精品解析：山东省多校联考2026-2027学年高三上学期10月份阶段性监测数学试题

2026-2027学年上学期阶段性监测 高三数学 2026.10 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 3. 若随机变量服从正态分布，，则实数等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若函数为奇函数，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 已知，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 人耳的声音强度级（单位：）与声音强度（单位：）满足，其中是人耳能听到的最低声强． 已知某工厂机器运转时约为，则该机器对应的声音强度所在的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 两位小朋友在玩识数游戏时，将各自手中标有1，2，3，4的卡片（两人手中相同数字的卡片完全相同）排成一排，则这8个数字恰有3对相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为促进学生增强体质，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．统计数据如下： 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 甲 乙 则下列说法正确的是（） A. 班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为 B. 班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为 C. 班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级甲的大 D. 班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大 10. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，的定义域均为，且，，若是偶函数，，则（ ） A. 关于直线对称 B. 4是的一个周期 C. 是偶函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，求________． 13. 的展开式中，常数项为________． 14. 已知函数满足：对，都有，，若，则的取值范围是________________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某数学兴趣小组为了探究性别与网购生鲜偏好之间的关系，从当地某个社区随机调查了200人，调查数据如下表所示： 偏好网购生鲜 不偏好网购生鲜 合计 男性 20 80 100 女性 35 65 100 合计 55 145 200 （1）根据小概率值的独立性检验，分析性别与偏好网购生鲜是否有关； （2）现从抽取的男性调查者中，按“偏好网购生鲜”和“不偏好网购生鲜”两种类型进行分层抽样抽取10人，然后再从这10人中随机选出3人，求这3人中至少有1人偏好网购生鲜的概率． 附：，（其中）． 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 16. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知． （1）讨论函数的单调性； （2）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）若不等式在上无解，求实数的取值范围． 18. 已知甲手里有3张卡片分别标有数字1，3，5，同样乙手里也有3张卡片分别标有数字2，4，6，若在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张（不放回），并比较所选卡片上数字的大小，数字大的一方获胜并得1分，数字小的一方得0分，两人共进行三轮比赛． （1）求第一轮甲获胜的概率； （2）在第一轮甲获胜的条件下，第二轮甲获胜的概率； （3）三轮比赛结束，求甲的总得分的期望． 19. 若对于定义在上的函数，设是的一个子集，和是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则称函数在上具有“性质”． （1）分别判断函数和是否在上具有“性质”；（无需说明理由） （2）设，记，若函数在上具有“性质”，求实数的取值范围； （3）若函数在上具有“性质”，其图象是连续曲线，且，求证：集合是无限集或单元素集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期阶段性监测 高三数学 2026.10 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，， 则. 2. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 3. 若随机变量服从正态分布，，则实数等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性计算． 【详解】由题意，解得． 故选：B． 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若，则，，且，因此， 若，则应有，即应有或， 当时，不成立，故“”是“”的充分不必要条件. 5. 若函数为奇函数，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先利用奇函数定义域关于原点对称，得到函数为奇函数的必要条件为，然后验证为奇函数即可. 【详解】因为为奇函数，所以定义域关于原点对称， 所以可得为奇函数的必要条件为. 此时， 因为 所以为奇函数.所以 6. 已知，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数和一次函数的性质作出函数图象，结合图象即可求解. 【详解】由可得，即， 构造函数， 由于，且，结合对数函数以及一次函数图象特点， 在同一直角坐标系中做出的图象如图所示： 两函数图象交于点， 故当时，. 7. 人耳的声音强度级（单位：）与声音强度（单位：）满足，其中是人耳能听到的最低声强． 已知某工厂机器运转时约为，则该机器对应的声音强度所在的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，，， 所以， 所以声音强度所在范围为 8. 两位小朋友在玩识数游戏时，将各自手中标有1，2，3，4的卡片（两人手中相同数字的卡片完全相同）排成一排，则这8个数字恰有3对相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先算出8张卡片排成一排的总方案数，再结合捆绑法、插空法算出恰有3对相邻的方案数，根据古典概型即可求解. 【详解】由题意，两位小朋友共有8张卡片， 由于相同数字的卡片不可区分，所以总的排列方案有种， 从4个数字中选出3个数字，每个数字的两张卡片捆绑在一起，形成相邻对，有种， 再将其进行排列，有种， 3个捆绑单元排好后产生4个空隙，将剩下的2张相同卡片插入不同的空隙中，有种， 综上，这8个数字恰有3对相邻的方案共有种， 所以这8个数字恰有3对相邻的概率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为促进学生增强体质，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．统计数据如下： 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 甲 乙 则下列说法正确的是（） A. 班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为 B. 班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为 C. 班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级甲的大 D. 班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大 【答案】AC 【解析】 【详解】甲班数据：，乙班数据：， A选项：乙班数据中出现次，其余均出现次，所以众数为，A正确； B选项：甲班数据从小到大排列：， 共个数，中位数为第个数，即，不是，B错误； C选项：甲班极差：，乙班极差：， 因为，所以乙班极差比甲班大，C正确； D选项：甲班平均数：， 乙班平均数：， ，故甲班平均数小于乙班，D错误. 10. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用消元法将二元函数最值问题转化为一元函数最值问题求解最值或直接使用基本不等式求解最值即可判断选项正误. 【详解】由题意，，结合可得. 对于A，， 由二次函数的性质，当时，有最小值，A正确. 对于B，， 由二次函数的性质，当时，有最大值，B错误. 对于C， 当且仅当，此时， 解得时取等号.C正确 对于D，由基本不等式， 当且仅当，即时取等号，D正确. 11. 已知函数，的定义域均为，且，，若是偶函数，，则（ ） A. 关于直线对称 B. 4是的一个周期 C. 是偶函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】替换关系式中的自变量，整理得到函数的对称轴和对称中心，以及周期，判断ABC选项.根据周期即可判断D选项. 【详解】由，用代入，得， 所以， 所以函数关于点对称； 又因为是偶函数，即，A选项正确； 所以，则， 所以，所以， ，所以， 所以4是函数的一个周期，B选项正确； 所以，用代入，得， 则函数关于点对称，C选项错误； 因为奇数的平方可以表示为， 所以所有奇数的平方除以4余数都是1，所有偶数的平方除以4余数都是0， 所以中共有1014个奇数的平方，每个奇数平方除以4余数是1， 偶数平方除以4余数都是0， 所以总和除以4的余数等于为1014除以4的余数，为2，结合函数的周期为4， 得，D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，求________． 【答案】1 【解析】 【详解】由题意可得，. 13. 的展开式中，常数项为________． 【答案】60 【解析】 【详解】展开式的通项， 令，得，所以常数项为． 14. 已知函数满足：对，都有，，若，则的取值范围是________________________． 【答案】 【解析】 【分析】通过不等式整理得到和的不等关系，即可求得的取值范围. 【详解】， 即，所以 ， 所以，所以 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某数学兴趣小组为了探究性别与网购生鲜偏好之间的关系，从当地某个社区随机调查了200人，调查数据如下表所示： 偏好网购生鲜 不偏好网购生鲜 合计 男性 20 80 100 女性 35 65 100 合计 55 145 200 （1）根据小概率值的独立性检验，分析性别与偏好网购生鲜是否有关； （2）现从抽取的男性调查者中，按“偏好网购生鲜”和“不偏好网购生鲜”两种类型进行分层抽样抽取10人，然后再从这10人中随机选出3人，求这3人中至少有1人偏好网购生鲜的概率． 附：，（其中）． 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）根据小概率值的独立性检验，性别与偏好网购生鲜有关 （2） 【解析】 【分析】（1）计算卡方，进而与临界值比较，即可作答， （2）根据抽样比求解人数，即可根据排列组合求解. 【小问1详解】 零假设：性别与偏好网购生鲜无关， ， 故根据小概率值的独立性检验，性别与偏好网购生鲜有关. 【小问2详解】 由于“偏好网购生鲜”和“不偏好网购生鲜”的比例为， 因此“偏好网购生鲜”中抽取了2人，“不偏好网购生鲜”中抽取了8人， 故这3人中至少有1人偏好网购生鲜的概率为． 16. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 若，则， ，所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 当时，即， 当不为空集时，需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 17. 已知． （1）讨论函数的单调性； （2）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）若不等式在上无解，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）对原函数求导，根据导数的正负区间，直接判断出函数的单调递减和递增区间； （2）（i）代入求出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程； （ii）将“不等式无解”等价转化为“在上恒成立”，分离变量，用导数求函数最值可得答案. 【小问1详解】 对求导得， 令，解得， 由可得，由可得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问2详解】 当时，， （i）当时，，所以切点坐标为， 由（1）可知，当时，，切线斜率； 所以曲线在点处的切线方程为，即； （ii）不等式在上无解， 等价于不等式在上恒成立， 代入得到对任意的恒成立， 因为，所以，即对任意的恒成立， 令，则原问题转化为求在上的最小值，即需要满足. 对求导得 令，求导得， 因为，所以恒成立，所以在上单调递增， 所以，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，则， 因为恒成立，所以，所以实数的取值范围是. 18. 已知甲手里有3张卡片分别标有数字1，3，5，同样乙手里也有3张卡片分别标有数字2，4，6，若在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张（不放回），并比较所选卡片上数字的大小，数字大的一方获胜并得1分，数字小的一方得0分，两人共进行三轮比赛． （1）求第一轮甲获胜的概率； （2）在第一轮甲获胜的条件下，第二轮甲获胜的概率； （3）三轮比赛结束，求甲的总得分的期望． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先确定甲、乙各自选卡片的所有可能结果数，再找出甲卡片数字大于乙的结果数，最后用古典概型概率公式计算； （2）先明确第一轮甲获胜概率，再确定事件“第一轮甲获胜且第二轮甲获胜”包含两种互斥情况，最后用条件概率公式计算； （3）分析甲每轮得分的可能取值，确定每轮得分的概率，再求解期望即可. 【小问1详解】 根据题意第一轮两人各自从自己持有的卡片中随机选一张， 所有可能组合有种： ， 甲获胜的情况是甲的数字大于乙的数字，有3种，所以甲获胜的概率为． 【小问2详解】 设“第一轮甲获胜”为事件，“第二轮甲获胜”为事件， 由上可知第一轮甲获胜的概率为，  事件“第一轮甲获胜且第二轮甲获胜”（记为）包含两种互斥情况：第一轮甲出3胜乙出2，第二轮甲出5胜乙出4与第一轮甲出5胜乙出4，第二轮甲出3胜乙出2,每种情况的概率均为， 故， 根据条件概率公式． 【小问3详解】 甲、乙双方的出牌顺序分别有种，所有可能的出牌顺序组合共有种，这些组合等可能.因对称性，可固定甲的出牌顺序为来分析甲的得分情况,设甲总得分为，则的可能取值为在不考虑出牌顺序的前提下， 第一行为甲出牌，其余为乙出牌，如下表， 甲得分 1 3 5 0 2 4 6 1 2 6 4 1 4 2 6 1 4 6 2 2 6 2 4 1 6 4 2 甲、乙两人出牌共有36种， 则， 则. 19. 若对于定义在上的函数，设是的一个子集，和是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则称函数在上具有“性质”． （1）分别判断函数和是否在上具有“性质”；（无需说明理由） （2）设，记，若函数在上具有“性质”，求实数的取值范围； （3）若函数在上具有“性质”，其图象是连续曲线，且，求证：集合是无限集或单元素集． 【答案】（1）在上不具有性质；在上不具有性质. （2）. （3）证明：由在上具有性质，即是单射，图象连续. 先证是上单调函数：连续单射函数一定单调. 令，集合，对任意，显然满足. 假设不是无限集也不是单元素集，则至少含两个不同元素. 若单调，不妨设单调递增.任取，则. 对任意：若，由递增，，与矛盾；若，同理，同样矛盾. 因此区间内所有点都满足，即包含区间，为无限集. 这说明只要中元素个数大于等于2，则必为无限集；剩下情况就是仅有一个元素. 因此集合只能是无限集或单元素集. 【解析】 【分析】（1）读懂新定义即可快速判断； （2）核心是对分段分界参数分类讨论，控制两段值域不重叠，保证不同自变量函数值不重复； （3）新定义函数的逻辑证明，利用定义，结合迭代等式反证，锁定不动点集合只有两种可能. 【小问1详解】 ：定义域不是，故在上不具有性质； ：取但，故在上不具有性质. 【小问2详解】 ，，在上单射. 分段函数在单调递减；在单调递增. 要保证内任意两个不同，函数值不等，分情况讨论分界点相对于区间的位置. 当：全部落在段，单调递减，自然满足单射，符合条件； 当：，.左段单调递减，值域为；右段单调递增，值域为， 只需两段值域无交集.由，解得或，与无交集， 由，解得，则的取值范围为； 当时，区间被分界点分为两部分， 上，值域为，上，值域为， 两段值域存在公共正数区间，存在不同自变量函数值相等，不满足性质. 当时，内全部满足，的对称轴，函数在单调递增， 因此在上单射，满足题意. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $