2.1.3 方程组的解集-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

039 )对点训练 3.已知x1,x2是方程x2-7x+1=0的两根，则x+x号= A.2 B.3 C.4 D.5 ●易混易错警示 忽略根与系数的关系成立的前提条件致误 例大若是方程女-2m+m-m-1=0的两个根，且+无=1-5，则m的值为 A.-1或2 B.1或-2 C.-2 D.1 错因探究：因为x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根， 所以x1+x3=2m,x1·2=m2-m-1. 因为x1+x2=1-x1x2, 所以2m=1-(m2-m-1), 即m2+m-2=(m+2)(m-1)=0, 解得m1=-2,m2=1.故选B. 纠错：根与系数的关系成立的前提是4=2-4c≥0，方程有两个实数根，=一b+公-4 2a ,x2 -b-√B-4a时，有 +2=- b 2a c a 课堂检测 固双基 1.(教材改编题)关于x的一元二次方程x2+8x+g=0 A.6 B.8 有两个不相等的实数根，则q的取值范围是(） C.14 D.16 A.g<16 B.q>16 4.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程2- C.q≤4 D.q≥4 6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为（) 2.已知关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2，则另 A.11 B.13 一个根是 ( C.11或13 D.12 A.-3 B.-2 5.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-5x+a=0的 C.3 D.6 两个实数根，且x2-x好=l0,则a= 3.设x1,2是一元二次方程x2-2x-5=0的两根，则 夯基提能作业 x+x号的值为 ( ) 请同学们认真完成练案[10] 2.1.3 方程组的解集 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.理解方程组的解集的定义及表示方法.（难点） 1.通过理解方程组的定义，培养数学抽象的素养 2.掌握用消元法求方程组解集的方法.（重点） 2.通过求方程组的解集，提升数据分析、数学运算的学 3.会利用方程组知识解决一些简单的实际问题.（重 点、难点) 科素养 040 必备知识探新知 知识点方程组的解集与其解法 1.方程组的解集 殷地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，由每个方程的解集得到的 称为这个方程组的解集 2.方程组的解法 求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是 ●[思考] 提醒：1.代入消元法：把二元一（二）次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个 未知裁的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一（二）次方 程组的解； 思考：常用的消元法 2.加减消元法：当二元一（二）次方程组的两个方程中同一个未知裁的系裁相反或 有哪几种？ 相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知裁，得到一个一元一 提示：解方程组时常 (二)次方程 用的消元法有代入消 元法和加减消元法. ●对应练习 代入消元时一般需要 1.思考辨析（正确的打“V”,错误的打“×”） 把原式化简一下再代 (1)方程1+1=-2是一元一次方程 入：加减消元时，也 需要把原方程组中的 rx=2, rx+y-2x=5, 某一个或某些个转化 (2)y=-3,是方程组{2x-y+z=4,的解. 后再进行加减消元 z=-3 2x+y-3z=10 (3)解方程组时要用代入消元法把未知数逐渐变少. 2.二元一次方程 2x+y=7的解集为 [x+2y=8 A.{(2,3) B.(3,2){ C.{(-2,3)} D.{(-2,-3)} 3.已知A={(x,y)1x+y=5},B={(x,y)12x-y=4},则A∩B= A.{(1,4) B.(2,3)} C.{(3,2)} D.{(4,1)} 化是方组心”的个解，测比方的另一个解为 4已知=3， lx+y=n 关键能力攻重难 归纳提升：(1)解二元 ●题型一 解二元（三元）一次方程组 一次方程组时，用加 减（或代入）消元法 例 1.解方程组： 消去一个未知裁，再 r2x+y-3z=3,① 求解 (1 6e-2y=1②2)3x-y+2=-1,2 r3x+2y=7,① (2)解三元一次方程组 lx-y-z=5.③ 时，通常通过加减消元 法，化三元为二元或通 过代入法，将三元一次 方程变为二元一次方程 的求解问题 ●[归纳提升] 041 )对点训练 r3a-b+c=7,① 1.解方程组： 2a+3b=-2,② a+b+c=-1.③ 归纳提升：二元二次方程 组的解法 求二元二次方程组解集 的基本思想是消元和降 次，消元就是化二元为 ●题型二二元二次方程组的解法 一元，降次就是把二次 降为一次，因此可以通 例2(1)解方程组{ 2+4y2-4=0,① 过消元和降次把二元二一 x-2y-2=-0.② 次方程组转化为二元一 「x2+y2=10, ① (2)解方程组 次方程组、一元二次方 x2-4xy+3y2=0.② 程甚至一元一次方程. >[归纳提升] 》对点训练 归纳提升：列方程组解应 用题的一般步骤 2.求方程组 x+2y=4,① 2y=-212的解集 认真南通，分清题中的已知 审量、未知量并明确它们之 :间的等量关系 ☒拾当地液未知载 向一袋据边中尚等受关系列出】 :方程组 扇时解方程组求出未知藏的值 检验所求得的未知数的值是 寄写出结论 。题型三方程组的实际应用 例3某次车在相距0km的甲，乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山，该 汽车从甲地到乙地需要2.5h,从乙地到甲地需要2.3h.假设该汽车在平路、 上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30km,20km,40km,则从甲地到乙 地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？ 思路探究：题中有三个等量关系：(1)上坡路长度+平路长度+下坡路长度= 70km;(2)从甲地到乙地的过程中，上坡时间+平路时间+下坡时间=2.5 h;(3)从乙地到甲地的过程中，上坡时间+平路时间+下坡时间=2.3h. [归纳提升] 提醒：(1)一般来说，设几个未知裁就应列出几个方程.(2)设未知数及写结论 时，都要写清单位名称 042 》对点训练 3.甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地 所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度. ●易混易错警示 未对参数分类讨论致误 例4若方程 ry mx+1, y2 有解，则m的取值范围是 =1 3 错因探究：消去y可得(3-m2)x2-2mx-4=0,4=4m2+16(3-m2)≥0，即-2≤m≤2时，方程有解 纠错：消去y所得方程中x2系数含有参数，应分x2系数是否为0，讨论求解. 课堂检测 固双基 .二元一次方程组x1的解集是 倍少180毫升.若过程中水没有溢出，则原本甲、乙 ( 两杯内的水量相差 () A.{(1,2)} B.{(1,0)} A.80毫升 B.110毫升 C.{(-1,2)} D.{(1,-2)} C.140毫升 D.220毫升 2.下列方程组中是二元二次方程组的有 「x-y=0, @+y=2, ②/2+=7， 4.方程组 x2+y=2 的解集是 lx+y=4; ly(x-y)=5; 5.设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组 8V可+5=， ④/=-5， (xy-2=y; 1x2+y2=5. 的解是=2， =3和x一3试写出符合要求的方程组 y=-2 A.1个B.2个C.3个 D.4个 3.桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些 夯基提能作业 水.先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为 请同学们认真完成练案[11] 原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全 部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3 2.2 不等式 2.2.1不等式及其性质 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，理解不等 1.借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养. 式的概念.（一般) 2.通过两数（式）的大小比较，培养数学运算、逻辑推 2.理解实数比较大小的基本事实，初步学会用作差法 理素养 比较两个实数的大小.（重点） 3.通过综合法、分析法、反证法的证明，提升数学抽象 3.认识并证明不等式的性质及推论，能利用不等式的 逻辑推理能力 性质证明简单的不等式.（重点、难点）所以k=1-2. 得∫m13, 6.(1)根据题意，得4=(2m+1)2-4(m2-2)≥0， n=1, 解得a3-呈 即原方程组化为厂+y=13, [x+y=1, .m的最小整数值为-2 由x+y=1得x=1-y,将x=1-y代人方程x2+y2=13中 (2)根据题意，得x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2-2. 可得y2-y-6=0, (x1-x2)2+m2=21, 解得y=3或y=-2,将y=3代人x+y=1中得x=-2, (x1+x2)2-4x12+m2=21, 「x=-2, 所以方程组的另一个解为 .[-(2m+1)]2-4(m2-2)+m2=21, Ly=3. 整理，得m2+4m-12=0.解得m1=2,m2=-6. 关键能力攻重难 9 例1：(1)①+②得，x=2,把x=2代人①，得6+2y=7,解得y 由(1)可知m≥-4 1 m的值为2. C组创新拓展 rx=2, 故原方程组的解为{1 (1)设x2=a,则原方程可化为a2-10a+9=0, y=2 即(a-1)(a-9)=0, (2)①+②，得5x-z=2,④ 解得：a=1或a=9, ②-③，得2x+3z=-6,⑤ 当a=1时，x2=1,.x=±1； 当a=9时，x2=9∴.x=±3. 联立④⑤/x-=2, 解得=0，将=0：=-2代 2x+3z=-6 1z=-2, ∴.原方程的解是x1=1,x2=-1,x3=3,x4=-3. 入③得y=-3. (2)设x+=y, rx=0. 所以原方程组的解为y=-3, 则原方程可化为：y2-2-3y=2,即y2-3y-4=0, z=-2. .(y+1)(y-4)=0, 对点训练1：①-③，得2a-2b=8.④ 解得：y=-1或y=4, ④-②，得-5b=10,所以b=-2. 即x+=-1(方程无解，舍去)或x+上=4， 将b=-2代入②，得a=2. 将a=2,b=-2代人③，得c=-1. 故x+=4 ra=2, 所以原方程组的解为6=-2， 2.1.3方程组的解集 lc=-1. 例2：(1)由②，得x=2y+2,③ 必备知识探新知 把③代入①，整理，得8y2+8y=0,即y(y+1)=0.解得y1 知识点：1.交集2.消元法 =0,y2=-1. 对应练习 把y1=0代人③，得x,=2; 1.(1)×(2)V(3)×(1)方程1+1=-2是分式方程， 把y2=-1代人③，得x2=0. 不是一元一次方程 所以原方程组的解是=2，内=0， rx=2. rx+y-2z=5, h=0,l2=-1. (2)经代人验证，知{y=-3,是方程组{2x-y+z=4,的解。 所以原方程组的解集为(2,0)，(0，-1). z=-3 2x+y-3z=10 (2)由方程②因式分解，得(x-3y)(x-y)=0,即x-3y=0 (3)解方程组消元的方法主要有代入消元法和加减消元法。 或x-y=0. 2x+y=7,① 所以原方程组可化为两个方程组 2.A ①+②得：3x+3y=15,解得x=2,y=3,解 Lx+2y=8,② 「x2+y2=10,「x2+y2=10, x-3y=0. 集为(2,3)}，故选A lx-y=0,或 解得原方程组的解为 3C根据题意，得+y=5, 2x-y=4, 「1=5，「x2=-5,「x3=3,「x4=-3, 由代入消元法可求得x=3,y=2,故A∩B=(3,2)}. y1=5;ly2=-5;ly3=1;ly4=-1. 2指代人方程组 2+y=m中 所以原方程组的解集为{(5,5)，（-5，-5)，(3,1)， Ix+y=n (-3,-1) -178 对点训练2：：方程①是x与2y的和，方程②是x与2y的积， 3.B设甲杯中原有水α毫升，乙杯中原有水b毫升，丙杯中原 .x与2y是方程2-4z-21=0的两个根，解此方程得21= 有水c毫升， -3,32=7, 「a+c-40=2a,① 依题意有 rx=-3,rx=7, a+b+c+180=3b,② 或7，即或 2y=7 12y=-3,y=2 ②-①，得b-a=110,故选B. y=-2 所以原方程组的解集为{(-3，召)，(7，-2)》 4.{(-2,-2),(1,1)月 「x-y=0,① 1x2+y=2,② 例3：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是x ②+①，得x2+x=2,解得x1=-2,x2=1, km,ykm和zkm 把x1=-2代人①，得少1=-2， 把2=1代入①，得2=1， x+y+z=70, rx=12, 所以原方程组的解集{(-2，-2)，(1,1). 由题意得 20+0+40=2.5,解得=54， 「xy=6, 5. (答案不唯一)由于这两组解都有：xy=2×3= 员+六+0=23， z=4, [x-y=-1 6,x-y=-1, 故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km,平路是54km, 故可组成方程组为厂=6，，（答案不唯一）。 下坡路是4km, [x-y=-1 对点训练3：设甲的速度为每小时x千米，乙的速度为每小时y 练案[11] 千米 ①当甲、乙两人相遇前相距3干米时，得A组 基础巩固 3x+3y=30-3, rx+y=1①， l30-5x=2(30-5y), 解得4 ly=5. 1.C因为{y+z=5②， ②当甲、乙两人经过3小时相遇后又相距3千米时， --.-.. Lz+x=6③. 得3r+3y=30+3, 所以①+②+③得2x+2y+2z=12, 130-5x=2(30-5y), 即x+y+z=6④ 「x= 16 ④-①得z=5; 3 ④-②得x=1:④-③得y=0. 解得{ 所以甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每 7 y=3 所以方程组的解集为{(1,0,5). 小时5千米或甲的速度为每小时5千米，乙的速度为每小时 2.B因为1(x,1(2,D是方程组a-3。-1的解集， lx+by=5 号千米 所以把=2，y=1代入方程组，得，3-山， 2+b=5, 例4：[-2,2]消去y可得(3-m2)x2-2mx-4=0, 所以as1, 当3-m2=0,即m=±5时，方程有解； b=3. 3.A 绳索长x尺，竿长y尺，由绳索比竿长5尺可得x=y+5; 当3-m2≠0，△=4m2+16(3-m2)≥0，即m≠±3且 -2≤m≤2时方程有解： 由绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得)=y-5, 综上所述，-2≤m≤2. x=y+5. 课堂检测固双基 由此可得方程组{ 1 1.A由加减消元法可求得x=1,y=2,故所求方程组的解集为 l2x=y-5. {(1,2). r3x2+y2=7, ① 4.C 2B@+y=2, lx2-3x+2y2=6,② 次数是2，符合二元二次方程组， x+y=4 由①×②-②得5x2+3x-8=0, ②2r+y=7, 次数是2，符合二元二次方程组， Ly(x-y)=5 解得=一令或=1， ③可+5=，+5=x不是整式方程，所以不是二元二 把x=-号代人①得7-罗<0（无解）。 lxy-2=y 把x=1代入①得y2=4,∴y=±2. 次方程组， 所以方程组的解集为{(1,2)，(1，-2).。 @/x=-5, 2+y产有三个未知数且次数是3，不符合二元二次方程 5.ABC关于x,y的方程组 rax+(2a-1)y=a2+2a-1① 组，故选B. x+ay=2a②， -179