精品解析：河南省鹤壁市高中2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

高二上学期10月练习 数 学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜率的概念，求出两点之间的斜率，根据正切函数，求出倾斜角大小即可. 【详解】由，得， 设直线倾斜角为，则，可得. 故选：D. 2. 样本数据4，16，5，27，6，30，11，21的第25百分位数为（ ） A. 27 B. 24 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将样本数据按从小到大的顺序排列，再根据百分位数的定义计算. 【详解】根据题意，将样本数据按从小到大顺序排列为4，5，6，11，16， 21，27， 30， 由于，所以该组数据的第25百分位数为第2个数据与第3个数据的平均值，即. 3. 命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题p成立的充分不必要条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由焦点在y轴上的椭圆方程和充分必要条件可解问题. 【详解】命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆， ，解得, 则使命题p成立的充分不必要条件是． 故选：A． 4. 已知圆，圆，则两圆的位置关系是（   ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径间的关系判断即可. 【详解】，圆心，半径， 可化简为， 则圆的圆心为，半径， ，所以两圆相交. 故选：C. 5. 已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 则向量在向量方向上. 故选：A 6. 已知圆，那么直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离或相切 B. 相交或相切 C. 一定相交 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】比较圆心到直线的距离与半径的大小，判断二者位置关系即可. 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 由辅助角公式可知，，其中， 所以，即， 由于圆的半径，所以圆心到直线的距离， 当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交； 所以直线与圆的位置关系是相交或相切，故B正确. 7. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设棱长为1，，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，再写出平面的一个法向量的坐标，根据构建关系，求其值域即可． 【详解】如图，设正方体棱长为1，，则， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，故，，又，则，所以． 在正方体中，可知体对角线平面， 所以是平面的一个法向量， 所以． 所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值． 所以． 故选：A． 8. 已知为锐角的外心，角的对边分别为，且，，则面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的运算法则和数量积的几何意义可得，结合余弦定理计算求得的取值范围，最后由三角形的面积公式可求得结果. 【详解】如图，分别作的中点，连接，由题， 因为，所以， 即，则， 因为，所以，即； 因为为锐角三角形，即，所以； 所以，即，解得，所以； ，即，解得， 所以，所以，所以， 所以面积， 又，所以； 所以由得. 故选：A. 二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数为纯虚数，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的运算可得A,C,D的正误，根据复数虚部的概念可知B的正误. 【详解】因为，A正确； 复数的虚部为，B不正确； 若，则，，C不正确； 设，所以， ，D正确. 故选：AD. 10. 一般称具有某性质的所有直线的全体为一个直线系．如，与直线平行的直线系可表示为．设直线系（），则（ ） A. M中所有直线均经过一个定点 B. 点到M中任意一条直线的距离为定值 C. 点到M中所有直线距离的最大值为6 D. 不在直线系M中的点都落在面积为的区域内 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用直线系的性质，把直线系方程转化为的圆的全部切线，再根据圆的切线的性质判断选项，利用动圆切线无公共点判断选项A；利用点到直线距离公式计算判断选项B；利用定点到切线最大距离为圆心距与半径的和，判断选项C；不在直线系M中的点落在圆内部，即，求面积判断选项D． 【详解】直线系方程表示圆心为，半径的圆的全部切线， 若直线过定点，则对任意恒成立， 不存在这样的定点，故A错误； 由点到直线的距离公式，点到直线距离， 距离恒为定值1，故B正确； 设，圆心，两点间距， 点到圆切线距离的最大值为，故C正确； 不在直线系M中的点到的距离小于1，在圆内部， 圆面积，故D正确． 11. 已知在平面直角坐标系中，点，过点的直线与轴正半轴、轴正半轴分别交于点，，则以下说法正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先设直线截距式，代入定点得到约束条件，A选项利用基本不等式求解三角形面积最值；B、C、D采用角度参数法表示线段、，转化为三角函数问题，结合三角恒等变换与函数单调性，逐一判断各个命题的正误. 【详解】解：设 ， 直线方程为：，代入 ，得：， 选项A：， ，， ∴，当即时取等，A正确； 选项B：设 ，则， ，最小值为 ，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：， 令 ， 原式 ，函数在 递减， 时，最小值为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，若椭圆的长轴为，焦距为，则椭圆的标准方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件求，再求椭圆的标准方程. 【详解】由条件可知，，，则，，所以， 所以椭圆的标准方程为. 13. 在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________． 【答案】或 【解析】 【详解】由圆，圆心为，半径， 当切线斜率不存在时，切线方程为，此时圆心到切线的距离为1，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 则，解得，则切线的方程为，即. 综上所述，切线方程为或. 14. 在中，，点为的内心，且，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据，利用三点共线即可求得，，的关系，利用内心的性质，将求的最值转化为求面积的比值，进而转化为求边长的比值，利用余弦定理和基本不等式得到的最大值，即可求得的最大值. 【详解】 设，， 所以， 因为点，，三点共线， ， 所以， 当最小时，最大， 设角A，B，C对应的边长分别为a，b，c， ， 又由余弦定理：， 等式两边同除以得， 令，， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立，即， 所以， 所以， 所以， 所以的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知三点，，． （1）若直线过点且与直线AB垂直，求直线的方程； （2）若直线经过点A，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据斜率公式求得斜率，再根据两直线垂直时斜率关系求得直线的斜率，由点斜式方程即可求解； （2）分类讨论，当截距为0和截距不为0两种情况即可求解． 【小问1详解】 由，可得直线AB的斜率为， 因为，故直线的斜率为3， 则直线的方程为，即． 【小问2详解】 当截距均为0时，直线方程为，符合题意， 当截距不为0时，不妨设直线方程为， 又直线经过点A，故，即，所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或． 16. 在平面直角坐标系中，已知，，动点满足 （1）求动点的轨迹曲线方程； （2）若曲线与圆有公共点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设点，，， 因为， 即， 即， 动点的轨迹曲线方程为. 【小问2详解】 由(1)可知曲线是圆，圆心，半径， 圆的圆心为，半径， 因为曲线与圆有公共点， 所以， ， 即， 即， 解得. 17. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； （2）求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对2个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； （2）根据题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对0个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； 【小问1详解】 设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的性质，可得 ，，，， 设“两轮活动星对猜对3个成语”，则， 所以， ， 因此“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为. 【小问2详解】 设表示乙两轮都没猜对的事件，， 设事件“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语”则 ， . 18. 在中，，，，，分别是，上的点，满足，且．将沿折起到的位置，使，存在动点使，如图所示． （1）求证：平面平面； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）设直线与平面所成角为，当取得最大值时，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：因为，则，且，可得， 将沿折起到的位置，始终有， 因为平面，所以平面， 由平面，可得， 且，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直判定定理及其性质定理可得平面，再利用面面垂直判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，可求出平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得； （3）求出平面的法向量后，利用空间向量夹角公式可求出取最大值时的，则可得三棱锥的高与底面积，再利用体积公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，两两垂直，翻折前，因为，且， 所以，，所以， 翻折后，由勾股定理得， 故可以为原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 当时，，，，，， ，可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 由（2）可知，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得， 且，， 因为直线与平面所成角为， 则 ， 当且仅当时，等号成立，取最大值， 则，故点到平面的距离为， 又，则， 所以三棱锥的体积为． 19. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线 （1）求曲线的方程． （2）过点作直线与曲线相切，切点分别为点，求直线的方程． （3）斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点，直线的斜率分别为，且．若为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 【答案】（1） （2） （3） 设直线， ，得， 即， 则， 所以， 所以直线的方程为，即直线过定点， 因为为定值，为直角三角形，为斜边， 所以当是的中点时，， 所以存在定点为定值． 【解析】 【分析】（1）设线段的中点为，利用点与圆的位置关系得曲线的方程； （2）根据四点共圆可得圆的方程，由此可得直线是两圆公共弦所在直线，从而可得直线的方程； （3）设直线，联立直线与圆得交点坐标关系，再结合坐标运算与距离公式可得结论. 【小问1详解】 设线段的中点为， 因为点在圆上， 所以，化简得， 所以曲线的方程为． 【小问2详解】 因为 所以四点共圆，圆心为的中点(4,2)，半径为， 即圆的方程为， 直线是两圆公共弦所在直线，， 作差得，所以直线所在的直线为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上学期10月练习 数 学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 样本数据4，16，5，27，6，30，11，21的第25百分位数为（ ） A. 27 B. 24 C. 5 D. 3. 命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题p成立的充分不必要条件是（　　） A. B. C. D. 4. 已知圆，圆，则两圆的位置关系是（   ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，那么直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离或相切 B. 相交或相切 C. 一定相交 D. 不能确定 7. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 8. 已知为锐角的外心，角的对边分别为，且，，则面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数为纯虚数，则 D. 10. 一般称具有某性质的所有直线的全体为一个直线系．如，与直线平行的直线系可表示为．设直线系（），则（ ） A. M中所有直线均经过一个定点 B. 点到M中任意一条直线的距离为定值 C. 点到M中所有直线距离的最大值为6 D. 不在直线系M中的点都落在面积为的区域内 11. 已知在平面直角坐标系中，点，过点的直线与轴正半轴、轴正半轴分别交于点，，则以下说法正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，若椭圆的长轴为，焦距为，则椭圆的标准方程为__________． 13. 在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________． 14. 在中，，点为的内心，且，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知三点，，． （1）若直线过点且与直线AB垂直，求直线的方程； （2）若直线经过点A，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，求直线的方程． 16. 在平面直角坐标系中，已知，，动点满足 （1）求动点的轨迹曲线方程； （2）若曲线与圆有公共点，求的取值范围． 17. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； （2）求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 18. 在中，，，，，分别是，上的点，满足，且．将沿折起到的位置，使，存在动点使，如图所示． （1）求证：平面平面； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）设直线与平面所成角为，当取得最大值时，求三棱锥的体积． 19. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线 （1）求曲线的方程． （2）过点作直线与曲线相切，切点分别为点，求直线的方程． （3）斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点，直线的斜率分别为，且．若为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $