专题02简单事件的概率（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材浙教版

专题02 简单事件的概率 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 事件的分类 考点二 事件的概率计算 考点三 事件的频率 考点四 利用频率估算概率 05 重难题型突破 题型一 事件的分类 题型二 事件可能性大小 题型三 概率公式计算概率 题型四 几何概率 题型五 已知概率求数量 题型六 列表法树状图求概率 题型七 频率与概率的关系 题型八 求频率 题型九 由频率估算概率 题型十 概率的应用 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点与题型 本章内容相对独立、篇幅较小。常考考点：必然事件、不可能事件、随机事件的判断；简单随机事件概率的计算 （摸球、掷骰子、转盘、抽卡片）；用列表法或画树状图求两步（或多步）事件的概率；用频率估计概率（大量重复试验下频率稳定于概率附近）；游戏公平性的判断与规则设计。题型以选择、填空为主，解答题多为“列表或画树状图求概率，再判断游戏是否公平”，约 10%—15%。 难易度 难度系数约 0.80，属于“送分章节”，但送分并不等于稳拿。失分点几乎都在过程与细节：不列表、不画树状图直接写答案；“放回”与“不放回”两种情形混淆导致结果数统计错误；求概率时未说明所有可能结果是否等可能；频率估计概率题中把一次试验的频率当作概率。 识记 ① 能说出必然事件、不可能事件、随机事件的定义，会判断给定事件属于哪一类，知道 ，必然事件 、不可能事件 。 ② 能说出概率的定义：在等可能情形下，，其中 是所有等可能结果的总数， 是事件 包含的结果数。 ③ 能说出用频率估计概率的条件：只有在大量重复试验下，频率才会稳定在概率附近。 ④ 能说出列表法与画树状图法的适用情形与书写要求。 理解 ① 理解“等可能”是古典概型的前提，能判断题目给出的结果是否等可能（如转盘中圆心角不等的两块区域不是等可能）。 ② 理解“放回”与“不放回”对结果总数的影响，能说明为什么两种情形下的概率通常不同。 ③ 理解频率与概率的区别与联系：频率是试验值、概率是理论值，试验次数越多频率越接近概率。 ④ 理解游戏公平性的判断依据：双方获胜的概率是否相等。 应用 ① 能用 计算一步事件的概率（摸球、掷骰子、抽卡片、转盘）。 ② 能规范地用列表法或树状图求两步（或多步）事件的概率，写出所有等可能结果并统计符合要求的个数。 ③ 能判断游戏是否公平，并能修改规则使其公平（如调整得分或改变球的个数）。 ④ 能结合统计图表用频率估计概率，并据此估计总数（如由摸到白球的频率估计袋中白球个数）。 考点一 事件的分类 （1）确定事件:事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． ⚠️概念辨析 事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 考点二 事件的概率计算 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：如果事件发生的各种可能性相同且相互排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m（m≤n），那么事件A发生的概率为 考点三 事件的频率 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率，会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． 考点四 利用频率估算概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 题型一 事件的分类 【例1】（2026·江苏盐城·中考真题）已知事件：①小明去公交车站的路上经过一个十字路口，正好是绿灯；②小明到达公交车站时，公交车正在驶来．下列说法正确的是（     ） A．①是随机事件，②是必然事件 B．①②都是必然事件 C．①是必然事件，②是随机事件 D．①②都是随机事件 💡破题要诀 ① 必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，概率为 1。 ② 不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，概率为 0。 ③ 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，概率在 0 与 1 之间。 ④ 判断关键是「在一定条件下」——条件变了，事件的类别可能随之改变。 ⑤ 可先问自己：这个结果是不是唯一确定的？唯一就是必然或不可能，不唯一就是随机 迁移应用 【变式1-1】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）下列事件为必然事件的是（     ） A．任意买一张电影票，座位号是奇数 B．打开手机，正好刷到学习主播正在直播 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．3个人分成两组，一定有2个人分在一组 【变式1-2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）连续抛掷一枚质地均匀的硬币四次，有两次正面朝上，这一事件是（     ） A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．无法确定 【变式1-3】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）“在只装有白棋的盒子中摸出一颗棋子是白棋”是________事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 题型二 事件可能性大小 【例2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列诗句所描述的事件中，发生的可能性最小的是（     ） A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．红豆生南国 💡破题要诀 ① 先看每个事件包含的结果个数，个数越多，发生的可能性越大。 ② 几何背景的问题比较区域面积的大小，用面积之比表示可能性。 ③ 可能性的大小用 0 到 1 之间的数表示，0 为不可能、1 为必然。 ④ 牢记：可能性大不等于一定发生，可能性小也不等于一定不发生。 ⑤ 比较时要在「所有结果等可能」的前提下进行。 迁移应用 【变式2-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）在一口锅里有外表一样的汤圆，其中7个是花生馅的，5个是黑芝麻馅的，8个是豆沙馅的，2个是山楂馅的．小文随意捞起一个，捞到可能性最大的汤圆是（     ） A．花生馅汤圆 B．豆沙馅汤圆 C．黑芝麻馅汤圆 D．山楂馅汤圆 【变式2-2】（25-26六年级下·上海青浦·期末）一个不透明的纸箱里共装有18个球，其中有5个白球，6个黄球，剩余的都是红球，摸出_____球的可能性最大． 【变式2-3】（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）袋中有个除颜色外其余均相同的球，其中个红球，个蓝球，从中任意摸一个，摸到___________球的可能性大． 题型三 概率公式计算概率 【例3】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）现有一个质地均匀的正方体，六个面分别标有图案“●”“▲”“▲”“★”“★”“★”．秀秀投掷一次正方体，出现“★”的概率是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 先求 ：所有等可能结果的总数。 ② 再求 ：其中符合条件的结果数。 ③ 代入 ，结果化为最简分数。 ④ 前提条件必须成立：结果是有限的，且每一种结果都是等可能的。 ⑤ 数结果时要有条理（分类编号或列表），防止重复或遗漏。 迁移应用 【变式3-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）一枚质地均匀的正八面体骰子的八个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6、7、8．投掷这枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果． (1)掷得“7”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？ (2)掷得的数不是“7”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？ (3)掷得的数小于或等于“6”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？ 【变式3-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）一个布袋中放着个红球和个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀．从布袋中任取个球，取出黑球与取出红球的概率分别是多少？ 【变式3-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）班级里有位女同学和位男同学，每位同学的名字都被分别写在一张小纸条上，并放入一个盒中搅匀．如果老师随机地从盒中取出1张纸条，那么是抽到男同学名字的概率大还是抽到女同学名字的概率大，还是这两个概率一样大？ 题型四 几何概率 【例4】（2026·山东淄博·中考真题）如图是书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，将一个小球在书房的地板上自由地滚动，小球随机地停在某块方砖上，则小球停在黑砖上的概率是______． 💡破题要诀 ① 识别特征：结果有无限多个，不能用个数来数，只能用「度量」来算。 ② 公式：。 ③ 先算出总区域的度量（长度、面积或角度），再算出目标区域的度量。 ④ 转盘问题要确认各扇形是否等分；指针落在边界线上时要按题意处理。 ⑤ 区域有重叠时，注意不要重复计算（可用加减去重）。 迁移应用 【变式4-1】（2026·山东济南·中考真题）如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑砖上的概率是________． 【变式4-2】（25-26七年级下·四川成都·期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 【变式4-3】（25-26七年级下·四川达州·期末）在半径为5的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为 __________．（π取3） 题型五 已知概率求数量 【例5】（25-26九年级下·四川达州·期中）一个不透明的盒子中装有红、黑、白三种不同颜色的球，其中红球有2个，黑球有4个，白球有m个，这些球除颜色外其余均相同．若从盒子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则m的值为_____． 💡破题要诀 ① 设未知数量为 ，并用 表示出总数。 ② 用含 的式子表示出符合条件的结果数。 ③ 列出方程 （注意分子是符合条件数、分母是总数，不要颠倒）。 ④ 解方程求出 ，并检验它是否为正整数、是否符合实际。 ⑤ 同时要看清是「放回」还是「不放回」，两者总数不同。 迁移应用 【变式5-1】（2022·福建漳州·模拟预测）在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．从中随机摸出一个球，若摸到红球的概率为，则口袋中白球的个数是 _____个． 【变式5-2】（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）在一个不透明的袋子中装有6个白色乒乓球和10个黄色乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同． (1)下列事件： ①从袋子中同时摸出7个乒乓球至少有一个是黄球； ②从袋子中同时摸出2个乒乓球都是白球； ③从袋子中摸出1个乒乓球是红球． 其中不可能事件是________，必然事件是________，随机事件是________；（填序号） (2)如果在袋中再放入若干个白球，使“摸到白球”的概率为0.5，那么袋中新放入了多少个白球？ 【变式5-3】（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）某大型超市店庆开展幸运摸球抽奖活动，抽奖箱中装有红色一等奖球、黄色二等奖球、白色纪念球共计50个，小球大小、重量一模一样，无法靠手感区分．顾客随机从中摸取1个小球，摸到红球斩获一等奖．工作人员清点奖品球数量时得知：黄球的数量比白球数量的2倍少5个，摸到红球的概率为． (1)求抽奖箱中白球的个数； (2)求从抽奖箱中摸出一个球是黄球的概率； (3)从抽奖箱中取走2个白球和3个黄球后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率． 题型六 列表法树状图求概率 【例6】（26-27九年级上·全国·课后作业）取三枚硬币：在第1枚的正面贴上红色标签，反面贴上蓝色标签；在第2枚的正面贴上蓝色标签，反面贴上黄色标签；在第3枚的正面贴上黄色标签，反面贴上红色标签．同时抛掷这三枚硬币，求硬币落地后出现下列颜色的各个事件的概率： (1)颜色各不相同； (2)两黄一红； (3)都是红色； (4)两红一蓝； (5)两黄一蓝． 💡破题要诀 ① 第一件事就是分清「放回」还是「不放回」：不放回时总数少 1，且不能出现（自身，自身）这样的结果。 ② 两步试验可用列表法或树状图；三步及以上用树状图更清晰。 ③ 列表要把所有格子填全（含对角线）；不放回时把对角线上的格子划掉。 ④ 从表（图）中数出总数 和符合条件的结果数 。 ⑤ 规范书写：先列表或画树状图，再写「共有 种等可能的结果，其中……有 种，所以 」。 迁移应用 【变式6-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）小明有红色、白色、黄色、黑色四件衬衫，又有米色、蓝色两条长裤．如果他最喜欢的搭配是白色衬衫配蓝色长裤，那么黑暗中他随机拿出衬衫一件、长裤一条，正好是他最喜欢的搭配的概率是多少？如果他不喜欢红色衬衫配蓝色长裤或者黑色衬衫配蓝色长裤，那么，黑暗中他随机拿出的衬衫与长裤正好是他不喜欢的搭配的概率又是多少？ 【变式6-2】（2026·吉林四平·模拟预测）甲，乙两人玩卡牌游戏，甲从牌面数字为2，3，4的三张牌中随机取出一张牌，乙从牌面数字为5，6两张牌中随机取出一张牌．用画树状图或列表的方法求甲、乙两人抽出牌上的数字之和为奇数的概率． 【变式6-3】（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）2025年全明星篮球赛时隔24年将再次落户长春．小明和小张是篮球运动的爱好者，他们相约一起去现场观赛，现场的普通观赛区分为A、B、C三个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．如果小明和小张都购买普通观赛区的门票，用画树状图（或列表）的方法，求小明和小张不在同一区域观看比赛的概率． 题型七 频率与概率的关系 【例7】（26-27九年级上·北京·期中）林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数m 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数n 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率（精确到） 下列说法正确的是（    ） A． 若移植100棵幼树，成活数一定为90棵 B． 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为 C． 移植的幼树越多，成活率越高 D． 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 💡破题要诀 ① 频率是试验值：随试验次数和随机性波动，不是固定的。 ② 概率是理论值：是事件本身固有的属性，是一个固定的常数。 ③ 关系：试验次数越多，频率通常越稳定地在概率附近摆动。 ④ 结论：频率可以用来估计概率，但频率不等于概率。 ⑤ 一次或少数几次试验的频率没有参考价值，必须大量重复试验。 迁移应用 【变式7-1】（25-26七年级下·山东枣庄·期末）为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%，下列说法错误的是（     ） A．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 B．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 C．钉尖着地的频率是0.4 D．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 【变式7-2】（25-26九年级上·浙江湖州·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【变式7-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球．下列说法正确的是（    ） A．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大 B．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小 C．重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定 D．重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定 题型八 求频率 【例8】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率 (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 💡破题要诀 ① 基本公式：频率 = 频数 ÷ 数据总数。 ② 反求公式：数据总数 = 频数 ÷ 频率；频数 = 总数 × 频率。 ③ 检验：各组频数之和等于总数，各组频率之和等于 1。 ④ 从统计图中读取数据时，注意看清每格代表的数量和单位。 ⑤ 频率通常用小数或百分数表示，结果按要求取精确度。 迁移应用 【变式8-1】（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）“一人一盔安全守规,一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 491 986 1470 1964 3932 合格品频率 (1)求出表中 ， ； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是 （精确到0.01）； (3)如果要出厂49000顶合格的头盔,若用（2）中的估计值作为生产头盔中合格品的概率,则该厂估计要生产多少头盔？ 【变式8-2】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如表是某厂质检部门对该厂生产的一批灯泡质量检测的情况． 抽取的灯泡数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 987 1488 1982 2973 3960 合格品率 0.988 0.987 0.992 0.991 0.990 (1)求出表中_____，_____； (2)根据上表，估计从这批灯泡中任意抽取一颗，它是合格品的概率（精确到0.01）． 【变式8-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）在一个不透明的口袋里装着除颜色外完全相同的黑、白两种颜色的球共25个．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动过程中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的频数 42 66 b 202 324 401 摸到白球的频率 a 0.44 0.41 0.404 0.405 0.401 (1)填空：表中__________，__________； (2)任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值是__________（精确到0.1）； (3)若向口袋里再加入个白球，这时从口袋里任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值为0.5，求的值． 题型九 由频率估算概率 【例9】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）为了解一种豆苗的成活率．调查小组将调查数据绘制成统计图，则可估计这种豆苗成活的概率是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 前提：试验次数足够多，频率已经稳定在某一个数附近。 ② 做法：取多次试验频率的平均值，或观察频率稳定在什么数值附近，用这个数作为概率的估计值。 ③ 估计总体数量：总体中某类的数量 ≈ 总数 × 估计概率。 ④ 样本估计法：如「捕 条做标记放回，再捕 条中有 条带标记」⟹ 总数 ≈ 。 ⑤ 样本必须具有随机性和代表性，否则估计无效。 迁移应用 【变式9-1】（25-26七年级下·河南·期末）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 a b 0.601 0.599 0.602 (1)表中________；________； (2)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到0.1）； (3)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个，然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在，请你推测x可能是多少？ 【变式9-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）某校九年级（）班位同学每人一组，每人做次抛掷两枚硬币的试验，想看看“出现两个正面”的频率是否会逐渐稳定下来，得到了下面个试验结果． 第一组同学的学号 出现两个正面的次数 第二组同学的学号 出现两个正面的次数 第三组同学的学号 出现两个正面的次数 第四组同学的学号 出现两个正面的次数 (1)学号为的同学在次试验中，“出现两个正面”成功了几次？成功率是多少？他是他所在小组同学中成功率最高的人吗？ (2)学号为和的两位同学在次试验中的成功率一样吗？如果他们两人再分别做次试验，成功率还会出现类似的情况吗？ (3)如何计算一组同学的成功率？哪一组的成功率最高？ (4)逐步累计所有同学的试验结果，完成下面的数据统计表，如果把这张表画成相应的折线图，你会看到什么？ 抛掷次数 出现两个正面的频数 出现两个正面的频率 【变式9-3】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）临安清凉峰自然保护区内生活着野兔和野鸡，科研人员需要预估保护区内这两种动物的总数量．科研人员随机捕捉100只动物，其中野兔60只，野鸡40只，分别做好标记后放回保护区．待标记动物充分混合在种群中后，依次捕捉不同数量的动物，统计两类动物的数量． (1)估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率； (2)若科研人员在保护区里随机捕捉500只动物，野兔360只，野鸡140只．其中，带有标记的野兔有12只，带有标记的野鸡有8只．请你估计该保护区中共有多少只野兔和多少只野鸡？ 题型十 概率的应用 【例10】（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）小明和小亮玩一个抽卡游戏：一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字． (1)小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为__________________； (2)小明从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并摇匀，小亮再随机抽取一张，请用列表法或画树状图进行分析，若两人抽取卡片上的数字之积为无理数，则小明胜；否则小亮胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 💡破题要诀 ① 判断公平：分别计算各方获胜的概率，相等则公平，不等则不公平。 ② 设计公平规则：使各方获胜的结果数相等，或调整得分规则使期望相同。 ③ 务必分清「放回」与「不放回」，两者算出的概率往往不同。 ④ 先后抽取时：不放回情况下，各个位置抽中某物的概率其实是相同的（可计算验证）。 ⑤ 决策类问题：比较各方案的获胜概率或期望收益，选择更优者。 迁移应用 【变式10-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）某次抽奖活动，中奖率为，请你通过试验估计： (1)抽奖10次，至少有一次中奖的概率； (2)抽奖10次，才第一次中奖的概率． 【变式10-2】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）《测圆海镜》《四元玉鉴》《几何原本》均为世界数学宝库中不可多得的瑰宝．将上述三本数学典籍依次记为、、，将2个写有字母，6个写有字母，4个写有字母的形状大小完全相同的小球放入一个不透明的布袋中，将袋中的小球摇匀后，从中随机摸出一个小球，记下小球上的字母后放回，记为随机摸球1次． (1)随机摸球20次，其中摸出写有字母的小球4次，则这20次摸球中，摸出写有字母的小球的频率是________； (2)已知《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国著作，《几何原本》是外国著作，小美和小乐玩摸球游戏，随机摸球1次，若摸出的小球上字母所对应的典籍是我国著作，则小美赢；若摸出的小球上字母所对应的典籍是外国著作，则小乐赢．请分别计算出小美赢的概率和小乐赢的概率，并说明谁赢的概率大． 【变式10-3】（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）为迎接党的二十大胜利召开，我市组织了形式多样的主题教育，某校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将该校九年级学生成绩统计如图所示． (1)该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ； (2)m的值为 ，请将条形统计图补充完整； (3)学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．小明买彩票中奖 B．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 C．任意三角形的两边，其差小于第三边 D．在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，是随机事件的是（   ） A．任意画两个圆，这两个圆是等圆 B．平面上画一个三角形，其内角和是 C．直径所对的圆周角为直角 D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 3．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列事件是不确定事件的是（   ） A．抛掷一枚硬币，硬币终将落下 B．打开电视，正在播放新闻 C．太阳从东边升起 D．从只装有3个白球的袋子中摸出一个球是白球 4．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟实验，将不规则图案放在边长为的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据． 由此可估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）为组建学校秋季田径运动会开幕式彩旗队，九（1）班决定从符合身高条件的3名男生和2名女生中随机抽调两名学生进入彩旗队．则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知杭州市区昨天晴，今天晴，那么“杭州市区明天天晴”这一事件是（   ） A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某种绿豆在相同条件下进行发芽实验，结果如下表所示： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1902 2850 发芽的频率 则估计该种绿豆发芽的概率是______． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）为了解锦绣育才集团学校九年级男生的身高情况，随机抽取了集团学校100名九年级男生，他们的身高x（）统计如下： 组别（） 人数 5 37 43 15 根据以上结果，任意抽查集团学校一名九年级男生，他的身高不小于的概率是_____． 9．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，转盘被分成三个面积相等的扇形（其中2块黑色，1块白色），小明和小亮各转动转盘一次，若指针落在同种颜色上，则小明胜；否则，则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？若不公平，请你用概率的知识说明谁获胜的概率大． 19．（25-26九年级上·浙江·期中）学校组织综合实践活动，有10名同学参加，其中男生6人，女生4人． (1)若从这10人中随机选取一人作为领队，求选到女生的概率． (2)若某项实践活动只在甲、乙两人中选一人，准备以游戏的方式决定由谁参加，规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请说明理由． 11．（25-26九年级上·浙江温州·期中）小丽和小芳玩游戏，规则是：将三张分别写有数字，，的卡片（除数字外卡片完全相同）放在一个不透明的盒子里，随机抽取两张，若抽到两张卡片上的数字之和为偶数则小丽获胜；若为奇数，则小芳获胜． (1)抽到两张卡片数字之和为的概率为______． (2)请用列表法或画树状图分析这个游戏是否公平． 12．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）有两颗相同的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，小风和小荷玩游戏，规定：每人连续投掷2次，若掷出两次的点数之和小于7，则小风胜，否则小荷胜．这个游戏公平吗？请说明理由． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）小实同学翻开数学课本某页，页码是偶数，这一事件是（） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．无法判断 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）某射箭运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中10环”的次数 65 136 210 284 350 552 700 “射中10环”的频率 0.65 0.68 0.70 0.71 0.70 0.69 0.70 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是（    ） A．0.65 B．0.60 C．0.70 D．0.75 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答问题： 试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000 投中的次数 61 93 165 246 753 996 1503 投中的频率 根据表中的数据，估计这位同学投篮一次，投中的概率为______保留一位小数 4．（25-26九年级上·浙江·期中）甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲转动转盘一次，乙转动转盘一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则无效．要重新转动转盘． (1)用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由；若不公平，请改动转盘上的一个数字使得游戏公平（不需要写出理由）． 5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）一个不透明的盒子里装有红，白，黑三种颜色的球共12个，它们除颜色外完全相同，其中红球有5个，白球有4个． (1)从盒子中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率． (2)若往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，使得从盒子里随机摸出一个球，红球的概率不超过，摸出黑球的概率是，请设计一个符合条件的放球方案． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 简单事件的概率 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 事件的分类 考点二 事件的概率计算 考点三 事件的频率 考点四 利用频率估算概率 05 重难题型突破 题型一 事件的分类 题型二 事件可能性大小 题型三 概率公式计算概率 题型四 几何概率 题型五 已知概率求数量 题型六 列表法树状图求概率 题型七 频率与概率的关系 题型八 求频率 题型九 由频率估算概率 题型十 概率的应用 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点与题型 本章内容相对独立、篇幅较小。常考考点：必然事件、不可能事件、随机事件的判断；简单随机事件概率的计算 （摸球、掷骰子、转盘、抽卡片）；用列表法或画树状图求两步（或多步）事件的概率；用频率估计概率（大量重复试验下频率稳定于概率附近）；游戏公平性的判断与规则设计。题型以选择、填空为主，解答题多为“列表或画树状图求概率，再判断游戏是否公平”，约 10%—15%。 难易度 难度系数约 0.80，属于“送分章节”，但送分并不等于稳拿。失分点几乎都在过程与细节：不列表、不画树状图直接写答案；“放回”与“不放回”两种情形混淆导致结果数统计错误；求概率时未说明所有可能结果是否等可能；频率估计概率题中把一次试验的频率当作概率。 识记 ① 能说出必然事件、不可能事件、随机事件的定义，会判断给定事件属于哪一类，知道 ，必然事件 、不可能事件 。 ② 能说出概率的定义：在等可能情形下，，其中 是所有等可能结果的总数， 是事件 包含的结果数。 ③ 能说出用频率估计概率的条件：只有在大量重复试验下，频率才会稳定在概率附近。 ④ 能说出列表法与画树状图法的适用情形与书写要求。 理解 ① 理解“等可能”是古典概型的前提，能判断题目给出的结果是否等可能（如转盘中圆心角不等的两块区域不是等可能）。 ② 理解“放回”与“不放回”对结果总数的影响，能说明为什么两种情形下的概率通常不同。 ③ 理解频率与概率的区别与联系：频率是试验值、概率是理论值，试验次数越多频率越接近概率。 ④ 理解游戏公平性的判断依据：双方获胜的概率是否相等。 应用 ① 能用 计算一步事件的概率（摸球、掷骰子、抽卡片、转盘）。 ② 能规范地用列表法或树状图求两步（或多步）事件的概率，写出所有等可能结果并统计符合要求的个数。 ③ 能判断游戏是否公平，并能修改规则使其公平（如调整得分或改变球的个数）。 ④ 能结合统计图表用频率估计概率，并据此估计总数（如由摸到白球的频率估计袋中白球个数）。 考点一 事件的分类 （1）确定事件:事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． ⚠️概念辨析 事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 考点二 事件的概率计算 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：如果事件发生的各种可能性相同且相互排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m（m≤n），那么事件A发生的概率为 考点三 事件的频率 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率，会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． 考点四 利用频率估算概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 题型一 事件的分类 【例1】（2026·江苏盐城·中考真题）已知事件：①小明去公交车站的路上经过一个十字路口，正好是绿灯；②小明到达公交车站时，公交车正在驶来．下列说法正确的是（     ） A．①是随机事件，②是必然事件 B．①②都是必然事件 C．①是必然事件，②是随机事件 D．①②都是随机事件 【答案】D 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此逐一判断即可． 【详解】解：①经过十字路口时，信号灯颜色不确定，正好是绿灯可能发生也可能不发生，是随机事件； ②到达公交车站时，公交车是否驶来不确定，正在驶来可能发生也可能不发生，是随机事件； 故①②都是随机事件 ． 💡破题要诀 ① 必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，概率为 1。 ② 不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，概率为 0。 ③ 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，概率在 0 与 1 之间。 ④ 判断关键是「在一定条件下」——条件变了，事件的类别可能随之改变。 ⑤ 可先问自己：这个结果是不是唯一确定的？唯一就是必然或不可能，不唯一就是随机 迁移应用 【变式1-1】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）下列事件为必然事件的是（     ） A．任意买一张电影票，座位号是奇数 B．打开手机，正好刷到学习主播正在直播 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．3个人分成两组，一定有2个人分在一组 【答案】D 【分析】以必然事件的定义为依据，筛选正确选项． 【详解】解：A选项：任意买一张电影票，座位号可能是奇数也可能是偶数，事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意， B选项：出现的直播可能是有关学习的，也有可能不是，事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意， C选项：三角形内角和为，内角和为的情况不可能发生，属于不可能事件，不符合题意， D选项：3个人分成两组，只能分为1人和2人的情况，一定有2个人分在一组，属于必然事件，符合题意． 【变式1-2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）连续抛掷一枚质地均匀的硬币四次，有两次正面朝上，这一事件是（     ） A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵连续抛掷一枚质地均匀的硬币四次，正面朝上的次数可能为0次，1次，2次，3次，4次， ∴有两次正面朝上的情况可能发生,也可能不发生， ∴该事件是随机事件． 【变式1-3】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）“在只装有白棋的盒子中摸出一颗棋子是白棋”是________事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 【答案】必然 【详解】解：必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件，随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 ∵盒子中只装有白棋， ∴摸出一颗棋子一定是白棋，该事件一定发生， 因此该事件是必然事件． 题型二 事件可能性大小 【例2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列诗句所描述的事件中，发生的可能性最小的是（     ） A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．红豆生南国 【答案】C 【分析】不可能事件发生的可能性为，是所有事件中最小的，以此为突破口判断各选项的事件类型即可． 【详解】解：A选项“黄河入海流”与D选项“红豆生南国”均为必然事件，发生的可能性为； B选项“大漠孤烟直”是随机事件，发生的可能性在与之间； C选项“手可摘星辰”是不可能事件，发生的可能性为． ∴ 发生可能性最小的是C选项对应的事件． 💡破题要诀 ① 先看每个事件包含的结果个数，个数越多，发生的可能性越大。 ② 几何背景的问题比较区域面积的大小，用面积之比表示可能性。 ③ 可能性的大小用 0 到 1 之间的数表示，0 为不可能、1 为必然。 ④ 牢记：可能性大不等于一定发生，可能性小也不等于一定不发生。 ⑤ 比较时要在「所有结果等可能」的前提下进行。 迁移应用 【变式2-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）在一口锅里有外表一样的汤圆，其中7个是花生馅的，5个是黑芝麻馅的，8个是豆沙馅的，2个是山楂馅的．小文随意捞起一个，捞到可能性最大的汤圆是（     ） A．花生馅汤圆 B．豆沙馅汤圆 C．黑芝麻馅汤圆 D．山楂馅汤圆 【答案】B 【分析】总情况数固定时，某一类事件对应的数量越多，发生该事件的可能性越大，只需比较不同馅料汤圆的数量即可求解. 【详解】解：由题意得四种汤圆的数量分别为：花生馅7个，黑芝麻馅5个，豆沙馅8个，山楂馅2个， ∵ ，豆沙馅汤圆的数量最多， ∴ 随意捞起一个，捞到豆沙馅汤圆的可能性最大. 【变式2-2】（25-26六年级下·上海青浦·期末）一个不透明的纸箱里共装有18个球，其中有5个白球，6个黄球，剩余的都是红球，摸出_____球的可能性最大． 【答案】红 【分析】先计算红球的数量，再比较三种颜色球的数量，数量越多，摸出的可能性越大． 【详解】解：共有18个球，5个白球，6个黄球， 则红球的个数为（个）， ，红球的数量最多， 因此摸出红球的可能性最大． 【变式2-3】（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）袋中有个除颜色外其余均相同的球，其中个红球，个蓝球，从中任意摸一个，摸到___________球的可能性大． 【答案】蓝 【分析】当所有球除颜色外其余均相同时，摸到某种球的可能性大小由该种球的数量决定，数量越多，摸到的可能性越大，只需比较两种颜色球的数量即可判断结果． 【详解】解：由题意可得，袋中有个除颜色外其余均相同的球，其中红球个，蓝球个， 比较两种球的数量得， 蓝球的数量多于红球的数量， 因此摸到蓝球的可能性大． 题型三 概率公式计算概率 【例3】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）现有一个质地均匀的正方体，六个面分别标有图案“●”“▲”“▲”“★”“★”“★”．秀秀投掷一次正方体，出现“★”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等可能事件的概率计算方法，用出现“★”的面数与总面数的比求解． 【详解】解：投掷一次正方体，共有6种等可能的结果，其中出现“★”的结果有3种，故所求概率为． 💡破题要诀 ① 先求 ：所有等可能结果的总数。 ② 再求 ：其中符合条件的结果数。 ③ 代入 ，结果化为最简分数。 ④ 前提条件必须成立：结果是有限的，且每一种结果都是等可能的。 ⑤ 数结果时要有条理（分类编号或列表），防止重复或遗漏。 迁移应用 【变式3-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）一枚质地均匀的正八面体骰子的八个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6、7、8．投掷这枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果． (1)掷得“7”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？ (2)掷得的数不是“7”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？ (3)掷得的数小于或等于“6”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？ 【答案】(1)；这个数值表示投掷这枚正八面体骰子，朝上面所标数字为“7”出现的可能性为． (2)；这个数值表示投掷这枚正八面体骰子，朝上面所标数字不为“7”出现的可能性为． (3)；这个数值表示投掷这枚正八面体骰子，朝上面所标数字小于或等于“6”出现的可能性为． 【分析】（1）（2）（3）先确定所有等可能结果数以及符合题意的结果数，再利用概率公式求概率，然后根据概率的意义即可解答． 【详解】（1）解：在数字1、2、3、4、5、6、7、8中，共有8种等可能结果，其中7的结果数为1， ∴掷得“7”的概率是，这个数值表示：投掷这枚正八面体骰子，朝上面所标数字为“7”出现的可能性为． （2）解：在数字1、2、3、4、5、6、7、8中，共有8种等可能结果，其中不是7的结果数为7， ∴掷得的数不是“7”的概率是，这个数值表示投掷这枚正八面体骰子，朝上面所标数字不为“7”出现的可能性为． （3）解：在数字1、2、3、4、5、6、7、8中，共有8种等可能结果，其中小于或等于“6”的结果数为6， ∴掷得的数小于或等于“6”的概率是，这个数值表示投掷这枚正八面体骰子，朝上面所标数字小于或等于“6”出现的可能性为． 【变式3-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）一个布袋中放着个红球和个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀．从布袋中任取个球，取出黑球与取出红球的概率分别是多少？ 【答案】取出黑球的概率为；取出红球的概率为 【分析】根据概率公式，随机事件的概率等于所求情况数除以所有可能的总情况数，代入计算即可． 【详解】解：取出黑球的概率为； 取出红球的概率为． 【变式3-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）班级里有位女同学和位男同学，每位同学的名字都被分别写在一张小纸条上，并放入一个盒中搅匀．如果老师随机地从盒中取出1张纸条，那么是抽到男同学名字的概率大还是抽到女同学名字的概率大，还是这两个概率一样大？ 【答案】 抽到男同学名字的概率大 【详解】解：全班一共有名同学，全班同学名字被抽到的概率是均等的，因此所有机会均等的结果有个，男同学名字被抽到的结果有个，女同学名字被抽到的结果有个． ∴抽到女同学名字的概率为，抽到男同学名字的概率为， ∵， ∴抽到男同学的概率大． 题型四 几何概率 【例4】（2026·山东淄博·中考真题）如图是书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，将一个小球在书房的地板上自由地滚动，小球随机地停在某块方砖上，则小球停在黑砖上的概率是______． 【答案】 【分析】由题意可知书房里所有地砖的数量以及黑色地砖的数量，代入概率公式即可求解． 【详解】解：由题意可知，书房里地砖共有块，其中黑色地砖有块， 小球停在黑砖上的概率为． 💡破题要诀 ① 识别特征：结果有无限多个，不能用个数来数，只能用「度量」来算。 ② 公式：。 ③ 先算出总区域的度量（长度、面积或角度），再算出目标区域的度量。 ④ 转盘问题要确认各扇形是否等分；指针落在边界线上时要按题意处理。 ⑤ 区域有重叠时，注意不要重复计算（可用加减去重）。 迁移应用 【变式4-1】（2026·山东济南·中考真题）如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑砖上的概率是________． 【答案】 【分析】它最终停留在黑砖上的概率是黑色区域的面积与总面积的比值，解答即可． 【详解】解：设每块小正方形的面积为1，则总面积为12，黑砖的面积为6， 故它最终停留在黑砖上的概率是． 【变式4-2】（25-26七年级下·四川成都·期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 【答案】 【分析】设七巧板拼成的正方形总面积为，根据七巧板的结构特征确定各块板的面积占比，识别图2中黑色部分对应的板件，计算黑色部分面积与总面积的比值即可． 【详解】解：如图所示， 设七巧板拼成的正方形总面积为，七巧板由2个大等腰直角三角形（A），1个中等腰三角形（B），2个小等腰直角三角形（C），1个正方形（D），1个平行四边形（E）构成， ∴1个大等腰直角三角形A的面积为， 中等腰直角三角形B的面积为， 正方形D的面积为， 平行四边形E的面积均为， 1个小等腰直角三角形C的面积均为， ∵“天鹅”作品黑色部分为1个大等腰直角三角形和1个正方形， ， “天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是． 【变式4-3】（25-26七年级下·四川达州·期末）在半径为5的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为 __________．（π取3） 【答案】 【分析】根据已知首先求出圆的面积以及正方形的面积，即可得出落在正方形内的概率． 【详解】解：圆的面积为， 正方形的边长为，则其面积为， ∴落在正方形内的概率为. 题型五 已知概率求数量 【例5】（25-26九年级下·四川达州·期中）一个不透明的盒子中装有红、黑、白三种不同颜色的球，其中红球有2个，黑球有4个，白球有m个，这些球除颜色外其余均相同．若从盒子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则m的值为_____． 【答案】3 【分析】根据概率公式，利用摸到白球的概率为建立关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：盒子中球的总个数为， 根据题意得， 交叉相乘得， 移项合并得， 解得， 经检验，是原方程的解． 故m的值为3． 💡破题要诀 ① 设未知数量为 ，并用 表示出总数。 ② 用含 的式子表示出符合条件的结果数。 ③ 列出方程 （注意分子是符合条件数、分母是总数，不要颠倒）。 ④ 解方程求出 ，并检验它是否为正整数、是否符合实际。 ⑤ 同时要看清是「放回」还是「不放回」，两者总数不同。 迁移应用 【变式5-1】（2022·福建漳州·模拟预测）在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．从中随机摸出一个球，若摸到红球的概率为，则口袋中白球的个数是 _____个． 【答案】 【分析】根据概率的求法，确定全部等可能情况的总数，符合条件的情况数目，利用概率公式列方程求解即可． 【详解】解：设口袋中白球有个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意， 口袋中白球的个数是． 【变式5-2】（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）在一个不透明的袋子中装有6个白色乒乓球和10个黄色乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同． (1)下列事件： ①从袋子中同时摸出7个乒乓球至少有一个是黄球； ②从袋子中同时摸出2个乒乓球都是白球； ③从袋子中摸出1个乒乓球是红球． 其中不可能事件是________，必然事件是________，随机事件是________；（填序号） (2)如果在袋中再放入若干个白球，使“摸到白球”的概率为0.5，那么袋中新放入了多少个白球？ 【答案】(1)不可能事件是③，必然事件是①，随机事件是② (2)4个 【分析】（1）根据袋子里的球的数量和颜色，即可判断； （2）当袋子里白球的数量等于黄球的数量时，“摸到白球”的概率为0.5，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵袋子里没有红球， ∴摸出1个乒乓球是红球是不可能事件； ∵袋子里只有6个白色乒乓球，其余都是黄球， ∴摸出7个乒乓球至少有一个是黄球是必然事件； ∵袋子里有6个白色乒乓球和10个黄色乒乓球， ∴摸出2个乒乓球都是白球是随机事件． （2）解：∵“摸到白球”的概率为0.5， ∴袋子里白球的数量等于黄球的数量， ∴袋中新放入的白球数量为（个）． 【变式5-3】（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）某大型超市店庆开展幸运摸球抽奖活动，抽奖箱中装有红色一等奖球、黄色二等奖球、白色纪念球共计50个，小球大小、重量一模一样，无法靠手感区分．顾客随机从中摸取1个小球，摸到红球斩获一等奖．工作人员清点奖品球数量时得知：黄球的数量比白球数量的2倍少5个，摸到红球的概率为． (1)求抽奖箱中白球的个数； (2)求从抽奖箱中摸出一个球是黄球的概率； (3)从抽奖箱中取走2个白球和3个黄球后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率． 【答案】(1)抽奖箱中白球的个数为15个； (2)从抽奖箱中摸出一个球是黄球的概率为； (3)从剩余的球中摸出一个球是红球的概率为． 【分析】（1）总个数乘以红球的概率求出红球个数，据此得出黄、白球的总个数，设抽奖箱中白球的个数为x个，根据黄球个数比白球个数的2倍少5个及球的总个数列出关于x的方程，解之即可； （2）用黄球的个数除以球的总个数即可； （3）用红球的个数除以抽奖箱中剩余球的总个数即可． 【详解】（1）解：抽奖箱中红球的个数为（个）， 则抽奖箱中黄、白球的总个数为（个）， 设抽奖箱中白球的个数为x个， 则， 解得， ∴抽奖箱中白球有15个； （2）解：由（1）知，抽奖箱中黄球的个数为个， 所以从抽奖箱中摸出一个球是黄球的概率为； （3）解：取走2个白球和3个黄球后，红球有10个，球的总个数为45个， 所以从剩余的球中摸出一个球是红球的概率为． 题型六 列表法树状图求概率 【例6】（26-27九年级上·全国·课后作业）取三枚硬币：在第1枚的正面贴上红色标签，反面贴上蓝色标签；在第2枚的正面贴上蓝色标签，反面贴上黄色标签；在第3枚的正面贴上黄色标签，反面贴上红色标签．同时抛掷这三枚硬币，求硬币落地后出现下列颜色的各个事件的概率： (1)颜色各不相同； (2)两黄一红； (3)都是红色； (4)两红一蓝； (5)两黄一蓝． 【答案】(1)颜色各不相同的概率为． (2)两黄一红的概率为． (3)都是红色的概率为． (4)两红一蓝的概率为． (5)两黄一蓝的概率为． 【分析】（1）先根据题意画出树状图，再确定所有等可能结果数以及颜色各不相同的结果数，然后利用概率公式求解即可； （2）（3）（4）（5）根据（1）的树状图，分别确定所有等可能结果数以及满足题意的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知：共有8种等可能结果，其中颜色各不相同的结果数为2，故颜色各不相同的概率为． （2）解：由（1）树状图可知：共有8种等可能结果，其中两黄一红的结果数为1，故两黄一红的概率为． （3）解：由（1）树状图可知：共有8种等可能结果，其中都是红色的结果数为0，故都是红色的概率为0． （4）解：由（1）树状图可知：共有8种等可能结果，其中两红一蓝的结果数为1，故两红一蓝的概率为． （5）解：由（1）树状图可知：共有8种等可能结果，其中两黄一蓝的结果数为1，故两黄一蓝的概率为． 💡破题要诀 ① 第一件事就是分清「放回」还是「不放回」：不放回时总数少 1，且不能出现（自身，自身）这样的结果。 ② 两步试验可用列表法或树状图；三步及以上用树状图更清晰。 ③ 列表要把所有格子填全（含对角线）；不放回时把对角线上的格子划掉。 ④ 从表（图）中数出总数 和符合条件的结果数 。 ⑤ 规范书写：先列表或画树状图，再写「共有 种等可能的结果，其中……有 种，所以 」。 迁移应用 【变式6-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）小明有红色、白色、黄色、黑色四件衬衫，又有米色、蓝色两条长裤．如果他最喜欢的搭配是白色衬衫配蓝色长裤，那么黑暗中他随机拿出衬衫一件、长裤一条，正好是他最喜欢的搭配的概率是多少？如果他不喜欢红色衬衫配蓝色长裤或者黑色衬衫配蓝色长裤，那么，黑暗中他随机拿出的衬衫与长裤正好是他不喜欢的搭配的概率又是多少？ 【答案】； 【分析】根据题意先列出树状图，再依据树状图求概率． 【详解】解：衬衫与长裤的搭配情况如图所示： 由树状图可知，衬衫与长裤的搭配共有8种机会均等的情况，其中白色衬衫配蓝色长裤只有1种情况，红色衬衫配蓝色长裤与黑色衬衫配蓝色长裤分别各有1种情况，记“小明最喜欢的搭配”为事件，“小明不喜欢的搭配”为事件， ， ． 【变式6-2】（2026·吉林四平·模拟预测）甲，乙两人玩卡牌游戏，甲从牌面数字为2，3，4的三张牌中随机取出一张牌，乙从牌面数字为5，6两张牌中随机取出一张牌．用画树状图或列表的方法求甲、乙两人抽出牌上的数字之和为奇数的概率． 【答案】 【分析】列表可得出所有等可能的结果即可得出甲、乙两人抽出牌上的数字之和为奇数的结果，再利用概率公式可得答案． 【详解】解：列表如下： 5 6 2 3 4 由表格可得，共有6种等可能的结果，其中甲、乙两人抽出牌上的数字之和为奇数的结果有3种， 甲、乙两人抽出牌上的数字之和为奇数的概率为． 【变式6-3】（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）2025年全明星篮球赛时隔24年将再次落户长春．小明和小张是篮球运动的爱好者，他们相约一起去现场观赛，现场的普通观赛区分为A、B、C三个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．如果小明和小张都购买普通观赛区的门票，用画树状图（或列表）的方法，求小明和小张不在同一区域观看比赛的概率． 【答案】 【分析】画出树状图得到所有等可能的结果，再找到两人不在同一区域观看比赛的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知一共有9种等可能的结果，其中小明和小张不在同一区域观看比赛的结果有6种， ∴小明和小张不在同一区域观看比赛的概率为． 题型七 频率与概率的关系 【例7】（26-27九年级上·北京·期中）林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数m 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数n 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率（精确到） 下列说法正确的是（    ） A． 若移植100棵幼树，成活数一定为90棵 B． 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为 C． 移植的幼树越多，成活率越高 D． 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 【答案】B 【详解】解：A、成活数不一定为90棵，频率具有随机性，说法错误，不符合题意； B、从统计数据看，当移植总数较大时（如1500、3500、7000、14000），成活频率分别为 ，均在左右摆动，显示出稳定性，可以用频率估计该幼树移植成活的概率为，说法正确，符合题意； C、随着移植的幼树总数的增加，成活率逐渐趋于并稳定于一个数值，说法错误，不符合题意； D、基于概率估计，移植270棵时成活数可能超过235棵（如 ），说法错误，不符合题意． 💡破题要诀 ① 频率是试验值：随试验次数和随机性波动，不是固定的。 ② 概率是理论值：是事件本身固有的属性，是一个固定的常数。 ③ 关系：试验次数越多，频率通常越稳定地在概率附近摆动。 ④ 结论：频率可以用来估计概率，但频率不等于概率。 ⑤ 一次或少数几次试验的频率没有参考价值，必须大量重复试验。 迁移应用 【变式7-1】（25-26七年级下·山东枣庄·期末）为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%，下列说法错误的是（     ） A．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 B．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 C．钉尖着地的频率是0.4 D．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 【答案】A 【分析】大量重复试验中，频率稳定在某个常数附近，但少量试验的结果是随机的，不一定符合整体频率的比例． 据此逐一判断选项即可． 【详解】解：频率是大量试验的统计结果，少量试验的结果具有随机性， ∴前次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是次，A选项说法错误，符合题意． 前次试验结束后，结果具有随机性，钉尖着地的次数不一定是次，因此B选项说法正确，不符合题意． 大量重复试验后，钉尖着地次数占总次数的，可得，∴C选项钉尖着地的频率是，说法正确，不符合题意． 根据用频率估计概率的性质，随着试验次数增加，钉尖着地的频率会逐渐稳定在一个常数附近， ∴D选项说法正确，不符合题意． 【变式7-2】（25-26九年级上·浙江湖州·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】概率P是固定值，频率f随试验次数增加在P附近波动并趋于稳定. 本题考查频率与概率的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键. 【详解】解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近. ∴ 选项D正确. 故选：D. 【变式7-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球．下列说法正确的是（    ） A．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大 B．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小 C．重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定 D．重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定 【答案】D 【分析】本题考查频率与频数的概念以及频率的稳定性． 频数是事件发生的次数，频率是频数与总次数的比值. 随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定在概率附近． 【详解】解：A、摸到黄球的频数增大时，总摸球次数也会增加，频率是频数与总次数的比值，因此频率不一定增大，该说法错误，不符合题意； B、同理，频数增大时总次数也增加，频率不一定减小，该说法错误，不符合题意； C、频数是摸到黄球的次数，会随试验次数增加而增加，不会稳定，该说法错误，不符合题意； D、重复多次摸球后，摸到黄球的频率会逐渐稳定在概率附近，该说法正确，符合题意． 故选：D． 题型八 求频率 【例8】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率 (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 【答案】(1)，； (2)； (3)次 【分析】根据表格中数据求出、的值即可； 根据频率估计概率即可； 根据抽到“闪电”的概率，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，从而得出抽到“凌云”概率，再用乘以抽到“凌云”的概率即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：由表可知抽到“闪电”的概率的估计值是， 故答案为：； （3）解：∵抽到“闪电”的概率为，抽到其他三种徽章的概率相同， ∴抽到“凌云”的概率为， ∴抽到“凌云”的次数为（次）． 💡破题要诀 ① 基本公式：频率 = 频数 ÷ 数据总数。 ② 反求公式：数据总数 = 频数 ÷ 频率；频数 = 总数 × 频率。 ③ 检验：各组频数之和等于总数，各组频率之和等于 1。 ④ 从统计图中读取数据时，注意看清每格代表的数量和单位。 ⑤ 频率通常用小数或百分数表示，结果按要求取精确度。 迁移应用 【变式8-1】（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）“一人一盔安全守规,一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 491 986 1470 1964 3932 合格品频率 (1)求出表中 ， ； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是 （精确到0.01）； (3)如果要出厂49000顶合格的头盔,若用（2）中的估计值作为生产头盔中合格品的概率,则该厂估计要生产多少头盔？ 【答案】(1)， (2) (3)该厂估计要生产50000顶头盔 【分析】（1）根据表中数据计算即可； （2）由表中数据可判断频率在左右摆动，再由频率估计概率可判断任意抽取一顶头盔是合格品的概率为； （3）用样本数据估计总体即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一顶是合格品的频率在附近波动， 所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是； （3）解：（顶）． 答：该厂估计要生产50000顶头盔是合格品． 【变式8-2】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如表是某厂质检部门对该厂生产的一批灯泡质量检测的情况． 抽取的灯泡数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 987 1488 1982 2973 3960 合格品率 0.988 0.987 0.992 0.991 0.990 (1)求出表中_____，_____； (2)根据上表，估计从这批灯泡中任意抽取一颗，它是合格品的概率（精确到0.01）． 【答案】(1)494   0.991 (2)从这批灯泡中任意抽取一颗，它是合格品的概率为0.99 【分析】（1）利用500乘以其合格品率即可求出，利用1982除以2000即可求出； （2）由表中数据可判断合格品率在0.99左右摆动，根据频率估计概率可判断从这批灯泡中任意抽取一颗是合格品的概率． 【详解】（1）解：，． （2）解：随着抽取灯泡数增大，合格品频率逐渐稳定在0.99附近，根据频率估计概率，且结果精确到0.01， 从这批灯泡中任意抽取一颗，它是合格品的概率为0.99． 【变式8-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）在一个不透明的口袋里装着除颜色外完全相同的黑、白两种颜色的球共25个．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动过程中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的频数 42 66 b 202 324 401 摸到白球的频率 a 0.44 0.41 0.404 0.405 0.401 (1)填空：表中__________，__________； (2)任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值是__________（精确到0.1）； (3)若向口袋里再加入个白球，这时从口袋里任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值为0.5，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据频率=频数÷总次数的关系，可计算出、的值； （2）大量重复试验中频率稳定在概率附近的性质，由表格数据即可得出答案； （3）根据概率公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据频率的计算公式，可得， 根据频数的计算公式，可得； （2）解：观察表格可知，当摸球次数很大时，摸到白球的频率逐渐稳定在附近， 因此任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值是； （3）解：由（2）中得到的概率估计值，可得口袋中原有白球数量约为（个）， 向口袋中加入个白球后，白球总数量为个，球的总数量为个， 根据题意列方程得， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 因此的值为． 题型九 由频率估算概率 【例9】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）为了解一种豆苗的成活率．调查小组将调查数据绘制成统计图，则可估计这种豆苗成活的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率． 【详解】解：由统计图可知，随着种植数量的增加，成活的频率逐步稳定在附近， 可估计这种豆苗成活的概率约是． 💡破题要诀 ① 前提：试验次数足够多，频率已经稳定在某一个数附近。 ② 做法：取多次试验频率的平均值，或观察频率稳定在什么数值附近，用这个数作为概率的估计值。 ③ 估计总体数量：总体中某类的数量 ≈ 总数 × 估计概率。 ④ 样本估计法：如「捕 条做标记放回，再捕 条中有 条带标记」⟹ 总数 ≈ 。 ⑤ 样本必须具有随机性和代表性，否则估计无效。 迁移应用 【变式9-1】（25-26七年级下·河南·期末）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 a b 0.601 0.599 0.602 (1)表中________；________； (2)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到0.1）； (3)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个，然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在，请你推测x可能是多少？ 【答案】(1)0.57；0.604 (2)0.6 (3)12 【分析】（1）直接根据概率公式：频率频数总次数计算即可； （2）大量重复试验可以说明摸到白球概率约为； （3）先求出原来盒子里的白球数，再考虑放了个球后盒子内总球数和白球数量，利用白球数量总球数计算即可． 【详解】（1）解：根据频率公式得，； （2）解：通过统计表可观察出随着摸球次数增加，摸到白球的频率稳定在0.6左右， 故估计摸到白球的概率约为0.6． （3）解：原盒子里共有白球数为（个），现放了2个白球，则放了个黑球，现在盒子里共有个球， 根据题意，得，解得． 【变式9-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）某校九年级（）班位同学每人一组，每人做次抛掷两枚硬币的试验，想看看“出现两个正面”的频率是否会逐渐稳定下来，得到了下面个试验结果． 第一组同学的学号 出现两个正面的次数 第二组同学的学号 出现两个正面的次数 第三组同学的学号 出现两个正面的次数 第四组同学的学号 出现两个正面的次数 (1)学号为的同学在次试验中，“出现两个正面”成功了几次？成功率是多少？他是他所在小组同学中成功率最高的人吗？ (2)学号为和的两位同学在次试验中的成功率一样吗？如果他们两人再分别做次试验，成功率还会出现类似的情况吗？ (3)如何计算一组同学的成功率？哪一组的成功率最高？ (4)逐步累计所有同学的试验结果，完成下面的数据统计表，如果把这张表画成相应的折线图，你会看到什么？ 抛掷次数 出现两个正面的频数 出现两个正面的频率 【答案】(1)成功了次，成功率是，不是他所在小组成功率最高的人 (2)两位同学的成功率一样；再做次试验，成功率不一定出现类似的情况 (3)一组同学的成功率为该组出现两个正面的总次数除以该组试验的总次数；第一组的成功率最高 (4)完成各抛掷次数对应的频数与频率数据统计表如下： 抛掷次数 出现两个正面的频数 出现两个正面的频率 根据统计表画成的折线图如图所示， 根据折线图会看到：随着抛掷次数的增加，出现两个正面的频率逐渐稳定在附近 【分析】（1）在表格找到学号同学的成功次数，代入公式：成功率（频率）成功次数试验总次数，查看同组所有人成功次数，找出最大值对比，判断是否最高，即可得到答案． （2）在表格找到学号为和的两位同学的成功次数进行对比，即可得到答案；根据随机试验的特点：抛掷硬币是随机事件，重复再做一组试验，结果具有随机性，即可得到答案． （3）根据成功率的公式计算，即可得到答案；根据每组人，每人次，得到每组总的试验次数为次，分别算出各组的成功率，比较个百分数，选出最大的一组即可． （4）统计抛掷次至次出现两个正面的频数，根据频率频数累计抛掷次数，得到频率，画出折线图：横轴抛掷总次数，纵轴频率，并根据折线图总结出规律即可． 【详解】（1）解：由表格数据可得：学号为的同学在次试验中，成功了次， ∴成功率是， ∵根据该组中号的同学在次试验中，成功了次，， ∴学号为的同学在次试验中不是他所在小组同学中成功率最高的人； （2）解：∵学号为和的两位同学在次试验中，成功的次数相同，都是次， ∴成功率是一样的， ∵试验的结果是随机的，不确定的， ∴如果他们两人再做次试验，成功率不一定出现类似的情况； （3）解：∵一组同学的成功率为：成功的总次数试验的总次数， ∴一组同学的成功率为该组出现两个正面的总次数除以该组试验的总次数， ∴第一组的成功率为：， 第二组的成功率为：， 第三组的成功率为：， 第四组的成功率为：， ∵， ∴第一组的成功率最高； （4）略． 【变式9-3】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）临安清凉峰自然保护区内生活着野兔和野鸡，科研人员需要预估保护区内这两种动物的总数量．科研人员随机捕捉100只动物，其中野兔60只，野鸡40只，分别做好标记后放回保护区．待标记动物充分混合在种群中后，依次捕捉不同数量的动物，统计两类动物的数量． (1)估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率； (2)若科研人员在保护区里随机捕捉500只动物，野兔360只，野鸡140只．其中，带有标记的野兔有12只，带有标记的野鸡有8只．请你估计该保护区中共有多少只野兔和多少只野鸡？ 【答案】(1) 估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率为 (2) 估计该保护区共有野兔1800只，野鸡700只 【分析】（1）利用第一次捕捉样本中野鸡的频率估计所求概率； （2）依据标记重捕法的比例关系，分别列等式求解野兔和野鸡的总数． 【详解】（1）解：∵随机捕捉的100只动物中，野鸡有40只， ∴样本中捕捉一只动物是野鸡的频率为， ∴估计随机捕捉一只动物是野鸡的概率为； （2）解：设该保护区野兔总数为只，野鸡总数为只， ∵第一次标记野兔60只，重捕的360只野兔中带标记的有12只， ∴， 解得； ∵第一次标记野鸡40只，重捕的140只野鸡中带标记的有8只， ∴， 解得； 答：该保护区约有野兔1800只，野鸡700只． 题型十 概率的应用 【例10】（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）小明和小亮玩一个抽卡游戏：一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字． (1)小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为__________________； (2)小明从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并摇匀，小亮再随机抽取一张，请用列表法或画树状图进行分析，若两人抽取卡片上的数字之积为无理数，则小明胜；否则小亮胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：这个游戏规则不公平． 根据题意列表如下： 小明/小亮 2 3 4 2 2 1 2 4 6 3 −6   6 9 观察图表可知共有16种等可能的结果，其中两人抽取卡片上的数字之积为无理数的结果有0种，乘积是有理数的结果是16种， ，， ， 该游戏规则不公平． 【分析】（1）根据卡片是负数情况的可能性除以总情况即可求出卡片上的数字是负数的概率． （2）根据列表法，求出乘积是无理数的情况，即可求出小明和小亮分别胜出的概率，从而判断游戏是否公平． 【详解】（1）解：负数的卡片的个数是2个，总的卡片是4个， 负数抽取的概率是． （2）略 💡破题要诀 ① 判断公平：分别计算各方获胜的概率，相等则公平，不等则不公平。 ② 设计公平规则：使各方获胜的结果数相等，或调整得分规则使期望相同。 ③ 务必分清「放回」与「不放回」，两者算出的概率往往不同。 ④ 先后抽取时：不放回情况下，各个位置抽中某物的概率其实是相同的（可计算验证）。 ⑤ 决策类问题：比较各方案的获胜概率或期望收益，选择更优者。 迁移应用 【变式10-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）某次抽奖活动，中奖率为，请你通过试验估计： (1)抽奖10次，至少有一次中奖的概率； (2)抽奖10次，才第一次中奖的概率． 【答案】(1) 约为（或） (2) 约为（或） 【分析】（1）利用对立事件，先求全部不中奖的概率，再用减去该概率求解； （2）明确“10次才第一次中奖”为前次未中奖、第次中奖，计算求解． 【详解】（1）解：∵单次抽奖活动中奖率为， ∴ 单次抽奖活动不中奖率为， ∴抽奖次，都不中奖的概率为， ∵至少有一次中奖与次全部不中奖互为对立事件， ∴至少有一次中奖的概率为； （2）解： ∵“抽奖次才第一次中奖”即前次均不中奖，第次中奖， ∴该事件的概率为． 【变式10-2】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）《测圆海镜》《四元玉鉴》《几何原本》均为世界数学宝库中不可多得的瑰宝．将上述三本数学典籍依次记为、、，将2个写有字母，6个写有字母，4个写有字母的形状大小完全相同的小球放入一个不透明的布袋中，将袋中的小球摇匀后，从中随机摸出一个小球，记下小球上的字母后放回，记为随机摸球1次． (1)随机摸球20次，其中摸出写有字母的小球4次，则这20次摸球中，摸出写有字母的小球的频率是________； (2)已知《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国著作，《几何原本》是外国著作，小美和小乐玩摸球游戏，随机摸球1次，若摸出的小球上字母所对应的典籍是我国著作，则小美赢；若摸出的小球上字母所对应的典籍是外国著作，则小乐赢．请分别计算出小美赢的概率和小乐赢的概率，并说明谁赢的概率大． 【答案】(1)； (2)解：， 因为小球上字母为、所对应的典籍是我国著作，小球上字母为所对应的典籍是外国著作，写有字母、、的小球个数分别为2、6、4， 所以小美赢的概率为， 小乐赢的概率为， 因为， 所以小美赢的概率大． 【分析】（1）直接根据频率的公式计算即可； （2）由概率公式分别求出小美赢的概率和小乐赢的概率，再比较即可． 【详解】（1）解：随机摸球20次，其中摸出写有字母的小球4次，则这20次摸球中，摸出写有字母的小球的频率是； （2）略. 【变式10-3】（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）为迎接党的二十大胜利召开，我市组织了形式多样的主题教育，某校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将该校九年级学生成绩统计如图所示． (1)该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ； (2)m的值为 ，请将条形统计图补充完整； (3)学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． 【答案】(1)500， (2)40； (3)解：此规则不合理，理由如下： 画树状图如图所示： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中选甲乙的有8种结果，选丙丁的有4种结果， ∴P（选甲乙），P（选丙丁）． 又∵， 此规则不合理． 【分析】（1）利用“总数量部分数量对应百分比”，即可解答；利用“圆心角的度数 ”，即可得出答案； （2）根据题意先求出“B”等级的人数，据此即可补全条形统计图；进一步得出“B”等级所占百分比，即可得出m的值； （3）根据题意画出树状图，得出所有可能出现的结果，再由概率公式求出选甲乙的概率和选丙丁的概率，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，总人数为：（人）， “D”等级所占圆心角的度数为． （2）解：由题意得，“B”等级的人数为：（人）， ∴“B”等级所占百分比为：，   ∴； 图略． （3）略 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．小明买彩票中奖 B．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 C．任意三角形的两边，其差小于第三边 D．在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球 【答案】D 【分析】本题主要考查了事件的分类． 不可能事件即在一定条件下一定不会发生的事件． 【详解】解：A、小明买彩票中奖是随机事件，不符合题意； B、任意抛掷一只纸杯，杯口朝下是随机事件，不符合题意； C、任意三角形的两边，其差小于第三边是必然事件，不符合题意； D、在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球是不可能事件，符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，是随机事件的是（   ） A．任意画两个圆，这两个圆是等圆 B．平面上画一个三角形，其内角和是 C．直径所对的圆周角为直角 D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 【答案】A 【分析】本题考查了随机事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．选项A中任意画两个圆，它们可能等圆也可能不等圆，具有不确定性；选项B、C、D均为必然事件． 【详解】解： 随机事件是可能发生也可能不发生的事件； A、任意画两个圆，这两个圆的半径可能相等也可能不相等，是随机事件，故本选项符合题意； B、三角形内角和恒为，是必然事件，故本选项不符合题意； C、直径所对的圆周角恒为直角，是必然事件，故本选项不符合题意； D、不在同一直线上的三点总是确定一个圆，是必然事件，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列事件是不确定事件的是（   ） A．抛掷一枚硬币，硬币终将落下 B．打开电视，正在播放新闻 C．太阳从东边升起 D．从只装有3个白球的袋子中摸出一个球是白球 【答案】B 【分析】本题主要考查事件的分类，熟练掌握事件的分类是解题的关键；因此此题可根据不确定事件即随机事件，指可能发生也可能不发生的事件，然后问题可求解． 【详解】解：A项硬币受重力作用必然落下，是确定性事件； C项地球自转方向固定使太阳必然从东边升起，是确定性事件； D项袋中全为白球，摸出白球必然发生，是确定性事件； B项打开电视时，播放内容不确定，可能播放新闻也可能播放其他，为不确定事件； 故选：B． 4．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟实验，将不规则图案放在边长为的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据． 由此可估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据正方形的性质求面积，由频率估计概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 用随机点估计不规则图形面积的方法，基于比例关系求解． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：C． 5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）为组建学校秋季田径运动会开幕式彩旗队，九（1）班决定从符合身高条件的3名男生和2名女生中随机抽调两名学生进入彩旗队．则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用列表法求概率，解题的关键是通过列表列出所有抽取两名学生的可能情况，再找出恰好抽到一男一女的情况数，进而计算概率； 先给学生编号，用列表法枚举所有抽取情况，统计总情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算． 【详解】解：将3名男生记为A、B、名女生记为D、E，列出所有抽取两名学生的所有情况： A B C D E A —— B      —— C           —— D                —— E                     —— 共(种)情况； 其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有：共(种)； 则概率为． 故选：B． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知杭州市区昨天晴，今天晴，那么“杭州市区明天天晴”这一事件是（   ） A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件 【答案】B 【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，也属于不确定事件，据此判断即可． 【详解】解：∵天气情况的变化是随机的，明天可能晴也可能不晴， ∴“杭州市区明天天晴”这一事件可能发生也可能不发生， ∴它是随机事件． 故选：B． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某种绿豆在相同条件下进行发芽实验，结果如下表所示： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1902 2850 发芽的频率 则估计该种绿豆发芽的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．根据用频率估计概率的知识解答即可． 【详解】解：当n足够大时，发芽的频率逐渐稳定于0.95，故用频率估计概率，绿豆发芽的概率估计值是0.95． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）为了解锦绣育才集团学校九年级男生的身高情况，随机抽取了集团学校100名九年级男生，他们的身高x（）统计如下： 组别（） 人数 5 37 43 15 根据以上结果，任意抽查集团学校一名九年级男生，他的身高不小于的概率是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了求概率．根据概率公式解答即可． 【详解】解：因为身高不小于的人数为，总人数为100， 所以概率为． 故答案为． 9．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，转盘被分成三个面积相等的扇形（其中2块黑色，1块白色），小明和小亮各转动转盘一次，若指针落在同种颜色上，则小明胜；否则，则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？若不公平，请你用概率的知识说明谁获胜的概率大． 【答案】 解：这个游戏不公平，理由如下： 画树状图为： 根据树状图可知共有9种等可能性结果，指针指向同种颜色的有5种，指针指向不同颜色的有4种， ∴P（小明获胜），P（小亮获胜）， ∵， ∴这个游戏对双方不公平，小明的获胜概率大． 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，游戏公平性，判断游戏是否公平看其概率是否相等是解题关键． 画树状图得到所有等可能结果，然后找出两人分别获胜的结果数，然后求出概率，比较结果得到游戏的公平性即可． 【详解】略 10．（25-26九年级上·浙江·期中）学校组织综合实践活动，有10名同学参加，其中男生6人，女生4人． (1)若从这10人中随机选取一人作为领队，求选到女生的概率． (2)若某项实践活动只在甲、乙两人中选一人，准备以游戏的方式决定由谁参加，规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：列表如下：     第二张第一张 2 3 4 5 2 5 6 7 3 5 7 8 4 6 7 9 5 7 8 9 任取2张，牌面数字之和的所有可能结果为：5，6，7，5，7，8，6，7，9，7，8，9，共12种，其中和为偶数的有：6，8，6，8， 故甲参加的概率为，而乙参加的概率为． ∵， ∴游戏不公平． 【分析】本题考查简单公式求概率，列表法计算概率等． （1）由题意列式约分即可得到本题答案； （2）由题意列出表格，分别计算出偶数和奇数概率，再进行比较即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵有10名同学参加，其中男生6人，女生4人， ∴选到女生的概率为； （2）略 11．（25-26九年级上·浙江温州·期中）小丽和小芳玩游戏，规则是：将三张分别写有数字，，的卡片（除数字外卡片完全相同）放在一个不透明的盒子里，随机抽取两张，若抽到两张卡片上的数字之和为偶数则小丽获胜；若为奇数，则小芳获胜． (1)抽到两张卡片数字之和为的概率为______． (2)请用列表法或画树状图分析这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)这个游戏不公平 【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．解题的关键是掌握：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）通过画树状图法表示所有可能出现的结果情况，然后根据概率公式求出“抽到两张卡片数字之和为”的概率即可； （2）通过画树状图法表示所有可能出现的结果情况，求出“和为偶数”“和为奇数”的概率，然后进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：画树状图如图： 共有个等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字之和为的结果数有种， ∴（抽到两张卡片数字之和为）， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有个等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的结果数有种，和为奇数的结果数有种， ∴（抽取的两张卡片上的数字之和为偶数）， （抽取的两张卡片上的数字之和为奇数）， ∵， ∴这个游戏不公平． 12．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）有两颗相同的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，小风和小荷玩游戏，规定：每人连续投掷2次，若掷出两次的点数之和小于7，则小风胜，否则小荷胜．这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】 不公平，理由如下： 列表得两次所得点数之情况： 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 一共有36种等可能的结果，点数之和小于7的一共15种情况， 则和小于7的概率，即小风胜的概率为； 和大于或等于7的概率，即小荷胜的概率为；小风和小荷胜的概率不相等， 故这个游戏对双方不公平． 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断，熟练掌握用树状图或表格求概率是解答本题的关键．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【详解】略 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）小实同学翻开数学课本某页，页码是偶数，这一事件是（） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查随机事件、必然事件、不可能事件的定义，涉及知识点：事件的分类（随机事件是可能发生也可能不发生的事件）．解题方法是根据课本页码的特征（既有奇数也有偶数），判断事件发生的可能性；解题关键是区分不同类型事件的定义，易错点是混淆“必然”与“随机”的条件． 【详解】课本的页码有奇数也有偶数，翻开某页时，页码可能是偶数，也可能是奇数， 因此“页码是偶数”这一事件是随机事件． 故选A． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）某射箭运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中10环”的次数 65 136 210 284 350 552 700 “射中10环”的频率 0.65 0.68 0.70 0.71 0.70 0.69 0.70 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是（    ） A．0.65 B．0.60 C．0.70 D．0.75 【答案】C 【分析】本题考查了用频率估计概率，根据频率的稳定性原理，当试验次数大量增加时，频率会逐渐稳定在概率附近．观察表中数据，“射中环”的频率在附近波动，且随着射击次数增加，频率趋于，因此概率估计为． 【详解】∵ 射击次数从增加到时， “射中环”的频率分别为、、、、、、， 整体围绕上下波动， 当射击次数最大（次）时，频率为， ∴ 根据频率的稳定性，可估计这名运动员射击一次时“射中环”的概率为． 故选：C． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答问题： 试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000 投中的次数 61 93 165 246 753 996 1503 投中的频率 根据表中的数据，估计这位同学投篮一次，投中的概率为______保留一位小数 【答案】 【分析】本题考查用频率估计概率，熟练掌握利用频率估算概率是解题的关键；随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在某个常数附近，这个常数即为概率的估计值，然后问题可求解． 【详解】解：由表中数据可知，当试验次数较小时，投中频率波动较大；但随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.50附近（如1500次时频率为0.502，2000次时为0.498，3000次时为0.501）； 因此，估计投中的概率为0.5（保留一位小数）； 故答案为0.5． 4．（25-26九年级上·浙江·期中）甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲转动转盘一次，乙转动转盘一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则无效．要重新转动转盘． (1)用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由；若不公平，请改动转盘上的一个数字使得游戏公平（不需要写出理由）． 【答案】(1) (2)不公平；甲获胜的概率小于乙获胜的概率；把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平 【分析】本题考查了列表法或画树状图求概率，游戏的公平性等知识，正确列表或画出树状图是解题的关键； （1）列表或画树状图，可以求出所有可能事件的总数及事件发生的总数，由概率公式即可求解； （2）根据（1）中列表或树状图可求得乙获胜的概率，若两概率不相等，则改动转盘上的一个数字使得游戏公平即可． 【详解】（1）解：列表如下： A      B 2 3 4 1 3 事件所有可能情况为6种，其中指针所在区域的数字之和为偶数的有2种， 则甲获胜的概率为． 答：甲获胜的概率为． （2）解：不公平； 理由如下： 由（1）知，指针所在区域的数字之和为奇数的有4种， 则乙获胜的概率为． 而甲获胜的概率小于乙获胜的概率， 所以游戏不公平． 把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平． 答：游戏不公平；甲获胜的概率小于乙获胜的概率；把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平． 5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）一个不透明的盒子里装有红，白，黑三种颜色的球共12个，它们除颜色外完全相同，其中红球有5个，白球有4个． (1)从盒子中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率． (2)若往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，使得从盒子里随机摸出一个球，红球的概率不超过，摸出黑球的概率是，请设计一个符合条件的放球方案． 【答案】(1) (2)红，白，黑个数分别是2，1，1（答案不唯一） 【分析】本题考查简单事件的概率计算，理解题意是解答的关键． （1）根据简单事件的概率计算公式求解即可； （2）设加入个红球，个黑球，根据随机摸出一个球，红球的概率不超过，摸出黑球的概率是，列出不等式和方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵红，白，黑三种颜色的球共12个，白球有4， ∴从盒子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是． （2）解：∵红，白，黑三种颜色的球共12个，红球有5个，白球有4个， ∴黑球有个， 往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，则总共个球， 设加入 个红球，个黑球， ∵红球的概率不超过，摸出黑球的概率是， ∴， 解得：，， ∴放入红，白，黑个数分别是2，1，1或者1，2，1或者0，3，1 或者3，0，1 （答案不唯一，选择一种答案即可）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $