精品解析：上海市晋元高级中学2026-2027学年高二第一学期单元诊断1数学试卷

高二第一学期数学单元诊断1 一、填空题（6×4+6×5=54分） 1. 过点且斜率为3的直线在轴上的截距是_________. 【答案】 【解析】 【详解】过点且斜率为的直线的方程为， 化简可得， 所以过点且斜率为3的直线在轴上的截距是. 2. 已知，则以线段AB为直径的圆的标准方程是___________. 【答案】 【解析】 【详解】点的中点为，则以线段AB为直径的圆的圆心为，半径为，圆的方程为. 3. 经过两点，的直线的倾斜角为_________. 【答案】## 【解析】 【详解】直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以. 4. 经过圆：上一点且与圆相切的直线一般方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，由直线与切线垂直得出切线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为，因为在圆上，则， 则过点且与圆相切的直线的斜率为， 根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为，即， 5. 已知直线与平行，则与的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据两直线平行求出，然后求出平行直线间的距离即可. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得. 所以直线变为，即. 则与的距离为. 故答案为：. 6. 若，圆的一条对称轴为直线，则圆的面积是_________. 【答案】 【解析】 【详解】圆的圆心为， 因为圆的一条对称轴为直线， 所以， 所以半径， 所以圆的面积为. 7. 设，，向量，，，且，，则等于_____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据向量垂直、平行的坐标运算得出，再利用坐标计算向量的模. 【详解】因为，，，所以， 因为，所以，得， 故，故. 故答案为： 8. 直线与直线的夹角是，则实数的值为___________． 【答案】0或4 【解析】 【分析】利用两直线的夹角公式计算即可. 【详解】直线的斜率，直线的斜率为， 所以由夹角公式知， 解得或， 故答案为：0或4 【点睛】本题主要考查了两直线的夹角公式，直线的斜率，反正切函数，属于中档题. 9. 在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. 【答案】6 【解析】 【详解】设关于直线的对称点为，连接， 则，当且仅当三点共线时等号成立. 而， 解得，故，故直线，所以. 故的最小值为6. 10. 若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可. 【详解】因为，可知直线过定点， 由曲线，两边平方得， 则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点）， 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点， 此时，解得， 当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点， 圆心到直线的距离，解得， 要使直线与曲线恰有两个交点， 则直线夹在两条直线之间，因此， 故答案为：. 11. 设，直线绕着点旋转一周所不能经过的点构成的平面区域的面积为，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】先由点到直线距离公式得旋转中心到直线的距离,再由直线绕旋转一周扫过圆外区域，知不能经过的是以为圆心为半径的圆盘，故的取值范围可求. 【详解】因为原点到直线的距离为， 所以直线是单位圆的切线， 而点到直线的距离为， 由于，因此，即， 直线绕点旋转一周时，所有旋转后的直线都是以为圆心为半径的圆的切线（旋转不改变直线到旋转中心的距离）， 这些切线覆盖的区域是该圆的外部，因此不能经过的区域是该圆的内部. 由，得 ，因此. 12. 已知实数，，，满足，，，则代数式的最大值是______. 【答案】6 【解析】 【分析】根据几何知识，将问题转化为圆上的两点到直线的距离和最大问题，根据两个点形成的夹角结合圆的性质即可求出最大值. 【详解】因为， 可设，且 ， 可得在圆上，且， 又因为 ， 且 为到直线的距离， 所以所求最大值可看作是到直线的距离的和的最大值， 可知在直线的下方， 如图所示，取的中点， 过点分别作直线的垂线，垂足分别为， 过向线段和直线分别作垂线段，垂足分别为， 则为梯形的中位线，， 又因为，则. 且到直线的距离为. 因为， 当且仅当三点共线时等号成立， 所以， 故的最大值为. 二、单选题（2×4+2×5=18分） 13. 下列四个命题中，正确的是（ ） A. 经过定点的直线都可以用方程表示 B. 在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示 C. 经过定点的直线都可以用方程表示 D. 无论取何值，直线总经过第一象限 【答案】D 【解析】 【详解】对于A：当斜率不存在时，不可以用方程表示.，故A错误； 对于B：当直线经过原点时，直线在两坐标轴上的截距都是0， 此时直线的方程为，故B错误； 对于C：当斜率不存在时，不可以用方程表示.，故C错误； 对于D：化为， 令，有，即直线恒过， 直线总过第一象限，故D正确. 14. 若点在圆的内部，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接将点的坐标代入结合点与圆的位置关系求解即可. 【详解】因为点在圆内部， 所以，解得. 故选：C. 15. 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点，任取，存在不全为0的实数，使得已知，则的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知这三个向量共面，这意味着集合中所有点均在同一个过原点的平面上,已知点，本题即寻找一个点，当时，由点和点确定的过原点的平面不包含点. 【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当，无法推出，故B错误； 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则当，能推出，故C正确； 由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故D错误； 故选：C. 16. 在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论： ①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧； ②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上. 则下列判断正确的是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 【答案】B 【解析】 【分析】对于①只需要找一条直线，使得一部分圆在直线的上方，余下圆在直线的下方即可.对于②从极限的思想考虑. 【详解】对于①，取直线, 则对于任意的，有， 故圆均在直线的下方， 而对任意的，有， 故圆均在直线的上方， 而当时，表示原点，它在直线的下方， 故此时集合中所有的点均不在直线上，且存在点在直线的两侧. 所以①成立. 对于②，设直线的方程为，则圆心到直线的距离为 当时所以直线只能与有限个圆相交，所以②不成立. 故选：B 三、解答题（3×14+2×18=78） 17. 已知直线 与直线 . （1）当 时，求实数 的值； （2）当 时，求实数 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 直线 与直线 . 当 时，， 所以. 【小问2详解】 当 时，， 即，即， 解得或. 若，，即； ，所以. 若，；. 所以与重合. 综上所述，. 18. 如图，在平行六面体中，，，为与的交点，若，，. （1）用，，表示和； （2）求. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则，结合图形计算可得； （2）首先根据数量积的定义求出，，，再根据数量积的运算律求出及，最后根据夹角公式计算可得. 【小问1详解】 连接，如图： 因为，，， 在中，根据向量减法法则可得： ， 因为底面是平行四边形，故， 因为∥且，所以， 又为线段中点，所以， 在中，， 平行四边形中，； 【小问2详解】 因为，，， 故，， ， 所以 ，故， 所以 ， 所以. 19. 已知，圆，直线经过点. （1）若直线的法向量为，且直线与圆相离，求的范围； （2）若圆与圆外切，且直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程（答案写成直线一般式方程）. 【答案】（1） （2）直线的方程为和 【解析】 【分析】（1）将圆化为标准方程，根据条件写出直线方程，利用直线与圆相离的条件得到圆心到直线的距离，并结合求出的范围； （2）利用外切条件即圆心距等于半径之和求出，从而确定圆的半径，由弦长公式求圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离求出直线的斜率，最后求出直线方程． 【小问1详解】 圆的标准方程为，圆心，半径， 直线的法向量为且经过点，则其方程为， 由圆心到直线的距离，可得，解得． 即的范围为 【小问2详解】 圆的圆心，半径，， 两圆外切时，即，解得， 设直线的斜率为，则其方程为即， 由弦长公式得，代入，解得， 因此圆心到直线的距离， 整理得，解得或， 当时，直线方程为； 当时，直线方程为． 20. 如图1所示，在等腰梯形中，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面. （1）求证：图2中三条直线，，两两垂直； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面所成锐二面角的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为，所以图中，，故图中，， 又平面平面，即二面角为直二面角， 因为平面平面，，， 所以为二面角的平面角， 所以， 故两两垂直， （2） 直线与平面所成角的大小为； （3）设，则， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，则， 由题（2）可知，平面的法向量为， 设平面与平面所成锐二面角为，则， 整理得，解得或（舍去）， 故棱（不包括端点）上存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，此时. 【解析】 【分析】（1）通过面面垂直的性质定理和判定定理即可证得； （2）推导出平面，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出； （3）设，利用空间向量法可知，平面的法向量与平面的法向量的夹角余弦值的绝对值为，可得出关于的方程，解方程即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系， 在等腰梯形中，，，，， ， 则， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，则， 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的大小为； 【小问3详解】 略. 21. 平面直角坐标系中，已知圆，圆. （1）过点作圆的切线，求切线的方程； （2）若，直线与圆交于，两点，且，求的值； （3）设为圆的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，并求出定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）和. （2）或. （3）存在定点对应定值为；或定点对应定值. 【解析】 【分析】（1）判断点在圆外，确定切线有两条，斜率不存在时直线与圆相切；斜率存在时设出点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径建立方程求解斜率，进而得到切线方程. （2）由圆的标准方程，得到圆心和半径.将直线方程代入圆方程，整理成关于横坐标的二次方程，结合韦达定理和数量积求解参数，再用圆心到直线距离验证相交. （3）若存在，使为定值，则由整理后的方程系数为求解. 【小问1详解】 圆的圆心为原点，半径. 点满足：，故在圆外，切线有两条. 若切线斜率不存在，直线为，到圆心距离为1，恰好等于半径，是一条切线； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 由圆心到切线距离等于半径可得：， 化简得，解得， 所以切线方程为. 综上所述切线方程为和. 【小问2详解】 由 可得圆心，半径， 将代入圆方程，整理得： ， 设，由韦达定理得：，. 计算数量积： 代入韦达定理结果化简可得： ， 解得或，故直线为或， 圆心到直线距离分别为： ，， 故直线与圆相交，或. 【小问3详解】 由题设，满足方程， 若存在，使为定值， 而，， 所以， 整理得， 将代入， 得， 整理可得， 要使为定值，则， 解得 或 . 综上，存在定点对应定值为或定点对应定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二第一学期数学单元诊断1 一、填空题（6×4+6×5=54分） 1. 过点且斜率为3的直线在轴上的截距是_________. 2. 已知，则以线段AB为直径的圆的标准方程是___________. 3. 经过两点，的直线的倾斜角为_________. 4. 经过圆：上一点且与圆相切的直线一般方程为______. 5. 已知直线与平行，则与的距离为______． 6. 若，圆的一条对称轴为直线，则圆的面积是_________. 7. 设，，向量，，，且，，则等于_____. 8. 直线与直线的夹角是，则实数的值为___________． 9. 在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. 10. 若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是_______ 11. 设，直线绕着点旋转一周所不能经过的点构成的平面区域的面积为，则的取值范围是_________. 12. 已知实数，，，满足，，，则代数式的最大值是______. 二、单选题（2×4+2×5=18分） 13. 下列四个命题中，正确的是（ ） A. 经过定点的直线都可以用方程表示 B. 在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示 C. 经过定点的直线都可以用方程表示 D. 无论取何值，直线总经过第一象限 14. 若点在圆的内部，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点，任取，存在不全为0的实数，使得已知，则的充分条件是（ ） A. B. C. D. 16. 在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论： ①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧； ②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上. 则下列判断正确的是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 三、解答题（3×14+2×18=78） 17. 已知直线 与直线 . （1）当 时，求实数 的值； （2）当 时，求实数 的值. 18. 如图，在平行六面体中，，，为与的交点，若，，. （1）用，，表示和； （2）求. 19. 已知，圆，直线经过点. （1）若直线的法向量为，且直线与圆相离，求的范围； （2）若圆与圆外切，且直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程（答案写成直线一般式方程）. 20. 如图1所示，在等腰梯形中，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面. （1）求证：图2中三条直线，，两两垂直； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面所成锐二面角的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 21. 平面直角坐标系中，已知圆，圆. （1）过点作圆的切线，求切线的方程； （2）若，直线与圆交于，两点，且，求的值； （3）设为圆的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，并求出定值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $