吉林吉林市第二十三中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

参考答案与评分标准 （试题出自人教版教材，满分 120 分，时间 120 分钟） 一、选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1．【答案】A 【详解】一元二次方程需满足：只含一个未知数、未知数的最高次数是 2、等号两边都是整式。B 含两个未知数，C 是分式方程，D 最高次数是 3。 2．【答案】A 【详解】移项得 ，两边同加 4 得 ，即 。 3．【答案】C 【详解】因为 Δ＝，所以方程没有实数根。 4．【答案】C 【详解】a＝－1＜0，开口向下；对称轴是直线 x＝1；顶点纵坐标为 3，故最大值为 3；当 x＞1 时 y 随 x 增大而减小。 5．【答案】A 【详解】左加右减、上加下减：向左平移 1 个单位得 y＝2(x＋1)²，再向下平移 3 个单位得 y＝2(x＋1)²－3。 6．【答案】A 【详解】二次函数图象与 x 轴交点的横坐标就是相应一元二次方程的根，故两根为 x＝－1，x＝3。 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 7．【答案】1 【详解】，故最小值是 1。 8．【答案】5 【详解】把 代入得 ，解得 。 9．【答案】 【详解】由 Δ＝ 得 。 10．【答案】 【详解】由 ，得对称轴是直线 。 11．【答案】（或 ） 【详解】单循环比赛场数为 ，由 （即 ）可得参赛班级数。 三、解答题（12—14 题，每题 6 分） 12．【答案】（1） 或 　（2） 【详解】（1）因式分解得 ， 所以 或 。 （2）这里 a＝2，b＝－4，c＝－1，Δ＝， 所以 。 13．【答案】20% 【详解】设年平均增长率为 x，依题意得 ， 即 ，解得 或 （不合实际，舍去）。 所以这两年游客人数的年平均增长率为 20%。 14．【答案】 【详解】设 ，把 C（0，3）代入得 ， 解得 ，所以 。 四、解答题（15—17 题，每题 7 分） 15．【答案】（1）见详解　（2）m＝3，周长为 10 【详解】（1）Δ＝＝＝。 因为 ，所以无论 m 取何实数，方程总有实数根。 （2）设两根为 a，b，则 ，。 由矩形面积为 6 得 ，即 ； 此时 ，方程为 ，两根为 2 和 3， 故矩形周长为 。 16．【答案】（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）　（2）① 　② 【详解】（1）令 得 ，解得 或 ； 令 得 。故 A（－1，0），B（3，0），C（0，3）。 （2）由图象知，函数值大于 0 的部分在两交点之间，故解集为 。 当 时 ；当 时 ；顶点处 ， 故当 时，。 17．【答案】（1）　（2）x＝12 【详解】（1）平行于墙的一边长为 （m）， 所以 。 （2）由 得 ， 解得 或 。 又平行于墙的一边不能超过墙长 20 m，即 ，得 ， 所以 x＝8 不符合实际，应取 。 五、解答题（18—19 题，每题 8 分） 18．【答案】（1）　（2）35 元，1125 元　（3）34 元～36 元 【详解】（1）。 （2），故当 时 W 最大， 此时售价为 （元），最大利润为 1125 元。 （3）由 得 ， 解得 ，故售价应控制在 34 元至 36 元之间。 19．【答案】（1）A（1，0），B（3，0），C（0，3），D（2，－1）　（2）面积为 3；存在，P（4，3） 【详解】（1）令 得 ，解得 或 ； 令 得 ；由 得顶点 D（2，－1）。 （2），点 C 到 x 轴距离为 3，故 。 要使△ABP 与△ABC 面积相等，点 P 到 x 轴的距离也应为 3， 令 得 ，解得 或 。 x＝0 对应点 C，故满足条件的另一点为 P（4，3）。 六、解答题（20—21 题，每题 10 分） 20．【答案】（1）AP＝t，BQ＝2t　（2），最大值为 9　（3）存在，t＝2 【详解】（1）由运动速度可得 ，。 （2），故 。 配方得 ，故当 时 S 最大，最大值为 9。 （3）矩形面积为 ，其六分之一为 8。 由 得 ，解得 或 。 又 0＜t＜4，故 （t＝4 时点 Q 已到达点 C，舍去）。 21．【答案】（1）　（2）距中线不超过 2 m 的范围内　（3）能通过 【详解】（1）设 ，把（4，0）代入得 ， 解得 ，故 ，其中 。 （2）令 得 ，即 ， 解得 ，故灯柱应安装在距中线不超过 2 m 的范围内。 （3）货车宽 2 m，从正中通过时车轮边缘在 处， 此时拱门高度 （m）， 因为 3.75＞3.5，所以这辆货车能顺利通过。 七、解答题（22 题，共 12 分） 22．【答案】（1）A（－2，0），B（2，0），C（0，4），　（2），最大值为 1　（3）存在，P（1，3），最大面积为 1 【详解】（1）令 得 ，解得 ； 令 得 ，故 C（0，4）。 设直线 BC 为 ，把 B（2，0）代入得 ， 解得 ，故直线 BC 的解析式为 。 （2）点 P 坐标为 ，点 N 坐标为 ， 所以 。 配方得 ，故当 时 PN 最大，最大值为 1。 （3）把△PBC 沿 PN 分割，其水平宽为 ， 所以 。 由（2）知当 时 S 最大，最大值为 1； 此时点 P 的坐标为 。 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 装 订 线 ) 学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________ 吉林市第二十三中学 2026—2027 学年度上学期第一次月考 九 年 级 数 学 试 卷 （人教版　考试范围：第二十一章 一元二次方程、第二十二章 二次函数　满分 120 分　考试时间 120 分钟） 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写清楚。 2．本试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟。 3．所有答案均须写在答题区域内，超出区域或写在草稿纸上的答案无效。 4．可以使用不带编程功能的计算器。 一、选择题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．　　　B． C．　　　D． 2．用配方法解方程 ，下列配方正确的是（　　） A．　　　B． C．　　　D． 3．一元二次方程 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根　　　B．有两个相等的实数根 C．没有实数根　　　D．无法确定 4．对于二次函数 ，下列说法正确的是（　　） A．图象开口向上　　　B．对称轴是直线 x＝－1 C．函数的最大值是 3　　　D．当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大 5．把抛物线 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　） A．　　　B． C．　　　D． 6．如图 1，二次函数 的图象与 x 轴交于 A（－1，0），B（3，0）两点，则方程 的两个根是（　　） 图 1 A．，　　　B．， C．，　　　D．， 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 7．二次函数 的最小值是__________。 8．已知 是关于 x 的方程 的一个根，则 m＝__________。 9．若关于 x 的方程 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是__________。 10．抛物线 的对称轴是直线__________。 11．某校九年级举行篮球单循环比赛（每两个班之间比赛一场），共比赛 45 场。设共有 x 个班参赛，根据题意可列出的方程为__________。 三、解答题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 12．解方程（每小题 3 分）： （1） （2） 13．（6 分）吉林市某景区 2024 年接待游客 80 万人次，2026 年接待游客达到 115.2 万人次。求这两年该景区接待游客人数的年平均增长率。 14．（6 分）如图 2，二次函数 的图象经过点 A（－1，0），B（3，0），C（0，3），求这个二次函数的解析式。 图 2 四、解答题（本题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 15．（7 分）已知关于 x 的方程 。 （1）（3 分）求证：无论 m 取何实数，这个方程总有实数根； （2）（4 分）若方程的两个根恰好是一个矩形的长和宽，且这个矩形的面积为 6，求 m 的值及这个矩形的周长。 16．（7 分）如图 3，二次函数 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C。 图 3 （1）（3 分）求 A，B，C 三点的坐标； （2）（4 分）结合图象直接写出： 的解集；以及当 时，函数值 y 的取值范围。 17．（7 分）如图 4，某农户准备用 40 m 长的篱笆靠墙（墙长 20 m）围一块矩形菜地，设垂直于墙的一边长为 x m。 图 4 （1）（3 分）用含 x 的式子表示菜地的面积 S； （2）（4 分）当菜地的面积为 192 m² 时，求 x 的值，并结合实际说明所求的值是否都符合要求。 五、解答题（本题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 18．（8 分）某商店经销一种纪念品，进价为每件 20 元。当售价为每件 30 元时，每天可售出 100 件；市场调查发现，售价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 5 件。 （1）（3 分）设每件售价上涨 x 元，写出每天所得利润 W（元）与 x 之间的函数关系式； （2）（3 分）售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ （3）（2 分）若商店要求每天的利润不低于 1120 元，结合函数图象说明售价应控制在什么范围内。 19．（8 分）如图 5，抛物线 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C。 图 5 （1）（3 分）求 A，B，C 三点的坐标及顶点 D 的坐标； （2）（5 分）求△ABC 的面积；在抛物线上是否存在点 P（不与点 C 重合），使得△ABP 与△ABC 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标。 六、解答题（本题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分） 20．（10 分）如图 6，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8。点 P 从点 A 出发沿 AB 方向以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 运动；同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 方向以每秒 2 个单位长度的速度向点 C 运动。设运动时间为 t 秒（0＜t＜4）。 图 6 （1）（3 分）用含 t 的式子表示线段 AP，BQ 的长； （2）（4 分）设△PBQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值； （3）（3 分）是否存在某一时刻 t，使△PBQ 的面积等于矩形面积的六分之一？若存在，求出 t 的值。 21．（10 分）如图 7，某公园要修建一座抛物线形拱门，拱门底部宽 8 m，拱顶距地面 4 m。以地面所在直线为 x 轴，拱门的中线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系。 图 7 （1）（4 分）求这座拱门所在抛物线的解析式； （2）（3 分）现计划在拱门下方安装一排高 3 m 的灯柱（垂直于地面），为不碰到拱门，灯柱应安装在什么范围内？ （3）（3 分）一辆宽 2 m、高 3.5 m 的货车想从拱门正中通过，请通过计算说明它能否顺利通过。 七、解答题（本题共 1 小题，共 12 分） 22．（12 分）如图 8，抛物线 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，连接 BC。点 P 是抛物线在 y 轴右侧部分上的一个动点（不与点 B 重合），过点 P 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 M，交直线 BC 于点 N。 图 8 （1）（4 分）求 A，B，C 三点的坐标及直线 BC 的解析式； （2）（4 分）设点 P 的横坐标为 m（0＜m＜2），用含 m 的式子表示线段 PN 的长，并求出 PN 的最大值； （3）（4 分）是否存在点 P，使△PBC 的面积最大？若存在，求出此时点 P 的坐标及最大面积。 第 页（共 页） 学科网（北京）股份有限公司 $