1.2.3 充分条件、必要条件 知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

1.2.3 充分条件、必要条件　知识清单 人教B版（2019）　必修第一册　第一章《集合与常用逻辑用语》 “如果p，那么q”为真，就说由 p 可以推出 q：p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件，两个方向都成立则是充要条件 图 1　本节知识地图：推出关系、充分条件与必要条件、充要条件、用集合知识理解 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 理解推出关系，会用 与 表示“推出”与“推不出”； ② 理解充分条件、必要条件、充要条件的含义，会判断充分性与必要性； ③ 会用集合的知识理解充分条件、必要条件与充要条件； ④ 了解充分条件、必要条件与判定定理、性质定理的联系。 重点 充分条件、必要条件与充要条件的含义及判断 难点 充分性与必要性的方向辨别——“p 是 q 的充分条件”与“q 是 p 的必要条件”是同一个推出关系的两种说法；用集合的包含关系判断条件类型 上节课认识了命题的否定。本节课研究“如果p，那么q”形式的命题中条件与结论之间的逻辑关系：条件成立时，结论是否一定成立？由此引入充分条件、必要条件与充要条件，并学习用集合的知识理解它们。 二、情境引入 先看一个熟悉的问题：没有了水，种子就无法发芽；但有了水，种子就一定能发芽吗？“有水”是“种子发芽”的什么条件？要回答这类问题，需要研究“条件能否保证结论成立”。 判断下面几个命题的真假： ①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（真命题） ②如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。（真命题） ③在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半。（真命题） ④如果 ，那么 。（假命题） 其中①②③是真命题：条件成立时，结论一定成立；④是假命题：条件成立时结论不一定成立（如 x=2.5 时， 不成立）。这种“条件能否保证结论成立”的关系，就是本节要研究的推出关系。 三、推出关系 在“如果p，那么q”形式的命题中，p 称为命题的条件，q 称为命题的结论。 如果“如果p，那么q”是真命题，则称由 p 可以推出 q，记作 ，读作“p推出q”；如果“如果p，那么q”是假命题，则称由 p 推不出 q，记作 ，读作“p推不出q”。 图 2　推出关系与充分条件、必要条件：由“如果p，那么q”的真假分别得出两种说法 判断依据 是否成立，就是判断“如果p，那么q”的真假——为真则 ，为假则 。 方向有别 与 方向相反，是两个可能一真一假的不同关系，不能混为一谈。 与已学知识的联系学过的判定定理、性质定理中蕴含着大量的推出关系，如“两直线平行”能推出“同位角相等”。 例：由 可以推出 ，记作 ；由 推不出 （x=2.5 时反面成立），记作 。 四、充分条件与必要条件 一般地，当 时，我们称 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；当 时，我们称 p 不是 q 的充分条件，q 不是 p 的必要条件。 “充分”的含义有条件 p 就足以保证结论 q 成立——有它就行。 “必要”的含义结论 q 成立必须要有条件 p——没它不行。 五种等价表述 当 时，下面五种说法说的是同一件事，只是角度不同： ①；② p 是 q 的充分条件；③ q 的充分条件是 p；④ q 是 p 的必要条件；⑤ p 的必要条件是 q。 特别注意：“p 是 q 的充分条件”与“q 是 p 的必要条件”说的是同一个推出关系 。判断时先弄清谁是条件、谁是结论，再选用术语。 举例 例 1： 是 的充分条件，因为 ；反过来 不是 的充分条件（x=1.5 时就不成立）。 例 2： 是 的充分条件；反过来 不是 的充分条件（x=1、y=−1 时就不成立）。 例 3：a 能被 4 整除 是 a 是偶数 的充分条件。 五、充要条件 如果 且 ，则称 p 是 q 的充要条件（也称充分必要条件），记作 ，读作“p等价于q”。 p⇔q 的含义 可以理解为： 是 的充要条件； 等价于 ； 当且仅当 ； 且 ； 当且仅当 。 对称性若 是 的充要条件，则 也是 的充要条件——充要关系是对称的。数学中的定义往往给出充要条件。 从电路图看四种关系 设 p：开关 A 闭合，q：灯泡亮。观察下面四个电路： 图 3　从电路图看四种关系：并联（充分不必要）、串联（必要不充分）、单个开关（充要）、两个电路无关（都不） 把四种关系连同它们的推出关系一并列出： 条件类型 推出关系 含义 充分不必要条件 且 有 p 足够；没有 p，也可能有 q 必要不充分条件 且 没有 p 不行；有了 p，也未必有 q 充要条件 且 有 p 足够；没有 p 不行 既不充分也不必要条件 且 有 p 未必有 q；没有 p，也未必没有 q 六、用集合知识理解充分条件、必要条件与充要条件 设 ，，即 A、B 分别是条件 p、结论 q 对应的集合。若 ，则 能推出 ，也就是 ；若 ，则两个方向都成立，也就是 。 集合关系 推出关系 p 是 q 的 且 充分不必要条件 且 必要不充分条件 且 充要条件 A、B 互不包含 且 既不充分也不必要条件 图 4　用集合知识理解四种关系：A⊊B、B⊊A、A=B、互不包含 例：设 ，，则 ，所以“”是“”的充分不必要条件。教材中还有这样的例子：A={x|x 是在北京市出生的人}，B={x|x 是在中国出生的人}，，所以“在北京市出生”是“在中国出生”的充分条件。 七、充分条件、必要条件与判定定理、性质定理 充分条件、必要条件与数学中的判定定理、性质定理有直接联系。 图 5　判定定理、性质定理、定义 与 条件类型 判定定理给出充分条件判定定理给出了相应结论成立的一个充分条件。如“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”：“两组对边分别相等”是“四边形是平行四边形”的充分条件。 性质定理给出必要条件性质定理给出了相应结论成立的一个必要条件。如“平行四边形的对角线互相平分”：“四边形的对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件。 定义给出充要条件数学定义给出的是充要条件。如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”：“两组对边分别平行”与“四边形是平行四边形”互为充要条件。 八、判断充分条件、必要条件与充要条件的方法 判断充分条件、必要条件与充要条件，常用下面四种方法： (1) 定义法直接判断“如果p，那么q”与“如果q，那么p”的真假，再下结论。 (2) 集合法比较 与 的包含关系： 得充分不必要， 得必要不充分， 得充要。 (3) 传递法若 ，，则 。充分条件、必要条件、充要条件都具有传递性。 (4) 等价法把命题改写成另一个等价且便于判断真假的命题，再作判断。 九、例题 例 1（定义法判断条件类型） 下列各组 p、q 中，p 是 q 的什么条件？ (1)p：，q：； (2)p：，q：； (3)p：两直线平行，q：同位角相等； (4)p：△ABC 是等腰三角形，q：△ABC 中 。 解：(1) ，而 （如 x=1.5），p 是 q 的充分不必要条件；(2) ，而 （如 x=1、y=−1），也是充分不必要条件；(3) 两个方向都成立（已学），p 是 q 的充要条件；(4) 能推出等腰，而等腰推不出 （也可能是 ），p 是 q 的必要不充分条件。 例 2（集合法判断条件类型） 用集合的观点判断下列各组中 p 是 q 的什么条件： (1)p：a 能被 6 整除，q：a 能被 3 整除； (2)p：，q：。 解：(1) 设 A={a|a 能被 6 整除}，B={a|a 能被 3 整除}。6 的倍数都是 3 的倍数，而 3 是 3 的倍数不是 6 的倍数，，所以 p 是 q 的充分不必要条件；(2) 设 ，，，所以 p 是 q 的必要不充分条件。 例 3（含参数的条件判断） 已知 p：−1≤x≤3，q：1−m≤x≤1+m（m>0）。 (1) 若 p 是 q 的充分条件，求 m 的取值范围；(2) 若 p 是 q 的必要不充分条件，求 m 的取值范围。 解：设 ，。 (1) p 是 q 的充分条件，即 ，也就是 1−m≤−1 且 1+m≥3，得 m≥2。 (2) p 是 q 的必要不充分条件，即 ，也就是 1−m≥−1 且 1+m≤3，且两个区间不相等，得 0<m<2。 例 4（电路图中的条件判断） 如图 3，设 p：开关 A 闭合，q：灯泡亮。分别指出 p 是 q 的什么条件：(1) 图①（A、B 并联）；(2) 图②（A、B 串联）；(3) 图③（单个开关）。 解：(1) A 闭合则灯亮，灯亮不一定 A 闭合（可能只闭合了 B），p 是 q 的充分不必要条件；(2) A 闭合不一定灯亮（还要 B 闭合），灯亮则 A 一定闭合，p 是 q 的必要不充分条件；(3) A 闭合与灯亮互相能推出，p 是 q 的充要条件。 例 5（传递法） 已知 p 是 q 的充分条件，q 是 r 的充分条件，判断 p 与 r 的关系；又若 p 是 q 的必要条件，q 是 r 的必要条件，判断 p 与 r 的关系。 解：由 、，根据传递性得 ，p 是 r 的充分条件；由 p 是 q 的必要条件知 ，由 q 是 r 的必要条件知 ，根据传递性得 ，p 是 r 的必要条件。 十、易错辨析 方向不能随口反“p 是 q 的充分条件”不能反说成“q 是 p 的充分条件”；判断前先弄清谁是条件、谁是结论。 同一关系，两种说法“p 是 q 的充分条件”与“q 是 p 的必要条件”是同一回事，都是 。 充要条件要两个方向都真下“充要条件”的结论，必须 与 都成立；只验证一个方向不能算充要。 推不出时，两个“不是”同时成立 时， 不是 的充分条件，且 不是 的必要条件，二者同时成立。 “必要”不是“有它就行”必要条件强调“没它不行”，并不保证“有它就行”；充分条件才保证“有它就行”。 十一、本节边界 本节已学推出关系（、）；充分条件、必要条件、充要条件（）的含义与判断；用集合知识理解四种关系；与判定定理、性质定理、定义的联系；定义法、集合法、传递法、等价法。 本节不涉及把充分条件、必要条件与含量词命题结合起来进行的综合判断，留待今后学习。 十二、课后巩固 1. 推出关系判断下列各组 p、q 之间是 还是 ：① p：，q：；② p：，q：；③ p：两直线平行，q：内错角相等。 2. 条件判断下列各组中，p 是 q 的什么条件？① p：x 是 4 的倍数，q：x 是 2 的倍数；② p：，q：。 3. 充要条件判断“p 是 q 的充要条件”是否成立：① p：两组对边分别平行，q：四边形是平行四边形；② p：四边形的对角线互相垂直，q：四边形是菱形。 4. 集合理解设 ，。若 ，求 a 的取值范围；若 呢？ 5. 综合应用已知 p：−2≤x≤5，q：1−m≤x≤1+m（m>0）。(1) 若 p 是 q 的充分条件，求 m 的取值范围；(2) 若 p 是 q 的必要条件，求 m 的取值范围。 6. 辨析判断下列说法是否正确，并说明理由：① “p 是 q 的充分条件”与“q 是 p 的充分条件”是同一回事；② 若 p 是 q 的充要条件，则 q 也是 p 的充要条件；③ p 不是 q 的充分条件，则 q 也不是 p 的必要条件。 7. 综合应用已知 p 是 q 的充要条件，q 是 r 的充分条件，r 是 s 的充分条件。判断 p 与 s 的关系，并说明理由。 8. 集合理解用集合的观点说明：“”是“”的什么条件？ 参考答案 1. ① ；② ；③ 。 2. ① A={x|x 是 4 的倍数}，B={x|x 是 2 的倍数}，，充分不必要条件；② ，，，必要不充分条件。 3. ① 成立，充要条件（两组对边分别平行是平行四边形的定义）；② 不成立，只是必要条件：菱形一定对角线互相垂直，但对角线互相垂直的四边形不一定是菱形。 4. 时 a>2； 时 a=2。 5. 设 ，。(1) ，即 1−m≤−2 且 1+m≥5，得 m≥4；(2) ，即 1−m≥−2 且 1+m≤5，得 0<m≤3。 6. ① 错，前者是 ，后者是 ，方向不同；② 对，充要关系是对称的；③ 对， 时两个“不是”同时成立。 7. 由 、、，得 ，所以 p 是 s 的充分条件。 8. 设 ，，，所以“”是“”的充分不必要条件。 学科网（北京）股份有限公司 $