精品解析：福建厦门市杏南中学2026-2027学年上学期开学第一次阶段测试卷八年级数学

厦门市杏南中学2026-2027学年上学期开学第一次阶段测试卷八年级数学 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、它不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列长度的三条线段，首尾相接能组成三角形的是（） A. 1，2，3 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 3，4，8 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．，不能组成三角形； B．，不能组成三角形； C．，能组成三角形； D．，不能组成三角形． 3. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴ 故选：C 4. 已知△ABC的三个内角度数之比为3∶4∶5，则此三角形是（ ）三角形． A. 锐角 B. 钝角 C. 直角 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】设三角的度数分别为：3x°4x°5x°，根据三角形内角和定理得3x＋4x＋5x＝180，即可判断． 【详解】解：∵△ABC的三个内角度数之比为3∶4∶5， ∴设三角的度数分别为：3x°4x°5x°， ∴3x＋4x＋5x＝180， 解得：x＝15， ∴三个内角的度数分别为：45°，60°，75°， ∴此三角形为锐角三角形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理及一元一次方程的应用，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 5. 如图，与关于直线对称，下列所连线段中，能被直线垂直平分的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质；根据对称点所连线段被对称轴垂直平分，即可得到答案． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴对称点所连线段被对称轴垂直平分， ∴能被直线垂直平分的是， 故选：D． 6. 如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意得：拿①②或②④可以根据“角边角”得到与原三角形全等的三角形． 7. 如图是“作一个角等于已知角”的尺规作图及其步骤，则下列说法错误的是（） 作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． A. 在作法步骤（2）中，可以得到 B. 在作法步骤（3）中，可以得到 C. D. 判断的依据是 【答案】D 【解析】 【分析】根据尺规作图步骤得出三边对应相等，利用全等三角形判定定理判断． 【详解】解：步骤（2）中以长为半径画弧， ，故A正确． 步骤（3）中以长为半径画弧， ，故B正确． ， ，故C正确，D错误． 8. 下列命题的逆命题是真命题的是（） A. 若，则 B. 垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．逆命题为“若，则”．取，，满足，但，故逆命题为假命题． B．逆命题为“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，是真命题． C．逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”．两个大小不同的等边三角形对应角可以相等，但不全等，故逆命题为假命题． D．逆命题为“如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等”．如和的绝对值相等，但，故逆命题为假命题． 9. 小明把一副，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质．根据三角形的外角的性质结合角的和与差，计算即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ，， ， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 11. 如图，小明做了一个长方形框架，为了保证框架不会变形，采取如图加固方案，其依据是三角形具有______________ 【答案】稳定性 【解析】 【分析】观察图形可知，加固方案将四边形框架转化为三角形结构，利用三角形的几何性质解决问题． 【详解】解：长方形框架属于四边形，四边形具有不稳定性，容易变形．加上木条后，框架中构成了三角形．因为三角形具有稳定性，所以框架不会变形．故依据是三角形具有稳定性． 12. 如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，由和全等得到．那么判定其全等的依据是 ________ 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理，解答即可； 【详解】解：在和中， ， . 13. 若是的中线，，则的长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】是的中线，说明是的中点，代入的长度即可计算得到的长． 【详解】解：∵是的中线， ∴是的中点， ∵， ∴． 14. 用长度为的绳子围成一个等腰三角形，若其中一边为，则该三角形的底边长为______________ 【答案】或 【分析】 分两种情况讨论，即为腰长和为底边长，再结合三角形三边关系逐一验证即可得到结果 【解析】 【详解】解：分两种情况讨论： ① 若为等腰三角形的腰长， 则底边长为，此时三边长为，，，符合三角形三边关系的要求； ②若为等腰三角形的底边长， 则腰长为，此时三边长为，，，符合三角形三边关系的要求； 综上，该三角形的底边长为或． 15. 如图，在中，是边上的高，平分，交于点，则点到BC的距离为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 由题意可知：于F，由线段的和差可得，根据角平分线的性质求出即可解答． 【详解】解：由题意可知：于F， ∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∵平分， ∴，即点到BC的距离为2． 故答案为2． 16. 如图，在中，，，点在上运动，点是上一定点．将沿所在直线折叠，点的对应点为点，当时，__________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：当点在的下方；当点在的上方，分别画图解答即可． 【详解】解：当点在的下方，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点的对应点为点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在的上方，如图， ∵，， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点的对应点为点，， ∴，， ∴， ， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义及性质等知识点，利用分类讨论的思想及数形结合的思想解决问题是解题的关键． 二、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算 （1）解方程组． （2）解不等式组 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法消元求解二元一次方程组； （2）分别解两个一元一次不等式，取公共解集得到不等式组的最终解集． 【小问1详解】 解： ， 由② ①，得 ， 解得 ； 把 代入①，得 ， 解得 ； ∴原方程组的解为 ． 【小问2详解】 解：； 解不等式①: ， 整理得： ； 解得：； 解不等式②： 两边同乘得 ， 整理得：； 解得：  ； ∴原不等式组的解集为 ． 18. 已知，如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据，可以得到，再根据，可以得到，然后根据，即可证明． 【详解】证明∵ ∴，即 ∵ ∴ 在与中 ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答． 19. 如图，是的角平分线，于点D，若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， 又∵是的角平分线， ， ． 20. 如图，在中． （1）求作边的垂直平分线，与、分别交于D、E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若，的周长为13，求的周长 【答案】（1）如图所示，即为所求， （2） 【解析】 【分析】（1）分别以为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线，分别交边，于点，即可； （2）根据垂直平分线的性质得到，，由的周长为，可求出，再利用三角形的周长公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， ∴的周长． 21. 如图，在中，，，， （1）在边上求作一点P，使得P到边的距离等于P到AB的距离（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求的长 【答案】（1）解∶如图，点P即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线，交于点，点即为所求； （2）设，由角平分线性质得；利用大三角形面积拆分为两个小三角形面积，列方程求解． 【小问1详解】 作图：略； 【小问2详解】 解：过点作于． 平分，（），， ． 设，则，． ， ． 22. 已知，如图，是的垂直平分线，于点E，于点F，求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：是的垂直平分线， ，， 在和中 ， ， ； （2） 证明：，是的垂直平分线， ， ，， ． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，，再根据为公共边，可利用三边对应相等的三角形全等证明，由全等即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质可得，再结合，，可利用角平分线上的点到角两边距离相等可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定，熟记角平分线上的点到角两边距离相等和线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解决此题的关键． 23. 求证：全等三角形的对应角平分线相等． （1）画出适合题意的图形，并结合图形写出已知和求证． （2）给出证明． 【答案】（1）见详解；（2）见详解. 【解析】 【分析】作出图形，结合图形写出已知、求证，根据全等三角形对应边相等、对应角相等，AB=A'B'，∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'，又AD、A'D'是∠BAC和∠B'A'C'的平分线，所以∠BAD=∠B'A'D'，根据角边角判定定理可得△ABD和△A'B'D'全等，所以角平分线AD、A'D'相等． 【详解】已知：如图，△ABC≌△A'B'C'，AD、A'D'是∠BAC和∠B'A'C'的平分线． 求证：AD=A'D'． 证明：∵△ABC≌△A'B'C'，∴∠B=∠B'，AB=A'B'，∠BAC=∠B'A'C'． ∵AD平分∠BAC，A'D'平分∠B'A'C'，∴∠BAD=∠BAC，∠B'A'D'=∠B'A'C'，∴∠BAD=∠B'A'D'，∴△ABD≌△A'B'D'，∴AD=A'D'． 【点睛】本题是文字证明题，一般步骤是根据题意作出图形，结合图形写出已知、求证、证明，本题所用到的知识是全等三角形性质和全等三角形的判定，熟练掌握本题型的解题步骤和全等三角形性质是解答本题的关键． 24. 项目式学习：测量魁星阁的高度 项目主题：测量魁星阁的高度 项目背景 南海桂城礌岗山顶的魁星阁，是一座七层仿古建筑，它是千灯湖片区的制高点，被誉为“南海桂城新地标”．研学活动中，班同学成立项目小组，打算测量魁星阁的高度． 工具 米标杆、皮尺、测角仪（可测量角度的大小）、粉笔 测量结果 测量后初步简化的几何图形如图所示，地面水平，魁星阁底部为点，顶部为点，与均垂直于地面；标杆底部为点，顶部为点，；、在同一直线上，． 任务一：【建立模型】 要利用全等三角形将不可直接测量的魁星阁高度转化为地面可测线段，需在线段上合理选取并标出点． （1）要使，必须等于_________度． （2）与必须满足的数量关系是_________． （3）请根据问题1和问题2的结论，在图中画出点的位置，连接，． 任务二：【推理计算】 （4）根据任务一，小组按全等条件确定点后，请求出魁星阁的高度． 任务三：【深度探究】 （5）同学提出猜想：若与满足一定的数量关系，且（小于），就一定有．请你证明这个猜想． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5）解：， 猜想证明： 在中，， ，，三点共线， ， ， ， 在和中：， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，所以； （2）根据全等三角形的性质可得； （3）根据题意画出图形； （4）根据全等三角形的性质可知，利用即可求出魁星阁的高度； （5）当（小于）时，可证，根据全等三角形的性质可证． 【小问1详解】 解：如下图所示， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ； 【小问3详解】 如图所示，点即为所求， 【小问4详解】 解：，， ， ， ， ， （同角的余角相等）， 在和中：， ， ， ，， ， ， 答：魁星阁的高度为； 【小问5详解】 任务三：略 25. 如图，在四边形中，，，，为锐角； （1）如图2，连接，相交于点O，求的度数； （2）在图1中，与面积相等吗？请说明理由； （3）如图3，已知，的面积为10．G在边上，的延长线经过中点F．求的长． 【答案】（1）； （2）解：面积相等，理由如下： 过E作交的延长线于G，过D作于F，如图， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即与面积相等； （3）． 【解析】 【分析】（1）证明，由对应角相等即可得出； （2）过E作交的延长线于G，过D作于F，证明，则，从而可得与面积相等； （3）过点E作交的延长线于点N，由点F是中点可证明，则，再证明，可得；由与面积相等及等积关系可求得的长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点E作交的延长线于点N，如图， 则，； ∵点F是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵与面积相等， ∴， 即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市杏南中学2026-2027学年上学期开学第一次阶段测试卷八年级数学 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 2. 下列长度的三条线段，首尾相接能组成三角形的是（） A. 1，2，3 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 3，4，8 3. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知△ABC的三个内角度数之比为3∶4∶5，则此三角形是（ ）三角形． A. 锐角 B. 钝角 C. 直角 D. 不能确定 5. 如图，与关于直线对称，下列所连线段中，能被直线垂直平分的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ③④ 7. 如图是“作一个角等于已知角”的尺规作图及其步骤，则下列说法错误的是（） 作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． A. 在作法步骤（2）中，可以得到 B. 在作法步骤（3）中，可以得到 C. D. 判断的依据是 8. 下列命题的逆命题是真命题的是（） A. 若，则 B. 垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 9. 小明把一副，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于 （ ） A. B. C. D. 10. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 11. 如图，小明做了一个长方形框架，为了保证框架不会变形，采取如图加固方案，其依据是三角形具有______________ 12. 如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，由和全等得到．那么判定其全等的依据是 ________ 13. 若是的中线，，则的长为______________． 14. 用长度为的绳子围成一个等腰三角形，若其中一边为，则该三角形的底边长为______________ 15. 如图，在中，是边上的高，平分，交于点，则点到BC的距离为______． 16. 如图，在中，，，点在上运动，点是上一定点．将沿所在直线折叠，点的对应点为点，当时，__________． 二、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算 （1）解方程组． （2）解不等式组 18. 已知，如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，，求证：． 19. 如图，是的角平分线，于点D，若，，求的度数． 20. 如图，在中． （1）求作边的垂直平分线，与、分别交于D、E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若，的周长为13，求的周长 21. 如图，在中，，，， （1）在边上求作一点P，使得P到边的距离等于P到AB的距离（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求的长 22. 已知，如图，是的垂直平分线，于点E，于点F，求证： （1）； （2）． 23. 求证：全等三角形的对应角平分线相等． （1）画出适合题意的图形，并结合图形写出已知和求证． （2）给出证明． 24. 项目式学习：测量魁星阁的高度 项目主题：测量魁星阁的高度 项目背景 南海桂城礌岗山顶的魁星阁，是一座七层仿古建筑，它是千灯湖片区的制高点，被誉为“南海桂城新地标”．研学活动中，班同学成立项目小组，打算测量魁星阁的高度． 工具 米标杆、皮尺、测角仪（可测量角度的大小）、粉笔 测量结果 测量后初步简化的几何图形如图所示，地面水平，魁星阁底部为点，顶部为点，与均垂直于地面；标杆底部为点，顶部为点，；、在同一直线上，． 任务一：【建立模型】 要利用全等三角形将不可直接测量的魁星阁高度转化为地面可测线段，需在线段上合理选取并标出点． （1）要使，必须等于_________度． （2）与必须满足的数量关系是_________． （3）请根据问题1和问题2的结论，在图中画出点的位置，连接，． 任务二：【推理计算】 （4）根据任务一，小组按全等条件确定点后，请求出魁星阁的高度． 任务三：【深度探究】 （5）同学提出猜想：若与满足一定的数量关系，且（小于），就一定有．请你证明这个猜想． 25. 如图，在四边形中，，，，为锐角； （1）如图2，连接，相交于点O，求的度数； （2）在图1中，与面积相等吗？请说明理由； （3）如图3，已知，的面积为10．G在边上，的延长线经过中点F．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $