精品解析：广东省深圳市富源学校2026-2027学年第一学期第一次学情调研九年级数学 试卷

2026-2027学年第一学期第一次学情调研 九年级数学 2026.09 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似图形，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同． 对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意． D、两个图形形状相同，相似，符合题意． 故选：D． 2. 把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将一元二次方程化为一般形式之后，变为， 故选：A． 3. 用配方法解方程：时，经过配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，即可得到结果． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即． 4. 如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项能使变为菱形，符合对角线互相垂直，、、均不能使变为菱形，不符合题意． 故选：D． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根；据此对方程进行判断即可． 【详解】解：由题意得 ，，， ， 原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式确定方程根的个数问题，掌握根的判别式的意义是解题的关键． 6. 如图，公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，设原正方形空地的边长为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．可设原正方形的边长为，则剩余的空地长为，宽为．根据长方形的面积公式列出方程． 【详解】解：设原正方形的边长为，依题意有 ， 故选：D． 7. 如图，为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，由四边形是正方形，得，，，利用勾股定理求出的长度，再利用等边三角形的性质，勾股定理，线段和差即可解决问题，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，，， ∴由勾股定理得：， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， 故选：． 8. 数学活动课上，老师让同学们折叠长方形纸片进行探究活动．兴趣小组的同学通过如图的方法折纸后进行探究，并提出了以下说法．下列说法中不正确的是（ ） A. 平分 B. C. 与互补 D. 与互余 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形易得，，然后问题可求解． 【详解】解：由图可得：，， ∴与互补，， ∴，即， ∴与互余， ∵， ∴不平分． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，则的值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】设,,代入所求式子中求解即可. 【详解】解：∵， ∴设，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查比例性质、分式求值，熟练掌握比例性质是解答的关键． 10. 已知是方程的一个根，则方程的另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】设方程另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系建立等式，求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，二次项系数，常数项， 根据根与系数的关系，得， ∵一个根， ∴代入得 ， 解得 ∴方程的另一根为． 11. 中国结，象征着中华民族的历史文化与精致．小明家有一中国结挂饰，他想知道周长，利用所学知识抽象出如图所示的菱形ABCD，测得BD＝12cm，AC＝16cm，则菱形ABCD的周长为___cm． 【答案】40 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求出边长AB，然后根据菱形的四条边都相等解答． 【详解】解：∵AC＝16cm，BD＝12cm， ∴两对角线的一半分别为8cm，6cm， 由勾股定理得，边长AB＝（cm）， 所以，菱形ABCD的周长＝4×10＝40（cm）． 故答案为：40． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟记菱形的对角线互相垂直平分并求出边长是解题的关键． 12. 如图，将一张长方形纸带沿折叠，点A、B的对应点分别为，，线段交线段于点P．若，则的度数为________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】过点作，由折叠得，，然后根据平行线的性质得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点作 ∵ 由折叠得， ∴ ∵ ∴ 由折叠得， ∴ ∵， ∴ ∴． 13. 如图，在中，，，，是斜边的中线，的平分线分别与，交于点，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理求出，由是斜边的中线，得，设，则，过点作于点，求出，运用面积关系得，求得，过点作交于点，证明可得结论． 【详解】解：在中，，，， 所以，， ∵是斜边的中线， ∴， 设，则， 过点作于点， ∵平分，且， ∴， 又， ∴， 解得：， 即； 过点作交于点， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴是的中点， ∴是的中位线, ∴， 又， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接运用因式分解法求解即可； （2）直接运用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ． 【小问2详解】 解：在方程中，， ∴， ∴， ∴． 15. 习题课上老师给了一道方程：． 洋洋同学的解法 方程可化为：…第①步 …第②步 …第③步 ．…第④步 ∴，…第⑤步 融融同学的解法 方程可化为：…第①步 两边都除以…第②步 ∴…第③步 （1）这两位同学的解法都是错误的，洋洋从第________步开始出现错误，错误的原因是________；融融从第________步开始出现错误，错误的原因是________； （2）请你帮融融给出正确的解答过程． 【答案】（1）②；配方时等式左边加1，但右边没有加；②；未考虑的可能，导致丢根 （2）解：， 方程可化为：， ， 或， ∴，． 【解析】 【分析】（1）根据等式的基本性质进行判断即可； （2）先因式分解，再求解即可． 【小问1详解】 解：洋洋从第②步开始出现错误，原因是配方时等式左边加1，但右边没有加，不符合等式的性质1； 融融从第②步出错，原因是未考虑的可能，不符合等式的性质2，导致丢根； 【小问2详解】 略 16. 如图，在中，D为上一点，E为上一点，已知，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又，， ∴， 又， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再结合即可证明； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 17. 阅读材料： 信息一 美的风扇灯是风扇和灯一体的双功能家用电器，既可以照明又可以降温，物美价廉深受民众的喜爱． 信息二 该电风扇功能：风速分三级：一档，二档，三档，风速与风扇转速有关，其中一档是800转/分，三档是1152转/分，后一档转速与前一档转速相比增长率均相同． 信息三 一家网上电器商店，进购这种商品，进货价为250元/件，售价为290元/件，每天可售80件．当每降价1元时，可多售8件． 根据以上材料，解决下列问题： （1）求一档至三档转速的平均增长率； （2）该商店要尽快清理该电风扇库存，且使该电器每天的利润达到4800元，应降价多少元？ 【答案】（1） （2）应降价元 【解析】 【分析】（1）根据“一档转速增长率三档转速”列一元二次方程，舍去负根，得到平均增长率； （2）根据“每件利润销量总利润”列一元二次方程，得到两个解，根据“尽快清理库存”的要求选择销量更高的方案． 【小问1详解】 解：设一档至三档转速的平均增长率为，根据题意得方程： ， 解得：，（舍去）， 答：一档至三档转速的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设应降价元，根据题意得方程：， 方程整理得：， 解得：，， 当时，销量为（台）， 当时，销量为（台）， 为了尽快清理库存，则应选择销售量高的方案，故应降价元． 答：要尽快清理库存且使该电器每天的利润达到元，应降价元． 18. 如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，则的长为 ． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， 即， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得，进而得出，再说明四边形是平行四边形，然后根据“一个角是直角的平行四边形是矩形”证明即可； （2）先根据矩形的性质说明是等边三角形，进而求出，再根据勾股定理得出答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得． 19. 定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若且，则称这个方程为“限根方程”．比如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：一元二次方程________“限根方程”（填“是”或“不是”）； （2）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，若这个方程是“限根方程”，则下列选项中满足条件的m可能的值是________（填序号）． ① ② ③ ④ （3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值． 【答案】（1）是 （2）③ （3）的值为 【解析】 【分析】（1）先利用因式分解法解方程得到，，然后根据“限根方程”的定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到，，再根据“限根方程”的定义得到时，然后解关于的不等式即可； （3）先利用根与系数的关系得，，再利用可求得，，然后分别利用因式分解法解方程，最后利用“限根方程”的定义确定的值． 【小问1详解】 解：， ， 或， 所以，， ，， 一元二次方程为“限根方程”； 【小问2详解】 解：因式分解得， ∴两个根为，或，， ∵， ∴两根都是负数， ∴，两根是和， ∵，， 若两根是，，则， ∴，解得； 观察四个选项③符合题意； 【小问3详解】 解：关于x的一元二次方程， 由根与系数的关系得，，代入条件得 ， 整理得， 解得，． 当时，方程， 解得，， ，，满足“限根方程”； 当时，方程， 解得，， ，，不满足，舍去； 综上，． 20. 解决下列问题 （1）如图1，在正方形中，点是边上一点，为延长线上一点，且，则线段与线段之间的数量关系是__________，位置关系是__________； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，点是边上一点，将沿折叠得到，延长和的延长线相交于点．当时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，，点是边上一点，且，为延长线上一点，连接交射线于点，当线段与射线所夹的锐角为时，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2） （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）延长交于点，结合正方形的性质利用证明，，证明即可； （2）延长交于点，证明，即可求出的长； （3）当线段与射线所夹的锐角为时，则或；①当时，过点作交于点，延长交延长线于点，结合菱形的性质得，，，令，，则，在中，利用勾股定理求得，在中求得．结合平行线得到和，求得和，进一步证明和，有求得，即可求得和，结合即可；②当时，，由①知和，则有和得到，求得和、，利用即可． 【小问1详解】 证明：延长交于点，如下图所示： 在正方形中，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：延长交于点，如下图所示： 在矩形中，，，， ∵，，， ∴，，， ∵由折叠得到， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得； 【小问3详解】 解：当线段与射线所夹的锐角为时，则或； ①当时，过点作交于点，延长交延长线于点， 在菱形中，， ∴，，, ∵， ∴令，，则， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②当时，， 由①知，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期第一次学情调研 九年级数学 2026.09 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（ ）． A. B. C. D. 2. 把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程：时，经过配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 6. 如图，公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，设原正方形空地的边长为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 数学活动课上，老师让同学们折叠长方形纸片进行探究活动．兴趣小组的同学通过如图的方法折纸后进行探究，并提出了以下说法．下列说法中不正确的是（ ） A. 平分 B. C. 与互补 D. 与互余 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，则的值为_________． 10. 已知是方程的一个根，则方程的另一个根是________． 11. 中国结，象征着中华民族的历史文化与精致．小明家有一中国结挂饰，他想知道周长，利用所学知识抽象出如图所示的菱形ABCD，测得BD＝12cm，AC＝16cm，则菱形ABCD的周长为___cm． 12. 如图，将一张长方形纸带沿折叠，点A、B的对应点分别为，，线段交线段于点P．若，则的度数为________． 13. 如图，在中，，，，是斜边的中线，的平分线分别与，交于点，，则的长为__________． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 习题课上老师给了一道方程：． 洋洋同学的解法 方程可化为：…第①步 …第②步 …第③步 ．…第④步 ∴，…第⑤步 融融同学的解法 方程可化为：…第①步 两边都除以…第②步 ∴…第③步 （1）这两位同学的解法都是错误的，洋洋从第________步开始出现错误，错误的原因是________；融融从第________步开始出现错误，错误的原因是________； （2）请你帮融融给出正确的解答过程． 16. 如图，在中，D为上一点，E为上一点，已知，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 17. 阅读材料： 信息一 美的风扇灯是风扇和灯一体的双功能家用电器，既可以照明又可以降温，物美价廉深受民众的喜爱． 信息二 该电风扇功能：风速分三级：一档，二档，三档，风速与风扇转速有关，其中一档是800转/分，三档是1152转/分，后一档转速与前一档转速相比增长率均相同． 信息三 一家网上电器商店，进购这种商品，进货价为250元/件，售价为290元/件，每天可售80件．当每降价1元时，可多售8件． 根据以上材料，解决下列问题： （1）求一档至三档转速的平均增长率； （2）该商店要尽快清理该电风扇库存，且使该电器每天的利润达到4800元，应降价多少元？ 18. 如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，则的长为 ． 19. 定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若且，则称这个方程为“限根方程”．比如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：一元二次方程________“限根方程”（填“是”或“不是”）； （2）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，若这个方程是“限根方程”，则下列选项中满足条件的m可能的值是________（填序号）． ① ② ③ ④ （3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值． 20. 解决下列问题 （1）如图1，在正方形中，点是边上一点，为延长线上一点，且，则线段与线段之间的数量关系是__________，位置关系是__________； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，点是边上一点，将沿折叠得到，延长和的延长线相交于点．当时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，，点是边上一点，且，为延长线上一点，连接交射线于点，当线段与射线所夹的锐角为时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $