精品解析：江苏省泰州医药高新技术产业开发区三校联考2026-2027学年高三上学期10月份质量检测数学试题

高三年级10月份质量检测数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选顶中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ）． A. 1 B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，， 所以，，因此，. 2. 已知向量满足，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：B 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先解高次不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，即，解得且， 所以由推得出，即充分性成立； 由推不出，即必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 若表示不超过的最大整数，如．若函数，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对分情况讨论，结合诱导公式、两角和与差的余弦公式及的定义求解即可. 【详解】当时， . 当时， . 所以的值域为. 5. 已知数列满足：，，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，， ，，, ，，， . 6. 若函数的图象关于对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的定义域是，且的图象关于直线对称， 对任意的成立， 即， 化简整理得， 解得.即存在，使的图象关于直线对称. 则的值为. 7. 由瑞士著名建筑大师马里奥博塔设计的清华大学艺术博物馆整体为长方体造型，长方体是该建筑的直观图，当身高为 m人（忽略眼睛到头顶的距离）站在点处（的延长线上）时可以估测点、点的仰角，现测得楼宽长为m，此人估测得点的仰角为，点的仰角为，则估测教学楼的高为（ ）（单位：m) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出长方体建筑物的上底面与点的高度差为，利用三角函数求出，，再利用勾股定理即可求出，进而可求得. 【详解】设长方体建筑物的上底面与点的高度差为， 可得，， 在直角三角形中，，即， 解得， 所以， 所以. 故选：D. 8. 已知函数，对任意一个整数，函数在区间内至少有个零点，则正实数的最小值为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用幂函数单调性将高次三角方程降阶为，求出零点通解；再按从小到大列举区间内的零点，结合选项验证得到满足"至少4个零点"的最小正实数 . 【详解】令，即， 由于，且函数在上严格单调递增， 因此高次方程等价于，即，解得，即所有零点为, 在区间中，零点从小到大依次为： 时：（第1个零点）, 时：（第2个零点）, 时：（第3个零点）, 时：（第4个零点）, 要使区间内至少有个零点，需满足，所以正实数的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，，，复数，，，在复平面内对应的点分别为，，，A，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】由题意得，， 则，故A正确； ， ， 故不一定相等，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 10. 已知函数的定义域为，且满足：，，记，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项：通过赋值法推导的通项公式，代入直接验证；B选项：对通项分母有理化后裂项求和，将结果与比较大小；C选项：先证明不等式，令，得，对不等式两边累加比较；D选项：构造函数证明分式不等式，累加后裂项得到，与左边和式比较. 【详解】选项A，函数的定义域为，且满足：，， 记，令，得，得， 得， 令，得，代入，化简得递推式， 对递推式两边取倒数得， 即数列是首项为，公差为的等差数列， 因此，得，A正确； 选项B，由，代入得， 所以， 因为，不等式不成立，B错误； 选项C，得，所以， 先证明，， 设， ， 故在单调递减，故，即， 故，，令，得 对到累加得， ，即，C正确； 选项D，由，通项为， 先证不等式：， 令，不等式变为，构造函数 ， 故单调递减；又时，因此， 即不等式成立， 对到累加，右边裂项得，因此： ，即，D正确. 11. 设函数，关于下列四个结论正确的为（ ） A. 的导函数为周期函数，且最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于对称 D. 方程在上有唯一解，则实数的值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A选项，根据积化和差公式，转化函数并求导，根据周期性定义即可求解； 对于B选项，通过换元，根据复合函数单调性即可判断； 对于C选项，根据函数对称性定义即可判断； 对于D选项，通过换元，根据复合函数的性质，判断唯一解条件，即可判断. 【详解】对于A选项，根据积化和差公式，，求导得， 而因为，，两者不相等，因此A选项错误. 对于B选项，设，因此当时，，故函数可转化为， 令，而函数在上单调递减，函数在单调递减， 所以根据复合函数的单调性，函数在单调递增，故B选项正确. 对于C选项，，故函数的图象关于对称，因此C选项正确. 对于D选项，， 令，因此当时，，此时， 此函数在上递增，在上递减，，， 因此当且仅当时，仅与一个对应，此时，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前项和为，若，，成等差数列，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的等差中项性质建立关于等比数列公比的方程，求解后代入等比数列前项和公式计算. 【详解】设等比数列的公比为（，），已知， 因为、、成等差数列，由等差中项性质得：  ， 当时，，代入得左边，右边，等式不成立，故， 代入 等比数列前项和公式得：  ，由于，两边同乘消去分母得：  ， 整理得，即， 因为，所以，解得或（舍去）， 将代入前项和公式得： . 13. 求值：___________． 【答案】 【解析】 【详解】 . 14. 密码学是一种编译密写技术的科学，其中原始信息为原码，对应的保密信息为暗码，将原码转化为暗码的方式称为加密算法.现有某加密算法：通过特定的坐标转换公式，将如图所示的数字矩阵中原码数字的坐标转换为暗码数字的坐标.将位于第行第列的数字的坐标记作，如数字的坐标为；记函数为.该加密算法的转换公式为：，如坐标为的原码在算法下被转化为坐标为的暗码.已知某原码在算法下的暗码为“”，则该原码为________. 第列 第列 第列 第行 第行 第行 【答案】 【解析】 【分析】计算出每个暗码对应的原码，即可得解. 【详解】函数为，当时，，即； 当时，，则. 由题意，暗码坐标为，设暗码对应原码的坐标为，则， 因为，若，则，矛盾， 所以①， 因为且为奇数，若，则为奇数，矛盾， 所以②， 联立①②可得，，即坐标对应的原码为； 暗码的坐标为，设暗码对应的原码的坐标为，由题意可得， 因为且为奇数，若，则 为偶数，不符合题意， 所以 ，且 ，解得，则 ， 若 ，即时， ，解得， 又因为，故不符合题意， 所以 ，则 ，解得，符合题意. 即坐标为对应的原码为； 暗码坐标是题中示例，对应原码为，所以原码为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）若是边上一点，，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用边化角，结合三角恒等变换可求得，进而求得； （2）由题意可得，进而结合向量的运算及余弦定理列方程组求解即可. 【小问1详解】 由，得， 所以， 所以，又因为，所以， 所以，解得，又，所以； 【小问2详解】 设，则，，即， 故，故， 所以， 可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 联立解得，，所以的周长为. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）设，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）由题意，当时，，解得， 当时，由①，可得②， ①-②，可得，即， 两边同时加6，可得， ，，即. ， 数列是以2为首项，为公比的等比数列， ∴数列的通项公式为，即； （2） 【解析】 【分析】（1）应用等比数列定义证明，再结合等比数列通项公式计算求解； （2）应用错位相减法结合等比数列求和公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，则， ， ， 两式相减，得， ， . 17. 设函数（，），且. （1）求的值； （2）已知在区间上单调递减，条件①和②中有且只有一个作为已知，使函数存在.试确定该条件，并求在区间上的取值范围.条件①：；条件②：的图象关于点对称. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用的值求得. （2）条件①：通过正弦函数值域判定方程无解，函数不存在.条件②：利用对称中心求出，结合单调区间长度确定，进而求取值范围. 【小问1详解】 因为，得，所以， 又因为，所以； 【小问2详解】 由（1）得， 若选择条件①，得， 即. 因正弦函数的值域为，而，故此条件下函数不存在. 若选择条件② 由图象关于点对称，得，解得. 又在上单调递减，区间长度为，故，即. 结合，得时，，则. 当时，，， 故的取值范围为. 18. 函数，. （1）若在上单调递减，求a的取值范围； （2）若曲线与在处有相同的切线， （i）求a的值； （ⅱ）若，证明：. 【答案】（1）； （2）（i）； （ⅱ）由（1）及（i）知，函数在上单调递减，且， ，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且， 当时，，而，不符合题意； 当时，，则，，因此，符合题意； 当，的取值集合为，而在的取值集合为， 在的取值集合为，因此能成立， 当时，； 当时，，， 令，求导得， 函数在上单调递增，，即， 因此，而，则，又函数在上单调递增， 于是，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）求出的导数，由给定区间及单调性建立不等式求解. （2）（i）利用与在处的导数值相等求出；（ⅱ）按分段讨论，结合极值点的偏移方法推理得证. 【小问1详解】 函数在上单调递减，则，， 即，，而，当且仅当时取等号，因此， 所以a的取值范围是. 【小问2详解】 （i）由，求导得， 由曲线与在处有相同的切线，得，即， 解得，此时曲线与在处的切线都为，符合题意， 所以. （ⅱ）略 19. 设函数的定义域为，若对任意实数，恒有成立，则称函数具有“性质”. （1）若一次函数具有性质，其中，求实数，的值； （2）若函数具有性质，且是定义域上的单调递增函数，证明：； （3）若具有性质的函数满足：存在常数，使得对任意，都有.求所有满足条件的函数的解析式. 【答案】（1） （2）设，定义数列：，, 则， 故且， 故， 同理，故. 若，则即，则即， ，依次得，故为递减数列， 故， 故对任意的恒成立， 若，则对任意的恒成立， 故当为正奇数时，对任意的正奇数恒成立. 当时，，矛盾； 若，则对任意的恒成立， 故当为正偶数时，对任意的正偶数恒成立. 当时，，矛盾； 故，故，同理若，也有，故. 若，则，此时，故此时仍然成立， 综上， . （3） 【解析】 【分析】（1）先求，根据恒成立可求参数的值； （2）设，定义数列：，根据性质结合构造法可求此数列，根据单调性可证明； （3）取，， 设，则，根据的有界性可证. 【小问1详解】 因为，故， 所以，故， 所以或（舍），故. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 设，则且 故，取，， 设， 则， 若，则当时，， 这与恒成立矛盾，故即，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级10月份质量检测数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选顶中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ）． A. 1 B. 2 C. D. 5 2. 已知向量满足，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 12 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若表示不超过的最大整数，如．若函数，则的值域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足：，，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 6. 若函数的图象关于对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 由瑞士著名建筑大师马里奥博塔设计的清华大学艺术博物馆整体为长方体造型，长方体是该建筑的直观图，当身高为 m人（忽略眼睛到头顶的距离）站在点处（的延长线上）时可以估测点、点的仰角，现测得楼宽长为m，此人估测得点的仰角为，点的仰角为，则估测教学楼的高为（ ）（单位：m) A. B. C. D. 8. 已知函数，对任意一个整数，函数在区间内至少有个零点，则正实数的最小值为（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，，，复数，，，在复平面内对应的点分别为，，，A，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域为，且满足：，，记，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，关于下列四个结论正确的为（ ） A. 的导函数为周期函数，且最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于对称 D. 方程在上有唯一解，则实数的值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前项和为，若，，成等差数列，，则__________. 13. 求值：___________． 14. 密码学是一种编译密写技术的科学，其中原始信息为原码，对应的保密信息为暗码，将原码转化为暗码的方式称为加密算法.现有某加密算法：通过特定的坐标转换公式，将如图所示的数字矩阵中原码数字的坐标转换为暗码数字的坐标.将位于第行第列的数字的坐标记作，如数字的坐标为；记函数为.该加密算法的转换公式为：，如坐标为的原码在算法下被转化为坐标为的暗码.已知某原码在算法下的暗码为“”，则该原码为________. 第列 第列 第列 第行 第行 第行 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）若是边上一点，，，求的周长. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）设，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 设函数（，），且. （1）求的值； （2）已知在区间上单调递减，条件①和②中有且只有一个作为已知，使函数存在.试确定该条件，并求在区间上的取值范围.条件①：；条件②：的图象关于点对称. 18. 函数，. （1）若在上单调递减，求a的取值范围； （2）若曲线与在处有相同的切线， （i）求a的值； （ⅱ）若，证明：. 19. 设函数的定义域为，若对任意实数，恒有成立，则称函数具有“性质”. （1）若一次函数具有性质，其中，求实数，的值； （2）若函数具有性质，且是定义域上的单调递增函数，证明：； （3）若具有性质的函数满足：存在常数，使得对任意，都有.求所有满足条件的函数的解析式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $