精品解析：上海市建平新世纪中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

上海市建平世纪中学2026学年第一学期阶段练习一试卷 高二年级数学 本试卷共4页，满分100分，考试时间为90分钟.请在答题纸上填写考生信息和贴上二维码.答案全部涂、写在答题纸上，不要超过答题框，否则不得分. 一、填空题（本大题共有12小题，第1-8小题每题3分，第9-12题每题4分，满分40分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 若点平面，点平面，则直线AB__________平面（填合适的符号） 【答案】 【解析】 【分析】由直线与平面的位置关系可得结论. 【详解】直线上存在两点在平面上，则. 故答案为：. 2. 空间中两个角和，若，则的大小是______ 【答案】或 【解析】 【分析】根据和相等或者互补即可求解. 【详解】因为， 所以和相等或者互补， 所以或. 故答案为:或. 3. 为调查今年的北京雾霾治理情况，现从高二（1）班的男生38人和女生18人中选取1名学生做代表，参加学校组织的调查团，则选取代表的方法有________种． 【答案】56 【解析】 【分析】完成这件事需要分两类完成：第一类：选1名男生，第二类：选1名女生，根据分类加法计数原理计算即可. 【详解】完成这件事需要分两类完成：第一类：选1名男生，有38种选法；第二类：选1名女生，有18种选法，根据分类加法计数原理，共有（种）不同的选法． 故答案为： 4. 如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD­-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是________． 【答案】平行 【解析】 【分析】根据题意和长方体的结构特征可得A1EBE1、，利用线面平行的判定定理可得A1E平面BCF1E1、A1D1平面BCF1E1，结合面面平行的判定定理即可得出结果. 【详解】∵分别是的中点， 由长方体的结构特征，得A1EBE1， 又A1E平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1， ∴A1E平面BCF1E1； ∵分别是的中点， ∴， 又平面BCF1E1，⊂平面BCF1E1， ∴A1D1平面BCF1E1. 又A1E∩A1D1＝A1，A1E、A1D1⊂平面EFD1A1， ∴平面EFD1A1平面BCF1E1. 故答案为：平行 5. 已知正三角形的边长为，则的直观图的面积为______． 【答案】 【解析】 【详解】正三角形ABC的边长为， 正三角形ABC的面积， 设的直观图的面积为， 则． 6. 如图所示，在正方体中，分别为棱的中点，则以下四个结论正确的是__________． ①直线与是相交直线；②直线与是平行直线 ③直线与是异面直线；④直线与是异面直线 【答案】③④ 【解析】 【分析】根据直线与直线的位置关系对四个结论逐一分析，由此确定正确结论. 【详解】①，根据异面直线的知识可知与是异面直线，①错误. ②，设是线段中点，是线段的中点，如图所示，根据正方体的性质可知,所以与不是平行直线，②错误. ③，根据异面直线的知识可知与是异面直线，③正确. ④，根据异面直线的知识可知与是异面直线，④正确. 故答案为：③④ 7. 如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正切值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】连接，利用正方体的特征及线面角的定义计算即可. 【详解】连接，易知底面，所以为所求角， 不妨设正方体棱长为2，则. 故答案为： 8. 下列命题中：①空间中三个点可以确定一个平面；②直线和直线外的一点，可以确定一个平面；③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面；④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面；⑤如果两个平面有无数个公点，那么这两个平面重合．真命题的个数为______个． 【答案】1 【解析】 【分析】根据空间位置关系可直接判断各命题. 【详解】命题①：空间中不共线三个点可以确定一个平面，错误； 命题②：直线和直线外的一点，可以确定一个平面，正确； 命题③：三条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，所以命题③错误； 命题④：如果三条直线两两平行，那么这三条直线不能确定一个平面，所以命题④错误； 命题⑤：两个平面有无数个公共点，则两平面可能相交，所以命题⑤错误； 故答案为：1 9. 用、、、、、、这个数字可以组成没有重复数字三位数的个数为______（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【详解】数字不能放首位，则首位有种选择，十位有种选择，个位有种选择， 由分步乘法计数原理可知，满足条件的三位数的个数为个. 10. 如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝，则异面直线AD和BC所成的角为________． 【答案】90° 【解析】 【分析】取AC中点G，连结EG、FG，由已知得EG∥BC，FG∥AD，从而∠EGF是异面直线AD和BC所成的角（或所成角的补角），由此有求出异面直线AD和BC所成的角． 【详解】解：取AC中点G，连结EG、FG， ∵E，F分别是AB，CD的中点，∴EG∥BC，FG∥AD， ∴∠EGF是异面直线AD和BC所成的角（或所成角的补角）， ∵AD＝BC＝2，EF， ∴EG1，FG1， ∴EG2+FG2＝EF2， ∴∠EGF＝90°， ∴异面直线AD和BC所成的角为90°． 故答案为90°． 【点睛】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 11. 从平面外的一点引两条斜线，且这两条斜线相互垂直，求这两条斜线与所成角之和的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据线面角定义得出，表达式，再利用勾股定理及线面垂直性质推导，最后结合线面角范围得出的关系及最值情况. 【详解】设平面外的点为，过作平面的垂线，垂足为， 记，两条互相垂直的斜线分别交平面于、， 斜线与平面所成角的定义是斜线与它在平面内射影的夹角， 因此两条斜线与所成角分别为，， 由线面角的定义可得；， 因为平面，所以，， 即，， 已知两条斜线，则， 即，化简可得：， 由，，得，化简得：， 由向量数量积不等式得， 又，，所以， ，，， ，约去，两边平方化简可得： ，进一步化简可得：， 因为，正弦，余弦均为正数， 函数在单调递增，所以，即， 等号仅在，反向共线时成立， 所以​的最大值为 12. 下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____， 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据线线平行得出四点共面分别判定①②③，根据异面直线判定④. 【详解】 在①中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 所以，因为，所以是平行四边形， 所以， 所以，∴四点共面． 在②中， 取的中点N，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 可得交于直线延长线上一点， ∴四点共面，设为， 在正方体中：，∴四点共面，设为. ∵都经过不共线的三点，∴与重合，∴四点共面． 在③中，分别是所在棱的中点，所以，所以， ∴四点共面． 在④中， 连接，如图，∵平面平面且， ∴直线与为异面直线．∴四点不共面． 故答案为：①②③ 二、选择题（本大题共有4小题，每题3分，满分12分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列推断中，错误的是（ ） A. ，，， B. 不同的平面，，，，， C. 直线l不在平面上， D. 、、，、、且A、B、C不共线与重合 【答案】C 【解析】 【分析】对四个推断逐一用平面的基本性质（公理）验证，找出推理不成立的选项. 【详解】对于，直线 上两点 、 均属于平面 ，由公理若直线上有两点在平面内，则该直线在该平面内，得 ，推断成立. 对于，、 两点同时属于平面 和平面 ，由公理直线上两点在平面内则直线在平面内，得 且 ，故 ． 又两不重合平面若有公共点则交于唯一一条直线，该直线通过 、 两点，由两点确定唯一直线，得 ，推断成立. 对于，直线 不在平面 内，包含两种情形：（ 与 无公共点）和 与 相交（ 与 有且仅有一个公共点）． 当 与 相交于点 时，取 ，则 且 ，与结论 矛盾，故推断不成立. 对于，、、 三点不共线且同时属于 和 ，由公理不共线三点确定唯一平面， 与 必为同一平面，即两者重合，推断成立. 14. 设是平面，，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，与所成的角相等，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的判定定理及性质，逐一分析各选项的正误，排除错误选项即可得到正确答案. 【详解】对选项A：由线面垂直的性质可知，若，则垂直于平面内的所有直线， 又，则平面内存在直线满足，因此，进而可得，故A正确； 对选项B：若，，则与的位置关系可以是平行、相交或异面，不一定互相平行，故B错误； 对选项C：若，，则与的位置关系可以是平行、相交（含垂直）或，不一定垂直于，故C错误； 对选项D：若、与所成的角相等，则与的位置关系可以是平行、相交或异面，不一定互相平行，故D错误. 15. 若直线与平面所成的角为，直线与平面上的直线所成的角为，则总有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与平面所成角的定义，结合题意，即可判断. 【详解】由直线与平面所成的角为， 根据直线与平面所成角的定义，可得直线与平面内的直线所成的最小角为， 又直线与平面上的直线所成的角为，所以. 故选：B 16. 有红、黄、蓝三种颜色的旗各足够多面，每次可以升1面、2面或3面旗，纵向排列在旗杆上表示信号，旗数或顺序不同时表示不同信号，则可以表示不同信号的种数为（ ） A. 38 B. 39 C. 40 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】首先，将升旗分类可分为升1面，升2面，升3面，求出每一类表示信号的数量，再相加即可求解. 【详解】升1面旗有3种信号，升2面旗有种信号，升3面旗有种信号． 总数为种． 三、解答题（本大题共有5题，满分48分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤，用空间向量方法解答不给分. 17. （用空间向量方法解答不给分）如图，长方体的棱、、的长分别为3、4、5，求下列距离： （1）点B到平面的距离； （2）直线到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为平面，所以点到平面的距离为. 【小问2详解】 因为，平面，平面， 所以平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 又平面， 所以直线到平面的距离为. 18. （用空间向量方法解答不给分）如图，长方体中，，，的中点为F．求直线AF与CD所成角的大小． 【答案】 【解析】 【详解】因为长方体中，所以直线与所成的角等于直线与所成的角，即（异面直线所成角取锐角）. 由长方体性质，平面，又平面，故，为直角三角形，. 已知，，是中点，，故. 在中： . 在中： 因此直线与所成角的大小为. 19. （用空间向量方法解答不给分）如图，已知分别是空间四边形的边的中点，． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）求证：平行于平面． 【答案】（1）四边形MNPQ为菱形，理由如下： 在中，为中位线，所以平行且等于. 同理，在中，为中位线，所以平行且等于. 所以平行且等于，所以四边形为平行四边形. 同理平行且等于，因为，所以， 所以平行四边形为菱形. （2）由上可知，平行且等于， 因为平面，平面，， 所以平行于平面. 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. （用空间向量方法解答不给分）如图，底面是正方形，平面，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为四边形是正方形，所以. 因为平面，平面，所以 因为，，，平面， 所以平面. （2）直线与平面所成角的正弦值为 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，结合，利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）先得到为直线与平面所成角的平面角，再利用平面几何知识可得. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）可知，平面， 所以是在平面上的射影. 所以即为直线与平面所成角的平面角. 因为平面，平面，所以. 在中，，所以， 因为平面，平面，所以. 在中，，所以， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 21. （用空间向量方法解答不给分）如图是一个棱长为2的正方体被平面截去一部分后，剩余的立体图形，E是的中点． （1）证明：A、C、、四点共面； （2）证明：平面平面； （3）过点C，E，的平面与该多面体的表面相交，交线围成一个多边形，求该多边形的面积． 【答案】（1）因为原几何体是正方体，所以，所以与共面，故四点共面. （2）因为，，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，，所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面， 所以平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得，由平面的性质可得与共面，得证； （2）先证明平面，平面，根据面面平行的判定定理，得证； （3）找到交线围成一个多边形为四边形，并得到其为等腰梯形，求出各边，得到面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，取的中点，连接， 因为是的中点，所以， 又，，所以四边形是平行四边形，故， 所以， 所以过点的平面与该多面体的表面相交，交线围成一个多边形为四边形， 正方体棱长为2，故，， 又，，与不平行， 所以四边形为等腰梯形， 的高为， 所以等腰梯形的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市建平世纪中学2026学年第一学期阶段练习一试卷 高二年级数学 本试卷共4页，满分100分，考试时间为90分钟.请在答题纸上填写考生信息和贴上二维码.答案全部涂、写在答题纸上，不要超过答题框，否则不得分. 一、填空题（本大题共有12小题，第1-8小题每题3分，第9-12题每题4分，满分40分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 若点平面，点平面，则直线AB__________平面（填合适的符号） 2. 空间中两个角和，若，则的大小是______ 3. 为调查今年的北京雾霾治理情况，现从高二（1）班的男生38人和女生18人中选取1名学生做代表，参加学校组织的调查团，则选取代表的方法有________种． 4. 如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD­-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是________． 5. 已知正三角形的边长为，则的直观图的面积为______． 6. 如图所示，在正方体中，分别为棱的中点，则以下四个结论正确的是__________． ①直线与是相交直线；②直线与是平行直线 ③直线与是异面直线；④直线与是异面直线 7. 如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正切值为______. 8. 下列命题中：①空间中三个点可以确定一个平面；②直线和直线外的一点，可以确定一个平面；③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面；④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面；⑤如果两个平面有无数个公点，那么这两个平面重合．真命题的个数为______个． 9. 用、、、、、、这个数字可以组成没有重复数字三位数的个数为______（用数字作答）． 10. 如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝，则异面直线AD和BC所成的角为________． 11. 从平面外的一点引两条斜线，且这两条斜线相互垂直，求这两条斜线与所成角之和的最大值是________． 12. 下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____， 二、选择题（本大题共有4小题，每题3分，满分12分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列推断中，错误的是（ ） A. ，，， B. 不同的平面，，，，， C. 直线l不在平面上， D. 、、，、、且A、B、C不共线与重合 14. 设是平面，，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，与所成的角相等，则 15. 若直线与平面所成的角为，直线与平面上的直线所成的角为，则总有（ ） A. B. C. D. 16. 有红、黄、蓝三种颜色的旗各足够多面，每次可以升1面、2面或3面旗，纵向排列在旗杆上表示信号，旗数或顺序不同时表示不同信号，则可以表示不同信号的种数为（ ） A. 38 B. 39 C. 40 D. 42 三、解答题（本大题共有5题，满分48分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤，用空间向量方法解答不给分. 17. （用空间向量方法解答不给分）如图，长方体的棱、、的长分别为3、4、5，求下列距离： （1）点B到平面的距离； （2）直线到平面的距离． 18. （用空间向量方法解答不给分）如图，长方体中，，，的中点为F．求直线AF与CD所成角的大小． 19. （用空间向量方法解答不给分）如图，已知分别是空间四边形的边的中点，． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）求证：平行于平面． 20. （用空间向量方法解答不给分）如图，底面是正方形，平面，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 21. （用空间向量方法解答不给分）如图是一个棱长为2的正方体被平面截去一部分后，剩余的立体图形，E是的中点． （1）证明：A、C、、四点共面； （2）证明：平面平面； （3）过点C，E，的平面与该多面体的表面相交，交线围成一个多边形，求该多边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $