精品解析：广东江门市蓬江区江门第二中学2026-2027学年第一学期第一学段综合练习八年级数学试题

江门二中2026-2027学年第一学期第一学段综合练习 八年级数学试题 一、单选题 1. 下列能组成三角形的线段是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 2. 如图所示，已知，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 或 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下面四个三角形中，与图中的全等的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，且，，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 6. 如果用一根手指顶在一块质地均匀的三角形薄板的（ ）处，这块薄板就能保持平衡． A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高线所在直线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 7. 如图所示是两位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线、角平分线 B. 高线、中线 C. 角平分线、高线 D. 角平分线、中线 8. 已知多项式x－a与2x2－2x+1的乘积中不含x2项，则常数a的值是(　　) A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 9. 如图，在中，，点C的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；，以此类推得到，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 如图，，请你根据“”定理，添加一个条件_____________，使得． 12. 若是完全平方式，则常数m的值为___________． 13. 如图，小明和小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小明从水平位置上升时，这时小红离地面的高度是______． 14. 若，则______． 15. 如图，在中，点D是边上的一点，E，F分别是，的中点，连接，，若，则的面积为________． 三、解答题 16. 在中，， （1）用直尺和圆规作的平分线交于点D（保留作图痕迹，不要求写作法．） （2）在（1） 的条件下，求． 17. 小萌同学与爸妈周末去公园游玩——荡秋千，如图所示，小萌坐在秋千的起始位置处，与地面垂直并交于点，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在处接住小萌时． （1）判断与是否全等，并说明理由； （2）求处距离地面的高度． 18. （1）已知是的三边长，化简：； （2）一个等腰三角形的周长为，一边长为，求另两边的长． 19. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中，． 20. 【阅读理解】数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图1可以得到． 【类比应用】 （1）如图2，可以得到的代数恒等式是：　　； 【结论应用】 （2）若满足，求的值； 【迁移应用】 （3）两块完全相同的特制直角三角板()如图3所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若一块直角三角板的面积为，与面积之和为，求线段的长． 21. 阅读材料：人教版八年级上册教材118页为大家介绍了杨辉三角． 我国著名数学家华罗庚曾在所撰写的《数学是我国人民所擅长的学科》一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比的睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例． 在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”． 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数；等等． 利用上面的规律，完成以下问题： （1）的展开式为_____． （2）的展开式中共有_____项，从右往左第二项的系数是_____． （3）计算：． （4）代数推理：已知为整数，求证：能被50整除． 22. 【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如：，，，则和互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”． （1）已知和互为“黄金角”，且，若和互余，则______； （2）如图1，在中，，是的角平分线，过作，射线平分且与射线交于点，若与互为“黄金角”，求的度数； （3）如图2，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，．若和互为“黄金角”，求的度数； （4）如图3，将纸片沿折叠，使点落在四边形外部处，若和互为“黄金角”，求的度数． 23. 按要求解答问题： （1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：       ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门二中2026-2027学年第一学期第一学段综合练习 八年级数学试题 一、单选题 1. 下列能组成三角形的线段是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了构成三角形的条件．根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边时才能组成三角形．分别计算各选项两边之和与第三边比较． 【详解】解：对于选项A：，等于第三边，不能组成三角形； 对于选项B：，，，能组成三角形； 对于选项C：，等于第三边，不能组成三角形； 对于选项D：，小于第三边，不能组成三角形． 故选：B． 2. 如图所示，已知，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，解题的关键是利用边角边证明，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故选C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、合并同类项、完全平方公式、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方、合并同类项、完全平方公式、同底数幂的乘法的运算法则计算，逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项计算正确，符合题意； B． 不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意； C． ，故该选项计算错误，不符合题意； D． ，故该选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 下面四个三角形中，与图中的全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题可得， A选项属于已知两边和其中一边的对角对应相等的情况，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意； B选项中角的对边不相同，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意； C选项中已知两边及两边的夹角对应相等，所以根据“”能判定全等，故本选项符合题意； D选项中两对应角的夹边不相等，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意． 5. 如图，已知，且，，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】解：， ， ． 6. 如果用一根手指顶在一块质地均匀的三角形薄板的（ ）处，这块薄板就能保持平衡． A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高线所在直线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】支撑点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答． 【详解】三角形的三条中线的交点是三角形的重心，手指顶在三角形的重心处即可保持平衡， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的重心的概念和性质，注意数学知识在实际生活中的应用． 7. 如图所示是两位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线、角平分线 B. 高线、中线 C. 角平分线、高线 D. 角平分线、中线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线，理解三角形的角平分线、高线的定义是解题的关键．根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线的定义，逐个图形分析即可得出答案． 【详解】解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵，即， ∴， ∴是的高线； ∴综上所述，依次是的角平分线、高线． 故选：C． 8. 已知多项式x－a与2x2－2x+1的乘积中不含x2项，则常数a的值是(　　) A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先计算，然后将含的项进行合并，最后令其系数为0即可求出a的值． 【详解】解： ＝ ＝ 令， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式的乘法法则． 9. 如图，在中，，点C的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：分别过A和B作轴于D，轴于E，由点C的坐标为，点B的坐标为可得，，，则；根据角之间的数量关系可得，再根据“角角边”得到，再根据全等三角形的性质得到、，即，再结合图确定A点的坐标即可． 【详解】解：如图：分别过A和B作轴于D，轴于E， ∵点C的坐标为，点B的坐标为， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴、， ∴， ∴A点的坐标是． 故选A． 10. 如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；，以此类推得到，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据外角的性质和角平分线的定义，结合三角形内角和定理求出，，得出，从而得出． 【详解】解：是的平分线，是的平分线， ，， 又，， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了规律探究：图形的变化类，熟练掌握三角形内角和定理和外角性质是解题的关键． 二、填空题 11. 如图，，请你根据“”定理，添加一个条件_____________，使得． 【答案】（或） 【解析】 【分析】本题主要考查了用“”证明两个直角三角形全等，解题的关键是熟练掌握“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等”． 根据“”定理内容即可进行解答． 【详解】解：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等． 由图可知：和斜边为公共边，即， ∴应添加：（或） 故答案为：（或）． 12. 若是完全平方式，则常数m的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键；根据完全平方式得出，即可求出答案． 【详解】解：是完全平方式， ， ， 故答案为：4． 13. 如图，小明和小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小明从水平位置上升时，这时小红离地面的高度是______． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明，利用全等三角形的性质进行线段等量代换． 先证明，得出，再结合支点到地面的距离，计算出小红离地面的高度为． 【详解】解：跷跷板的支点是中点， ． 又，（对顶角相等）， ． 由全等三角形的性质可知，． 已知小明上升了，即， ． 支点到地面的距离是， 小红离地面的高度为． 故答案为：． 14. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的乘方运算法则和同底数幂的除法运算法则，将所求式子变形，代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ． 15. 如图，在中，点D是边上的一点，E，F分别是，的中点，连接，，若，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质求得，，继而根据，由即可求解． 【详解】∵点F是的中点， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵ ∴ 故答案为：． 三、解答题 16. 在中，， （1）用直尺和圆规作的平分线交于点D（保留作图痕迹，不要求写作法．） （2）在（1） 的条件下，求． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是基本作图及等腰三角形的性质，熟知角平分线的作法是解答此题的关键． （1）根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出的平分线即可； （2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，再根据三角形外角的性质得出的度数即可． 【小问1详解】 解：以点B为圆心，适当半径画弧交于点E，F，再以点E，F为圆心，大于的长度为半径，画弧，交于点G，连接并延长交于点D 【小问2详解】 解：∵在中，， ， ∵是的平分线， 是的外角， ． 17. 小萌同学与爸妈周末去公园游玩——荡秋千，如图所示，小萌坐在秋千的起始位置处，与地面垂直并交于点，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在处接住小萌时． （1）判断与是否全等，并说明理由； （2）求处距离地面的高度． 【答案】（1），理由如下： 由题意可知，， 故， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等角的余角相等和直角三角形的性质得出，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，，结合题意，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵，分别为和， ∴， ∵， ∴， ∴处距离地面的高度为． 18. （1）已知是的三边长，化简：； （2）一个等腰三角形的周长为，一边长为，求另两边的长． 【答案】（1）0；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系、绝对值的化简、等腰三角形的性质，熟练掌握三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）是解题的关键． （1）根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再利用绝对值的性质化简． （2）分情况讨论等腰三角形的腰长和底边长，结合三角形三边关系判断是否成立． 【详解】解：（1）∵ ，，是的三边长， ∴ ，即， ∴． ∴； （2）情况一：当为腰长时，底边长为． ∵ ，不满足三角形三边关系， ∴ 此情况不成立． 情况二：当为底边长时，腰长为． ∵ ，，满足三角形三边关系， ∴ 另两边长均为． 综上，另两边的长为，． 19. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2）化简结果为，值为 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 当，时，原式． 20. 【阅读理解】数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图1可以得到． 【类比应用】 （1）如图2，可以得到的代数恒等式是：　　； 【结论应用】 （2）若满足，求的值； 【迁移应用】 （3）两块完全相同的特制直角三角板()如图3所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若一块直角三角板的面积为，与面积之和为，求线段的长． 【答案】【小问1】； 【小问2】； 【小问3】 【解析】 【分析】（1）通过两种方法计算图2中长方形的面积，一种是直接用长乘宽，另一种是将其分割为小正方形和小矩形后求和，从而推导出对应的代数恒等式． （2）利用完全平方公式的变形，通过设元将已知条件转化为和的具体值，再代入变形公式即可求出所求代数式的值． （3）设出直角三角板的直角边，利用三角板的面积和与的面积和这两个条件，结合完全平方公式求出直角边的和，得到线段的长度． 【详解】（1）解：图2中，大长方形的长为，宽为，面积为； 同时，大长方形可分割为一个边长为的正方形、三个长为宽为的矩形和两个边长为的正方形，面积和为， 故恒等式为； （2）解：设，， 则，． ∵， ∴； （3）解：设，． ∵，、、共线， ∴，． ∵三角板的面积为， ∴，即． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴，即． 21. 阅读材料：人教版八年级上册教材118页为大家介绍了杨辉三角． 我国著名数学家华罗庚曾在所撰写的《数学是我国人民所擅长的学科》一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比的睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例． 在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”． 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数；等等． 利用上面的规律，完成以下问题： （1）的展开式为_____． （2）的展开式中共有_____项，从右往左第二项的系数是_____． （3）计算：． （4）代数推理：已知为整数，求证：能被50整除． 【答案】（1） （2）， （3）64 （4） 证明：当时，， 当时，， 得：， ∴， ∵为整数， ∴能被整除， 故能被50整除． 【解析】 【分析】本题考查整式乘法的应用以及杨辉三角，能够通过杨辉三角得到规律是解题关键； （1）根据规律写出第6行的6个数对应展开式中各项的系数； （2）根据规律得到的展开式共有项，所有项的系数成对称关系，进而可解题； （3）先通过规律写出的展开式，然后令代入即可； （4）令和令代入（1）中展开式，求出的展开式，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 解：根据杨辉三角第6行的6个数分别为，，，，， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据规律可知的展开式共有项， ∴的展开式中共有10项， 又根据题意可总结出所有项的系数成对称关系， ∴从右往左第二项的系数与从左往右第二项的系数相等， 根据题干规律可发现每个展开式的系数从左往右第二项的系数都为， ∴的展开式从左往右第二项的系数为， ∴的展开式从右往左第二项的系数为； 故答案为：，． 【小问3详解】 解：通过规律可知， 令得到， ∴． 【小问4详解】 略 22. 【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如：，，，则和互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”． （1）已知和互为“黄金角”，且，若和互余，则______； （2）如图1，在中，，是的角平分线，过作，射线平分且与射线交于点，若与互为“黄金角”，求的度数； （3）如图2，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，．若和互为“黄金角”，求的度数； （4）如图3，将纸片沿折叠，使点落在四边形外部处，若和互为“黄金角”，求的度数． 【答案】（1） （2）的度数为或 （3）的度数为或 （4） 【解析】 【分析】（1）根据题意构造二元一次方程组求解； （2）首先表示出，，然后根据“黄金角”的定义分两种情况讨论，分别表示出，然后利用三角形内角和定理列方程求解； （3）首先根据三角形内角和定理和折叠的性质得到，然后根据“黄金角”的定义分两种情况讨论，分别联立方程组求解即可； （4）设与交于点F，由折叠得，然后利用三角形外角的性质得到，然后结合“黄金角”的定义求解． 【小问1详解】 解：∵和互为“黄金角”，且，若和互余， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵与互为“黄金角”， ∴当时， ， ∵， ∴， ∴； 当时， ， ∵， ∴， ∴； 综上所述， 的度数为或； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， 由折叠得， ，， ∴， ∴， ∵和互为“黄金角”， ∴当时， 联立得， ， 解得； 当时， 联立得， ， 解得； 综上所述， 的度数为或； 【小问4详解】 解：如图，设与交于点F， 由折叠得， ， ∴， ∴ ∴， ∵和互为“黄金角”， ∴， ， ∴． 23. 按要求解答问题： （1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：       ． 【答案】（1） （2）（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ． ． ． （3）或或 【解析】 【分析】（1）延长到，使，连接．证明．，，证明．则．即可得到答案； （2）延长到，使，连接．证明，则，，证明，则．即可得到答案； （3）在上截取，使，连接．证明．则，．证明．则，即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图1，延长到，使，连接． 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ∴． ． ． ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当（1）的结论成立， 当图3中，或． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ． ，． ． ． ， ． ． 同理可得： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $