精品解析：北京市第八十中学2026-2027学年高一上学期10月阶段评价数学试题

北京市第八十中学2026—2027学年第一学期10月阶段评价 高一数学 班级________姓名________考号________ （考试时间120分钟 满分150分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题（共10题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若“，使得不等式成立”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知是定义在上的奇函数,且在上单调递减,则不等式的解集为 A. B. C. D. 10. 在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度与时间的关系，若定义“速度差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6题，每小题5分，共30分） 11. 若集合的子集只有两个，则实数______． 12. 若，则的最小值是_____． 13. 若函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是_____. 14. 已知．若的最小值为0，则实数的值是______；若存在最小值，则实数的取值范围是______． 15. 商店经销某种洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价2.8元，销售价3.4元，全年分若干次进货，每次进货量均为包，已知每次进货的运输劳务费用为62.5元，全年保管费用为元．为了使利润最大，每次应进货________包；最大利润为________元． 16. 已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于中的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”． ①集合与是集合的“好子集”的是______； ②集合的“好子集”所含元素个数的最大值为______． 三、解答题（共5小题，共80分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 已知集合. （1）若，求和； （2）若，求实数的取值范围. 18. 设是实数，函数． （1）若函数是奇函数，求的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明. 19. 设函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 20. 已知集合. （1）判断是否属于集合； （2）已知集合，证明：“”是“”的必要非充分条件； （3）求所有满足集合的偶数，并说明理由. 21. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第八十中学2026—2027学年第一学期10月阶段评价 高一数学 班级________姓名________考号________ （考试时间120分钟 满分150分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题（共10题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题否定形式直接求解即可. 【详解】命题“，”的否定为“，”. 故选：A 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数式有意义求解． 【详解】由题意，解得且， 故选：C． 4. 设，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当时，选项A错误； 当时，选项B错误； 当时，选项C错误； ∵函数在上单调递增， ∴当时，． 本题选择D选项. 点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便． 5. 设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】化简不等式，可知 推不出； 由能推出， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选B． 【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件． 6. 若“，使得不等式成立”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由“，使得不等式成立”是假命题，则其否命题为真命题，再根据不等式恒成立进行求解即可. 【详解】由“，使得不等式成立”是假命题， 则其否命题为真命题，即“，使得不等式成立”是真命题， 即，使得不等式恒成立， 当时，恒成立， 当时，要使，不等式恒成立， 则，解得， 综上知， 故选：A 7. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，且方程的根为，利用韦达定理求出，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以，且方程的根为， 故，则，， 故不等式等价于， 即，解得或， 所以关于的不等式的解集是. 故选：B. 8. 已知，则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用偶函数的定义与性质结合充分条件、必要条件判断即可得出结论. 【详解】因为，若，即，可得， 此时，此时函数的对称轴为轴，即为偶函数， 所以“”“为偶函数”， 若函数为偶函数，由偶函数的性质可知， 所以“”“为偶函数”， 因此“”是“为偶函数”的充分必要条件. 故选：C. 9. 已知是定义在上的奇函数,且在上单调递减,则不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据奇函数的定义域的特点求得，根据奇函数的单调性以及函数的定义域化简所求不等式，由此求得不等式的解集. 【详解】因为是奇函数,所以,则,所以的定义域为.又在上单调递减,从而在上单调递减,所以由,可得所以,即不等式的解集为. 故选：D 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性、奇偶性解不等式，属于基础题. 10. 在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度与时间的关系，若定义“速度差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据速度差函数的定义，分四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图象. 【详解】由题意可得，当时，翼人做匀加速运动，，“速度差函数”可排除B项． 当时，翼人做匀减速运动，速度从160开始下降，一直降到． 当时，翼人做匀减速运动，从80开始下降，易得则． 当时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”，结合所给的图象，故D正确. 故选：D. 二、填空题（共6题，每小题5分，共30分） 11. 若集合的子集只有两个，则实数______． 【答案】0或 【解析】 【分析】根据题意知道A有一个元素，然后讨论a是否为0，然后得出a的值即可． 【详解】的子集只有两个，有一个元素， ①时，，满足题意； ②时，，解得， 或． 故答案为：0或． 12. 若，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可知，然后利用基本不等式即可求解． 【详解】解：， ，（当且仅当取等号） 故答案为． 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题． 13. 若函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】对函数在区间上的单调性进行分类讨论，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 若函数在区间上单调递增，则，解得； 若函数在区间上单调递减，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知．若的最小值为0，则实数的值是______；若存在最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对于空1：由一次函数单调性可知当时，无最小值，故当时，有最小值为0，然后按照和分类讨论求解即可； 对于空2：由一次函数单调性可知当时，无最小值，故当时，存在最小值，且最小值要小于等于，然后按照和分类讨论求解即可. 【详解】对于空1：当时，单调递增，有，无最小值， 若的最小值为0，则当时，有最小值为0， 开口向上，对称轴， 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，则，解得，与矛盾，不符合题意； 当即时，在上单调递减， 所以，则，解得，满足，符合题意； 综上. 对于空2：当时，单调递增，有，无最小值， 若存在最小值，则当时，存在最小值，且最小值要小于等于， 开口向上，对称轴， 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，则，即，解得或， 又，所以； 当即时，在上单调递减， 所以，则，即，解得或， 又，所以； 综上或，即实数的取值范围是. 故答案为：0； 15. 商店经销某种洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价2.8元，销售价3.4元，全年分若干次进货，每次进货量均为包，已知每次进货的运输劳务费用为62.5元，全年保管费用为元．为了使利润最大，每次应进货________包；最大利润为________元． 【答案】 ①. 500 ②. 【解析】 【分析】依题意列出利润的解析式，利用基本不等式即可求解. 【详解】设利润为元,则 ， 当且仅当时，即时等号成立. 故每次应进货500包，最大利润为元. 16. 已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于中的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”． ①集合与是集合的“好子集”的是______； ②集合的“好子集”所含元素个数的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据“好子集”定义，在中找到整除，即可判断，对于中的元素两两作差，作和，发现满足“好子集”的定义，即可判断； ②首先判断，再假设是集合的“好子集”，并设，通过累加法得到 ，得到，即可求解. 【详解】①由于整除，所以集合不是集合的“好子集”； 由于不能整除，不能整除，不能整除，所以集合是集合的“好子集”； ②若集合是集合的“好子集”，则，因为若，则会被整除； ，因为若，则同为奇数或偶数，则为偶数，则能被整除，所以； 所以 设集合是集合的一个“好子集”， 令， ，，…，， 于是累加得， 从而，所以， 另一方面，取，其中任意两元素差值都不能整除，故其是“好子集”， 此时集合有个元素，且是集合的一个“好子集”， 故集合的“好子集”所含元素个数的最大值为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解“好子集”的定义，并且确定. 三、解答题（共5小题，共80分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 已知集合. （1）若，求和； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将，代入集合，由补集、并集的定义求解即可； （2）若，分和两种情况求解的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 又， ，. 【小问2详解】 若， 当时，则，解得， 当，则，解得， 综上：实数的取值范围为. 18. 设是实数，函数． （1）若函数是奇函数，求的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明. 【答案】（1） （2）函数在区间上单调递增. 任取且， 由 ， 即， ，即，故函数在区间上单调递增. 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性列式计算即得； （2）利用函数的单调性定义计算判断即可. 【小问1详解】 函数是奇函数，定义域为． 由，可得，解得； 【小问2详解】 略 19. 设函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （3） 【解析】 【分析】（1）通过，讨论即可求解； （2），，，，，讨论求解即可； （3）分离参数，结合基本不等式求解. 【小问1详解】 当时，，此时的解集为，成立； 当时，不等式的解集为，则，解得， 综上所述. 【小问2详解】 ，即为， 当时，，解得，即； 当时，即为， 对应方程的解为，， 当时，不等式为，且，不等式的解集为或，即； 当时，不等式为，且，不等式的解集为，即； 当时，，不等式为，解得，即； 当时，不等式为，且，不等式的解集为，即， 综上所述： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 【小问3详解】 由已知对任意的，不等式恒成立， 即恒成立，即， 又时，恒成立， 则， 又，则，当且仅当时等号成立， 综上所述. 20. 已知集合. （1）判断是否属于集合； （2）已知集合，证明：“”是“”的必要非充分条件； （3）求所有满足集合的偶数，并说明理由. 【答案】（1）8，9属于，10不属于； （2） 证明：集合，则恒有， 即满足集合中元素特征，所以，即一切奇数都属于； 反之满足这个集合中的元素不一定全是奇数，如， 所以是的必要非充分条件， （3），理由为： 集合而， ①当和同为奇数和偶数时，均为偶数，所以为4的倍数， 反之当，则不妨令， 可解得，满足集合中元素特征， 所以满足集合的偶数为； ②当和一奇一偶时，和均为奇数， 所以为奇数，不满足题意； 综上所述：所有满足集合的偶数为. 【解析】 【分析】（1）先由平方差公式因数分解，再利用方程组思想确定是否有整数解，从而得出判断； （2）利用任何奇数总可以化为两个连续自然数的平方差，所以满足集合中元素特征，再通过举反例，如偶数8是集合中的元素，这样就可以判断充要条件了； （3）利用平方差因数分解，利用奇偶数思想分析，即可得到满足集合中的偶数一定是4的倍数，再证明4的倍数一定是集合中的元素，从而可得集合中的偶数一定是. 【小问1详解】 由于，满足集合中元素特征，所以， 由于，满足集合中元素特征，所以， 假设， 则，且， 由于，所以或，显然均无整数解， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第3小问的解决关键是分类讨论和同为奇数和偶数与和一奇一偶两种情况，结合因式分解即可得解. 21. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 【答案】（1） 由，所以集合是“完美集”； （2） 若是两个不同的正数， 且是“完美集”， 设， 根据根与系数关系可知相当于方程的两根， 由于，解得或（舍）， 所以， 又均为正数， 所以，当且仅当时成立 是两个不同的正数， 所以至少有一个大于2； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设设中，得到，分，，进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设中， 由， 得， 当时，即有， 又为正整数，所以， 则，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，即有， 故只能， 则，可求得， 于是此时“完美集”只有一个为； 当时，由， 即有， 又， 又，所以， 即， 又， 即，与矛盾， 所以当时，不存在“完美集”； 综上所述，“完美集”为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $