第27讲 等差数列及其前n项和（8个核心题型归纳）讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦等差数列及其前n项和高考核心考点，按基本量计算、证明判断、前n项最值等8大题型系统梳理知识体系，通过核心知识归纳、方法技巧指导、经典真题示例与分层巩固练习的教学环节，帮助学生构建完整解题框架，突破等差模型应用难点。 资料以“题型-方法-应用”三维设计为特色，如证明题强调定义法培养数学思维，实际应用题引导建立等差模型发展数学语言表达能力。设置基础巩固到综合检测的分层练习，配合即时反馈机制，能有效提升学生解题效率，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第27讲 等差数列及其前n项和 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 等差数列基本量的计算 核心知识 等差数列通项公式 等差数列前项和公式 为首项为公差为项数为第项为前项和 五个量知三可求另外两个 方法技巧 把已知条件转化为关于与的方程组求解 优先选用条件匹配的求和公式简化运算 注意项数为正整数 遇到下标相等关系优先使用通项公式展开 计算结束后代入条件回代检验 【经典例题1】（26-27高三上·浙江·开学考试）已知等差数列的前项和为，且，，则_________． 【答案】3 【分析】利用等差数列片断和性质求解. 【详解】是等差数列，则成等差数列， 所以，所以. 【经典例题2】（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）设是等差数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列前n项和公式，结合题设条件列方程组求解首项和公差，再由通项公式计算. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，其前项和为（）. 由化简得第一个方程： ，，代入比例式得： ， 整理得，即 ①. 由化简得第二个方程： ， 由通项公式得，，因此： ②. 将①代入②，得，解得，代入①得. 由通项公式得. 【巩固练习1】（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）记等差数列的前项和为，且，，则____. 【答案】5 【分析】利用等差数列性质得，推出，再对递推式赋值得到另一关系式，联立方程求解出. 【详解】因为，又，， 所以，又，则，可得， 因为，所以，令，可得，又， 所以. 【巩固练习2】（26-27高三上·云南·阶段检测）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以，即，， 又，故，所以. 【巩固练习3】（2026·河北沧州·一模）已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件建立关于首项和公差的方程组求解. 【详解】由题意：，化简可得：， 所以，解得：. 【题型2】 等差数列的证明与判断 核心知识 定义法：（为常数）则是等差数列 中项法：（）则是等差数列 通项推论：为常数为等差数列 前项和推论：为常数为等差数列 方法技巧 解答题证明优先使用定义法或者中项法 选择填空可直接利用通项与前n项和函数特征快速判断 由求证明数列时务必检验的情况 注意区分充分条件与必要条件 不可仅凭前几项相等直接判定数列为等差数列 【经典例题1】（26-27高二上·全国·课后作业）数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求． 【答案】(1)证明：因为 ，所以数列是等差数列 (2) 【分析】（1）根据等差数列定义结合题意计算即可证明； （2）根据等差数列通项公式求法计算即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，数列是以为首项，2为公差的等差数列，故，解得． 【经典例题2】（25-26高二下·山东潍坊·期末）已知数列满足，且， (1)求证：数列为等差数列，并求出的通项公式. (2)若数列满足，记的前项和为，证明：． 【答案】(1)已知 ，，显然 ， 两边同时取倒数得，所以， 所以数列为首项，公差是的等差数列， 所以，所以，即的通项公式是； (2)由（1）知，所以 ， 则① 所以② 由①②得 ， 所以， 因为，所以单调递增， 所以, 因为，所以 综上，，得证. 【巩固练习1】（25-26高二下·陕西安康·期末）记为数列的前项积，已知． (1)证明：数列为等差数列； (2)若，求的通项公式． 【答案】(1)由题可得，   因为， 所以，   所以数列是公差为3的等差数列． (2) 【分析】（1）由，代入，得到，即可证明； （2）利用等差数列通项公式求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得 ，则，   当时，，   所以. 【巩固练习2】（25-26高二下·四川雅安·期末）已知数列中，，． (1)证明：是等差数列； (2)记为的前项和，求数列的前项和． 【答案】(1)已知，由，结合递推关系可知对任意，， 等式两边同时除以，整理得， 又首项，因此是首项为、公差为的等差数列，得证. (2) 【分析】（1）构造等差数列递推式即可证明； （2）先用等差数列求和，再利用裂项相消法来求和即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 则的前项和为， 因此， 裂项相消得：. 【巩固练习3】（25-26高二下·山东淄博·期末）记为数列的前项和，已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B．是等差数列 C．不是等差数列 D．当且仅当时，取到最小值 【答案】D 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法推理判断C；求出判断A；求出及求解判断BD. 【详解】对于C，由， 得到，则数列是公差为2的等差数列，C错误； 对于A，，A错误； 对于B，，则， 当时，， 满足上式，因此，，不是等差数列，B错误； 对于D，， 因此当且仅当时，取到最小值，D正确. 【题型3】 等差数列前n项的最值 核心知识 等差数列前项和为关于的二次函数 数列递增数列递减 取最值的临界条件是项由正变负或者由负变正 方法技巧 函数法：把看作二次函数求出对称轴取距离对称轴最近的正整数 变号项法 求最大值： 求最小值： 对称轴若为小数直接就近取整数 对称轴若为两个整数中间两个整数均取得最值 注意只能取正整数不能直接取二次函数顶点实数解 【经典例题1】（2026·广东肇庆·模拟预测）（多选）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A．数列为递增数列 B． C． D．的最大值为 【答案】ABC 【详解】因为，故，故B正确； 因为，所以，即等差数列为递增数列，故A正确； 因为，故C正确； 因为时，，当时，，所以的最小值为，故D错误. 【经典例题2】（25-26高二下·湖南长沙·期中）（多选）首项为正数的等差数列的前n项和为，且，当取到最大值时，n的取值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】BC 【分析】根据条件可得，结合，利用二次函数性质求解即可. 【详解】因为，所以，所以. 故，又，所以， 所以， 而，所以n取值是6或7时，取最大. 【巩固练习1】（25-26高二下·江西赣州·期中）已知数列，通项公式为，那么的最小值是(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出首项，再利用等差数列前项和公式，求出关于的二次函数表达式，根据二次函数的性质求出的值，最后确定答案即可. 【详解】因为，则， 则， 所以当时，取得最小值，即. 【巩固练习2】（25-26高二上·河北石家庄·期末）（多选）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A．首项 B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为27 【答案】ACD 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A，B，再结合所在二次函数的图象和性质，即可求解判断C，D. 【详解】存在最大值，所以数列的公差， 由，且，，当时，取得最大值，C选项正确； 所以数列是首项，的等差数列，A选项正确； ，则，B选项错误； ，， 可得:， ， 所以则取得最小正值时为，D选项正确. 故选：ACD 【巩固练习3】（25-26高二上·湖北随州·期末）已知数列为等差数列，为其前项和，，，则________时，最小. 【答案】8或9 【分析】由题设条件列方程组求出等差数列的首项和公差，然后写出其前项和，由二次函数的对称轴可求得最小值时的。 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 由题知，，解得， 故，为单调递增的等差数列， ，的对称轴为， 但，由二次函数的性质，或时，最小. 故答案为：8或9 【题型4】 等差数列前n项和的片段和性质 核心知识 若为等差数列则仍成等差数列 新数列公差为 为前项和表示前项和 方法技巧 直接套用片段和成等差的性质快速列式 不要直接记该等式一般不成立 遇到多段求和优先设片段和为未知数 大题使用该性质需要简单推导不可直接默写结论 结合整体代换减少计算量 【经典例题1】（26-27高三上·浙江·开学考试）（多选）已知等差数列的前项和为，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．，，可能成等差数列 D．，，可能成等比数列 【答案】BC 【分析】根据等差数列的前项和公式及性质，再结合片段和性质，及等差数列等比数列的判定逐一分析即可． 【详解】对于A，由是等差数列，则， 若，则，即， 所以，即当，且时，，即不恒成立，故A错误； 对于B，由是等差数列，则对任意的整数，都有，，成等差数列， 令，则，，成等差数列， 所以，故B正确； 设等差数列的公差为，则，，， 对于C，若成等差数列，则，即，解得， 则，，，即，，所以， 即当时，，，成等差数列，故C正确； 对于D，若成等比数列，则，即，解得， 将看成是关于的一元二次方程， 则，只有当时，方程有解，且解为， 此时，则，，不可能成等比数列，故D错误． 【经典例题2】（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知是等差数列的前项和，若，，则的值为（     ） A．35 B．45 C．55 D．60 【答案】B 【分析】根据等差中项的性质进行计算即可. 【详解】由题意知，，成等差数列， 又，， 所以，即， ． 【巩固练习1】（25-26高二下·云南玉溪·期末）记为等差数列的前项和，若，，则______________． 【答案】 【分析】利用等差数列前项和的性质求解. 【详解】若为等差数列，其前项和满足：仍成等差数列， 所以，则 解得. 【巩固练习2】（25-26高二下·河南新乡·期末）已知数列为等差数列，为其前项和，且，则（    ） A．200 B．400 C．320 D．160 【答案】D 【详解】因为数列是等差数列，所以成等差数列， 则，即，所以. 【巩固练习3】（25-26高二下·四川攀枝花·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一用等差数列片段和性质. 方法二用等差数列的基本量计算. 【详解】方法一：因为等差数列的前项和为，由片段和性质可知 、、、也成等差数列. 因为，，所以， 所以，， 所以 ，. 方法二：因为等差数列中，， 所以，解得， 所以. 【题型5】 两个等差数列前n项和之问题 核心知识 均为等差数列 为前项和为前项和 方法技巧 项的比值转化为对应奇数项和的比值 看清下标为不可直接使用进行替换 已知的比例式常设 求通项利用推导 分清题目求的是项之比还是和之比 【经典例题1】（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为等差数列，所以； 因为为等差数列，所以且； 又因为，所以，即， 则. 【经典例题2】（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可设，，结合运算求解即可. 【详解】因为，即， 又等差数列的前项和的表达式为关于的二次函数且无常数项，可设，， 所以. 【巩固练习1】（25-26高二下·江西赣州·期末）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________． 【答案】 【详解】 . 【巩固练习2】（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知等差数列的前项和分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因均为等差数列， 则. 【巩固练习3】（2026·重庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 因此， 因为 ， 因此， 所以原式化简为， 而，所以原式为， 而因为，所以， 则，， 代入得，， 而已知， 设，(为非零常数)，，， 所以. 【题型6】 等差数列奇偶项和问题 核心知识 项数为偶数： 项数为奇数： 【经典例题1】（25-26高二下·江西上饶·期末）等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，根据已知有得，再结合求公差. 【详解】前项中，奇数项共项，偶数项共项， 由前项和为，奇数项和为， 因此偶数项和为， 设等差数列的公差为， 每一个偶数项比对应前一个奇数项多1个公差，共组， 因此， 由，得， 两式相减， 因此数列公差为. 【经典例题2】（24-25高二下·广东江门·阶段检测）某等差数列共有13项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为（    ） A．34 B．35 C．36 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据等差数列性质即可化简求出奇数项之和. 【详解】解：由题可知，， 根据等差数列的性质可知，所以，所以， 同理，根据等差数列性质可得. 【巩固练习1】（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）在项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，则此数列的中间项是______. 【答案】55 【分析】根据奇数项和与偶数项和的关系即可求解. 【详解】设等差数列的项数为， ＝＝， ＝＝， 所以，解得，所以项数， 所以此数列的中间项为，又， 所以为所求中间项. 【巩固练习2】（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】利用等差数列的偶数项的和与奇数项的和的性质可求答案. 【详解】设的公差为．依题意，，解得， 又，解得，则． 【巩固练习3】（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知项数为奇数的等差数列共有项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】等差数列的公差为，结合题意得，，进而求得. 【详解】设等差数列的公差为， 由题知；， 所以， 因为， 所以，即项数为. 【题型7】 含绝对值的等差数列前n项和 核心知识 求和需要区分正负分界点 当时 当时 方法技巧 先解方程找到正负项的分界序号 时直接用原数列求和公式 时 结果必须写成分段形式 注意取正整数零点不一定恰好为整数 【经典例题1】（2026·海南·模拟预测）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分和分析计算即可求解； （2）根据的正负情况分析计算. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 当时， ， 显然满足式，所以； （2）由（1）可得时，时， 所以当时，所以， 当时，所以 ， 所以. 【经典例题2】（2026·重庆·三模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，若，的前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 设数列的公差为，则，所以， ，， 所以当时，，当时，， 所以 ， 所以. 【巩固练习1】（2026高三·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，则其前10项和的值为________，数列的前项和________． 【答案】 【分析】先求解，讨论与即可求解. 【详解】因为，所以； 因为， 所以当时，； 当时，． 所以 【巩固练习2】（2026·河北沧州·二模）已知公差大于0的等差数列的前n项和为，若的前n项和为 ，则 （    ） A．38 B． C． D． 【答案】B 【分析】设数列的公差为，由题设条件推得，写出数列的通项，分析数列的项的符号，分别用表示出，计算即得. 【详解】设等差数列的公差为，则， 因，则得， 则，因， 则当时，，当时，，当时，. 于是，， ， 因，， 则，故. 【巩固练习3】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式及； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2)（） 【详解】（1）因为， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 所以， . （2）由（1）知，公差，故数列是递增数列. 令，解得. 所以当时，；当时，；当时，. 当时，， 当时， ， 因为， 所以 . 综上所述，数列的前n项和为： （）. 【题型8】 等差数列通项公式与前n项和的实际应用 核心知识 现实中等差模型体现为均匀增加或者均匀减少的变化量 常见场景：计数增长率恒定分层计数等 代表实际计数个数必须取正整数 方法技巧 读懂题意识别等差模型确定首项与公差 分清所求量是求某一项还是求前项总和 结合实际含义取舍的解舍去非正整数解 建立方程求解后检验是否符合现实背景 注意起始项对应的取值 【经典例题1】（26-27高三上·福建莆田·开学考试）我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸．意思是：二十四个节气可以通过特定标记的日影长度来确定，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分．则“立秋”时日影长度为（    ） 附：二十四节气表 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种 夏至 小暑 大暑 立秋 处暑 白露 秋分 寒露 霜降 立冬 小雪 大雪 冬至 小寒 大寒 A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【详解】由题意知，每相邻两个节气之间的日影长度差为分， “夏至”时日影长度最小，为160分，“夏至”之后，每往后一个节气日影长度增加分, 则“夏至”对应等差数列的首项，公差，则. 由二十四节气表可知，“立秋”是该数列的第4项，则. 故“立秋”时日影长度为分. 【经典例题2】（26-27高三上·江苏泰州·开学考试）北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层.上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以后每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块.每层环数相同，且下层石板总数比中层多729块.则每层的环数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列通项公式与等差数列前项和公式及性质分析求解即可. 【详解】设每层共有环，各环石板数构成等差数列， 其中首项为，公差， 所以每环石板数为：， 由题意可得：上、中、下三层的石板总数分别为：， 又下层石板总数比中层多729块，所以， 即， 化简得：，解得：. 【巩固练习1】（25-26高二下·重庆·期末）（多选）随着国产新能源汽车的发展，我国新能源汽车销量逐月攀高，2026年5月全品类乘用车销量排行榜前15名都是新能源汽车．某新能源汽车企业在2018年的年产量为万辆，由于技术升级和市场需求增长，该企业每年的产量构成一个等差数列，年产量逐年增加且每年增加固定的万辆．已知该企业在2018年、2020年、2022年这三年的年产量之积等于其2018年至2026年这九年总产量的三分之一．记该企业前年的累计产量为万辆．则下列结论正确的有（   ） A．若2018年的年产量为1万辆，则每年增加1万辆 B．若2018年的年产量大于每年增加的固定产量，则每年增加固定产量小于1万辆 C．2018年与2019年的年产量之和的最小值为2万辆 D．2018年的年产量的取值范围是万辆 【答案】AB 【分析】由题意分析可得，进而得到，，即可判断D；对于A，代值即可求解判断；对于B，由得，进而由结合函数的单调性求解判断即可；对于C，化简结合基本不等式求解判断即可. 【详解】由题意，数列为等差数列，且公差为，， 则，即， 由于，解得，故D错误. 对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，解得， 则， 因为函数在上单调递减，且时，， 所以，故B正确； 对于C，由于， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为3，故C错误； 【巩固练习2】（2026·北京朝阳·模拟预测）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，已知这9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9枚环权的质量和为（     ） A．284 B．381 C．384 D．484 【答案】C 【详解】设由前3项构成的等差数列的公差为，后7项构成的等比数列的公比为， 则，，两式相除得，解得或（舍去）， ，故， 又，， . 【巩固练习3】（25-26高二下·陕西渭南·期末）宁夏青铜峡一百零八塔，始建于西夏．塔群依山而建，共12行，总数恰为108座，自上而下每行的塔数构成数列，已知的前4项和，从第5项到第12项构成等差数列，，则（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】先利用等差数列求和公式，得到与的关系，再求的值． 【详解】因为数列从第5项开始是等差数列， 所以， ． 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，其中，为方程的两根，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由根与系数的关系及等差中项的性质求. 数列为等差数列，其中，为方程的两根， 由题，根据韦达定理可得， 由等差数列的中项性质得，所以. 2．（25-26高二下·辽宁大连·期末）设等差数列的前n项和是，已知，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】设等差数列公差为， ，解得， ． 3．（25-26高二下·四川南充·期末）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．9 B．36 C．45 D．54 【答案】C 【详解】由题意知，是等差数列，即是等差数列， 则，得. 4．（2026·福建福州·模拟预测）已知等差数列的公差为d，前n项和为．记甲：，乙：存在最小值，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【分析】应用等差数列求和公式结合充分必要条件定义计算判断求解. 【详解】当时，，是开口朝上的抛物线上的离散的点的纵坐标，一定有最小值； 当且时，也有最小值. 因此，甲是乙的充分条件但不是必要条件. 5．（25-26高二下·辽宁营口·阶段检测）已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】B 【分析】设等差数列共项，由偶数项之和与奇数项之和的差为可得答案. 【详解】设等差数列共项，则奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列， 所有偶数项之和为，所有奇数项之和为 ， 则，所以20，则． 6．（25-26高二下·山东东营·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则使得取得最大值的n的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】利用等差数列的前n项和为的性质求解本题. 【详解】，，故，， 所以，当时，最大. 7．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为等差数列的前项和分别为，且. 所以可设. 所以，所以. 8．（25-26高二下·湖南张家界·期末）一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（    ） A．15 B．16 C．17 D．19 【答案】C 【分析】先计算等差数列10项的总和，结合公差为正整数的约束确定等差数列的各项，再根据非递减序列的特征确定第11层的塔数. 【详解】∵ 12层塔的总数量为108，剩余两层的塔数之和为8， ∴ 构成等差数列的10层塔总数量为. 设该等差数列首项为，公差为，由题意知， 由等差数列求和公式得，整理得. ∵ 为偶数，20为偶数，∴ 为偶数，即为偶数，结合，得， 代入得，解得. ∴ 该等差数列的10项为. ∵ 每层塔数不少于上一层，即12层塔数构成非递减正整数序列， ∴ 剩余两个和为8的正整数均不大于等差数列的最大项，插入序列后不会改变序列末尾的顺序， ∴ 12层塔数按从小到大排列后，最后两项为17,19，即第11层的塔数为17. 9．（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知等差数列，的前项和分别为和，若，且是整数，则n的值为（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】先得到，设等差数列的公差分别为，利用和得到方程组，求出，进而表达出为整数，设，求出，由求出的取值范围，从而得到答案. 【详解】由题意得， 设等差数列的公差分别为， ，，故， 故，又， 故，即， ，又， ，即， 联立，化简得，解得 又是整数，即是整数， 设，故，即，解得， 令，解得，且， 当时，满足要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 综上，的值为15. 二、多选题 10．（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知数列的前项和为，且，，则（     ） A．是递增数列 B． C．数列是等差数列 D． 【答案】ACD 【分析】先根据递推关系判断是公差为2的等差数列，再结合等差数列的通项公式、前项和公式逐一分析选项. 【详解】对于选项A，由得数列是首项为，公差的等差数列， 又因为，因此是递增数列，A选项正确； 对于选项B，等差数列通项公式为，B选项错误； 对于选项C，等差数列前项和公式，所以. 因为为常数，所以数列是公差为1的等差数列，C选项正确； 对于选项D，令，解得， 所以. 根据得，代入上式得，D选项正确. 11．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．是递增数列 B．当时，取得最小值 C．若，则的最小值为11 D．数列的前10项和为50 【答案】ACD 【分析】先根据等差数列已知的首项和前10项和求出公差，得到通项公式与前项和公式，再逐一判断各选项． 【详解】设等差数列公差为，由， 代入，得，解得， 因此通项公式为，前项和， 选项A：公差，所以是递增数列，A正确； 选项B：令，解得，即，， 前项均为负，第项起为正，故在时取得最小值，B错误； 选项C：令，解得（为正整数）， 因此时的最小值为，C正确； 选项D：前项和为，D正确． 12．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列结论正确的有（     ） A．， B．当时，最小 C．使得成立的最小自然数 D． 【答案】BCD 【分析】由题设不等式作差可得公差，数列递增，且，所以前14项为负，从15项起为正，由且可推出即可判断A选项；前14项均为负,15项后均为正，结合数列递增可判断B选项；计算，，据此判断满足的最小，从而判断C选项； 将等价化简为，而该式已知成立，即可判断D选项． 【详解】由得由得 故，因此公差， 由得 对于A选项：由于，且，所以，所以A错误； 对于B选项：因为，所以此数列为递增数列， 又，所以前项均为负数，15项以后均为正数， 所以当时，最小，所以B正确； 对于C选项：，而，故， 又，因为，所以， 又数列为递增数列，所以使的最小自然数为，所以C正确； 对于D选项：， 因为，所以；因为 ，所以， 所以，， 要证，即 而由，得，所以D正确. 13．（2026·河北邢台·三模）已知 为等差数列{an}的前n项和， 则下列结论正确的是（    ） A．{an}是递增数列 B．使 成立的n的最大值为9 C．取最小值时，n=11 D． 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式求出，依次判断选项即可. 【详解】设等差数列的公差为，由 ， 所以，即，解得：， 所以，则{an}是递增数列，故A正确； 则， 令，解得：，所以使 成立的n的最大值为9，故B正确； 当时，取最小值，故C错误； 由于，故D正确. 三、填空题 14．（2026高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，若，则________． 【答案】7 【分析】利用等差数列的性质计算即得． 【详解】由题意，得，. 所以 15．（26-27高三·全国·一轮复习）1.已知等差数列的前项和为，且，则公差_________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为_________． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【详解】由，得， 即，得； 因为恒成立，所以，即， 解得，所以的一个取值可以是9. 16．（2026高二·全国·专题练习）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织讫……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布______. 【答案】尺 【分析】女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数. 【详解】设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列， 且，故公差， 故. 17．（26-27高三上·北京房山·开学考试）设等差数列的前项和为，已知，当且仅当时，取得最大值，写出满足条件的一个的值______． 【答案】1（答案不唯一，区间内的任意实数均可） 【分析】求出满足题意的的范围，然后在其中取一个数即可. 【详解】等差数列的前项和为，中当且仅当取得最大值，则，时，，因此有， ，，， ，，，， 所以，取其中任一实数均可. 18．（25-26高二下·江西吉安·期中）设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为__________. 【答案】 【分析】根据等差数列下标和的性质以及前项和公式求得正确答案. 【详解】因为为等差数列， 所以. 四、解答题 19．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)求使成立的n的最小值. 【答案】(1)； (2)6. 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式计算基本量，进而可得； （2）直接由前n项和公式和通项公式得不等式，解不等式可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为， 由题意可得，化简得， 解得，，所以. （2）由（1）可知. 由，得，即， 即，解得或. 因为，所以n的最小值是6. 即使成立的n的最小值为6. 20．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知数列的前项和，数列是公比为2的等比数列，且． (1)求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列； (2)求集合中元素的个数，并求所有元素的和． 【答案】(1)，是等差数列 (2)9，63 【分析】（1）由前n项和公式求通项，利用 得到通项表达式，再验证首项是否满足，最后通过相邻项差为常数判断是否为等差数列； （2）将两个数列的通项代入条件 ，转化为关于 的幂等式，结合 的范围确定的取值区间，从而求出集合元素个数及和. 【详解】（1）当时，有， 当时，有， 又因为，所以时也成立， 因此数列的通项公式为．             因为，所以是等差数列． （2）由（1）知，， 由，得，             由题知，所以， 所以，4，5，6，7，8，9，10，11共9个数， 即集合中元素的个数为9， 所有元素的和为63． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第27讲 等差数列及其前n项和 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 等差数列基本量的计算 核心知识 等差数列通项公式 等差数列前项和公式 为首项为公差为项数为第项为前项和 五个量知三可求另外两个 方法技巧 把已知条件转化为关于与的方程组求解 优先选用条件匹配的求和公式简化运算 注意项数为正整数 遇到下标相等关系优先使用通项公式展开 计算结束后代入条件回代检验 【经典例题1】（26-27高三上·浙江·开学考试）已知等差数列的前项和为，且，，则_________． 【经典例题2】（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）设是等差数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）记等差数列的前项和为，且，，则____. 【巩固练习2】（26-27高三上·云南·阶段检测）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026·河北沧州·一模）已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（    ） A． B． C． D． 【题型2】 等差数列的证明与判断 核心知识 定义法：（为常数）则是等差数列 中项法：（）则是等差数列 通项推论：为常数为等差数列 前项和推论：为常数为等差数列 方法技巧 解答题证明优先使用定义法或者中项法 选择填空可直接利用通项与前n项和函数特征快速判断 由求证明数列时务必检验的情况 注意区分充分条件与必要条件 不可仅凭前几项相等直接判定数列为等差数列 【经典例题1】（26-27高二上·全国·课后作业）数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求． 【经典例题2】（25-26高二下·山东潍坊·期末）已知数列满足，且， (1)求证：数列为等差数列，并求出的通项公式. (2)若数列满足，记的前项和为，证明：． 【巩固练习1】（25-26高二下·陕西安康·期末）记为数列的前项积，已知． (1)证明：数列为等差数列； (2)若，求的通项公式． 【巩固练习2】（25-26高二下·四川雅安·期末）已知数列中，，． (1)证明：是等差数列； (2)记为的前项和，求数列的前项和． 【巩固练习3】（25-26高二下·山东淄博·期末）记为数列的前项和，已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B．是等差数列 C．不是等差数列 D．当且仅当时，取到最小值 【题型3】 等差数列前n项的最值 核心知识 等差数列前项和为关于的二次函数 数列递增数列递减 取最值的临界条件是项由正变负或者由负变正 方法技巧 函数法：把看作二次函数求出对称轴取距离对称轴最近的正整数 变号项法 求最大值： 求最小值： 对称轴若为小数直接就近取整数 对称轴若为两个整数中间两个整数均取得最值 注意只能取正整数不能直接取二次函数顶点实数解 【经典例题1】（2026·广东肇庆·模拟预测）（多选）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A．数列为递增数列 B． C． D．的最大值为 【经典例题2】（25-26高二下·湖南长沙·期中）（多选）首项为正数的等差数列的前n项和为，且，当取到最大值时，n的取值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【巩固练习1】（25-26高二下·江西赣州·期中）已知数列，通项公式为，那么的最小值是(    ). A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高二上·河北石家庄·期末）（多选）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A．首项 B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为27 【巩固练习3】（25-26高二上·湖北随州·期末）已知数列为等差数列，为其前项和，，，则________时，最小. 【题型4】 等差数列前n项和的片段和性质 核心知识 若为等差数列则仍成等差数列 新数列公差为 为前项和表示前项和 方法技巧 直接套用片段和成等差的性质快速列式 不要直接记该等式一般不成立 遇到多段求和优先设片段和为未知数 大题使用该性质需要简单推导不可直接默写结论 结合整体代换减少计算量 【经典例题1】（26-27高三上·浙江·开学考试）（多选）已知等差数列的前项和为，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．，，可能成等差数列 D．，，可能成等比数列 【经典例题2】（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知是等差数列的前项和，若，，则的值为（     ） A．35 B．45 C．55 D．60 【巩固练习1】（25-26高二下·云南玉溪·期末）记为等差数列的前项和，若，，则______________． 【巩固练习2】（25-26高二下·河南新乡·期末）已知数列为等差数列，为其前项和，且，则（    ） A．200 B．400 C．320 D．160 【巩固练习3】（25-26高二下·四川攀枝花·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【题型5】 两个等差数列前n项和之问题 核心知识 均为等差数列 为前项和为前项和 方法技巧 项的比值转化为对应奇数项和的比值 看清下标为不可直接使用进行替换 已知的比例式常设 求通项利用推导 分清题目求的是项之比还是和之比 【经典例题1】（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高二下·江西赣州·期末）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________． 【巩固练习2】（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知等差数列的前项和分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026·重庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，且，则（     ） A． B． C． D． 【题型6】 等差数列奇偶项和问题 核心知识 项数为偶数： 项数为奇数： 【经典例题1】（25-26高二下·江西上饶·期末）等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（24-25高二下·广东江门·阶段检测）某等差数列共有13项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为（    ） A．34 B．35 C．36 D．不能确定 【巩固练习1】（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）在项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，则此数列的中间项是______. 【巩固练习2】（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【巩固练习3】（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知项数为奇数的等差数列共有项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【题型7】 含绝对值的等差数列前n项和 核心知识 求和需要区分正负分界点 当时 当时 方法技巧 先解方程找到正负项的分界序号 时直接用原数列求和公式 时 结果必须写成分段形式 注意取正整数零点不一定恰好为整数 【经典例题1】（2026·海南·模拟预测）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【经典例题2】（2026·重庆·三模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，若，的前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026高三·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，则其前10项和的值为________，数列的前项和________． 【巩固练习2】（2026·河北沧州·二模）已知公差大于0的等差数列的前n项和为，若的前n项和为 ，则 （    ） A．38 B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式及； (2)求数列的前n项和. 【题型8】 等差数列通项公式与前n项和的实际应用 核心知识 现实中等差模型体现为均匀增加或者均匀减少的变化量 常见场景：计数增长率恒定分层计数等 代表实际计数个数必须取正整数 方法技巧 读懂题意识别等差模型确定首项与公差 分清所求量是求某一项还是求前项总和 结合实际含义取舍的解舍去非正整数解 建立方程求解后检验是否符合现实背景 注意起始项对应的取值 【经典例题1】（26-27高三上·福建莆田·开学考试）我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸．意思是：二十四个节气可以通过特定标记的日影长度来确定，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分．则“立秋”时日影长度为（    ） 附：二十四节气表 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种 夏至 小暑 大暑 立秋 处暑 白露 秋分 寒露 霜降 立冬 小雪 大雪 冬至 小寒 大寒 A．分 B．分 C．分 D．分 【经典例题2】（26-27高三上·江苏泰州·开学考试）北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层.上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以后每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块.每层环数相同，且下层石板总数比中层多729块.则每层的环数是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高二下·重庆·期末）（多选）随着国产新能源汽车的发展，我国新能源汽车销量逐月攀高，2026年5月全品类乘用车销量排行榜前15名都是新能源汽车．某新能源汽车企业在2018年的年产量为万辆，由于技术升级和市场需求增长，该企业每年的产量构成一个等差数列，年产量逐年增加且每年增加固定的万辆．已知该企业在2018年、2020年、2022年这三年的年产量之积等于其2018年至2026年这九年总产量的三分之一．记该企业前年的累计产量为万辆．则下列结论正确的有（   ） A．若2018年的年产量为1万辆，则每年增加1万辆 B．若2018年的年产量大于每年增加的固定产量，则每年增加固定产量小于1万辆 C．2018年与2019年的年产量之和的最小值为2万辆 D．2018年的年产量的取值范围是万辆 【巩固练习2】（2026·北京朝阳·模拟预测）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，已知这9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9枚环权的质量和为（     ） A．284 B．381 C．384 D．484 【巩固练习3】（25-26高二下·陕西渭南·期末）宁夏青铜峡一百零八塔，始建于西夏．塔群依山而建，共12行，总数恰为108座，自上而下每行的塔数构成数列，已知的前4项和，从第5项到第12项构成等差数列，，则（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，其中，为方程的两根，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·辽宁大连·期末）设等差数列的前n项和是，已知，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 3．（25-26高二下·四川南充·期末）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．9 B．36 C．45 D．54 4．（2026·福建福州·模拟预测）已知等差数列的公差为d，前n项和为．记甲：，乙：存在最小值，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5．（25-26高二下·辽宁营口·阶段检测）已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 6．（25-26高二下·山东东营·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则使得取得最大值的n的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·湖南张家界·期末）一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（    ） A．15 B．16 C．17 D．19 9．（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知等差数列，的前项和分别为和，若，且是整数，则n的值为（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 二、多选题 10．（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知数列的前项和为，且，，则（     ） A．是递增数列 B． C．数列是等差数列 D． 11．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．是递增数列 B．当时，取得最小值 C．若，则的最小值为11 D．数列的前10项和为50 12．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列结论正确的有（     ） A．， B．当时，最小 C．使得成立的最小自然数 D． 13．（2026·河北邢台·三模）已知 为等差数列{an}的前n项和， 则下列结论正确的是（    ） A．{an}是递增数列 B．使 成立的n的最大值为9 C．取最小值时，n=11 D． 三、填空题 14．（2026高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，若，则________． 15．（26-27高三·全国·一轮复习）1.已知等差数列的前项和为，且，则公差_________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为_________． 16．（2026高二·全国·专题练习）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织讫……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布______. 17．（26-27高三上·北京房山·开学考试）设等差数列的前项和为，已知，当且仅当时，取得最大值，写出满足条件的一个的值______． 18．（25-26高二下·江西吉安·期中）设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为__________. 四、解答题 19．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)求使成立的n的最小值. 20．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知数列的前项和，数列是公比为2的等比数列，且． (1)求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列； (2)求集合中元素的个数，并求所有元素的和． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $