第27讲 三角函数的图象与性质 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦三角函数图像与性质高考核心考点，涵盖解析式求解、图像变换、性质应用及参数范围问题，按“基础回顾-必备知识-分题型突破-课时精练”逻辑架构，通过考点梳理、方法指导（如三步法求解析式）、真题精讲（10道典型例题）及分层练习，帮助学生系统构建知识网络，突破周期性、单调性等难点。 资料创新采用“题型-方法-素养”融合设计，如图像变换中对比平移伸缩顺序培养空间观念，参数范围问题结合图像分析发展数学眼光。设置选择、填空、解答题分层训练，配合错题归因指导，助力学生在有限时间内提升解题效率，为教师把控复习节奏、落实核心素养提供实用教学工具。

第27讲 三角函数的图像与性质 题型一 求三角函数的解析式 2 题型二 三角函数的图像变换 5 题型三 三角函数性质的应用 7 题型四 三角函数性质的综合应用及w的取值范围 11 课时精练 12 【基础回顾】 知识点1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,0)，（），(π，0)，（），(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1)，（），(π，-1)，（），(2π，1)． 知识点2．正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图像 定义域 R R {x|x≠kπ＋} 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调递增区间 -，+] [2kπ－π，2kπ] -，+） 单调递减区间 +，+] [2kπ，2kπ＋π] 对称中心 (kπ，0) +，0） （，0） 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 【必备知识】 1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期． 2．与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)． (2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)． (3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)． 题型一 求三角函数的解析式 第一步：确定A和k： ，； 第二步：确定： 由周期，若已知相邻最值点或零点间距为d，则（正弦/余弦）或（正切）； 第三步：确定： 代入图像上的特殊点（如最值点、零点），解方程（最大值点）或（零点），注意的范围（通常）． 【例题精讲】 1．函数的部分图像如图所示，则A＝（　　） A．1 B． C．3 D． 2．如图是函数的部分图像，则函数f（x）的解析式可以为（　　） A． B． C． D． 3．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）的对称中心为 B．当时， C．f（x）的单调递减区间为 D．若，且f（x1）＝f（x2），则 4．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图像如下，关于函数f（x），给出下列命题： ①φ的值为； ②函数f（x）的图像关于直线对称； ③若函数f（x）恰有4条对称轴和3个零点落在区间[0，m]内，则实数m的取值范围是； ④若方程f（ax）＝f（x）（a＞0且a≠1）在内至少有3个不同的实根，则实数a的取值范围是． 其中真命题共有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图像如图所示，则函数f（x）的解析式为（　　） A． B． C． D． 6．葫芦曲线在数学中被明确为一种类似横放葫芦轴截面的曲线，其方程通常表示为|y|＝（a﹣[]b）•|sin2x|（x≥0），其中[]为不超过的最大整数．该曲线的显著特征是振幅随间隔周期性变化，导致曲线上、下波动的幅度逐渐减小，形成类似葫芦“腰部收窄、两端膨大”的形状．如图，葫芦曲线的底脐、腰、嘴的对应点分别为O（0，0），A（，0），B（π，0），其上肚、下肚到轴心线（x轴）的距离分别为3，2，若点E，F到轴心线的距离分别为，1，则点E与F的横坐标之差为（　　） A． B． C． D． 7．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（x∈R，ω＞0）的部分图像如图所示，M，N为y＝f（x）图像与x轴交点且满足为等边三角形，则ω＝（　　） A．1 B． C． D．2 （多选）8．已知函数的图像如图所示，若，则（　　） A．ω＝2 B．当x∈[0，2π]时，函数f（x）与y＝sinx有3个交点 C．若g（x）＝f（ax）（a＞0），当时，g（x）有5个零点，则a的取值范围为 D．对于任意实数m，f（x）在上的最大值与最小值的差的取值范围为 （多选）9．如图是函数y＝sin（ωx+φ）的部分图像，则sin（ωx+φ）＝（　　） A． B． C． D． （多选）10．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图像与y轴交于点，与x轴的一个交点为（1，0），如图所示，则下列说法正确的是（　　） A． B．f（x）的最小正周期为6 C．y＝f（x）的图像关于直线对称 D．f（x）在上单调递减 题型二 三角函数的图像变换 平移变换： 左右平移：向左移个单位，向右移个单位（“左加右减”针对x）； 上下平移：向上移|k|个单位，向下移|k|个单位． 伸缩变换： 横向伸缩：周期缩短为原来的，周期伸长为原来的倍； 纵向伸缩：振幅扩大为|A|倍，振幅缩小为|A|倍． 变换顺序注意事项： 先平移后伸缩：平移量为个单位； 先伸缩后平移：平移量为个单位（需确保时再平移）． 【例题精讲】 1．将函数f（x）图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图像沿x轴向左平移个单位长度，得到，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）在上单调递减 C．f（x）图像关于直线对称 D．f（x）图像关于点对称 2．已知函数f（x）＝sin2x+acos2x的一个零点是，为了得到函数y＝2cos2x的图像，只需将f（x）的图像（　　） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 3．若函数f（x）＝tan（x﹣φ）（φ＞0）的图像向右平移个单位长度之后得到的图像关于原点对称，则实数φ的最小值是（　　） A． B． C． D． 4．将函数的图像上所有的点向右平移个单位长度，或者向左平移个单位长度后，两者的图像完全重叠，则ω的最小值是（　　） A． B．1 C．2 D．3 5．函数f（x）＝3cos（2x+φ）（φ＞0）的图像向左平移后关于y轴对称，则φ的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．已知函数f（x）＝sin2x+acos2x的一个零点是，为了得到函数y＝2sin2x的图像，只需将f（x）的图像（　　） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 7．已知函数f（x）＝Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜π）的图像关于原点对称，且f（）＝﹣1，将f（x）的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图像对应的函数为g（x），则（　　） A．g（x）＝sinx B．g（x）＝2sinx C．g（x）＝sin（x） D．g（x）＝2sin（2x） （多选）8．将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图像，则（　　） A．g（x）在上单调递减 B．g（x）的图像关于直线对称 C．g（x）的图像关于点对称 D．函数y＝f（x）﹣g（x）在（﹣π，π）内有5个零点 （多选）9．关于函数有如下四个结论，其中正确的结论有（　　） A．f（x）的最大值为1 B．将f（x）的图像向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到y＝2sin2x C．f（x）在单调递增 D．f（x）图像的对称中心为 （多选）10．已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）的图像可由y＝sin3x的图像向右平移个单位得到 B．是f（x）的图像的一条对称轴 C．的值域为 D．f（x）在区间上单调 题型三 三角函数性质的应用 1.定义域： 正切函数需满足，偶次根式需满足被开方数非负（如需）． 2.值域： 形如，值域为； 复合函数需结合内层函数范围，如，令，转化为二次函数求值域． 3.周期性： 基本函数周期：周期，周期π； 复合函数周期：周期，多个函数相加时，若周期之比为有理数，则最小正周期为各周期的最小公倍数（如周期为）． 4.奇偶性： (1)先判断定义域是否关于原点对称； (2)正弦型函数：（）时为奇函数，时为偶函数； (3)余弦型函数：时为偶函数，时为奇函数． 5.单调性： 求的单调区间： (1) 若，则增区间由解得，减区间反之； (2) 若，则单调性与上述相反（需注意不等式变号）； (3) 含时，先利用诱导公式化为再求解。 6.对称性： 对称轴：正弦/余弦函数在最值点处取得，即（正弦）或（余弦）. 对称中心：正弦/余弦函数在零点处，正切函数在处，求解x即可。 【例题精讲】 1．函数f（x）＝cos2x﹣6cosx+1的最小值为（　　） A． B． C．﹣2 D．﹣4 2．已知向量（cosθ，sinθ），则||的最大值是（　　） A．9 B．3 C． D．1 3．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若asinA＝b（sinB+sinC），则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y＝f（x）的图像关于直线x＝ω对称，则ω的值为（　　） A． B． C． D． 5．已知函数，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．函数f（x）在区间上单调递增 D．函数f（x）的图像关于点中心对称 6．已知函数，则（　　） A．f（x）的最大值为 B．f（x）的最小正周期为2π C．f（x）在上单调递增 D．f（x）的最小正零点为 7．已知函数f（x）＝sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π，f（x1）+f（x2）＝0，且函数f（x）在区间（x1，x2）上具有单调性，则|x1+x2|的最小值为（　　） A． B． C． D． （多选）8．函数的最小正周期为π，则下列说法正确的是（　　） A．若f（x）在（0，m）上单调，则 B． C．方程f（x）＝1在[0，8π）内的解有16个 D．若g（x）＝f（ax）（a＞0）在[0，π）上有且仅有两个极值点，则 （多选）9．已知函数的最小值为0，且最小正周期为π，则（　　） A．b＝1 B．ω＝2 C．f（x）在区间上单调递增 D．f（x）在区间上的最大值为1 （多选）10．已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）的图像关于直线对称 C．f（x）在区间上单调递增 D．f（x）在区间（0，π）上有2个零点和2个极值点 题型四 三角函数𝛚的取值范围及综合应用 方程根的个数： 将方程转化为，画出两函数图像，交点个数即根的个数（如在区间内的解数）。 不等式求解： 参数范围问题： 结合单调性、周期性列不等式，如已知函数在[a,b]上单调，求的范围，需保证区间长度不超过半个周期． 【例题精讲】 1．已知函数在[0，π]内有且仅有三条对称轴，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0），若把f（x）的图像向右平移个单位长度后得到的函数图像关于点（，0）对称，则ω的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．若函数满足f（x）＝f（π﹣x），且在有唯一零点，则ω的最大值为（　　） A． B．3 C．2 D． 4．已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则ω的取值范围为（　　） A． B． C． D． 5．已知函数的图像经过点，若f（x）在区间上具有单调性，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．已知函数在区间上单调递增，则当ω取最大值时，f（x）在区间上的值域为（　　） A． B． C． D． 7．已知函数f（x）＝cosωx（ω＞0），点A，B分别为f（x）图像在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O为坐标原点，若△OAB为锐角三角形，则ω的取值范围为（　　） A． B． C． D． （多选）8．已知函数在区间[0，π]上有且仅有4条对称轴，则下面给出的结论中，正确的是（　　） A．ω的取值范围是 B．f（x）的最小正周期可能是2 C．f（x）在区间（0，π）上可能恰有4个零点 D．f（x）在区间上可能单调递增 （多选）9．已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．若ω＝1，则f（x）的图像关于点中心对称 B．若曲线f（x）的图像向左移动个单位后关于y轴对称，则ω的最小值为2 C．若ω＝2，则f（x）在单调递增 D．若f（x）在[0，2π]上恰有三个零点，则 （多选）10．已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．当ω＝1时，f（x）在上单调递增 B．若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，且|x1﹣x2|的最小值为π，则函数f（x）的最小正周期为π C．若f（x）的图像向右平移个单位长度后，得到的图像关于y轴对称，则ω的最小值为3 D．若f（x）在[0，π]上恰有2个零点，则ω的取值范围为 课时精练 一．选择题 1．已知函数f（x）＝4sin（ωx+φ）的最小正周期为4，且f（2）＝4，则f（4）＝（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．﹣4 2．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0），直线与曲线y＝f（x）交于P，Q两点，若|PQ|的最小值为，则ω的值为（　　） A． B． C． D． 3．函数图像的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图像中，若，则点A的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 5．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期是，则下列区间中，函数f（x）单调递增的区间是（　　） A． B． C． D． 6．已知函数，，若M，P，N是曲线y＝f（x），y＝g（x）上从左往右依次连续相邻的三个交点，且∠MPN＜90°，则实数ω的取值范围为（　　） A． B． C． D． 7．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图像如图所示，C为图像与y轴的交点，B为图像与x轴的一个交点，且|BC|，若实数x1，x2满足f（x1）•f（x2）＝﹣4，则f（x1+x2）＝（　　） A．﹣1 B．0 C． D．2 8．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图像满足以下特征：图像经过点，并且在y轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，函数f（x）在上的值域为（﹣1，2]，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二．多选题 （多选）9．已知函数f（x）＝asinx+bcosx（a，b不同时为0）在处取得最值，则下列说法正确的是（　　） A．函数f（x）的周期为2π B．函数f（x）关于对称 C．函数关于点（﹣π，0）成中心对称 D．函数f（x）在上单调 （多选）10．已知函数的最小正周期为2，ω＞0，则（　　） A．f（x）的值域为[﹣1，1] B．是偶函数 C．曲线y＝f（x）与y＝2πx相切 D．曲线y＝f（x）关于对称 （多选）11．已知函数的部分图像如图所示，该图像与y轴交于点，与x轴交于B，C两点，点D在f（x）的图像上且△BCD为等边三角形，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．若关于x的方程f（x）＝m在区间上有两个不等的实根，则m的取值范围为 D．设t＞0，若g（x）＝f（tx）在区间内单调递增，则t的取值范围为（0，1] 三．填空题 12．已知函数，则　　 ；函数f（x）的图像的一个对称中心的坐标为 　 　 ． 13．已知函数，若ω＝1，则　　 ；若f（x）在区间上至少有3个零点，则ω的一个取值可以为　 　 ． 14．函数的部分图像如图所示，A为图像的最高点，B，C分别为图像与x轴的交点，且△ABC为正三角形，则OA＝ 　　 ． 四．解答题 15．已知函数，且f（x）的最小正周期T＝π． （1）求函数f（x）的单调递减区间； （2）若，求函数f（x）的最值及取得最值时x的取值集合． 16．已知函数图像上的一个最高点为，该最高点与相邻的最低点之间的距离为． （1）求f（x）的解析式； （2）若方程f（x）＝1在区间[0，t]上有6个根，求t的取值范围． 17．已知函数的最小正周期为T，从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数f（x）存在且唯一确定，并回答下面两个问题． （Ⅰ）直接写出ω和φ的值，并求f（x）的对称轴． （Ⅱ）当时，若曲线y＝f（x）与直线y＝m恰有一个公共点，求m的取值范围． 条件①：f（x）的图像可由的图像平移得到； 条件②：f（x）在区间上单调递增； 条件③：f（T）＝1； 条件④：． 18．设函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，）．若f（x）在区间上具有单调性，且， （1）直接写出f（x）的解析式； （2）求f（x）的单调递减区间； （3）已知，求函数g（x）在上的值域． 19．已知函数． （1）若，，求的值； （2）若偶函数y＝g（x）与y＝f（x）的图像关于直线对称，且f（x）在上单调递增，求ω的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27讲 三角函数的图像与性质 题型一 求三角函数的解析式 2 题型二 三角函数的图像变换 8 题型三 三角函数性质的应用 15 题型四 三角函数性质的综合应用及w的取值范围 24 课时精练 30 【基础回顾】 知识点1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,0)，（），(π，0)，（），(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1)，（），(π，-1)，（），(2π，1)． 知识点2．正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图像 定义域 R R {x|x≠kπ＋} 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调递增区间 -，+] [2kπ－π，2kπ] -，+） 单调递减区间 +，+] [2kπ，2kπ＋π] 对称中心 (kπ，0) +，0） （，0） 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 【必备知识】 1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期． 2．与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)． (2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)． (3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)． 题型一 求三角函数的解析式 第一步：确定A和k： ，； 第二步：确定： 由周期，若已知相邻最值点或零点间距为d，则（正弦/余弦）或（正切）； 第三步：确定： 代入图像上的特殊点（如最值点、零点），解方程（最大值点）或（零点），注意的范围（通常）． 【例题精讲】 1．函数的部分图像如图所示，则A＝（　　） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【解答】解：由题意得f（x）的周期T，即，解得ω＝2， 根据，可得，k∈Z， 结合，取k＝1，得， 由，可得． 故选：B． 2．如图是函数的部分图像，则函数f（x）的解析式可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由函数图像可知T＝2（）＝π，则ω2， 由图像可得（，0）对应五点作图法中的第三个点，则2φ＝0，所以φ， 又f（0）＝Asin（），所以A＝2， 则f（x）＝2sin（2x）， 对于BCD，f（0），故BCD均不正确． 故选：A． 3．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）的对称中心为 B．当时， C．f（x）的单调递减区间为 D．若，且f（x1）＝f（x2），则 【答案】D 【解答】解：由题意，f（x）的最大值为A＝2，周期，即，解得ω＝2， 根据在f（x）递增的图像上， 可得，m∈Z，结合﹣π＜φ＜π，解得，， 令，k∈Z，解得，k∈Z， 所以f（x）图像的对称中心为，故A不正确； 由，得， 结合正弦函数的性质，可得， 当时，﹣f（x）＝2，当x＝0时，，可得，故B不正确； 由，k∈Z， 解得f（x）的单调递减区间为（k∈Z），故C不正确； 根据f（x1）＝f（x2），结合正弦函数图像的对称性，可知， 解得，所以，故D项正确． 故选：D． 4．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图像如下，关于函数f（x），给出下列命题： ①φ的值为； ②函数f（x）的图像关于直线对称； ③若函数f（x）恰有4条对称轴和3个零点落在区间[0，m]内，则实数m的取值范围是； ④若方程f（ax）＝f（x）（a＞0且a≠1）在内至少有3个不同的实根，则实数a的取值范围是． 其中真命题共有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：对于①，由函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图像可得f（0）＝2sinφ＝1，即， 又函数f（x）在x＝0附近单调递增， 又0＜φ＜π， 故，①正确； 对于②，由题意得， 又ω＞0， 可得， 可得， 又，且函数f（x）在附近单调递增， 可得，解得， 可得，解得， 又k＝1， 可得， 可得， 可得， 可得函数f（x）的图像不关于直线对称，②错误； 对于③，由于， 若函数f（x）恰有4条对称轴和3个零点落在区间[0，m]内，则， 解得，③正确； 对于④，由于，可得， 由于a＞0且a≠1，f（ax）的图像可以由f（x）纵坐标不变，横坐标变为原来的得到， 要想方程f（ax）＝f（x）（a＞0且a≠1）在内至少有3个不同的实根，先考虑临界情况，如图： 此时f（ax）＝f（x）（a＞0且a≠1）在内有2个不同的根，且满足时，f（ax）＝f（x）成立，即， 结合图像的单调性，可知， 解得， 当时，f（ax）纵坐标不变，横坐标进一步进行缩短，此时满足方程f（ax）＝f（x）（a＞0且a≠1）在内至少有3个不同的实根， 所以实数a的取值范围是，④正确； 综上，可得真命题共有3个． 故选：C． 5．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图像如图所示，则函数f（x）的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题意，f（x）的最大值为A＝2， 周期T＝2（），所以，解得ω＝4， 因为f（）＝0，且（，0）在f（x）的递减区间，所以4φ＝π+2kπ（k∈Z）， 结合|φ|＜π，取k＝0，可得φ，所以． 故选：D． 6．葫芦曲线在数学中被明确为一种类似横放葫芦轴截面的曲线，其方程通常表示为|y|＝（a﹣[]b）•|sin2x|（x≥0），其中[]为不超过的最大整数．该曲线的显著特征是振幅随间隔周期性变化，导致曲线上、下波动的幅度逐渐减小，形成类似葫芦“腰部收窄、两端膨大”的形状．如图，葫芦曲线的底脐、腰、嘴的对应点分别为O（0，0），A（，0），B（π，0），其上肚、下肚到轴心线（x轴）的距离分别为3，2，若点E，F到轴心线的距离分别为，1，则点E与F的横坐标之差为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据点、在曲线上， 可得，解得， 所以， 当时，，由y， 即，解得，所以，即， 当时，，令y＝﹣2sin2x＝1， 即，解得，所以，即， 所以点E与F的横坐标之差为． 故选：A． 7．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（x∈R，ω＞0）的部分图像如图所示，M，N为y＝f（x）图像与x轴交点且满足为等边三角形，则ω＝（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解答】解：设等边△PMN的边长为a，则△PMN的高ha，解得a＝2， 所以MN＝2，结合，可得，可得ON＝3且OM＝1， 线段OM、MN的垂直平分线方程分别为， 所以是函数f（x）图像相邻两条对称轴， 可得函数f（x）的最小正周期T，解得． 故选：C． （多选）8．已知函数的图像如图所示，若，则（　　） A．ω＝2 B．当x∈[0，2π]时，函数f（x）与y＝sinx有3个交点 C．若g（x）＝f（ax）（a＞0），当时，g（x）有5个零点，则a的取值范围为 D．对于任意实数m，f（x）在上的最大值与最小值的差的取值范围为 【答案】ACD 【解答】解：确定φ：由图像知点A为函数图像与y轴交点，且f（0）＝﹣2，故， 结合，得，因此， 确定ω：点A，B均满足 f（x）＝﹣2，即， 由图像走势分析，A，B为相邻两解，对应相位分别为与， 因xA＝0，故（对应点A），， 由，得，解得ω＝2， 综上，，由上述推导，ω＝2，故A正确． 设， ， ，故在内至少有一个零点， ，， 故在内至少有一个零点， 所以h（x）在0，π]内至少有两个零点， 又因h（x）周期为π，在[0，2π]内完成两个完整周期， 则h（x）在[0，2π]内至少有四个零点，可知两函数交点多于3个，故B错误； 设，a＞0， g（x）的零点满足，即， 在区间上恰有5个零点， 当且仅当，即且， 解得，故C正确； 设区间，其相位变化范围为， 即，区间长度为， 求最大极差：当相位区间关于原点对称，即时，， 此时， 求最小极差：当相位区间关于对称，即时， ，此时， 由连续性知极差可取遍中间所有值，故极差取值范围为， 即对于任意实数m，f（x）在上的最大值与最小值的差的取值范围为，故D正确． 故选：ACD． （多选）9．如图是函数y＝sin（ωx+φ）的部分图像，则sin（ωx+φ）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【解答】解：由函数图像可知：， ∴T＝π， 则， 不妨令ω＝2，当时，y＝﹣1， ∴，解得：， 即函数的解析式为：，故A错误； 又，故B正确； 又，故C正确； 而，故D错误． 故选：BC． （多选）10．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图像与y轴交于点，与x轴的一个交点为（1，0），如图所示，则下列说法正确的是（　　） A． B．f（x）的最小正周期为6 C．y＝f（x）的图像关于直线对称 D．f（x）在上单调递减 【答案】BC 【解答】解：对于A，由已知可得， 又因为0＜φ＜π， 可得，A错误； 对于B，因为f（x）的图像与x轴的一个交点为（1，0），即y＝f（1）＝0， 所以， 又， 解得， 所以， 所以， 可得f（x）的最小正周期为T＝6，B正确； 对于C，由于， 所以是f（x）的一条对称轴，C正确； 对于D，令，解得， 可得f（x）在，k∈Z上单调递减，D错误． 故选：BC． 题型二 三角函数的图像变换 平移变换： 左右平移：向左移个单位，向右移个单位（“左加右减”针对x）； 上下平移：向上移|k|个单位，向下移|k|个单位． 伸缩变换： 横向伸缩：周期缩短为原来的，周期伸长为原来的倍； 纵向伸缩：振幅扩大为|A|倍，振幅缩小为|A|倍． 变换顺序注意事项： 先平移后伸缩：平移量为个单位； 先伸缩后平移：平移量为个单位（需确保时再平移）． 【例题精讲】 1．将函数f（x）图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图像沿x轴向左平移个单位长度，得到，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）在上单调递减 C．f（x）图像关于直线对称 D．f（x）图像关于点对称 【答案】A 【解答】解：根据题意，将g（x）沿x轴向右平移个单位长度， 然后将所得图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 可得的图像，故， 根据三角函数的周期公式，可得f（x）的最小正周期，故A正确； 当时，， 结合正弦函数的单调性，可知f（x）在上先增后减，故B错误； 根据， 可得f（x）的图像不关于直线对称，故C错误； 根据， 可得f（x）的图像不关于点中心对称，故D错误． 故选：A． 2．已知函数f（x）＝sin2x+acos2x的一个零点是，为了得到函数y＝2cos2x的图像，只需将f（x）的图像（　　） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【解答】解：由题意得f（）＝sinacos0，即，解得a， 所以f（x）＝sin2xcos2x＝2（sin2xcoscos2xsin）＝2sin（2x）， 因为y＝2cos2x＝2sin（2x）＝f（x）， 所以将f（x）的图像向左平移个单位，可得函数y＝2cos2x的图像． 故选：A． 3．若函数f（x）＝tan（x﹣φ）（φ＞0）的图像向右平移个单位长度之后得到的图像关于原点对称，则实数φ的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意，f（x）的图像关于点（，0）对称， 所以φ，k∈Z，即φ，k∈Z， 结合φ＞0，取k＝﹣1，可得φ的最小值为． 故选：B． 4．将函数的图像上所有的点向右平移个单位长度，或者向左平移个单位长度后，两者的图像完全重叠，则ω的最小值是（　　） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：将图像上所有的点向右平移个单位长度， 可得， 将函数f（x）向左平移个单位长度后，可得， 结合题意，函数y1和y2的图像重合，可得， 化简得ω＝2k，k∈Z，结合ω＞0，可知k＝1时，ω取得最小值2． 故选：C． 5．函数f（x）＝3cos（2x+φ）（φ＞0）的图像向左平移后关于y轴对称，则φ的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：将f（x）图像向左平移后，所得图像对应函数的解析式为f（x）＝3cos（2xφ）， 根据函数y＝ f（x）的图像关于y轴对称，可得， 结合φ＞0，取k＝1，可得φ的最小值为． 故选：C． 6．已知函数f（x）＝sin2x+acos2x的一个零点是，为了得到函数y＝2sin2x的图像，只需将f（x）的图像（　　） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【解答】解：由题意得，解得， 所以， 则为了得到函数y＝2sin2x的图像，只需将f（x）的图像向右平移个单位长度． 故选：D． 7．已知函数f（x）＝Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜π）的图像关于原点对称，且f（）＝﹣1，将f（x）的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图像对应的函数为g（x），则（　　） A．g（x）＝sinx B．g（x）＝2sinx C．g（x）＝sin（x） D．g（x）＝2sin（2x） 【答案】A 【解答】解：根据f（x）的图像关于原点对称，可知f（x）为奇函数， 所以φ＝kπ，k∈Z，结合|φ|＜π可得φ＝0，f（x）＝Asin2x， 由f（）＝﹣1，可得Asin1，解得A＝1，所以f（x）＝sin2x， 将f（x）的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变， 得到的图像对应的解析式为f（）＝sinx，即g（x）＝sinx，A项符合题意． 故选：A． （多选）8．将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图像，则（　　） A．g（x）在上单调递减 B．g（x）的图像关于直线对称 C．g（x）的图像关于点对称 D．函数y＝f（x）﹣g（x）在（﹣π，π）内有5个零点 【答案】AC 【解答】解：由题意得， 当时，， 结合余弦函数的单调性，可得g（x）在上单调递减，故A正确． 根据，函数g（x）没有达到最大或最小值， 所以g（x）的图像不关于直线对称，故B错误． 根据，可知g（x）的图像关于点对称，故C正确． 若f（x）＝g（x），即， 则，或． 当时，x∈∅； 当时，可得， 结合，解得， 所以k∈{﹣1，0，1，2}，y＝f（x）﹣g（x）在（﹣π，π）内有4个零点，故D错误． 故选：AC． （多选）9．关于函数有如下四个结论，其中正确的结论有（　　） A．f（x）的最大值为1 B．将f（x）的图像向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到y＝2sin2x C．f（x）在单调递增 D．f（x）图像的对称中心为 【答案】AC 【解答】解：由题意得 ＝2（sin2xcoscos2xsin）， 所以，即时，f（x）取得最大值1，故A正确； 将f（x）的图像向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度， 可得的图像，故B错误； 当时，， 结合正弦函数的单调性，可知f（x）在单调递增，故C正确； 令，解得， 所以f（x）图像的对称中心为，故D错误． 故选：AC． （多选）10．已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）的图像可由y＝sin3x的图像向右平移个单位得到 B．是f（x）的图像的一条对称轴 C．的值域为 D．f（x）在区间上单调 【答案】BC 【解答】解：由题意得f（x）＝sin[（3x）]+sin（3x）＝cos（3x）+sin（3x） sin[（3x）]sin（3x）， 将y＝sin3x的图像向右平移个单位，可得到y＝sin（3x）的图像， 与f（x）图像不同，可知A项不正确； 当x时，f（x）sin（3），取得最大值， 所以x是f（x）的图像的一条对称轴，可知B项正确； 当x∈[，]时，3x∈[，]， 可知f（x）max，f（x）min1， 所以x∈[，]时，f（x）的值域为，可知C项正确； 当x∈时，存在f（），函数取得最小值， 所以f（x）在区间上不可能单调，故D项不正确． 故选：BC． 题型三 三角函数性质的应用 1.定义域： 正切函数需满足，偶次根式需满足被开方数非负（如需）． 2.值域： 形如，值域为； 复合函数需结合内层函数范围，如，令，转化为二次函数求值域． 3.周期性： 基本函数周期：周期，周期π； 复合函数周期：周期，多个函数相加时，若周期之比为有理数，则最小正周期为各周期的最小公倍数（如周期为）． 4.奇偶性： (1)先判断定义域是否关于原点对称； (2)正弦型函数：（）时为奇函数，时为偶函数； (3)余弦型函数：时为偶函数，时为奇函数． 5.单调性： 求的单调区间： (1) 若，则增区间由解得，减区间反之； (2) 若，则单调性与上述相反（需注意不等式变号）； (3) 含时，先利用诱导公式化为再求解。 6.对称性： 对称轴：正弦/余弦函数在最值点处取得，即（正弦）或（余弦）. 对称中心：正弦/余弦函数在零点处，正切函数在处，求解x即可。 【例题精讲】 1．函数f（x）＝cos2x﹣6cosx+1的最小值为（　　） A． B． C．﹣2 D．﹣4 【答案】D 【解答】解：由题意，f（x）＝cos2x﹣6cosx+1＝2cos2x﹣1﹣6cosx+1＝2cos2x﹣6cosx， 因为﹣1≤cosx≤1，所以当cosx＝1时，． 故选：D． 2．已知向量（cosθ，sinθ），则||的最大值是（　　） A．9 B．3 C． D．1 【答案】B 【解答】解：因为向量（cosθ，sinθ）， 所以||， 所以1时，||的最大值是3． 故选：B． 3．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若asinA＝b（sinB+sinC），则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据asinA＝b（sinB+sinC），结合正弦定理得a2＝b2+bc， 由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得c2﹣2bccosA＝bc， 所以c＝b（2cosA+1），可得sinC＝sinB（2cosA+1）， 在△ABC中，sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB， 所以sinAcosB+cosAsinB＝sinB（2cosA+1）， 整理得sinAcosB﹣cosAsinB＝sinB，即sin（A﹣B）＝sinB， 因为△ABC是锐角三角形，A、B均为锐角， 所以A﹣B＝B，即A＝2B， 由sinA＝sin2B＝2sinBcosB，可得a＝2bcosB，故， 锐角△ABC中，，解得， 所以，可得． 故选：C． 4．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y＝f（x）的图像关于直线x＝ω对称，则ω的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意得f（x）， 因为f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数图像关于直线 x＝ω对称， 所以x＝ω时，f（x）取得最大值，可得有，k∈Z， 化简得，k∈Z， 结合，即，可得， 所以取k＝0，可得，解得． 故选：A． 5．已知函数，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．函数f（x）在区间上单调递增 D．函数f（x）的图像关于点中心对称 【答案】C 【解答】解：对于A：因为函数的最小正周期， 所以，故A正确； 对于B：因为为最大值， 可知是函数f（x）的一条对称轴，所以，故B正确； 对于C：当x∈时，t＝3x∈（，）， 因为函数y＝2sint在区间（，）上单调递增，在区间（，）上单调递减， 所以函数f（x）在区间上不单调，故C错误； 对于D：因为， 所以函数f（x）的图像关于点中心对称，故D正确． 故选：C． 6．已知函数，则（　　） A．f（x）的最大值为 B．f（x）的最小正周期为2π C．f（x）在上单调递增 D．f（x）的最小正零点为 【答案】C 【解答】解：由题意得f（x） ， 根据的最大值为1，可得f（x）max，故A项错误； 由三角函数的周期公式，可得f（x）的周期T，故B错误； 当x∈时，∈[]， 结合正弦函数的单调性，可知f（x）在上单调递增，故C正确； 令f（x）＝0，得， 可得或，k∈Z， 解得或，k∈Z，所以f（x）的最小正零点为，故D错误． 故选：C． 7．已知函数f（x）＝sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π，f（x1）+f（x2）＝0，且函数f（x）在区间（x1，x2）上具有单调性，则|x1+x2|的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意，f（x）＝sinωxcosωx＝2（sinωxcoscosωxsin）＝2sin（ωx）， 因为ω＞0，且f（x）的周期为π，所以π，可得ω＝2，f（x）＝2sin（2x）， 又因为f（x1）+f（x2）＝0，且函数f（x）在区间（x1，x2）上具有单调性， 所以点（x1，f（x1））与（x2，f（x2））关于（，0）对称． 而f（x）＝2sin（2x）的零点满足2xkπ（k∈Z），解得xkπ（k∈Z）． 所以kπ（k∈Z），可得x1+x2kπ（k∈Z）， 当k＝0时，x1+x2，此时|x1+x2|取得最小值． 故选：B． （多选）8．函数的最小正周期为π，则下列说法正确的是（　　） A．若f（x）在（0，m）上单调，则 B． C．方程f（x）＝1在[0，8π）内的解有16个 D．若g（x）＝f（ax）（a＞0）在[0，π）上有且仅有两个极值点，则 【答案】ACD 【解答】解：由题意得 ， 根据f（x）的最小正周期为π，可得，解得ω＝1，所以， 当x∈（0，m），所以， 根据f（x）在（0，m）上单调，可得，解得，故A正确； ，故B错误； 由f（x）＝1，可得， 所以或， 解得x＝kπ，k∈Z或， 结合x∈[0，8π），所以x＝kπ，k＝0，1，2，3，4，5，6，7有8个解， 有8个解，共16个解，故C正确； ， 由x∈[0，π），可得， 若g（x）在[0，π）上有且仅有两个极值点， 则，解得，所以，故D正确． 故选：ACD． （多选）9．已知函数的最小值为0，且最小正周期为π，则（　　） A．b＝1 B．ω＝2 C．f（x）在区间上单调递增 D．f（x）在区间上的最大值为1 【答案】AB 【解答】解：依题意，b﹣1＝0，所以b＝1，A选项正确； ，得ω＝2，B选项正确； 由AB可知，， 当时，，C选项错误； ，，所以f（x）的最大值为2，D选项错误． 故选：AB． （多选）10．已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）的图像关于直线对称 C．f（x）在区间上单调递增 D．f（x）在区间（0，π）上有2个零点和2个极值点 【答案】ABD 【解答】解：由题意得， 根据三角函数的周期公式，可知f（x）的最小正周期T，故A正确； 根据，可得是函数f（x）图像的最高点， 所以f（x）的图像关于直线对称，故B正确； 当时，， 结合正弦函数的单调性，可知f（x）在上先增后减，故C错误； 当x∈（0，π）时，， 当或时，f（x）取得极值，相应的x或， 当或2π时，f（x）＝0，相应的x或， 综上所述，f（x）在区间（0，π）上有2个零点和2个极值点，故D正确． 故选：ABD． 题型四 三角函数𝛚的取值范围及综合应用 方程根的个数： 将方程转化为，画出两函数图像，交点个数即根的个数（如在区间内的解数）。 不等式求解： 参数范围问题： 结合单调性、周期性列不等式，如已知函数在[a,b]上单调，求的范围，需保证区间长度不超过半个周期． 【例题精讲】 1．已知函数在[0，π]内有且仅有三条对称轴，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意，f（x）图像的对称轴满足， 当x∈[0，π]时，， 若f（x）在[0，π]内有且仅有三条对称轴，则， 解得，即实数ω的取值范围是． 故选：B． 2．已知函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0），若把f（x）的图像向右平移个单位长度后得到的函数图像关于点（，0）对称，则ω的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：设f（x）的图像向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图像， 则依题意有， 因为g（x）的图像关于点（，0）对称， 所以， 所以ω＝3k﹣1，k∈Z， 因为ω＞0，所以当k＝1时，ω有最小值2． 故选：A． 3．若函数满足f（x）＝f（π﹣x），且在有唯一零点，则ω的最大值为（　　） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【解答】解：由题意得， 根据f（x）＝f（π﹣x），可得f（x）图像的一条对称轴是直线， 所以，k∈Z，解得，k∈Z， 当时，， 若f（x）在有唯一零点，则，解得， 因此，取k＝1，可得ω的最大值为． 故选：A． 4．已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则ω的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意得x∈[0，）时，∈[，）， 因为f（x）在区间内有最大值，但无最小值， 令，结合y＝sint图像可知， 解得，即ω的取值范围是（]． 故选：B． 5．已知函数的图像经过点，若f（x）在区间上具有单调性，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意得f（0），结合，可得，f（x）＝sin（ωx）， 当x∈时，ωx∈（，）， 因为f（x）在上单调， 所以， 可得，结合ω＞0，解得． 故选：A． 6．已知函数在区间上单调递增，则当ω取最大值时，f（x）在区间上的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：当时，， 因为f（x）在区间上单调递增， 所以，可得T≥π，即，解得0＜ω≤2， 所以，解得0＜ω≤1，即ω的最大值为1，， 当时，， 可得f（x）的最小值为f（π）＝3sin，f（x）的最大值为f（）＝3sin， 所以f（x）在区间上的值域为． 故选：C． 7．已知函数f（x）＝cosωx（ω＞0），点A，B分别为f（x）图像在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O为坐标原点，若△OAB为锐角三角形，则ω的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意，可知A（，1），B（，﹣1），则（，﹣1），（，﹣2），（，1）， 因为△AOB为锐角三角形，所以•0，而•1＞0，可得ωπ， •0，即2＞0恒成立， •0，即2＞0，解得ωπ， 综上所述：π＜ωπ． 故选：B． （多选）8．已知函数在区间[0，π]上有且仅有4条对称轴，则下面给出的结论中，正确的是（　　） A．ω的取值范围是 B．f（x）的最小正周期可能是2 C．f（x）在区间（0，π）上可能恰有4个零点 D．f（x）在区间上可能单调递增 【答案】AC 【解答】解：由， 令，则， 因为函数在区间[0，π]上有且仅有4条对称轴， 即有四个整数k符合， 由，得， 则k＝0，1，2，3，即1+4×3≤4ω＜1+4×4， 所以，故A正确； 若函数的最小正周期为2，则，故B错误； 当x∈（0，π）时，， 又， 当时，f（x）有三个不同的零点； 当，f（x）有四个不同的零点， 则f（x）在区间（0，π）上可能恰有4个零点，故C正确； 当时，， 因为， 所以， 而，所以f（x）在区间上不单调递增，故D错误． 故选：AC． （多选）9．已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．若ω＝1，则f（x）的图像关于点中心对称 B．若曲线f（x）的图像向左移动个单位后关于y轴对称，则ω的最小值为2 C．若ω＝2，则f（x）在单调递增 D．若f（x）在[0，2π]上恰有三个零点，则 【答案】ABD 【解答】解：若ω＝1，则，令xkπ，k∈Z，即， 所以f（x）的图像关于（，0）（k∈Z）对称， 取k＝0，可得f（x）图像的一个对称中心为，故A正确； 将的图像向左移动个单位， 可得的图像， 若g（x）的图像关于y轴对称， 则，解得ω＝2+3k，k∈Z，结合ω＞0，可得ω的最小值为2，故B正确； 当ω＝2时，，存在x，使f（）＝1，f（x）达最大值， 所以f（x）在区间上不单调，故C错误； 当x∈[0，2π]时，， 若f（x）在[0，2π]上恰有三个零点，则，解得，故D正确． 故选：ABD． （多选）10．已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．当ω＝1时，f（x）在上单调递增 B．若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，且|x1﹣x2|的最小值为π，则函数f（x）的最小正周期为π C．若f（x）的图像向右平移个单位长度后，得到的图像关于y轴对称，则ω的最小值为3 D．若f（x）在[0，π]上恰有2个零点，则ω的取值范围为 【答案】ACD 【解答】解：当ω＝1时，，当时，， 结合正弦函数的单调性，可知f（x）在上单调递增，故A正确； 若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则f（x1）与f（x2）恰好是函数的最大值与最小值， 结合|x1﹣x2|的最小值为π，可知f（x）的最小正周期为2π，故B错误； 将f（x）的图像向右平移个单位长度后， 可得的图像， 若该图像关于y轴对称，则kπ，k∈Z， 所以ω＝﹣1﹣4kπ（k∈Z），结合ω＞0，可得ω≥3，故C正确； 当x∈[0，π]时，， 若f（x）在[0，π]上恰有2个零点，则，故D正确． 故选：ACD． 课时精练 一．选择题 1．已知函数f（x）＝4sin（ωx+φ）的最小正周期为4，且f（2）＝4，则f（4）＝（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．﹣4 【答案】D 【解答】解：由题意，，所以， 因为f（2）＝4，所以4sin（±π+φ）＝4， 所以sinφ＝﹣1， 所以f（4）＝4sin（±2π+φ）＝4sinφ＝﹣4． 故选：D． 2．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0），直线与曲线y＝f（x）交于P，Q两点，若|PQ|的最小值为，则ω的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设f（x）的最小正周期为T，由题意得， 即，解得． 故选：B． 3．函数图像的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：令，解得， 所以图像的对称中心为，k∈Z， 可知A、C两项不正确， 当k＝0时，，可知（）是f（x）图像的一个对称中心，D项符合题意， 不论整数k为何值，点不可能是，所以B项不正确． 故选：D． 4．如图，在函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图像中，若，则点A的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据，可得，所以， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 因为，所以，可得， 所以， 整理得，结合图像y1＞0，可知． 故选：B． 5．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期是，则下列区间中，函数f（x）单调递增的区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意得f（x）的周期T，解得ω＝2，f（x）＝cos（2x+φ）， 根据f（0）＝cosφ，且0＜φ＜π，可得φ，所以， 令，k∈Z， 解得f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z， 取k＝1，可得f（x）的一个递增区间为[]， 结合[]⊆[]，可知B项符合题意． 故选：B． 6．已知函数，，若M，P，N是曲线y＝f（x），y＝g（x）上从左往右依次连续相邻的三个交点，且∠MPN＜90°，则实数ω的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意函数，sinωπx， 令，则， 解得， 不妨取，，N（，， 则（，），， 由∠MPN＜90°，得， 因为ω＞0，解得， 则实数ω的取值范围为（，+∞）． 故选：C． 7．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图像如图所示，C为图像与y轴的交点，B为图像与x轴的一个交点，且|BC|，若实数x1，x2满足f（x1）•f（x2）＝﹣4，则f（x1+x2）＝（　　） A．﹣1 B．0 C． D．2 【答案】C 【解答】解：根据f（x）的最大值为2，可知A＝2， 因为Rt△OBC中，|BC|，|OB|， 所以，解得|OC|，即C（0，）． 根据f（0）＝2sinφ，可得sinφ，结合|φ|，解得φ． 观察图像，可得f（x）的周期T满足， 解得T＜5，即5，解得ω． 因为x是f（x）位于减区间的零点，所以ωπ+2kπ，k∈Z， 结合ω∈（，），取k＝0，得ω，所以f（x）＝2sin（x）． 因为实数x1、x2满足f（x1）•f（x2）＝﹣4， 所以x1、x2分别是f（x）的最大值点与最小值点， 不妨设f（x1）＝2，f（x2）＝﹣2， 则x12k1π，k1∈Z，且x22k2π，k2∈Z． 相加可得（x1+x2）2k1π+2k2π， 即（x1+x2）2k1π+2k2π，k1∈Z且k2∈Z． 所以f（x1+x2）＝2sin[（x1+x2）]＝2sin（2k1π+2k2π）＝2sin． 故选：C． 8．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图像满足以下特征：图像经过点，并且在y轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，函数f（x）在上的值域为（﹣1，2]，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为函数f（x）图像经过点，并且在y轴右侧的第一个零点为， 第一个最低点为， 所以A＝2，， 所以，，k∈Z， 解得ω＝3，， 所以f（x）， 因为， 令f（x）＝2，则， 解得； 当k＝0时，， 所以，根据对称性可知，当时，， 因为函数f（x）在上的值域为（﹣1，2]， 所以，， 即m的取值范围为． 故选：C． 二．多选题 （多选）9．已知函数f（x）＝asinx+bcosx（a，b不同时为0）在处取得最值，则下列说法正确的是（　　） A．函数f（x）的周期为2π B．函数f（x）关于对称 C．函数关于点（﹣π，0）成中心对称 D．函数f（x）在上单调 【答案】ABD 【解答】解：由题意得，其中φ满足tanφ， 所以f（x）的周期，故A正确； 因为f（x）＝asinx+bcosx在处取得最值，所以f（x）的图像关于对称，故B正确； 根据f（x）在处取得最值，可得，即， 当k为奇数时，； 当k为偶数时，． 所以当k为奇数时，； 当k为偶数时，， 结合余弦函数的性质，可知图像不关于点（﹣π，0）成中心对称，故C错误； 若，则， 因为是增函数，且在上单调递减， 在上单调递增， 所以k为奇数时，在上单调递减； 当k为偶数时，在上单调递增，故D正确． 故选：ABD． （多选）10．已知函数的最小正周期为2，ω＞0，则（　　） A．f（x）的值域为[﹣1，1] B．是偶函数 C．曲线y＝f（x）与y＝2πx相切 D．曲线y＝f（x）关于对称 【答案】BC 【解答】解：由题意得 2sinωπx， 结合ω＞0，可得f（x）的最小正周期T，解得ω＝1，故f（x）＝2sinπx， 由正弦函数的性质，可得f（x）＝2sinπx∈[﹣2，2]，故A错误； 2cosπx， 结合余弦函数为偶函数，可知是偶函数，故B正确； 求导数，可得f′（x）＝2πcosπx，所以f′（0）＝2πcos0＝2π， 结合f（0）＝0，可得曲线y＝f（x）在x＝0处的切线为y＝2πx， 所以曲线y＝f（x）与y＝2πx相切于原点，故C正确； 根据， 可知f（x）＝2sinπx的图像不关于对称，故D错误． 故选：BC． （多选）11．已知函数的部分图像如图所示，该图像与y轴交于点，与x轴交于B，C两点，点D在f（x）的图像上且△BCD为等边三角形，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．若关于x的方程f（x）＝m在区间上有两个不等的实根，则m的取值范围为 D．设t＞0，若g（x）＝f（tx）在区间内单调递增，则t的取值范围为（0，1] 【答案】ACD 【解答】解：在等边△DBC中，BC边上的高等于，可得|BC|＝2， 所以f（x）的周期T，解得ω，故A项正确． 根据f（x）图像经过点，可得f（0），即cosφ， 结合|φ|，且点A在f（x）递增的图像上，可得φ，故B错误． 由前面的分析，可得f（x）cos（）， 当x∈时，∈[，]， 可知f（x）在[，]上递增，在[，]上递减， 结合f（）＝f（1），f（）， 可得：若关于x的方程f（x）＝m在区间上有两个不等的实根， 则，故C项正确． 由﹣π+2kπ2kπ，k∈Z，解得f（x）的递增区间为，k∈Z， 当x∈时，结合t＞0，可得tx∈， 若g（x）＝f（tx）在区间内单调递增，则∈，k∈Z， 所以，k∈Z，t＞0， 当k＝0时，且，解得0＜t≤1； 当k≥1时，t≥﹣10+24k且t≤1+12k，结合﹣10+24k＞1+12k，可知不等式组无解． 综上所述，满足条件的t∈（0，1]，故D正确． 故选：ACD． 三．填空题 12．已知函数，则　﹣1　 ；函数f（x）的图像的一个对称中心的坐标为 　（，0）（答案不唯一）　 ． 【答案】﹣1；（，0）（答案不唯一）． 【解答】解：，则sinsin1×1＝﹣1； 观察可得f（）＝0，则f（x）的图像的一个对称中心的坐标为 （，0）． 故答案为：﹣1；（，0）（答案不唯一）． 13．已知函数，若ω＝1，则　2　 ；若f（x）在区间上至少有3个零点，则ω的一个取值可以为　6（答案不唯一）　 ． 【答案】2；6（答案不唯一）． 【解答】解：由题意得f（x）， 若ω＝1，则f（x），可得； 当时，， 若f（x）在区间上至少有3个零点，则3π，解得ω， 因此，ω的一个取值为6（答案不唯一）． 故答案为：2；6（答案不唯一）． 14．函数的部分图像如图所示，A为图像的最高点，B，C分别为图像与x轴的交点，且△ABC为正三角形，则OA＝ 　　 ． 【答案】． 【解答】解：由函数，知f（x）的最大值为，即△ABC的高为， 又△ABC为正三角形，得，即BC＝4， 又BC4，所以， 可得， 令，得，可得， 所以． 故答案为：． 四．解答题 15．已知函数，且f（x）的最小正周期T＝π． （1）求函数f（x）的单调递减区间； （2）若，求函数f（x）的最值及取得最值时x的取值集合． 【答案】（1） （2）f（x）max＝1，相应x的取值集合是；f（x）min＝﹣3，相应x的取值集合是． 【解答】解：（1）根据f（x）的最小正周期Tπ，解得ω＝2， 所以， 令，解得， 所以f（x）的递减区间为； （2）根据f（），即2sint＝0，解得t＝﹣1， 所以． 当，即时，f（x）max＝1， 当f（x）取最大值时，相应x的取值集合是； 当，即时，f（x）min＝﹣3， 当f（x）取最小值时，相应x的取值集合是． 16．已知函数图像上的一个最高点为，该最高点与相邻的最低点之间的距离为． （1）求f（x）的解析式； （2）若方程f（x）＝1在区间[0，t]上有6个根，求t的取值范围． 【答案】（1）； （2）[36，48）． 【解答】解：（1）根据f（x）图像上的一个最高点为，可得， 设f（x）的最小正周期为T，因为该最高点与相邻的最低点之间的距离为， 所以，解得T＝16，即16，解得， 因为x＝2时，f（x）取得最大值， 所以，结合，解得，故； （2）由f（x）cos（x）＝1，解得， 根据x∈[0，t]，可得， 因为方程f（x）＝1在区间[0，t]上有6个根， 所以，解得36≤t＜48，可知t的取值范围是[36，48）． 17．已知函数的最小正周期为T，从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数f（x）存在且唯一确定，并回答下面两个问题． （Ⅰ）直接写出ω和φ的值，并求f（x）的对称轴． （Ⅱ）当时，若曲线y＝f（x）与直线y＝m恰有一个公共点，求m的取值范围． 条件①：f（x）的图像可由的图像平移得到； 条件②：f（x）在区间上单调递增； 条件③：f（T）＝1； 条件④：． 【答案】（Ⅰ）选择条件①②、②④：函数f（x）存在，但不唯一；选择条件①③、①④：ω＝2，，对称轴为x，k∈Z； （Ⅱ）． 【解答】解：（Ⅰ）选择条件①②： y＝2cos（2x）＝2cso（2x）＝2sin（2x）＝2sin（2x）， 因为f（x）的图像可由的图像平移得到， 所以ω＝2，f（x）＝2sin（2x+φ）， 当x∈时，2x+φ∈[，]， 因为f（x）在区间上单调递增， 所以， 解得， 此时函数f（x）存在，但不唯一，故不符合题意； 选择条件①③： y＝2cos（2x）＝2cso（2x）＝2sin（2x）＝2sin（2x）， 因为f（x）的图像可由的图像平移得到， 所以ω＝2，f（x）＝2sin（2x+φ），Tπ， 所以f（T）＝f（π）＝2sin（2π+φ）＝2sinφ＝1，即sinφ， 因为，所以， 所以， 令，k∈Z，则x，k∈Z， 故f（x）的对称轴为x，k∈Z； 选择①④： y＝2cos（2x）＝2cso（2x）＝2sin（2x）＝2sin（2x）， 因为f（x）的图像可由的图像平移得到， 所以ω＝2，f（x）＝2sin（2x+φ）， 所以f（）＝2sin（﹣π+φ），f（）＝2sin（φ）， 因为，且﹣π+φφ， 所以（﹣π+φ）+（φ）＝π+2kπ，k∈Z，解得φkπ，k∈Z， 因为，所以， 所以， 令，k∈Z，则x，k∈Z， 故f（x）的对称轴为x，k∈Z． 选择②③： 由T，知ωT＝2π， 所以f（T）＝2sin（ωT+φ）＝2sin（2π+φ）＝2sinφ＝1，即sinφ， 因为，所以， 所以f（x）＝2sin（ωx）， 当x∈时，ωx∈[，]， 因为f（x）在区间上单调递增，所以2kπ2kπ，k∈Z， 解得0＜ω≤2， 此时函数f（x）存在，但不唯一，故不符合题意； 同样选择②④时，当x∈时，2x+φ∈[，]， 因为f（x）在区间上单调递增， 所以， 解得， 此时函数f（x）存在，但不唯一，故不符合题意； 选择③④， 因为，且﹣π+φφ， 所以（﹣π+φ）+（φ）＝π+2kπ，k∈Z，解得φkπ，k∈Z， 因为，所以； 由于f（T）＝f（π）＝2sin（Tω）＝1，求不出ω的值， 故不符合题意． （Ⅱ）当时，，， 因为函数y＝sint在t∈上单调递增， 所以2x∈时，f（x）＝2sin（2x）∈， 因为函数y＝sint在t∈上单调递减， 所以2x∈时，f（x）＝2sin（2x）∈， 因为曲线y＝f（x）与直线y＝m恰有一个公共点， 所以m的取值范围是． 18．设函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，）．若f（x）在区间上具有单调性，且， （1）直接写出f（x）的解析式； （2）求f（x）的单调递减区间； （3）已知，求函数g（x）在上的值域． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）根据f（x）在区间上具有单调性，且， 可知f（x）关于点对称，且关于直线x对称，f（）＝A， 所以，即，解得，k∈Z， 结合，可得ω＝2，φ， 根据，所以A＝2，； （2）由，k∈Z， 解得f（x）的单调递减区间为； （3）由（1）知g（x）＝2sinx+2sin[2（x）]＝2sinx+2cos2x＝2（﹣2sin2x+sinx+1）， 根据，可得sinx∈[0，1]， 令u＝sinx∈[0，1]，则g（x）＝﹣4u2+2u+2＝﹣4（u）2， 结合二次函数的性质，可得g（x）max，g（x）min＝0，所以g（x）的值域为． 19．已知函数． （1）若，，求的值； （2）若偶函数y＝g（x）与y＝f（x）的图像关于直线对称，且f（x）在上单调递增，求ω的值． 【答案】（1）； （2）ω＝1． 【解答】解：（1）由题意得， 若ω＝1，则，即， 结合，可得（舍负）， 所以 2[]； （2）由（1）知， 当时，， 根据f（x）在上单调递增，可得，解得0＜ω≤1， 在g（x）图像上任取一点（x，g（x）），它关于直线的对称点为， 由题设条件，可知点在y＝f（x）的图像上， 所以， 根据g（x）为偶函数，可得， 所以，k∈Z，结合0＜ω≤1，取k＝0，解得ω＝1． 1 / 4 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