先做自由落体运动，从静止开始下落h＝180m时开始打开降落伞，到达地面时速度减为v＝5m/s。如果认为开始打开降落伞直至落地前运动员在做匀减速运动，加速度为a＝12.5m/s2，g取10m/s2。问： （1）运动员打开降落伞时速度的大小v1是多少？ （2）运动员离开飞机时距地面的高度h总为多少？ （3）运动员离开飞机后，经过t总时间才能到达地面，求t总。 【答案】（1）运动员打开降落伞时速度的大小v1是60m/s； （2）运动员离开飞机时距地面的高度h总为323m； （3）运动员离开飞机后，经过t总时间才能到达地面，t总为10.4s。 【解答】解：运动员下落过程如图所示，规定向下为正方向 （1）运动员离开飞机，做自由落体运动有 得 （2）打开降落伞，运动员做匀减速直线运动有 得 则h总＝h1+h2＝180m+143m＝323m （3）自由落体阶段有 v1﹣v0＝gt1 得 匀减速直线运动有 v2﹣v1＝（﹣a）t2 得 故t总＝t1+t2＝6s+4.4s＝10.4s 答：（1）运动员打开降落伞时速度的大小v1是60m/s； （2）运动员离开飞机时距地面的高度h总为323m； （3）运动员离开飞机后，经过t总时间才能到达地面，t总为10.4s。 05　综合练习（15 题） 本部分精选 7 道选择题、7 道解答题和 1 道实验题，覆盖全部考点，建议限时 35 分钟独立完成。 练习 1 （2025秋•盐城期中）某同学利用手机长曝光模式研究自由落体运动。如图所示为某次曝光拍摄到的小球下落中途的一段径迹，测得径迹的实际长度为L，已知曝光时间为t，下列说法中正确的是（　　） A．小球在径迹中点的速度大小为 B．小球在曝光中间时刻的速度大小为 C．若曝光时间变为2t，则径迹的长度为2L D．接下来的曝光时间t内，拍摄到的径迹长度为3L 【答案】B 【解答】解：AB、小球在曝光中间时刻的速度等于这段时间内的平均速度，即为v，小球在径迹中点的速度大于中间时刻的瞬时时间，所以小球在径迹中点的速度大于，故A错误，B正确； C、因为小球做的是加速运动，若曝光时间变为2t，则小球在后t时间内的平均速度一定是大于前t时间内的平均速度，所以小球在后t时间内下落的距离大于前t时间内下落的距离，则径迹的长度应该是大于2L的，故C错误； D、设开始拍摄时的初速度为v0，则有，接下来的曝光时间t内的位移设为h，则有h3L，故D错误。 故选：B。 练习 2 （2025秋•常州期中）如图所示，长度为5m的细杆，上端悬挂在O点，A点在细杆正下方且距离细杆底端4m。若由静止释放细杆，让其自由下落，不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2，则细杆通过A点所用的时间为（　　） A．s B．s C．s D．s 【答案】B 【解答】解：细杆下端到达A点 解得 细杆上端到达A点 解得 则细杆通过A点所用的时间为 Δt＝t2﹣t1 故ACD错误，B正确。 故选：B。 练习 3 （2025秋•常熟市期中）用一架快门时间（曝光时间）固定为0.02s、光圈自动的照相机，拍摄从砖墙前自由落下的石子，得到如图所示的照片。由于石子的运动，使照片中形成了一段模糊的径迹。若每块砖的平均厚度为6cm，则石子刚下落位置距地面的高度约为（　　） A．1.8m B．2.5m C．2.7m D．3.0m 【答案】C 【解答】解：由图可知，石子模糊的径迹的高度约为h＝2d＝2×6cm＝12cm＝0.12m，由于径迹对应的曝光时间较短，故拍照时石子的速度可以近似等于拍照过程石子的平均速度，则有：，所以石子下落的高度约为：，则石子刚下落位置距地面的高度约为：H＝h1+h+10d＝1.8m+0.12m+10×0.06m＝2.52m，故C正确，ABD错误。 故选：C。 练习 4 （2025秋•苏州期中）伽利略对运动的研究，不仅确立了许多用于描述运动的基本概念，而且创造了一套对近代科学的发展极为有益的科学方法。关于伽利略对自由落体运动的研究，下列说法不正确的是（　　） A．伽利略利用逻辑推理说明了重物与轻物下落得同样快 B．伽利略设计斜面实验主要是为了减小空气阻力对实验的影响 C．伽利略在斜面实验中，直接测的是运动的位移而不是速度 D．伽利略对斜面实验结果合理外推，认为自由落体运动是匀加速直线运动，所有物体下落时的加速度都是一样的 【答案】B 【解答】解：A、亚里士多德认为重的物体下落快，轻的物体下落慢。伽利略利用逻辑推理，比如假设把重物和轻物绑在一起，按照亚里士多德的观点会得出矛盾的结论，从而说明了重物与轻物下落得同样快，故A正确； B、伽利略设计斜面实验，主要是为了“冲淡”重力，让物体下落的加速度减小，这样运动时间变长，便于测量，而不是主要为了减小空气阻力对实验的影响，故B错误； C、在当时的技术条件下，无法直接测量瞬时速度。伽利略在斜面实验中，直接测量的是运动的位移，再通过逻辑推理等方式研究运动规律，故C正确； D、伽利略通过斜面实验，得到小球在斜面上做匀加速直线运动的结论，然后将实验结果合理外推，认为自由落体运动是匀加速直线运动，且所有物体下落时的加速度都是一样的，故D正确。 因为本题是选错误的，故选：B。 练习 5 （2025秋•玄武区校级期中）关于下列图片说法正确的是（　　） A．图甲中为了描述运动员位置的变化快慢定义了速度v，运用了控制变量法 B．图乙中在观察桌面的形变时，利用了理想模型的研究方法 C．图丙中伽利略在研究自由落体运动规律时采用了实验和逻辑推理的研究方法 D．图丁中用极短曝光时间内的平均速度来表示A点的瞬时速度，运用了等效替代法 【答案】C 【解答】解：A、图甲中为了描述运动员位置的变化快慢定义了速度v，用非常非常小的Δt时间内的平均速度表示物体在t时刻的瞬时速度，该定义应用了极限思想法，故A错误； B、图乙中在观察桌面的形变时，利用了微小形变放大法，故B错误； C、图丙中伽利略在研究自由落体运动规律时采用了实验和逻辑推理的研究方法，故C正确； D、图丁中用极短曝光时间内的平均速度来表示A点的瞬时速度，运用了极限思想，故D错误。 故选：C。 练习 6 （2025秋•苏州校级期中）t＝0时刻从某点竖直上抛一个小球，用一台固定的相机每隔时间T拍一张照片（不计曝光时间），0、T、2T时刻的照片从左向右排列如图所示，不计空气阻力，重力加速度为g，则小球的初速度为（　　） A．gT B．gT C．gT D．2gT 【答案】C 【解答】解：设t＝0时刻小球的初速度为v0，由图可知，T时刻小球处于上升状态，对应的速度为vT＝v0﹣gT，又由T时刻和2T时刻小球处于同一高度，说明2T时刻小球下降到与T时刻等高位置，结合竖直上抛运动的时间对称性，可知从T时刻运动到最高点还需要，所以T时刻的速度vT又等于gT，即gT＝v0﹣gT，解得，故C正确，ABD错误。 故选：C。 练习 7 （2025秋•射阳县校级期中）如图是伽利略著名的斜面实验示意图。让一个小球沿斜面从静止状态开始运动，小球将“冲”上另一个斜面。如果没有摩擦，小球将到达原来的高度。如果第二个斜面倾角减小，小球仍将到达原来的高度，但是运动的距离更长。当斜面变为水平，小球要达到原有高度将永远运动下去。下列说法正确的是（　　） A．伽利略在光滑斜面上成功地完成了这个实验 B．伽利略据这个实验推断出任何物体都具有惯性 C．伽利略据这个实验推断出力是维持物体运动状态不变的原因 D．伽利略据这个实验推断出物体的运动不需要力来维持 【答案】D 【解答】解：A、理想实验是实际实验的延伸，而不是实际的实验，是建立在实际事实基础上的合乎逻辑的科学推断，光滑的斜面是不存在的，伽利略没有在光滑斜面上完成该实验，故A错误； B、理想斜面实验只能说明小球具有惯性，推广到一切物体的是牛顿，故B错误； CD、该实验证实了力不是维持物体运动的原因，即物体的运动不需要力来维持，故C错误，D正确。 故选：D。 练习 8 （2025秋•宿迁期中）钢球由静止开始做自由落体运动，不计空气阻力，落地时的速度为40m/s，g取10m/s2。 （1）它下落的高度是多少？ （2）它在前2s内的平均速度是多少？ 【答案】（1）它下落的高度为80m； （2）它在前2s内的平均速度大小为10m/s。 【解答】解：（1）根据速度—位移公式2gh＝v2﹣0 可得下落的高度h＝80m （2）在前2s内的位移m＝20m 平均速度大小 联立解得10m/s 答：（1）它下落的高度为80m； （2）它在前2s内的平均速度大小为10m/s。 练习 9 （2025秋•高新区校级期中）如图所示某攀岩爱好者在距离地面45m的崖壁上攀岩，踢落崖壁上的一个石块，若石块从静止开始下落到地面，不计空气阻力。g取10m/s2。求： （1）石块落地时的速度大小； （2）石块落地前最后2s内的位移大小。 【答案】（1）石块落地时的速度大小为30m/s； （2）石块落地前最后2s内的位移大小为40m。 【解答】解：（1）石块做自由落体运动，根据 可得下落时间为 则石块落地时的速度大小为v＝gt＝10×3m/s＝30m/s （2）石块前1s内下落的高度为 则石块落地前最后2s内的位移大小为x＝h﹣h1＝45m﹣5m＝40m 答：（1）石块落地时的速度大小为30m/s； （2）石块落地前最后2s内的位移大小为40m。 练习 10 （2025秋•射阳县期中）从离地面500m的空中自由落下一小球，忽略空气阻力，g取10m/s2，求： （1）经过多长时间落到地面？ （2）自开始下落计时，在第1s内的位移大小？ （3）最后1s内的位移大小。 【答案】（1）经过10s时间落到地面； （2）自开始下落计时，在第1s内的位移大小为5m； （3）最后1s内的位移大小为95m。 【解答】解：（1）由h 代入数据得下落的时间t＝10s （2）第1s内的位移m＝5m （3）从开始运动起前9s内的位移为m＝405m 最后1s内的位移为h10＝h﹣h9＝500m﹣405m＝95m 答：（1）经过10s时间落到地面； （2）自开始下落计时，在第1s内的位移大小为5m； （3）最后1s内的位移大小为95m。 练习 11 （2025秋•秦淮区期中）雨秦东同学路演“会飞的鸡蛋”，将一枚鸡蛋（可视作质点）从离地面H＝7.2m高的三楼栏杆上端由静止释放，下落途中经t0＝0.3s的时间通过二楼窗口，窗口上、下边框之间的高度为h0＝1.5m，不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，求： （1）鸡蛋刚好落地前瞬间的速度大小v； （2）三楼栏杆上端距离窗口上边框的高度h。 【答案】（1）鸡蛋刚好落地前瞬间的速度大小12 m/s； （2）三楼栏杆上端距离窗口上边框的高度是0.6125m。 【解答】解：（1）根据速度—位移关系v2＝2gH 解得落地时的速度大小为v＝12m/s （2）设三楼栏杆上端离窗口上边框的高度为h，鸡蛋从三楼栏杆上端运动到窗口上边框的时间为t1，则h 到窗口下边框时h+h0 联立解得h＝0.6125m 答：（1）鸡蛋刚好落地前瞬间的速度大小12 m/s； （2）三楼栏杆上端距离窗口上边框的高度是0.6125m。 练习 12 （2025秋•常州期中）高空坠物事件时有发生，造成严重安全隐患，《民法典》已规定“禁止从建筑物中抛掷物品”。假设距地面高H＝45m的阳台上的花盆因受扰动而掉落，掉落过程可看作自由落体运动，空气阻力忽略不计，重力加速度g取10m/s2，求： （1）花盆着地的速度大小v； （2）花盆最后1s内下落的距离h。 【答案】（1）花盆着地的速度大小为30m/s，方向竖直向下； （2）花盆最后1s内下落的距离为25m。 【解答】解：（1）花盆做自由落体运动，下落位移hgt2 代入数据解得：t＝3s 落地时的速度v＝gt＝10×3m/s＝30m/s，方向竖直向下； （2）前2s下落的高度h110×22m＝20m 最后1s内的位移大小h2＝h﹣h1＝（45﹣20）m ＝25m。 答：（1）花盆着地的速度大小为30m/s，方向竖直向下； （2）花盆最后1s内下落的距离为25m。 练习 13 （2025秋•新吴区校级期中）山区某景区内一名游客不慎摔伤，救援人员操控无人机在距离地面125m的高空悬停，将急救包由静止释放，确保精准投送至伤员附近。下落过程空气阻力不计，g取10m/s2。求： （1）急救包从释放到落地，全程需要的时间； （2）急救包落地瞬间的瞬时速度大小； （3）急救包下落过程中，最后2s内的位移大小。 【答案】（1）急救包从释放到落地，全程需要的时间为5s； （2）急救包落地瞬间的瞬时速度大小为50m/s； （3）急救包下落过程中，最后2s内的位移大小为80m。 【解答】解：（1）急救包下落的过程中做自由落体运动，设从释放到落地所用的时间为t，由自由落体运动规律可得：，解得：； （2）急救包落地瞬间的瞬时速度大小为：v＝gt＝10×5m/s＝50m/s； （3）急救包下落前3s内的位移为：，则急救包下落过程中，在最后2s内的位移大小为：h2＝h﹣h1＝125m﹣45m＝80m。 答：（1）急救包从释放到落地，全程需要的时间为5s； （2）急救包落地瞬间的瞬时速度大小为50m/s； （3）急救包下落过程中，最后2s内的位移大小为80m。 练习 14 （2025秋•建邺区校级期中）某人以窗户为背景录像时，恰好把从高处落下的一个小石子拍摄在视频中，测得视频中石子通过窗框的时间为t＝0.2s，窗框上下边的长度为L＝1m，重力加速度g＝10m/s2，求： （1）石子通过窗框的平均速度大小v； （2）石子由静止开始下落的位置离窗框上边的高度h。 【答案】（1）石子通过窗框的平均速度大小v为5m/s； （2）石子由静止开始下落的位置离窗框上边的高度h为0.8m。 【解答】解：（1）5m/s （2）v＝gt1 解得h＝0.8m 答：（1）石子通过窗框的平均速度大小v为5m/s； （2）石子由静止开始下落的位置离窗框上边的高度h为0.8m。 练习 15 （2025秋•邳州市期中）某同学利用甲图中所示的装置研究自由落体运动，并测重力加速度。 他选取一条较为理想的纸带如图乙所示，把开始模糊不清的点去掉，把清晰的第一个点标记为0，随后每隔一个点取一个计数点，依次标记为1、2、3、4，各计数点间的距离已标在纸带上，打点计时器所用电源的频率为50Hz。 （1）为了测量重物下落的加速度，还需要的实验器材有 _______ ；（填入正确选项前的字母） A.天平 B.秒表 C.刻度尺 D.8V交流电源 E.220V交流电源 （2）关于本实验的操作，下列说法正确的是 _______ ；（填正确选项前的字母） A.重物释放前应尽量靠近打点计时器 B.应该在手松开纸带后再启动计时器 C.实验应选择质量小，体积大的重物做实验 D.在手松开纸带时，应保持纸带与限位孔在同一竖直线上 E.为了保证纸带竖直下落，应该将拉纸带的手靠在打点计时器限位孔上，再释放纸带 （3）打下计数点2时重物的瞬时速度为 _________ m/s，学校所在地的重力加速度约为 _________ m/s2（计算结果均保留3位有效数字）； （4）若打点计时器所用电源的频率为51Hz，则通过实验测得的重力加速度值比当地的实际值相比 _______ （填“偏大”、“偏小”或“没有影响”）。 【答案】（1）CD； （2）AD； （3）1.88；9.75； （4）小于。 【解答】解：（1）A、根据实验原理，本实验不需要测量物体的质量，不需要天平，故A错误； B、打点计时器本身具有计时的功能，因此不需要秒表，故B错误； C、根据实验原理，本实验需要测量点迹之间的距离，需要刻度尺，故C正确； DE、本实验使用的是电磁打点计时器，需要不大于8V的交流电源，故D正确，E错误。 故选：CD。 （2）A、为了充分利用纸带，重物释放前应尽量靠近打点计时器，故A正确； B、实验时应先接通电源，待打点计时器稳定工作时，再释放纸带，使纸带在重力作用下开始运动，故B错误； C、实验应选择质量大，体积小的重物做实验，故C错误； D、为了保证重物做自由落体运动，在手松开纸带时，应保持纸带与限位孔在同一竖直线上，故D正确； E、为了保证纸带竖直下落，不能将拉纸带的手靠在打点计时器限位孔上，故E错误。 故选：AD。 （3）每隔一个点取一个计数点，则相邻计数点之间的时间间隔为： 由中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度可得打下计数点2时重物的瞬时速度为：； 由逐差法可得学校所在地的重力加速度为：； （4）相邻计数点之间的时间间隔为：根据逐差法可得：，实验时交流电的频率高于50Hz，计算时仍按50Hz算，使重力加速度的测量值小于真实值。 故答案为：（1）CD； （2）AD； （3）1.88；9.75； （4）小于。 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $