北京市北京师范大学附属实验中学2026-2027学年高一上学期10月检测数学试题

北师大实验中学2026级高一数学 综合测验2——等式与不等式答案 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．B 2．D 3．C 4．A 5．A 6．C 7．B 8．A 9．C 10．D 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．16 12．2，1，5（答案不唯一） 13． 14． 15．①③④ 三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程． 16．解：（I）当时，不等式为． 当时，不等式化为，解得，所以； 3分 当时，不等式化为，解得，所以； 6分 综上，． 7分 （II）不等式无实数解． 当时，不等式化为，解得， 要使此时无解，需，即； 9分 当时，不等式化为，解得， 要使此时无解，需，即； 11分 综上，的取值范围是． 13分 17．解：（I）由韦达定理得，． 4分 当时，，， 所以． 7分 （II）由且，得，． 10分 又，得，故． 12分 ，方程有两个实数根，符合条件． 所以． 13分 18．解：（I）因为，所以， 1分 所以， 5分 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为7． 7分 （II）， 12分 当且仅当且，即，时等号成立， 所以的最大值为． 14分 19．解：（I）当时，不恒成立，不合题意； 1分 当时，由题知 5分 解得． 7分 故的取值范围为． （II）原不等式化为． 因为，所以． 9分 当时，不等式无解； 11分 当时，，解得； 13分 当时，，解得． 15分 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 20．解：（I）由题意，， 5分 令，得，解得． 因此，每单配送费的取值范围为． 8分 （II）年平均总费用为， 13分 当且仅当，即时等号成立， 15分 则这批无人机使用4年后更新，可以使年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元． 21．解：（I）， 3分 集合是的恰当子集． 4分 （II）若（）是的恰当子集，则， 5分 显然， 由则知或， 当时，， 此时，，满足题意； 7分 当时，， 此时，，满足题意， 9分 综上，，或，． （III）的最大值为10． 10分 是的恰当子集． 11分 下面证明． （法1）若存在五元集合是的恰当子集，则， 由，则有且； 12分 由，则有或， 13分 ①当时， 由，则或或， 当时，设（），依次验证不成立； 当时，设（）或，依次验证不成立； 当时，设（），依次验证不成立； ②当时，类似于①可验证不成立； 因此不存在五元集合是的恰当子集． 类似可以证明当时，不成立． 因此即最大值是10． 15分 （法2）设五元集合对应的， 因为5个不同的数的差的绝对值最多产生10个不同的数， 所以，即． 12分 下面只需证明时不成立． 考虑时，中任意两个不同的数的差的绝对值均不相同， 13分 设中有个奇数，则有个偶数， 则中的奇数有个， 但与一奇一偶，故为偶数，不可能等于5，矛盾． 因此，即最大值是10． 15分 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大实验中学2026级高一数学 综合测验2——等式与不等式 2026年10月 本试卷共4页，共150分．考试时长100分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知命题：，，则是 A．， B．， C．， D．， 3．若，，且，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 4．设，，则 A． B． C． D．与大小关系不确定 5．“”是“，”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．关于不等式的解集中至少包含两个整数，则实数的取值范围为 A． B． C．或 D．或 7．已知集合，，若，则的取值范围是 A． B． C． D． 8．若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为 A．或 B．或 C． D． 9．定义叫做集合的长度．已知集合，，若集合的长度为2，则的长度为 A．3 B．4 C．5 D．4或5 10．若，不等式恒成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知，则的最大值为 ． 12．已知（），写出一组满足条件的，，的值： ， ， ． 13．已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 14．已知方程的两个实数根和满足，则实数的取值范围是 ． 15．对于三个集合，，．给出如下结论： ①，，，； ②，，，； ③，，，； ④，，，， 其中所有正确结论序号是 ． 三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（13分） 设，关于的不等式的解集为． （I）若，求； （II）若，求的取值范围． 17．（13分） 关于的方程的两个根，． （I）若，求的值； （II）若，求的值． 18．（14分） 解答下列各题： （I）当时，求函数的最小值； （II）已知正数，满足，求的最大值． 19．（15分） 已知（为常数）． （I）若对任意的，都有，求的取值范围； （II）当时，解关于的不等式． 20．（15分） 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站．经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）．已知配送站每日的固定成本为元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为元． （I）若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围； （每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） （II）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为万元．投入使用后，这批无人机使用（）年的累计维保总费用为万元．请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用． （年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 21．（15分） 已知（），（）是的子集，定义集合 ，且，，． 若，则称集合是的恰当子集． （I）若，，直接写出并判断集合是否为的恰当子集（无需写出理由）； （II）已知（）是的恰当子集，求，的值； （III）若存在五元集合是的恰当子集，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $