精品解析：山西太原市常青藤中学2026-2027学年第一学期八年级10月学情自测数学试卷

八年级数学阶段性测试题 注意事项： 1．本试卷分为第I卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. 3.1415926 C. D. 2. 的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数为时，输出的数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形的面积分别是，则最大正方形的面积是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算，规则是每人只能看到前一人传过来的式子，接力中，自己负责的式子出现错误的是（） A. 小明和小丽 B. 小丽和小红 C. 小红和小亮 D. 小丽和小亮 7. 如图，顶点 ，， 在边长为1的正方形网格格点上，若于点 ，则的长为（ ）． A. B. C. D. 8. 小慧同学通过计算观察下列正数的算术平方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》“勾股”章记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为多少？（注：1丈尺）．若设竹子未折断部分的高度为尺，根据勾股定理可列方程求解，则未折断部分的高度为（　　） A. 4.55尺 B. 5.45尺 C. 6.35尺 D. 7.25尺 10. 如图是一个长方体仓库，在其内壁的点（长的四等分点）处有一只壁虎．在点（宽的三等分点）处有一只蚊子．若该仓库长为（点所在线段），宽为（点所在线段），高为，则壁虎爬到蚊子处的最短距离应为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 的立方根是__________． 12. 写出一个比大且比小的无理数______． 13. 比较大小：___________（填“”，“”或“”） 14. 将一个含角的直角三角板与一个直尺如图放置，，，点在直尺边上，点在直尺边上，交于点，若，，则的长为___________． 15. 如图，在Rt中，，，，是边的中点，是边上的一点．连接．把沿翻折，点落在上的点处，则线段的长为___________． 三、解答题（本大题共7个小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）； （2）； （3）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，满足（不考虑阻力的影响）． （1）求物体从的高空落到地面的时间（结果保留根号）； （2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量（）高度，一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？（注：只需要的能量就会对人体造成危害） 19. 如图，在一次户外探险活动中，小亮从营地点出发沿北偏东方向行到达点，然后再沿北偏西方向行达到目的地点，求出，两点之间的距离． 20. 如图．在中，点为边上的一点，，，，． （1）试说明； （2）求的长及的面积； （3）小华通过计算发现的三边满足，从而得到是直角三角形，她判断的依据是：___________ 21. 在实数学习的过程中，同学们发现利用正方形网格，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 例如，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1）如图1，构造，比较与的大小，其理由如下： ，点，，都为小正方形的顶点， （_____）． ． （1）上述说明理由的过程中横线上应填写___________． （2）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是___________． A．类比思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 （3）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由． （4）以上述构图过程为思路，在下面的数轴上找出表示的点． 22. 中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动时间为秒． （1）求出的长． （2）如图1，在点运动的过程中，以为折痕折叠，求出点倍好落在边上处时的值． （3）如图2，小丽在探究过程中发现当秒时，点与点重合，此时是直角三角形，点继续运动，直接写出___________秒时，再次成为直角三角形． （4）继续探究，发现能成为等腰三角形，请直接写出为等腰三角形时，点运动的时间是___________秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学阶段性测试题 注意事项： 1．本试卷分为第I卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. 3.1415926 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简带根号的数，再判断无理数； 【详解】解：，为有理数，，为有理数，为无理数． 2. 的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理以及三角形的内角和定理分别判断即可． 【详解】解：A选项，∵，， ∴，是直角三角形，不符合题意； B选项，∵，，， ∴，是直角三角形，不符合题意； C选项，设，，， ∵，， ∴，是直角三角形，不符合题意； D选项，设，，， ∵， ∴，解得， ∴，不是直角三角形，符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式加减运算需先判断是否为同类二次根式，只有同类二次根式才能合并． 【详解】解：不是同类二次根式，不能合并，A选项错误； 不是同类二次根式，不能合并，B选项错误； ，C选项正确． ，D选项错误． 4. 有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数为时，输出的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数值转换器的原理，输入一个数，求其算术平方根，若结果是有理数则重新输入，若结果是无理数则输出． 【详解】解：当输入时，取算术平方根得，是有理数，重新输入； 当输入时，取算术平方根得，是有理数，重新输入； 当输入时，取算术平方根得，是无理数，输出． 5. 如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形的面积分别是，则最大正方形的面积是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】设正方形的边长分别为，利用勾股定理建立三边平方关系，结合正方形面积公式求解． 【详解】解：设正方形的边长分别为， ∵正方形的面积分别是， ∴，， ∵中间三角形为直角三角形，且为直角边，为斜边， ∴由勾股定理得 ， ∴， ∴正方形的面积是． 6. 老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算，规则是每人只能看到前一人传过来的式子，接力中，自己负责的式子出现错误的是（） A. 小明和小丽 B. 小丽和小红 C. 小红和小亮 D. 小丽和小亮 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式的运算法则逐步进行判断即可． 【详解】解：小明的步骤符合二次根式除法法则，正确； ∵， ∴小丽的步骤错误； ∵， ∴小红的步骤错误； 小亮的步骤符合二次根式运算法则，正确． 7. 如图，顶点 ，， 在边长为1的正方形网格格点上，若于点 ，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理求得的长，然后运用等面积法求解即可． 【详解】解：由网格图可知， ，点到所在直线的距离为3，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得： ． 8. 小慧同学通过计算观察下列正数的算术平方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题干表格数据可总结算术平方根的规律，被开方数小数点每向某方向移动两位，算术平方根的小数点向同一方向移动一位，利用规律即可求解． 【详解】解：根据表格数据可得规律：在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向某一方向移动两位，对应的算术平方根的小数点就向同一方向移动一位， ∵，且是将的小数点向右移动两位得到， ∴需要将的小数点向右移动一位，即． 9. 《九章算术》“勾股”章记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为多少？（注：1丈尺）．若设竹子未折断部分的高度为尺，根据勾股定理可列方程求解，则未折断部分的高度为（　　） A. 4.55尺 B. 5.45尺 C. 6.35尺 D. 7.25尺 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，准确计算是解题的关键． 本题可根据竹子折断后形成的直角三角形进行求解，关键是要利用勾股定理建立方程． 【详解】设竹子未折断部分的高度为尺，因竹子高尺，所以折断部分的高为尺， 根据题意可得出图形： ， 解得：； 故选． 10. 如图是一个长方体仓库，在其内壁的点（长的四等分点）处有一只壁虎．在点（宽的三等分点）处有一只蚊子．若该仓库长为（点所在线段），宽为（点所在线段），高为，则壁虎爬到蚊子处的最短距离应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将点和点所在的面展开，得到最符合条件的三种情况，连接，利用勾股定理分别求解，即可得到答案； 【详解】解：由题意可知，仓库的长为、宽为、高为，点是长的四等分点，点是宽的三等分点， 如图1，将正面和上面展开，此时， ， ； 如图2，将正面和右面展开，此时， ， ； 如图3，将正面和右面展开，此时， ， ； ， ∴壁虎爬到蚊子处的最短距离为． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 的立方根是__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 12. 写出一个比大且比小的无理数______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据无理数的定义，找出大小介于和之间的无理数即可． 【详解】解：将和变形为算术平方根形式，得，， 只要找被开方数大于、小于，且开方开不尽的数，就符合要求，例如，满足，且是无理数，符合题意． 13. 比较大小：___________（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】利用作差法进行比较即可得出结论． 【详解】∵， 又∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数比较大小，掌握作差法比较实数大小的方法是解答此题的关键． 14. 将一个含角的直角三角板与一个直尺如图放置，，，点在直尺边上，点在直尺边上，交于点，若，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先由平行线的性质可得，根据三角形内角和定理得到，，那么是等腰直角三角形，从而求出结果． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 15. 如图，在Rt中，，，，是边的中点，是边上的一点．连接．把沿翻折，点落在上的点处，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴． 三、解答题（本大题共7个小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式； 【小问3详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是根据二次根式的运算法则准确计算，原式已是最简式，将，代入原式，利用完全平方公式和平方差公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 18. 高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，满足（不考虑阻力的影响）． （1）求物体从的高空落到地面的时间（结果保留根号）； （2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量（）高度，一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？（注：只需要的能量就会对人体造成危害） 【答案】（1） （2） 这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害，能量为 【解析】 【分析】（1）将代入公式，化简二次根式即可得到下落时间； （2）先将代入时间公式求出下落高度，再代入能量公式计算能量，与比较得出结论． 【小问1详解】 解：由题意得 ∵ ∴ 答：物体从40m高空落到地面的时间为； 【小问2详解】 解：∵钥匙下落时间， ∴ ∴ ∴ 钥匙所带能量为 ∵ ∴这串钥匙所带能量会对楼下行人产生危害 答：这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害． 19. 如图，在一次户外探险活动中，小亮从营地点出发沿北偏东方向行到达点，然后再沿北偏西方向行达到目的地点，求出，两点之间的距离． 【答案】，两点之间的距离 【解析】 【分析】先推出是直角三角形，进而利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴， ∴； 答：，两点之间的距离. 20. 如图．在中，点为边上的一点，，，，． （1）试说明； （2）求的长及的面积； （3）小华通过计算发现的三边满足，从而得到是直角三角形，她判断的依据是：___________ 【答案】（1）解：∵，，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）15；150 （3）勾股定理逆定理 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可得证； （2）勾股定理求出的长，三角形的面积公式求出面积即可； （3）根据勾股定理逆定理作答即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴的面积； 【小问3详解】 略 21. 在实数学习的过程中，同学们发现利用正方形网格，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 例如，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1）如图1，构造，比较与的大小，其理由如下： ，点，，都为小正方形的顶点， （_____）． ． （1）上述说明理由的过程中横线上应填写___________． （2）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是___________． A．类比思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 （3）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由． （4）以上述构图过程为思路，在下面的数轴上找出表示的点． 【答案】（1）三角形的任意两边之和大于第三边 （2）D （3）；理由如下： 如图， 在中，（三角形任意两边之差小于第三边）， 由勾股定理得：， ； （4）如图3，点即为表示的点； 作图方法如下： 设0为点，2为点，3为点， ①过作数轴的垂线，以为圆心，1为半径画圆，与该垂线交于点，连接，由勾股定理得：； ②过作数轴的垂线，以为圆心，为半径画圆，与该垂线交于点，连接，由勾股定理得：； ③以为圆心，为半径画圆，与数轴正半轴交于点，则点对应的数即为． 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边关系即可解答； （2）结合图形解决代数问题，这是数形结合思想； （3）构造三角形，使得三边分别为，利用三角形三边关系即可解答； （4）先利用勾股定理，结合画出对应的长度，再结合即可画出数轴上找出表示的点． 【小问1详解】 解：横线上应填写三角形的任意两边之和大于第三边； 【小问2详解】 解：结合图形解决代数问题，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 22. 中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动时间为秒． （1）求出的长． （2）如图1，在点运动的过程中，以为折痕折叠，求出点倍好落在边上处时的值． （3）如图2，小丽在探究过程中发现当秒时，点与点重合，此时是直角三角形，点继续运动，直接写出___________秒时，再次成为直角三角形． （4）继续探究，发现能成为等腰三角形，请直接写出为等腰三角形时，点运动的时间是___________秒． 【答案】（1） （2） （3） （4）或5或8秒 【解析】 【分析】（1）直接运用勾股定理进行列式计算，即可作答． （2）结合折叠的性质得，，，则在中，，代入数值计算，即可作答． （3）当时，则是直角三角形，再根据，，故，代入数值进行计算，即可作答． （4）理解题意，根据为等腰三角形进行分类讨论，再逐个情况作图，即可作答． 【小问1详解】 解：在中，，，， 由勾股定理得：； 【小问2详解】 解：动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动时间为秒．在点运动的过程中，以为折痕折叠，点恰好落在边上处， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：； 【小问3详解】 解：小丽在探究过程中发现当秒时，点与点重合，此时是直角三角形，点继续运动， 当时，则是直角三角形， 由勾股定理得：， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 则， ， 解得， 点继续运动，直接写出秒时，再次成为直角三角形， 【小问4详解】 解：依题意，当时，如图， 则，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 解得：； 当时，如图， 则， 即， 当时，如图， ， ， ， 即． 综上所述，当为等腰三角形时，点运动的时间是或5或8秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $