第16讲 整式的加法与减法 -- 同步讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

第16讲 整式的加法与减法 学习目标 1、理解同类项的概念. 2、掌握合并同类项和去括号的法则. 3、能进行简单的整式加法和减法运算. 4、会进行整式化简求值. 核心素养： 抽象能力 运算能力 知识结构 知识点一 同类项 定义：所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项. 特例：几个常数项也是同类项. 注意：同类项的两“相同”和两“无关” (1)所含字母相同，相同字母的指数相同；(2)与系数无关，与字母的顺序无关。 【基础练习1-1】（2025七年级上·北京·专题练习）下列各组中的两项是不是同类项？①与；②与；③－3与5；④与． 【答案】①③是同类项，②④不是同类项 【分析】本题考查了同类项的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项，据此逐个判断即可解答． 【详解】解：①与所含字母都是x、y，且x的指数都是2，y的指数都是1，所以是同类项； ②中x的指数是1，y的指数是2，中x的指数是2，y的指数是1，相同字母的指数不同，不是同类项； ③与5都是常数项，是同类项； ④中a的指数是2，b的指数是1，中a的指数是1，b的指数是2，相同字母的指数不同，不是同类项． 综上所述，①③是同类项，②④不是同类项． 【基础练习1-2】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）写出单项式的同类项：______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了同类项的概念，同类项要求所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，与是同类项， 故答案为：（答案不唯一）． 合并同类项 知识点二 1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项. 2、合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变. 3、 【基础练习2-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先确定这三项都是同类项，再合并同类项即可； （2）（3）仿照（1）解答即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【基础练习2-2】（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项的运算，根据合并同类项法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，∴ A错误； B、，∴ B错误； C、，∴ C正确； D、与不是同类项，不能合并，∴ D错误； 故选：C． 去括号 知识点三 去括号法则：一个数与一个多项式相乘，需要去括号,去括号就是用括号外的数乘括号内的每 项，再把所得的积相加. 特别地，与可以看作1与分别乘，利用分配律,可以将式子中的括号去掉,得，. 注意：(1)如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同; (2)如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 提醒：去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形。 【基础练习3-1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）化简： （1）___________； （2）___________． 【答案】 【分析】本题考查了去括号． （1）根据去括号法则，括号前是负号，括号内各项变号； （2）根据分配律，将3乘以括号内的每一项． 【详解】解：（1）； （2） 故答案为：，． 【基础练习3-2】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减运算，掌握去括号，合并同类项的法则是解本题的关键； （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 知识点四 整式的加减 1、法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2、实质：整式加减的实质就是去括号、合并同类项. 注意：整式加减的结果要满足下列条件： (1)整式加减的结果要最简，即不能有同类项； (2)含字母的项的系数不能出现带分数，带分数要化成假分数; (3)整式加减的结果一般要按照某一字母的升幂或降幂的顺序排列. 【基础练习4-1】（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）化简求值： (1)； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先去括号，然后合并同类项即可求解； （2）先去括号，然后合并同类项，化简后将，代入计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式， 当，时，原式． 【基础练习4-1】（25-26七年级上·江苏淮安·期末）化简：已知，，且，求的值． 【答案】 【分析】计算，将和的表达式代入，展开括号后合并同类项，再代入已知条件，即可求解． 【详解】解： ， 代入，可得：． 题型1 同类项的判断 【典例】（26-27七年级上·全国·课后作业）判断下列各题中的两项是不是同类项： (1)4与； (2)与； (3)与； (4)与； (5)与． 【答案】(1)是 (2)不是 (3)不是 (4)是 (5)不是 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项为同类项进行判断即可. 【详解】（1）解：4与都是常数项，是同类项； （2）解：与，所含字母不同，不是同类项； （3）解：与，所含字母不同，不是同类项； （4）解：与所含字母相同，且字母的指数均为1，也相同，是同类项； （5）解：与，相同字母的指数不同，不是同类项； 【变式练习1-1】（2026·上海奉贤·二模）如果单项式与单项式是同类项，那么可以是___________．（只需写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据同类项的定义求解，只需写出满足所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式即可． 【详解】解：根据同类项的定义可知，单项式需满足：所含字母为和，的次数为，的次数为，系数不为， 取系数为，可得符合条件的单项式． 【变式练习1-2】（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列各组单项式中，是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．5 与 x 【答案】C 【分析】所含字母相同、并且相同字母的指数也相同的项是同类项，据此分析即可． 【详解】解：A、与中 x、y 的指数不同，A 错； B、与所含字母不同，B 错； C、与所含字母相同（n 的指数都是 1，m 的指数都是 2），是同类项，C 正确； D、5是常数项，与x不是同类项，D 错． 判断同类项的步骤 (1)找字母：看所含的字母是否相同。(2)比指数：看相同字母的指数是否相同.(3)下结论：得出是否为同类项. 题型2 根据同类项的定义求字母（代数式）的值 【典例】（25-26七年级上·广东·阶段检测）若与是同类项，则___________． 【答案】 【分析】由同类项定义得出的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：由与是同类项，得出， ． 【变式练习2-1】（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若单项式与合并后的结果还是单项式，则________． 【答案】6 【分析】由题意可知单项式与为同类项，进而可求出，，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：单项式与合并后的结果还是单项式， ∴，， ∴， ∴． 【变式练习2-2】（25-26七年级上·四川巴中·期末）若与的差是单项式，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】两个单项式的差为单项式，说明两个单项式是同类项，根据同类项定义求出m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵两个单项式的差是单项式， ∴这两个单项式是同类项， ∴，， 解得，，， ∴． 利用同类项的定义求字母的值的步骤 (1)列：根据同类项中相同字母的指数相同，列出等式; (2)解：求字母的值。 题型3 合并同类项 【典例】（25-26七年级上·广东·阶段检测）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，掌握法则是解题的关键．本题把系数相加，字母和字母的指数不变即可． 【详解】解：． 【变式练习3-1】（25-26八年级上·贵州遵义·期中）计算的结果正确的是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类项的合并，需运用同类项合并法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变． 【详解】解：， 故选：B． 【变式练习3-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 合并同类项的步骤 (1)找同类项：将所含字母相同、相同字母的指数也相同的项用相同记号标记. (2)同类项结合：利用加法交换律、结合律，将同类项放在一起。 (3)合并同类项：根据法则进行合并. (4)写出合并后的结果. 题型4 去括号和添括号 【典例】（25-26七年级上·吉林长春·期中）（_____）；（_____）． 【答案】 【分析】根据等式变形，结合添括号法则求解即可. 【详解】解：对于第一个等式，整理等式左边得 因此第一个括号内应填. 对于第二个等式，先去括号再整理得 因此第二个括号内应填. 【变式练习4-1】（26-27七年级上·全国·课前预习）去括号或添括号． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的知识点是去括号和添括号，解题关键是熟练掌握去括号和添括号法则． 根据去括号和添括号法则分别进行解答即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：． 故答案为：． （3）解：． 故答案为：． （4）解：． 故答案为：． 【变式练习4-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）去括号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 去括号的步骤 (1)确定括号外面的数（必须带符号）;(2)用括号外的数分别和括号内的数相乘；(3)把上一步骤的积相加. 题型5 整式的加减运算 【典例】（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式练习5-1】（26-27七年级上·北京·期中）如果，，且，求． 【答案】 【分析】将变为，再将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式练习5-2】（25-26六年级上·上海·期末）如果一个一次式减去的差等于，则这个一次式是______． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减混合运算，设这个一次式是，由题意得，求出表示的式子即可解答． 【详解】解：设这个一次式是， 由题意得，， ， 这个一次式是． 故答案为：． 知识巧记 整式进行加和减，实质就是在化简.先去括号再合并，化到最简才算完. 题型6 利用去括号和添括号代入求值 【典例】（26-27七年级上·全国·单元复习）若，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】先整理已知等式得到的值，将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：， 移项得 ， ∴． 【变式练习6-1】（2026·四川成都·模拟预测）若，则__________． 【答案】 【分析】先进行去括号，再用整体思想用，数据代入即可． 【详解】原式 【变式练习6-2】（26-27七年级上·全国·单元测试）【阅读材料】我们知道，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如，类似的，我们把看成一个整体，则．请仿照上面的解题方法，完成下列问题： 【尝试应用】 (1)把看成一个整体，化简的结果是________； (2)把看成一个整体，化简的结果为________； 【拓展探索】 (3)若，则的值为________；若，则代数式的值为________； (4)若，，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)； (3)；11； (4)13 【分析】（1）把看成一个整体合并同类项即可； （2）把看成一个整体合并同类项即可； （3）把整体代入求值即可；由可得，再对变形后，整体代入求值即可； （4）将写成，然后将，整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． （4）解：∵，， ∴． 题型7 整式的化简求值 【典例】（26-27七年级上·四川·期中）先化简，再求值． ，其中． 【答案】； 【详解】先根据式子，去括号，再合并同类项，最后代值即可． ； ∵，， ∴原式． 【变式练习7-1】（25-26七年级上·河南开封·阶段检测）先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】化简为，求值为12 【分析】先去括号、合并同类项化简代数式；再利用平方和绝对值的非负性：，，两个非负数相加等于，则各自为求出、的值，最后代入化简后的式子计算结果． 【详解】解： ， ，且， ， 解得：，， 把，代入： 原式． 【变式练习7-2】（25-26七年级上·河南平顶山·期中）思齐同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下： 先化简，再求值：，其中，． 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ．……第四步 当，时，原式． (1)已知思齐同学的解答是错误的，则他开始出现错误是在第______步，错误原因是______． (2)请给出正确的解答过程． 【答案】(1)二，中括号前为负数，去括号后第二项和第三项没有变号 (2)原式 ， 当时， 原式． 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握去括号的法则，根据整式的加减混合运算顺序和运算法则进行计算．注意去括号时，括号前为负数时，要变号． （1）根据去括号得法则即可进行解答； （2）先将整式进行化简，再代入求值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：他开始出现错误是在第二步，错误原因是：中括号前为负数，去括号后第二项和第三项没有变号． 故答案为：二，中括号前为负数，去括号后没有变号； （2）解：(2)原式 ， 当时， 原式． 1. 1、一化（化简） ：先去括号，再合并同类项，将整式化为最简形式； 2. 2、二代（代入） ：把已知字母的值代入化简后的式子； 3. 3、三计算（计算） ：按照有理数混合运算的顺序算出最终结果。 题型8 含字母的绝对值化简 【典例】（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）如图，数轴上三个点分别表示数， (1)___________________________0（用或<填空） (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数轴上三个点的位置确定的大小，再解答即可； （2）根据绝对值的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：根据数轴得：且， ∴，，； （2）解：∵，， 原式 ． 【变式练习8-1】（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“”“”或“”填空：________0，________0； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了数轴以及绝对值的计算、整式的加减运算， （1）先根据数轴得出之间的关系，然后再确定所求代数式的正负； （2）根据（1）的结论去绝对值，再合并同类项； （3）根据（1）的结论去绝对值，再合并同类项． 【详解】（1）解：由数轴得：， ，； 故答案为：；； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ． 【变式练习8-2】（26-27七年级上·江苏·期中）已知有理数a，b满足，，且，化简 _______． 【答案】/ 【分析】先根据已知条件判断每一个绝对值内部代数式的正负，正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数，去掉绝对值符号，再合并同类项． 【详解】解：∵，且， ，，， ， ∴ ． 题型9 整式加减的实际应用 【典例】（25-26七年级上·陕西西安·期末）某果园栽有果树棵，分别为苹果树，梨树，枣树，其中枣树有a棵，苹果树的棵数比枣树棵数的6倍还多b棵． (1)请用含a，b的代数式表示梨树的棵数； (2)当时，梨树有多少棵？ 【答案】(1)梨树的数量为：棵 (2)梨树有180棵 【分析】（1）根据题意可知苹果树的数量为棵，再用400减枣树和苹果树的数量即为所求； （2）把的值代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意知苹果树的数量为棵， 所以梨树的数量为：（棵）． （2）当时，． 答：当时，梨树有180棵． 【变式练习9-1】（26-27七年级上·全国·单元复习）已知有7个完全相同的长、宽分别为，的小长方形（如图①）和两个阴影长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图②，拼接处不重叠、无缝隙）． (1)请用含，的代数式解答下面的问题： （Ⅰ）大长方形的长为________； （Ⅱ）大长方形的面积为________． (2)请说明阴影长方形与阴影长方形的周长之和与的取值无关． 【答案】(1)（Ⅰ）  （Ⅱ） (2)由题图可得阴影长方形的长为，宽为，阴影长方形的长为，宽为， 所以阴影长方形的周长为， 阴影长方形的周长为． 因为两者周长之和为， 所以阴影长方形与阴影长方形的周长之和与的取值无关． 【分析】先分析拼接的边长关系：因为大长方形宽为10，且左侧3个小长方形横向放置加阴影A的高度等于10，右侧4个小长方形纵向放置加阴影B的高度等于10，所以可得到m与n的第一个等量关系． （1）观察大长方形的长的组成，其等于左侧横向小长方形的长，也等于右侧4个纵向小长方形的宽之和，以此写出长的代数式；再结合大长方形的宽，用长乘宽得到面积的代数式。 （2）先根据拼接关系分别表示出阴影A、阴影B的长和宽，再用长方形周长公式分别写出两个阴影的周长，求和后化简，若化简结果不含m，即可说明周长之和与m取值无关． 【详解】（1）（Ⅰ）观察图②的大长方形横向长度：左侧3个横放的小长方形的长拼接得到长度，右侧竖放的4个小长方形的宽拼接得到长度，因此大长方形的长为． （Ⅱ）已知大长方形的宽为10， 根据长方形面积公式：面积=长×宽， 代入长的代数式可得大长方形面积为． 答案：（Ⅰ）  （Ⅱ）． （2）略． 【变式练习9-2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）为了在中小学生中进行爱国主义教育，我县关工委决定开展“中华魂”经典诵读活动，并设立了一、二、三等奖．根据需要购买了件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的倍多件，各种奖品的单价如下表所示： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价元 数量件                               (1)请用含的代数式把表格补全； (2)请用含的代数式表示购买件奖品所需的总费用； (3)若一等奖奖品购买了件，则我县关工委共花费多少元？ 【答案】(1)表格见解析 (2)购买件奖品所需的总费用为元 (3)我县关工委共花费元 【分析】（1）根据题意计算出二、三等奖奖品的件数，并补全表格即可； （2）将每种奖品的单价和数量相乘，再求和即可； （3）将代入（2）中的代数式，求出总费用即可． 【详解】（1）解：∵二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的倍多件， 又∵共购买件奖品， ∴二等奖奖品购买件，三等奖奖品购买件， 填表如下： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价元 数量件 （2）解：根据题意，购买件奖品所需总费用为： 元； 答：购买件奖品所需的总费用为元； （3）解：当时，（元）． 答：我县关工委共花费元． 题型10 整式加减中的无关（定值）型问题 【典例】（25-26六年级上·山东烟台·阶段检测）当为何值时，多项式中不含项． 【答案】 【分析】首先按照去括号、合并同类项的步骤进行运算，然后根据题意可得，求解即可获得答案． 【详解】解：原式 ， ∵多项式中不含项， ∴，解得． 【变式练习10-1】（26-27七年级上·上海·单元测试）若整式与的和的值与所取的值无关，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是整式加减运算，代数式求值，解题的关键是掌握合并同类项法则等知识．先化简代数式，根据题意可知含项的系数为，进而求得的值，再代入即可求解． 【详解】解： ∵整式与的和的值与所取的值无关， ∴， ∴， ∴． 【变式练习10-2】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）已知多项式与多项式的和为，其中． (1)求多项式 (2)当取任意值时，式子的值是一个定值，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，解答的关键是掌握运算法则． （1）根据题意列出相应的式子，再结合整式的加减的运算法则进行运算即可； （2）把所求的式子进行整理，再结合条件分析即可． 【详解】（1）由题意得： ； （2） ， ∵当x取任意值时，式子的值是一个定值， ∴， ∴． 记忆口诀：“先去括号并同类，目标字母系数提；无关定值令零解，代回验证项消去。” 题型11 整式加减中的遮挡型问题 【典例】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）老师在黑板上写下了关于的多项式混合运算，随后用一张纸板挡住了一个多项式，形式如下：． (1)求被遮挡的多项式； (2)当时，求被遮挡部分多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． （1）列式表示出被遮挡的多项式，化简即可； （2）把代入（1）中结果求值即可； 【详解】（1）解：被遮挡的多项式 ． （2）解：当时， ． 【变式练习11-1】（25-26七年级上·广东汕头·期末）某同学在黑板上正确解答了一道整式的计算题，但被另一位同学不慎擦掉了算式中的一部分，如图所示： ． (1)求被擦掉的多项式； (2)若，求被擦掉多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设被擦掉的多项式为M，根据题意列出多项式并化简即可． （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：设被擦掉的多项式为M， 则 ． （2）解：若， 则 ． 【点睛】此题考查了整式的加减运算及求值，解题的关键是掌握整式的加减运算及求值的方法、通过合并同类项将整式进行化简． 【变式练习11-2】（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知整式，．黑板上，教师遮挡了与的和、差的答案（答案均为最简）． (1)分别求出被遮挡部分的整式； (2)若，求的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算． （1）求出和的值，进而作答即可； （2）根据得到，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， 被遮挡部分的整式分别为：，； （2）解：， ， 即， ． 1. 1、设未知：把被遮挡的部分设为未知整式（可用 A ）或未知系数（可用 k 表示）。 2. 2、写完整等式：把设好的未知量代回原式，写出完整的运算等式。 3. 3、选择策略： · (1)遮挡的是整式：根据它在算式中的位置，用逆运算（被减数=差+减数，加数=和−另一加数等）列出还原式； · (2)遮挡的是系数:把系数当作参数 �k，先化简，再根据“结果与某字母无关”“结果是常数”等附加条件令对应系数为0，列方程求 �k； · (3)遮挡的是某一项:先化简已知部分，再与等式右边对比，对应同类项系数相等求未知项。 4. 4、计算并检验：把求出的遮挡部分代回原式，验证等式是否成立。 题型12 整式加减中的看错（抄错）型问题 【典例】（25-26七年级上·河北衡水·期末）嘉嘉在计算两个多项式的差时，误将连接两个多项式之间的“”号抄错为“”号，结果求得的结果为，若． (1)先求出多项式，再求的结果； (2)淇淇想不求，利用已知条件直接求的结果，经过思考，她写出了如图不完整的解题过程： 因为， 所以， 所以__？___（用含的式子表示）． …… ①方框中“？”处的内容为_____； ②请将解题过程补充完整． 【答案】(1)； (2)①； ②， ． 【分析】本题考查了整式的加减，熟练计算是解题的关键． （1）根据题意可得，再求得的结果； （2）①根据代入消元法即可解答； ②根据整式的加减即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得， 则 ； （2）解：①根据题意可得； 故答案为：； ②， ． 【变式练习12-1】（24-25七年级上·上海·阶段检测）马虎同学在计算一个多项式减去另一个多项式时，错将减号抄成了加号，于是他得到的结果是，请问如果不抄错，正确答案该是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据题意可求出多项式，再正确列出算式计算即可求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴正确答案为：． 【变式练习12-2】（25-26七年级上·河南郑州·期中）小明在做作业时，错把抄成了，最终得到的结果是，其中代数式B为． (1)求A； (2)请把原题正确的答案求出． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，代入即可求出A； （2）代入A和B即可求出． 本题考查了整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．掌握整式加减的步骤是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴ ， 即； （2） ． 1. 1、明确“错在哪”：仔细读题，判断是看错了运算符号、看错了系数倍率，还是抄错了字母的值。 2. 2、写出错误算式：把看错后的算式完整写出来，代入已知的错误结果。 3. 3、选择还原策略： · (1)需要求未知多项式：用错误算式反求未知量（移项）； · (2)只需修正结果：分析错误比正确多算或少算了什么，直接修正； · (3)抄错字母值但结果不变：化简原式，观察是否含该字母的奇次项。 4. 4、代入正确算式计算：把求出的量代回正确算式，算出正确结果。 5. 5、验证：把结果代回原题，确认看错后的结果与题目给出的错误结果一致。 题型13 整式的比较大小 【典例】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）比较_________．（填＞，＜，＝） 【答案】> 【分析】本题考查了有理数大小的比较．利用作差法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：>． 【变式练习13-1】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）已知，． (1)求； (2)试比较A，B的大小关系（写出比较过程）． 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）将代入，先去括号，再计算整式的加减即可得； （2）根据整式的加减计算，再分和进行比较即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ， ∴当时，，则，即； 当时，，则，即； 综上，当时，；当时，． 【变式练习13-2】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）（1）比较与的大小，说说你的理由； （2）当x为何值时，代数式的值比的值大？说明理由． 【答案】（1），理由如下： ∵，， ∴； （2）当时，代数式的值比的值大，理由如下： ∵， 要使代数式的值比的值大，则， ∴当时，代数式的值比的值大． 【分析】本题主要考查了整式的加减运算及作差法比较大小，熟练掌握作差法（通过计算两个式子的差，根据差的符号判断大小）是解题的关键． （1）通过作差法计算两个式子的差，根据差的正负判断大小关系． （2）通过作差法计算两个式子的差，根据差的正负判断大小关系． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴； （2）当时，代数式的值比的值大，理由如下： ∵， 要使代数式的值比的值大，则， ∴当时，代数式的值比的值大． 题型14 与整式有关的新定义问题 【典例】（25-26七年级上·福建漳州·期末）定义新运算：．例如：． (1)计算的值； (2)已知，试说明的值与的取值无关． 【答案】(1)； (2)的值为常数，与的取值无关． 【分析】本题考查新定义运算的应用以及整式的加减运算． （1）直接根据新运算的定义，将对应数值代入公式计算即可； （2）先利用新运算定义将两个等式展开，得到关于、、的方程，再通过消元法消去，推导出为固定常数，从而说明其与无关． 【详解】（1）解：； （2）解：， ①； ， ②； 将①②得：， 整理化简得：； 的值为常数，与的取值无关． 【变式练习14-1】（25-26七年级上·河南驻马店·期中）定义：任意两个数a、b，按照扩充得到一个新数c，称所得的新数c为a、b的“吉祥数”． (1)若．求a、b的“吉祥数c； (2)若，试说明“吉祥数”c为正数． 【答案】(1)11 (2)解：， ， ， “吉祥数”c为正数． 【分析】（1）按照“吉祥数”的定义，将的值代入计算即可； （2）先按照“吉祥数”的定义求出，再利用平方式是非负数说明即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：， ， ， “吉祥数”c为正数． 【点睛】此题是新定义题型，主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解答此题的关键． 【变式练习14-2】(2026七年级上·全国·专题练习）学科素养•阅读理解规定一种运算：，等号右边是我们学过的加减运算，按前面的规定把展开，并合并同类项． 【答案】 【分析】本题考查的是定义新运算，同时用到了整式的加减运算.仔细观察新运算：所反映出的整式的加减运算规则，根据规定的运算法则可得展开原式. 【详解】解：原式 . 故答案为： 综合检测 一、单选题 1．（2026·江苏无锡·一模）下列式子中，与单项式是同类项的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项定义逐一判断选项即可得到结果，同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 【详解】∵ 原单项式为，所含字母为和，其中的次数为，的次数为. 对选项逐一判断： A选项所含字母为、，与原单项式字母不同，不符合要求； B选项所含字母为、，但次数为，次数为，相同字母指数不同，不符合要求； C选项所含字母为、，与原单项式字母不同，不符合要求； D选项所含字母为、，次数为，次数为，完全符合同类项定义. 故选：D． 2．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类项的定义和合并同类项，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，合并同类项时只对同类项的系数进行加减运算，字母和字母的指数保持不变，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故原式计算错误，此选项不符合题意； B、，故原式计算错误，此选项不符合题意； C、，故原式计算正确，符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故原式计算错误，此选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）减去的差为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的减法运算，先理解题意，列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：B． 4．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）若单项式与的和是单项式，则，的值分别为（   ） A．，2 B．3，2 C．， D．3， 【答案】A 【分析】本题主要考查了合并同类项和同类项的定义，根据题意可得单项式和是同类项，而所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此列式求解即可． 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴单项式和是同类项， ∴， 解得， 故选：A． 5．（25-26七年级下·广西防城港·期末）已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于都未知，因此将所求代数式变形为含已知等式的形式，整体代入计算即可． 【详解】， 将代入，得 ． 6．（25-26七年级上·河南焦作·期中）已知：a，b，c在数轴上的位置如图所示，则等于（     ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据数轴可推出，据此化简绝对值，再根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得，且， ∴， ∴ ． 7．（2026·陕西·中考真题）在一次劳动实践活动中，小欢采摘了个西红柿，小乐采摘的西红柿个数比小欢少3个，则小欢和小乐一共采摘的西红柿的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意表示出小乐采摘西红柿的个数，再将两人采摘个数相加，化简后得到结果即可． 【详解】解：∵小欢采摘了个西红柿，小乐采摘的个数比小欢少个， ∴小乐采摘西红柿的个数为个， ∵， ∴两人一共采摘的个数为个． 8．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）已知为有理数，，，则A、B的大小关系是(   ) A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减，正确理解题意、掌握作差法求解的方法是解题的关键．本题先求解，再结合非负数的性质可得结论． 【详解】解：∵ ； ∴； 故选：A． 9．（25-26六年级上·山东淄博·期末）定义一种新运算“”，规定：，例如：．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算的理解和应用，以及整体代入思想．根据新运算“”的定义，将转化为常规的代数运算，再结合已知条件进行计算即可． 【详解】解：由题意可得，， ， 原式， 故选：． 10．（25-26八年级下·重庆石柱·期中）有个正整数，，，，，且同时满足个条件：①，，是三个连续偶数（），②，是两个连续奇数（）， ③．某数学兴趣小组的四位同学对这个正整数作如下规律探索： 甲：取，个正整数不能同时满足上述个条件； 乙：“当是的倍数”时，个正整数能同时满足上述个条件； 丙：若个正整数，，，，同时满足上述个条件，则（为正整数） 丁：个正整数满足上述个条件，则与之和能被整除． 则甲、乙、丙、丁的结论正确的有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干条件，先表示出各数的关系，再依次验证四位同学的结论即可． 【详解】解：首先由题干条件推导基础关系： ∵ ，， 是连续偶数，， ∴ ，， 得 ， ∵ ， 是连续奇数，， ∴ ， 得 ， 由条件③ ， 得 ； 验证甲： 若 ，代入得 ，解得 ， 是偶数，不符合奇数要求，故甲结论正确； 验证乙： 若 是的倍数，设 （ 为正整数），代入得 ，解得 ， 是偶数， 是奇数， 也是奇数，均为正整数，符合所有条件，故乙结论正确； 验证丙： 由上述推导，满足条件时，可设（为正整数），则，而丙的结论为（为正整数）， 取时，，此时不存在正整数使得，因此丙结论错误； 验证丁： 计算和： ， 代入 ，得原式 ， 当 时，原式 ， 不能被整除，因此丁结论错误； 综上，正确的结论共个. 二、填空题 11．（25-26七年级上·山西大同·期末）写出一个与同类项为__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查同类项的定义，同类项的定义为所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项． 根据同类项的定义写出符合条件的项即可． 【详解】解：与是同类项的式子可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）化简的结果是________． 【答案】 【详解】解：原式． 13．（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知与（m是正整数）是同类项，那么______． 【答案】 1 【分析】根据同类项的定义，得到相同字母的指数相等，先求出的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵与（m是正整数）是同类项， ∴，， 把代入，得，解得， 把代入，得． 14．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，则_________． 【答案】 【分析】先去括号，再计算整式的加减，然后将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 15．（25-26七年级上·福建福州·期末）某校原来有学生x人，本学期开学时，转入学生人，转出学生人，则该校现有学生________人． 【答案】 【分析】根据原有学生人数+转入学生人数-转出学生人数列出代数式，再去括号、合并同类项即可得到结果． 【详解】解：根据题意得： ． 即该校现有学生人． 16．（26-27七年级上·全国·课堂例题）已知，比较M与N的大小关系：M________N．（在横线上填写“>”“<”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】本题主要考查了整式的加减及作差法比较大小，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．利用作差法比较大小即可得解． 【详解】 即， 故答案为：< 17．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）有理数在数轴上的表示如图所示，那么化简结果为______． 【答案】/ 【分析】由数轴可得，，进而得到，，再根据绝对值的定义化简即可． 【详解】解：由数轴可得，， ，， ． 18．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）若关于的代数式的值与的值无关，则___________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，把所给代数式先去括号，然后合并同类项，根据代数式的值与x的值无关，可得含x的项系数为零，据此求解即可． 【详解】解： ， ∵关于的代数式的值与的的值无关， ∴， 解得， 故答案为：6． 19．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）对于任意有理数，，定义一种新运算，规定：，例：．则的化简结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减，根据新运算的定义，从左到右依次计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ； ∴ ， 故答案为：． 20．（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）下列结论：①绝对值等于它本身的数是0和1；②若，则或；③若m是有理数，则不可能是负数；④已知a、b、c均为非零有理数，若，，则的值为3或；⑤有理数a，b，c互不相等，若，则不可能成立；其中正确的结论是（填序号）_____． 【答案】②③⑤ 【分析】根据绝对值的非负性，以及有理数的运算法则逐一进行判断即可. 【详解】解：①绝对值等于它本身的数是非负数，故①错误； ②若，则或；故②正确； ③若m是有理数，则当时，，当时，， 即不可能是负数；故③正确； ④∵a、b、c均为非零有理数，且，， ∴中必定有一正，两负， 当同负时，，； 当时，，； 当时，，； 故的值为3或5或；故④错误； ⑤∵有理数a，b，c互不相等， ∴， ∵， ∴，故⑤正确； 综上：正确的结论是②③⑤. 三、解答题 21．（26-27七年级上·全国·课后作业）合并下列各式的同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据合并同类项法则计算即可； （2）根据合并同类项法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 22．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）已知代数式，． (1)求； (2)当x，y互为倒数时，求的值； (3)定义一种新运算：，判断的值能否为负数，并说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3) 解：的值不能为负数．理由如下：     ． 因为，， 所以． 所以的值不能为负数． 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，整式的加减运算． （1）先代入，再去括号，合并同类项即可． （2）结合倒数的含义可得，再代入计算即可． （3）根据新定义求解，再结合非负数的性质可得结论. 【详解】（1）解：             ． （2）解：当x，y互为倒数时，．     ． （3）略 23．（25-26七年级下·四川泸州·期末）化简：． 【答案】 【详解】解：原式 24．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含的式子表示广场（阴影部分）的周长 (2)若米，米，广场面积，已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用的值． 【答案】(1) (2)840000元 【分析】（1）根据图形可直接进行求解； （2）把米，米代入，然后问题可求解． 【详解】（1）解：广场的周长：． （2）解：当米，米时，（平方米）， ∵每平方米需费用200元， ∴建广场的总费用（元）． 25．（24-25七年级上·四川成都·期中）（1）小刚在做“计算的值，其中，”这道题时，把，错看成“，”，但他计算的结果也是正确的，请你说明这是怎么回事． （2）李兵同学在计算时，由于马虎，将“”错看成了“”，求得的结果为，请你帮助李兵同学求出这道题的正确结果． 【答案】 （1）证明： ， ∵a取正负2时，的结果相等，b取正负1时，的结果相等， ∴把，错看成“，”，最后计算的结果相同，都是正确的； （2） 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式的加减计算： （1）先把原式去括号，然后合并同类项化简得到，再根据绝对值相同的两个数的平方的结果相等即可得到结论； （2）先根据题意求出，再计算出即可． 【详解】解：（1）略 （2）由题意得，， ∴ ， ∴ ． 26．（25-26七年级上·河北唐山·期末）老师讲完整式的加减运算后，在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用书遮挡住了一部分算式（如图）． 原式= (1)求被书遮挡部分的整式． (2)当，时，求被书遮挡部分的代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出算式，计算即可求解； （2）把，代入（1）的结果即可求解． 【详解】（1）解：被遮挡部分的整式为 ； （2）解：当，时， 原式 ． 27．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）阅读下面材料： 点、在数轴上分别表示实数、，、两点之间的距离表示为． 当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1， ； 当、两点都不在原点时， 情形一：如图2，点、都在原点的右边，不妨设点在点左边（即）， ，而，所以 情形二：如图3，当点、都在原点的左边，不妨设点在点右边（即）， ； 情形三：如图4，当点、在原点的两边，不妨设点在点右边（即）， ； 回答下列问题： (1)数轴上表示和4的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是 ，（用含的式子表示） 如果，那么为 ； (3)当代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ； (4)若动点从表示原点出发，第一次向左运动1个单位长度，第二次向右运动2个单位长度， 第三次向左运动3个单位长度，…，按此规律不断在数轴上做往复运动，当点运动了n次时， 直接用含n的代数式表示出点所表示的有理数． 【答案】(1) (2)；或 (3) (4)当是偶数时，点所表示的有理数为；当是奇数时，点所表示的有理数为 【详解】（1）解：数轴上表示和4的两点之间的距离是； （2）解：数轴上表示和的两点和之间的距离是； 如果，那么数轴上表示和的两点和之间的距离是，即表示的点向左移动个单位长度得到或向右移动个单位长度得到， 所以为或； （3）解：表示数轴上表示的点到表示和的两点和之间的距离之和， 所以当点在线段上时最小，此时相应的的取值范围是； （4）解：动点从表示原点出发， 第一次向左运动1个单位长度， 第二次向右运动2个单位长度， 第三次向左运动3个单位长度， …， 按此规律不断在数轴上做往复运动， 发现规律：每两次向右运动1个单位长度； 当是偶数时，点所表示的有理数为； 当是奇数时，则是偶数，第次向左运动个单位长度，此时点所表示的有理数为． 中考真题 1．（2026·四川德阳·中考真题）下列去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据去括号法则，括号前为正号去括号后各项不改变符号，括号前为负号去括号后各项改变符号，逐一计算判断即可． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意， B．，故该选项错误，不符合题意， C．，故该选项正确，符合题意， D．，故该选项错误，不符合题意． 2．（2026·北京·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上点的位置确定， 的取值范围及正负性，结合绝对值的性质及有理数的大小比较法则进行判断． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，， A：∵，， ∴， ∴A不符合题意； B：∵， ∴， 又 ∵， ∴， ∴B不符合题意； C：∵，根据绝对值的性质可得 ， ∴C符合题意； D：∵，， ∴， ∴D不符合题意． 3．（2026·河北·中考真题）计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 4．（2026·四川成都·中考真题）已知，则_____． 【答案】16 【分析】先去括号，再合并同类项化简，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 5．（2026·四川广安·中考真题）与_____是同类项．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，故的一个同类项可以为． 6．（2026·湖北·中考真题）探究无舵手单桨赛艇中的数学问题 单桨赛艇是一项运动员背向终点划水前进的艇类运动．在第十五届全国运动会上，湖北队斩获男子四人单桨、女子四人单桨赛艇比赛两枚金牌．单桨赛艇在前进中容易左右摇摆，怎样才能使赛艇保持“稳定”？ 【模型假设】 假定运动员的力大小相同，不考虑其他因素，赛艇的“稳定”与运动员到艇尾的距离以及桨摆放的位置有关． 【模型建立】 如图1，将四人单桨赛艇抽象为线段，艇尾记为点，艇首记为点． Ⅰ．运动员的位置依次用点，，，表示，，． Ⅱ．运动员手持的桨依次记为桨1，桨2，桨3，桨4，位于上方与下方的桨的数量相等． Ⅲ．规定：当桨的位置位于上方时，对应的点所表示的数记为正数；当桨的位置位于下方时，对应的点所表示的数记为负数． 例：在图1中，桨1的位置位于上方，，所以点表示的数是；桨2的位置位于下方，，点表示的数是． (1)在图1中，______，点表示的数是______，点表示的数是______． 【模型分析】 通过研究，记点，，，所表示的数的和为，当时，赛艇保持“稳定”；当时，赛艇失去“稳定”． (2)在四人单桨比赛中，按照图1的桨的位置摆放，赛艇能否保持“稳定”？请判断并说明理由． 【模型应用】 (3)类比四人单桨赛艇保持“稳定”的探究方法，设计一种八人单桨赛艇比赛的桨的摆放方案，使赛艇保持“稳定”．如图2，已经画出四支桨的位置，请在图中画出其余四支桨的位置． 【答案】(1)；； (2)能保持“稳定”，理由如下： 由题意可知， ； ∴赛艇能保持“稳定”； (3)或 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）将点，，，所表示的数相加即可解答； （3）根据题意可得剩余四支桨的位置一定为两上两下，结合点，，，所表示的数的和为0，画图即可． 【详解】（1）解：根据题意，， 同理得 ， 由图1可知，桨3在下方， ∴点表示的数为； 由图1可知，桨4在上方， ∴点表示的数为； （2）略 （3）解：要使八人赛艇稳定，需要满足所有数的和为， 根据图2可知，现有四支桨的位置是两上两下，则剩余四支桨的位置一定为两上两下， ∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ∵ ， ∴点，，，所表示的数的和为0， ∴， 或， 画图如下： 或 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 整式的加法与减法 学习目标 1、理解同类项的概念. 2、掌握合并同类项和去括号的法则. 3、能进行简单的整式加法和减法运算. 4、会进行整式化简求值. 核心素养： 抽象能力 运算能力 知识结构 知识点一 同类项 定义：所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项. 特例：几个常数项也是同类项. 注意：同类项的两“相同”和两“无关” (1)所含字母相同，相同字母的指数相同；(2)与系数无关，与字母的顺序无关。 【基础练习1-1】（2025七年级上·北京·专题练习）下列各组中的两项是不是同类项？①与；②与；③－3与5；④与． 【基础练习1-2】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）写出单项式的同类项：______．（写出一个即可） 合并同类项 知识点二 1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项. 2、合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变. 3、 【基础练习2-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【基础练习2-2】（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 去括号 知识点三 去括号法则：一个数与一个多项式相乘，需要去括号,去括号就是用括号外的数乘括号内的每 项，再把所得的积相加. 特别地，与可以看作1与分别乘，利用分配律,可以将式子中的括号去掉,得，. 注意：(1)如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同; (2)如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 提醒：去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形。 【基础练习3-1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）化简： （1）___________； （2）___________． 【基础练习3-2】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）化简： (1)； (2)． 知识点四 整式的加减 1、法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2、实质：整式加减的实质就是去括号、合并同类项. 注意：整式加减的结果要满足下列条件： (1)整式加减的结果要最简，即不能有同类项； (2)含字母的项的系数不能出现带分数，带分数要化成假分数; (3)整式加减的结果一般要按照某一字母的升幂或降幂的顺序排列. 【基础练习4-1】（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）化简求值： (1)； (2)先化简，再求值：，其中，． 【基础练习4-2】（25-26七年级上·江苏淮安·期末）化简：已知，，且，求的值． 题型1 同类项的判断 【典例】（26-27七年级上·全国·课后作业）判断下列各题中的两项是不是同类项： (1)4与； (2)与； (3)与； (4)与； (5)与． 【变式练习1-1】（2026·上海奉贤·二模）如果单项式与单项式是同类项，那么可以是___________．（只需写出一个即可） 【变式练习1-2】（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列各组单项式中，是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．5 与 x 判断同类项的步骤 (1)找字母：看所含的字母是否相同。(2)比指数：看相同字母的指数是否相同.(3)下结论：得出是否为同类项. 题型2 根据同类项的定义求字母（代数式）的值 【典例】（25-26七年级上·广东·阶段检测）若与是同类项，则___________． 【变式练习2-1】（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若单项式与合并后的结果还是单项式，则________． 【变式练习2-2】（25-26七年级上·四川巴中·期末）若与的差是单项式，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 利用同类项的定义求字母的值的步骤 (1)列：根据同类项中相同字母的指数相同，列出等式; (2)解：求字母的值。 题型3 合并同类项 【典例】（25-26七年级上·广东·阶段检测）计算：___________． 【变式练习3-1】（25-26八年级上·贵州遵义·期中）计算的结果正确的是（   ） A．4 B． C． D． 【变式练习3-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）合并同类项： (1)； (2)； (3)． 合并同类项的步骤 (1)找同类项：将所含字母相同、相同字母的指数也相同的项用相同记号标记. (2)同类项结合：利用加法交换律、结合律，将同类项放在一起。 (3)合并同类项：根据法则进行合并. (4)写出合并后的结果. 题型4 去括号和添括号 【典例】（25-26七年级上·吉林长春·期中）（_____）；（_____）． 【变式练习4-1】（26-27七年级上·全国·课前预习）去括号或添括号． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【变式练习4-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）去括号： (1)； (2)； (3)； (4)． 去括号的步骤 (1)确定括号外面的数（必须带符号）;(2)用括号外的数分别和括号内的数相乘；(3)把上一步骤的积相加. 题型5 整式的加减运算 【典例】（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）化简： (1)； (2)． 【变式练习5-1】（26-27七年级上·北京·期中）如果，，且，求． 【变式练习5-2】（25-26六年级上·上海·期末）如果一个一次式减去的差等于，则这个一次式是______． 知识巧记 整式进行加和减，实质就是在化简.先去括号再合并，化到最简才算完. 题型6 利用去括号和添括号代入求值 【典例】（26-27七年级上·全国·单元复习）若，则代数式的值是________． 【变式练习6-1】（2026·四川成都·模拟预测）若，则__________． 【变式练习6-2】（26-27七年级上·全国·单元测试）【阅读材料】我们知道，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如，类似的，我们把看成一个整体，则．请仿照上面的解题方法，完成下列问题： 【尝试应用】 (1)把看成一个整体，化简的结果是________； (2)把看成一个整体，化简的结果为________； 【拓展探索】 (3)若，则的值为________；若，则代数式的值为________； (4)若，，求代数式的值． 题型7 整式的化简求值 【典例】（26-27七年级上·四川·期中）先化简，再求值． ，其中． 【变式练习7-1】（25-26七年级上·河南开封·阶段检测）先化简，再求值：，其中x，y满足． 【变式练习7-2】（25-26七年级上·河南平顶山·期中）思齐同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下： 先化简，再求值：，其中，． 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ．……第四步 当，时，原式． (1)已知思齐同学的解答是错误的，则他开始出现错误是在第______步，错误原因是______． (2)请给出正确的解答过程． 1. 1、一化（化简） ：先去括号，再合并同类项，将整式化为最简形式； 2. 2、二代（代入） ：把已知字母的值代入化简后的式子； 3. 3、三计算（计算） ：按照有理数混合运算的顺序算出最终结果。 题型8 含字母的绝对值化简 【典例】（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）如图，数轴上三个点分别表示数， (1)___________________________0（用或<填空） (2)化简：． 【变式练习8-1】（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“”“”或“”填空：________0，________0； (2)化简：； (3)化简：． 【变式练习8-2】（26-27七年级上·江苏·期中）已知有理数a，b满足，，且，化简 _______． 题型9 整式加减的实际应用 【典例】（25-26七年级上·陕西西安·期末）某果园栽有果树棵，分别为苹果树，梨树，枣树，其中枣树有a棵，苹果树的棵数比枣树棵数的6倍还多b棵． (1)请用含a，b的代数式表示梨树的棵数； (2)当时，梨树有多少棵？ 【变式练习9-1】（26-27七年级上·全国·单元复习）已知有7个完全相同的长、宽分别为，的小长方形（如图①）和两个阴影长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图②，拼接处不重叠、无缝隙）． (1)请用含，的代数式解答下面的问题： （Ⅰ）大长方形的长为________； （Ⅱ）大长方形的面积为________． (2)请说明阴影长方形与阴影长方形的周长之和与的取值无关． 【变式练习9-2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）为了在中小学生中进行爱国主义教育，我县关工委决定开展“中华魂”经典诵读活动，并设立了一、二、三等奖．根据需要购买了件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的倍多件，各种奖品的单价如下表所示： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价元 数量件                               (1)请用含的代数式把表格补全； (2)请用含的代数式表示购买件奖品所需的总费用； (3)若一等奖奖品购买了件，则我县关工委共花费多少元？ 题型10 整式加减中的无关（定值）型问题 【典例】（25-26六年级上·山东烟台·阶段检测）当为何值时，多项式中不含项． 【变式练习10-1】（26-27七年级上·上海·单元测试）若整式与的和的值与所取的值无关，求的值． 【变式练习10-2】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）已知多项式与多项式的和为，其中． (1)求多项式 (2)当取任意值时，式子的值是一个定值，求的值． 记忆口诀：“先去括号并同类，目标字母系数提；无关定值令零解，代回验证项消去。” 题型11 整式加减中的遮挡型问题 【典例】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）老师在黑板上写下了关于的多项式混合运算，随后用一张纸板挡住了一个多项式，形式如下：． (1)求被遮挡的多项式； (2)当时，求被遮挡部分多项式的值． 【变式练习11-1】（25-26七年级上·广东汕头·期末）某同学在黑板上正确解答了一道整式的计算题，但被另一位同学不慎擦掉了算式中的一部分，如图所示： ． (1)求被擦掉的多项式； (2)若，求被擦掉多项式的值． 【变式练习11-2】（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知整式，．黑板上，教师遮挡了与的和、差的答案（答案均为最简）． (1)分别求出被遮挡部分的整式； (2)若，求的值． 1. 1、设未知：把被遮挡的部分设为未知整式（可用 A ）或未知系数（可用 k 表示）。 2. 2、写完整等式：把设好的未知量代回原式，写出完整的运算等式。 3. 3、选择策略： · (1)遮挡的是整式：根据它在算式中的位置，用逆运算（被减数=差+减数，加数=和−另一加数等）列出还原式； · (2)遮挡的是系数:把系数当作参数 �k，先化简，再根据“结果与某字母无关”“结果是常数”等附加条件令对应系数为0，列方程求 �k； · (3)遮挡的是某一项:先化简已知部分，再与等式右边对比，对应同类项系数相等求未知项。 4. 4、计算并检验：把求出的遮挡部分代回原式，验证等式是否成立。 题型12 整式加减中的看错（抄错）型问题 【典例】（25-26七年级上·河北衡水·期末）嘉嘉在计算两个多项式的差时，误将连接两个多项式之间的“”号抄错为“”号，结果求得的结果为，若． (1)先求出多项式，再求的结果； (2)淇淇想不求，利用已知条件直接求的结果，经过思考，她写出了如图不完整的解题过程： 因为， 所以， 所以__？___（用含的式子表示）． …… ①方框中“？”处的内容为_____； ②请将解题过程补充完整． 【变式练习12-1】（24-25七年级上·上海·阶段检测）马虎同学在计算一个多项式减去另一个多项式时，错将减号抄成了加号，于是他得到的结果是，请问如果不抄错，正确答案该是多少？ 【变式练习12-2】（25-26七年级上·河南郑州·期中）小明在做作业时，错把抄成了，最终得到的结果是，其中代数式B为． (1)求A； (2)请把原题正确的答案求出． 1. 1、明确“错在哪”：仔细读题，判断是看错了运算符号、看错了系数倍率，还是抄错了字母的值。 2. 2、写出错误算式：把看错后的算式完整写出来，代入已知的错误结果。 3. 3、选择还原策略： · (1)需要求未知多项式：用错误算式反求未知量（移项）； · (2)只需修正结果：分析错误比正确多算或少算了什么，直接修正； · (3)抄错字母值但结果不变：化简原式，观察是否含该字母的奇次项。 4. 4、代入正确算式计算：把求出的量代回正确算式，算出正确结果。 5. 5、验证：把结果代回原题，确认看错后的结果与题目给出的错误结果一致。 题型13 整式的比较大小 【典例】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）比较_________．（填＞，＜，＝） 【变式练习13-1】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）已知，． (1)求； (2)试比较A，B的大小关系（写出比较过程）． 【变式练习13-2】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）（1）比较与的大小，说说你的理由； （2）当x为何值时，代数式的值比的值大？说明理由． 题型14 与整式有关的新定义问题 【典例】（25-26七年级上·福建漳州·期末）定义新运算：．例如：． (1)计算的值； (2)已知，试说明的值与的取值无关． 【变式练习14-1】（25-26七年级上·河南驻马店·期中）定义：任意两个数a、b，按照扩充得到一个新数c，称所得的新数c为a、b的“吉祥数”． (1)若．求a、b的“吉祥数c； (2)若，试说明“吉祥数”c为正数． 【变式练习14-2】(2026七年级上·全国·专题练习）学科素养•阅读理解规定一种运算：，等号右边是我们学过的加减运算，按前面的规定把展开，并合并同类项． 综合检测 一、单选题 1．（2026·江苏无锡·一模）下列式子中，与单项式是同类项的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）减去的差为（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）若单项式与的和是单项式，则，的值分别为（   ） A．，2 B．3，2 C．， D．3， 5．（25-26七年级下·广西防城港·期末）已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·河南焦作·期中）已知：a，b，c在数轴上的位置如图所示，则等于（     ） A． B． C． D．0 7．（2026·陕西·中考真题）在一次劳动实践活动中，小欢采摘了个西红柿，小乐采摘的西红柿个数比小欢少3个，则小欢和小乐一共采摘的西红柿的个数为（ ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）已知为有理数，，，则A、B的大小关系是(   ) A． B． C． D．无法比较 9．（25-26六年级上·山东淄博·期末）定义一种新运算“”，规定：，例如：．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·重庆石柱·期中）有个正整数，，，，，且同时满足个条件：①，，是三个连续偶数（），②，是两个连续奇数（）， ③．某数学兴趣小组的四位同学对这个正整数作如下规律探索： 甲：取，个正整数不能同时满足上述个条件； 乙：“当是的倍数”时，个正整数能同时满足上述个条件； 丙：若个正整数，，，，同时满足上述个条件，则（为正整数） 丁：个正整数满足上述个条件，则与之和能被整除． 则甲、乙、丙、丁的结论正确的有（   ）个． A． B． C． D． 二、填空题 11．（25-26七年级上·山西大同·期末）写出一个与同类项为__________． 12．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）化简的结果是________． 13．（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知与（m是正整数）是同类项，那么______． 14．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，则_________． 15．（25-26七年级上·福建福州·期末）某校原来有学生x人，本学期开学时，转入学生人，转出学生人，则该校现有学生________人． 16．（26-27七年级上·全国·课堂例题）已知，比较M与N的大小关系：M________N．（在横线上填写“>”“<”或“＝”） 17．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）有理数在数轴上的表示如图所示，那么化简结果为______． 18．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）若关于的代数式的值与的值无关，则___________． 19．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）对于任意有理数，，定义一种新运算，规定：，例：．则的化简结果为______． 20．（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）下列结论：①绝对值等于它本身的数是0和1；②若，则或；③若m是有理数，则不可能是负数；④已知a、b、c均为非零有理数，若，，则的值为3或；⑤有理数a，b，c互不相等，若，则不可能成立；其中正确的结论是（填序号）_____． 三、解答题 21．（26-27七年级上·全国·课后作业）合并下列各式的同类项： (1)； (2)． 22．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）已知代数式，． (1)求； (2)当x，y互为倒数时，求的值； (3)定义一种新运算：，判断的值能否为负数，并说明理由． 23．（25-26七年级下·四川泸州·期末）化简：． 24．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含的式子表示广场（阴影部分）的周长 (2)若米，米，广场面积，已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用的值． 25．（24-25七年级上·四川成都·期中）（1）小刚在做“计算的值，其中，”这道题时，把，错看成“，”，但他计算的结果也是正确的，请你说明这是怎么回事． （2）李兵同学在计算时，由于马虎，将“”错看成了“”，求得的结果为，请你帮助李兵同学求出这道题的正确结果． 26．（25-26七年级上·河北唐山·期末）老师讲完整式的加减运算后，在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用书遮挡住了一部分算式（如图）． 原式= (1)求被书遮挡部分的整式． (2)当，时，求被书遮挡部分的代数式的值． 27．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）阅读下面材料： 点、在数轴上分别表示实数、，、两点之间的距离表示为． 当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1， ； 当、两点都不在原点时， 情形一：如图2，点、都在原点的右边，不妨设点在点左边（即）， ，而，所以 情形二：如图3，当点、都在原点的左边，不妨设点在点右边（即）， ； 情形三：如图4，当点、在原点的两边，不妨设点在点右边（即）， ； 回答下列问题： (1)数轴上表示和4的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是 ，（用含的式子表示） 如果，那么为 ； (3)当代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ； (4)若动点从表示原点出发，第一次向左运动1个单位长度，第二次向右运动2个单位长度， 第三次向左运动3个单位长度，…，按此规律不断在数轴上做往复运动，当点运动了n次时， 直接用含n的代数式表示出点所表示的有理数． 中考真题 1．（2026·四川德阳·中考真题）下列去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（2026·河北·中考真题）计算：（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川成都·中考真题）已知，则_____． 5．（2026·四川广安·中考真题）与_____是同类项．（写出一个即可） 6．（2026·湖北·中考真题）探究无舵手单桨赛艇中的数学问题 单桨赛艇是一项运动员背向终点划水前进的艇类运动．在第十五届全国运动会上，湖北队斩获男子四人单桨、女子四人单桨赛艇比赛两枚金牌．单桨赛艇在前进中容易左右摇摆，怎样才能使赛艇保持“稳定”？ 【模型假设】 假定运动员的力大小相同，不考虑其他因素，赛艇的“稳定”与运动员到艇尾的距离以及桨摆放的位置有关． 【模型建立】 如图1，将四人单桨赛艇抽象为线段，艇尾记为点，艇首记为点． Ⅰ．运动员的位置依次用点，，，表示，，． Ⅱ．运动员手持的桨依次记为桨1，桨2，桨3，桨4，位于上方与下方的桨的数量相等． Ⅲ．规定：当桨的位置位于上方时，对应的点所表示的数记为正数；当桨的位置位于下方时，对应的点所表示的数记为负数． 例：在图1中，桨1的位置位于上方，，所以点表示的数是；桨2的位置位于下方，，点表示的数是． (1)在图1中，______，点表示的数是______，点表示的数是______． 【模型分析】 通过研究，记点，，，所表示的数的和为，当时，赛艇保持“稳定”；当时，赛艇失去“稳定”． (2)在四人单桨比赛中，按照图1的桨的位置摆放，赛艇能否保持“稳定”？请判断并说明理由． 【模型应用】 (3)类比四人单桨赛艇保持“稳定”的探究方法，设计一种八人单桨赛艇比赛的桨的摆放方案，使赛艇保持“稳定”．如图2，已经画出四支桨的位置，请在图中画出其余四支桨的位置． 学科网（北京）股份有限公司 $