浙江宁波市鄞州区13校联考2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

2026学年第一学期九年级数学学科测试卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1．二次函数的顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 2．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．已知的半径为，点在外，则的长（ ） A．大于 B．小于 C．大于 D．不大于 4．如图，在中，，连接，若，下列结论中，错误的是（ ） A． B． C． D． 5．张老师在编写下面这个题目答案时，不小心打乱了解答过程顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确顺序是（ ） 已知：如图，在中，点，，分别在边，，上，且，．求证：． 证明：①又，②，③，④，⑤． A．③②④①⑤ B．②④①③⑤ C．③①④②⑤ D．②③④①⑤ 6．如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剩下的阴影三角形与原三角根的不相似的是（ ） A． B． C． D． ．、、三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三个内角角平分线的交点 D．三边高的交点 8．已知点、和都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，函数的图象与轴恰好有个交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．如图，四边形与四边形都是正方形，连结，，，若已知五边形的面积，则一定能求出的线段为（ ） A． B． C． D． 二．填空题（每小题3分，共18分） 11．在张一样的卡片上分别写上数，，，，，打乱顺序后，从中随机抽取一张，则抽到的卡片写的是无理数的概率是________． 12．已知，是抛物线上的点，它们的坐标分别为，，则该抛物线的对称轴为直线________． 13．如图，是的直径，是的弦，半径，，则的度数是________． 14．在平面直角坐标系中，与位似比为，位似中心为原点，若点的坐标为，则其对应点的坐标是________． 15．如图，边长均为的个正方形，、、三点在圆上，则圆的半径为________． 16．如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，连接并延长交于点，则的值为________． 三．解答题（第17-21题各8分，第22-23题各10分，第24题12分，共，72分） 17．已知，，满足，且． （1）求，，的值． （2）若线段是线段，的比例中项，求的长． 18．某校准备从九年级学生中选拔部分学生参加市中学生辩论赛，九（1）班共有名学生报名参加，报名的学生需进行自我介绍、即兴演讲、回答问题三项测试，每项测试均由位评委打分（满分分），取平均分作为该项的测试成绩，再将自我介绍、即兴演讲、回答问题三项的测试成绩计算出每人的综合成绩．小涵即兴演讲和回答问题两项的测试成绩分别为分和分，这名学生的综合成绩频数分布直方图（如图）（每组含最小值，不含最大值）． （1）在自我介绍测试中，五位评委给小涵打出的分数分别为，，，，．这组数据的中位数是________，平均数是________． （2）在（1）的条件下，计算得出小涵的综合成绩为分，班主任根据综合成绩择优选取名学生推到学校里进行选拔，试分析小涵能否入选，并说明理由． （3）在位评委老师中，有位是男老师，位是女老师，小涵在即兴演讲环节中，有位评委老师给了满分，请用树状图或列表法求给满分的位评委中“恰好名男老师名女老师”的概率． 19．以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，图中的点，，，均在格点上． （1）如图：________． （2）在上找点，使． （3）在上找点使． 20．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图（1），已知黄金矩形的宽． （1）求黄金矩形的长； （2）如图（2），将图（1）中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 21．如图，二次函数图象与轴交于点，与轴负半轴交于点． （1）求二次函数的解析式． （2）若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值． 22．小军与小明两兄弟站在平面镜前方的水平地面上照镜子．如图，小军竖直站立在处，其眼睛所在位置为点，；小明竖直站立在小军身后的处，其眼睛所在位置为点，．此时，，三点恰好共线，且小明与小军的水平距离为米． （1）求小军到平面镜的距离． （2）根据平面镜成像原理，小明的立足点与眼睛在平面镜中的像分别为点与点．小军若想通过镜子看到点，，则需要注视到平面镜中点，的位置，求的长． （3）在（2）的条件下，若小军想蹲下看，则的长是否会改变，请说明理由． 23．已知抛物线的对称轴是直线． （1）求的值． （2）若点是抛物线上的动点． ①当时，求的取值范围． ②当时，的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 24．在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． 【问题探究】如图，求证：； 【问题解决】如图，当为的中点，，时，求的长； 【拓展延伸】如图，连接，当为的中点，时，求的值（用含的式子表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $2026学年第一学期九年级数学学科测试卷参考答案与试题解析 一。选择题 1.B. 2.D. 3.A. 4.C 5.B. 6.C. 7.A. 8.B. 9.B. 10.A. 二.填空题 2 11.5 12.x=1」 13.80° 14.（-6,-4)或(6,4) V85 15.2」 2 16.3. 三。解答题 17.【解答】解：(1)设a=k,b=3k,c=5k, a-b+C=6,即k-3k+5k=6,解得k=2,…1分 ∴a=2，b=6,c=10: …3分 (2)由(1)知a=2,b=6, 因为m是a,b的比例中项，.m2=ab=l2,∴m=±2V3 ,…3分 m>0..m=2V3 …1分 18.【解答】解：(1)答案为：83,83 2分 (2)小涵能入选，理由如下：小涵的综合成绩为83.1分， 由直方图可知：80~100分的学生人数为5人，故小涵能入选； …2分 (3)用A,B,C表示女老师，用D,E表示男老师，列表如下： A B C D E A A,B A,C A,D A,E B B,A B,C B,D B,E Q C,A C,B C,D C,E D D,A D,B D,C D,E E E,A E,B E,C E,D 。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。 …2分（树状图也可，2分） ∴共20种等可能的结果，其中给满分的2位评委中恰好1名男老师1名女老师的结果有12种结果， 123 ∴.“恰好1名男老师1名女老师”的概率205 2分 19.【解答】(1)PC:PB=2:3 .…2分 (2)由题意，作图如下，点M即为所求： …3分 (3)由题意，作图如下，点Q为所求。 B …3分 AB 5-1 20.【解答】解：(1)·BC 2,AB=V2, ∴.BC= 2AB_2×√2_V10+V2 5-15-1 2 10+√2 答：黄金矩形ABCD的长BC为 2 …4分 (2)矩形DCEF为黄金矩形，证明如下： ,四边形ABEF是正方形， .AF=AB=√2 :四边形ABCD是黄金矩形， :.CD=AB=2 AD-BC=10+ 2 .DF-EC-AD-AF-00- 10-√2 DF V5-1 CD 2 2 矩形DCEF为黄金矩形.… …4分 21.【解答】解：(1)：二次函数y=-+x+3的图象经过B(-2,0) ·把B的坐标代入得(-2)°-2n+3=0 1 n=- 解得”2， =-x2-1 ∴.二次函数的解析式为 +3 …3分 y=-x2 1 x+3 (2),二次函数的解析式为 x=0时， y-x2- 2+3=3 .A(0,3) 设直线AB的解析式为y=+3, 把(-2,0)代入，得2k+3=0, 3 k= 解得2， 3 3 ∴y= 人则点(030，-2- -2a-1 0+3 …2分 :点C在点P的右边， 221 ∴Pc=-2a2-1a-a= 22_4 3 a 3 2 =-3(a++ …2分 ,点P是这个二次函数图象在第二象限内的一点， ∴.-2<a<0. 2 当a=-1时，线段PC的长度有最大值，最大值为3 …1分 22.【解答】解：(1)由题意得，AC∥BD AC OA △A0C∽△B0D,BDOB,…2分 1.2OA 即1.8OA+1, .OA=2米， 小军到平面镜OM的距离为2米. …1分 (2)由平面镜成像原理可知：OB=OB=3米，B'D'=BD=1.8米.由图可把OA,AB分别看作是 △CEF,△CD'B'的高， .B'D'∥OM, △CEF∽△CD'B', EF OA … EF 2 即1.82+3， .EF=0.72米 ·2分 (3)EF的长不会改变.理由如下： :无论AC的长如何变化都有△CEF∽△CD'B, EF2 “只要小军的立足点不变，△CEF与△CB'D'的高之比就不变，即1.85始终成立， ∴EF为定值，都等于0.72米.（言之有理即可）…。 …3分 23.【解答】解：(1)：抛物线y=x+bx-3的对称轴是直线x=-1, 2 ,解得b=2;…3分 (2)①由(1)知：抛物线的解析式为y=x+2x-3, ∴抛物线的开口向上 又-2≤-1≤3， 当x=-1时，y取到最小值为-4， …2分 当x=-2时，得y=-3,当x=3时，得y=12, y的取值范围是4≤y≤12， …分 ②如图1，由抛物线开口向上可知，当y=卫+3时，x分别取到最大值与最小值， 2,p3) (,p3) 图 由对称性可知，此时对应的两个点关于对称轴对称. 设x的最大值为，最小值为x2, .x1+x2=-2① 又“￥-x2=4② 联立①②并解得=1，七3=-3 此时y=1P+2×1-3=0,即p+3=0 解得卫=-3， 由方程x2+2x-3=-3, 解得=0。x4=-2 由图2可知，X的取值范围为-3≤x≤-2或0≤x≤1.…4分 (-3,0) 1,0) 10 2 (-2,-3) (0,-3) 图2 24.【解答】(1)证明：如图， E A B H C G :四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠C=90°，∠I+∠3=90°， 由折叠知∠EPG=∠A=90°，∠1+∠2=90°，∠2=∠3 又∠D=∠C=90°，.△DEPn△CPH, …4分 (2):四边形ABCD是矩形，AB=2, .∠A=∠D=∠C=90°，AB=CD=2. P为CD的中点， DP-CP-iCD-1 设EP=AE=x,则ED=AD-AE=3-x, p=0E0m,-6,g8. ∴.AE=EP=O ED=AD-AE= 3. 。。。。。。。。。。。。 …2分 45 ED EP 3-3 由(1)知△DEP∽△CPH PC PH,即1PHPH-S 4 AB=PG=2.GH=PG-PH=2-5-3 44 …2分 (3)解：如图，延长AB,PG交于一点M,连接AP, A D F H M 由折叠知BG⊥EF,AP⊥EF,BG∥AP EA=EP, ∴.∠EPA=∠EAD, ∴.∠GPA=∠BAP, ∴.MP=MA」 ~PC=1 DP n, 设PC=y,则DP=y, .AB=CD=(n+1)y H为BC的中点， .BH=CH :∠HBM=∠HCP,∠BHM=∠CHP .△BHM≌△CHP(ASA) .HM=HP,MB=PC=y, .MP=MA=MB+AB=(n+1)y+y=y(n+2) gb… 乙+u+u(I+(乙+） (1+0） u中+，Z个 h+Z个 乙+M 08 h+忆个 乙+u . h+,Z个 =08. (亿+0）.h+4个， WV dV Da -怕WaD& ‘dwV∽98WV: 'd7=Oa7‘FdN7=aON7:' dW/Oa∴. 不h+个=(u+(h+0=d0+Qy个=d亚 (h+个=Oa=QP ‘(.uh+个=HDZ=8: =dD-Hd个=HD: ‘zHO+dD=zHd