河南省鹤壁市高中2025-2026学年高二上学期第三次段考（1月）数学试卷

2027届高二上学期第三次段考·数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.05mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.直线V3x-y-2025=0的倾斜角是() A.30° B.60° C.120° D.150° 2.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2,则a3=() A.9 B.12 c.15 D.27 3.抛物线y2=8x的焦点到双曲线号-号=1的渐近线的距离是(） A.3 B.2 c D 4.已知直线l1:4ax+y-1=0与直线l2:(1-a)x+y+1=0垂直，则实数a的值为() A.1V2 2 B c D 5.在等比数列a,冲，若a1as7ag=立则as() A月 B号 c D.1 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA1底面ABCD,PA=AB=2,点M,N分别为AP,BC的中点.则点 B到平面MND的距离为() A.227 21 B C D罗 第1页 7.己知等差数列{an的前n项和为Sn,若S12>S1o>S11,则使得Sn<0成立的正整数n的最大值为() A.20 B.21 C.22 D.23 8.若圆x2+y+2)2=r2(r>0)上到直线y=√3x+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是() A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+00) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得①分 9.己知直线l:2x-y+4=0,则下列说法正确的是() A.l在x轴上的截距为2 B.l与直线x+2y+4=0垂直 C.l与直线2x-y-1=0之间的距离为V5 D.l与圆x2+y2=4相离 10.已知等比数列{an}的公比为q,a1=-2,a2=4,则() A.q=-2 B.a3+a4=8 C.S5=22 D.数列{anan+1}是公比为-4的等比数列 11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3,点P为正方体内部（含表面）的点，且满足AP=mAB1+nAD,(m,n∈R), 则下列说法正确的是() A.存在点P使得CP⊥平面BC1D B.直线PC,与平面AB,D1所成角的正弦值范围是停， C.异面直线B1C与C1D间的距离为V3 D.当PA1=V5时，点P的轨迹长度为V2π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.已知圆C1:x2+y2=a2(a>0)与圆C2:x2+(y-3)2=b2(b>0)外切，则a+b= 13.设双曲线C:兰-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点，若 |F1A=13,|AB引=10，则C的离心率为 14.若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤」 15.(本小题满分13分) 已知等比数列{an}满足a3=aa2,a4=128。 (1)求数列{a}的通项公式： 1 (2)in=70g2anlogzan+1 S,为数列b,的前n项和，若5。=是求正整数n的值。 共6页 16.(本小题满分15分) 己知0为坐标原点，点A(1,0).设圆C的半径为2，圆心在直线：x+y-2=0上. (1)若圆心C也在直线m:y=2x+5上，求圆C的方程： (2)在(1)的条件下，求过点A的圆C的切线n的方程： (3)若圆C上存在点M,使得1OA=IOM,求圆心C的横坐标的取值范围. 17.(本小题满分15分) 在平面直角坐标系x0y中，直线x-V√2y+2=0与曲线B:y2=2pxp>0)有且仅有一个公共点A. (1)求E的方程； (2)过A的直线l与E另交于点B,若OA1AB,求△OAB的面积. 18.(本小题满分17分) 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O,△PAC是边长为2的等边三角形 PD=√6，AP=4AF. B (I)求证：PO底面ABCD; (Ⅱ)求直线CP与平面BDF所成角的大小： (皿在线段PB上是否存在一点M,使得CM/平面BDF?如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由 BP 19.(本小题满分17分) 如图，从椭圆号+号-1上一点P(异于椭圆的左右顶点)射出的光线照射到椭圆的右焦点F2上，经x抽反射，反射光线 过椭圆上的另一点Q. F2 (1)写出F2的坐标： (2)证明：直线PQ过定点： (3)0,F2,P,Q四点能否共圆？请说明理由. PB= 第2页，共6页 2027届高二上学期第三次段考·数学答案 1.【答案】B 【解析】解：由直线V3x-y-2025=0可得直线的斜率k=√3， 设直线的倾斜角为a,则0°≤u<180°，可得tana=√3，可得a=60°.故选：B. 2.【答案】C 【解析】解：由题知a3=S3-S2=3×32-3×22=15.故选：C. 3.【答案】A 【解析】解：抛物线2=8x的焦点坐标是(2,0)，双曲线若-兰=1的渐近线方程是V3x±y=0, 所求距离为d=230=√3，故选：A. √3+1 4.【答案】A 【解析】解：因为直线4ax+y-1=0与直线(1-a)x+y+1=0垂直， 所以4a×(1-a)+1×1=0,解得a=1三故选A. 2 5.【答案】C 【解折】解：因为等比数列a,}冲，若a1a3a5a7a=(as)5=立则a5=是故选：C 6.【答案】A 【解析】解：如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP为X,y,z轴所在直线，建立空间直角坐标系， ZA BL 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2): 因为点M,N分别为AP,BC的中点，则N(2,1,0),M(0,0,1), 可得DM=(0,-2,1),D=(2,-1,0),BN=(0,1,0), 设平面MND的法向量元=(x,y,Z), 则D2少+z=0令x=1,则y=22=4可得元=124， 元.DN=2x-y=0 元·BN 所以点B到平面MND的距离为 2 =2w21 √12+22+4221： 故选：A. 7.【答案】B 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d,由S12>S10>S11,知a11+a12>0,a11<0, 即a12>-a1>0,a11<0,所以公差d>0.又S21=21@a21=21a1<0, 2 522=22@22=11(a11+a12）>0,所以使得Sn<0成立的正整数n的最大值为21.故选：B. 2 8.【答案】B 【解析】【解】圆心C(0,-2)到直线y=√3x+2的距离d=1x3-(2+2=2.而到直线y=√3x+2的距离为1 √(W3)2+(-1)2 的点的轨迹是两条平行直线，如下图中的两条虚线.只需考虑两个临界位置：当r=1时，圆与直线1相切，圆上只有 切点到直线y=V3x+2的距离为1；当r=3时，圆与直线l2相切，圆上有3个点到直线y=√3x+2的距离为1. 由上图，知要使圆C上到直线y=√3x+2的距离为1的点有且仅有2个，必须且只需1<r<3.故选B. 9.【答案】BC 【解析】解：对于A,令直线l:2x-y+4=0中的y=0,得2x+4=0,解得x=-2,所以l在x轴上的截距为-2，故A 错误； 对于B,直线的斜率为k1=2,直线x+2y+4=0的斜率k2=-2 因为k·k2=2×(-)=-1,所以两直线垂直，故B正确： 对于C,因为直线l:2x-y+4=0与直线2x-y-1=0平行， 所以两平行直线之间的距离为孔=云=√5，故C正确： 第3页，共6页 对于D,圆x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径r=2, 则圆心到直线的距离d-20t-青≈1789<2，故直线与圆相交故D错误.故选：BC. 、22+(-1)2 10.【答案】AB 【解析】由题知q=2=-2,故a+a4=q2(a1+a2)=8,S,=-2×-2的=-22，A,B正确，C错误： 1-(-2) 又aa2=a=q2=4,a1a2=-8,故数列{anau+1是首项为-8，公比为4的等比数列，D错误.故选AB anan+1 11.【答案】ACD 【解析】由题可知，因为点P在正方体内部，且AP=mAB,十nAD1,所以P在面AB,D1内. 对于A选项，由题可得平面AB1D1伻面BC,D,AC⊥平面AB1D1,所以当P点为垂足时满足CP⊥ 平面BC1D.故A正确； 对于B选项，由于平面AB,D1∥平面BC1D,则C1点到平面AB1D1的距离d=√3，线段PC1长度的范 围3√2。反，设线面角为6，则si0三PC正弦值范围是，，故B选项错误； 3’3 对于C选项，以A,为坐标原点建立如图(1)所示的空间直角坐标系， 由题意可知，B1C=(0,3,3),C1D=(一3,0,3)，B1C1=(0,3,0) 设n=(x,y,z),使得n⊥B1C,n⊥CD, 3y+3z=0 -3x+3z=0 令x=1,解得=一1 ,.n=(1,-1,1), z=1 设异面直线B,C与C1D的距离为d, 则d=B,C,n-5,故C选项正确； n 对于D选项，由题可知P点的轨迹是圆的一部分，可知圆的半径为√2，圆心是△AB,D1的中心，结合图 (2)可得P点轨迹长度为√2π.故D选项正确， 00,3,3) B,(3,0,0) C(3,3,0) 图(1) 图(2) 12.【答案】3 【解析】解：圆C1:x2+y2=a2(a>0)的圆心C1(0,0),半径r1=a,圆C2:x2+y-3)2=b2(b>0)的圆心C2(0,3) 半径r2=b,因为两圆外切，所以C1C2引=T1+r2,即a+b=3.故答案为：3. 第 13.【答案】 【解答】解：由题，符M,-hF以=1K,4-四-2a=83a=4同时9-号-经=5→b2=20, 2 则c2=a2+b2=36,即c=6所以双曲线离心率为e=日-多 14.【答案】2 【解析】解：设等比数列的首项为a1,公比为q, 1-q 2品哥97，即1+g7 当q=1时，不满足条件，当q≠1时， 1-9 故q4=16,解得q=士2，又因为等比数列的各项均为正数，可得公比q=2.故答案为：2. 15.【答案】解：(1)已知等比数列{an}满足a3=aa2,a4=128, 设等比数列{an}的公比为q, 测二0解得怡 …(4分) (a1q3=128 即an=2.4n-1=22n-1；… (6分) (2)已知b,n=1og2 alog2n+7 1 则b.F2m-2+n-(z27), 1 (8分) 又5，为数列0.的前n项和，且5，-是 则贴1-+号++品)=是 即-1- …（11分) 即n=10,即正整数n的值为10.…（13分) 16.【答案】解：（联立+y-20. 7=2才5解得三31，即C13………2分 因为圆C的半径为2， 故圆C的标准方程为(x+1)2+(y一3)2=4.…（4分) (2)由(1)得C:(x+1)2+0y-3)2=4, 当直线n的斜率不存在时，其方程为x=1,恰与圆C相切，符合题意： (5分) 当直线n的斜率存在时，设其方程为y=k(x-1), 由圆心C(-1,3)到直线kx-y-k=0的距离d=k3-4=2,…(7分) Vk2+1 4页，共6页 解得k=-品所以切线方程为-是x-y+是=0，即5x+12y-5=0, 综上，切线n的方程为x=1和5x+12y一5=0.…(9分) (3)设圆心C的坐标为C(t,2-t),则圆C的方程为(x-t)2+(y+t-2)2=4,…(10分) 设点M(x,y), |0M=I0A=1,可得x2+y2=1, 所以点M即在圆C上，又在圆0：x2+y2=1上， 所以圆C与圆0有公共点， 所以2-1≤√t2+(2-t)7≤2+1，…（12分) 即2t-4t-5≤00 (2t2-4t+3≥0② 由①解得1-受≤t≤1+受 2 (13分) 由②解得t∈R,…(14分) 综上，圆心C的横坐标的取值范围为1-受，1+受.…(15分) 17.【答案】解：①)联立2V2y-2有y-2V2y+4切=0.… y2 =2px …（2分) 其中4=(-22p)2-16p=8p2-16p=0,… (4分) 解得p=0(舍去)或p=2,… (5分) 故E的方程为y2=4x;… (6分) (2)由y2-4W2y+8=0可解得y=2√2， 则x=y2=2,故A(2,2W②)，… …(8分) 于是直线04的斜率k=220=√2， 2-0 放直线的斜率--号 2 于是直线的方程为y-2W2=-号c-2). (10分) 即x=-V2y+6, 联立xV2y+6可得y2+4W2y-24=0, y2=4x 解得y1=2WZ,y2=-6WZ,… …（12分) 故刘AB到=√1+(-V2)2y1-y2l=8V6, (13分) 第5 而04=√22+(2W2)2=2W3, …（14分) 故△0AB的面积S=引0AAB到=24W2. … …(15分) 18.【答案】(1)证明：(I)证明：四边形ABCD是菱形， 0为AC,BD中点.…(1分) 又PA=PC,PB=PD, .P01AC,P01BD,…（4分) 又AC∩BD=O,AC、BDC平面ABCD P01底面ABCD.…(5分) (II)解：由底面ABCD是菱形可得AC⊥BD,又由(I)可知P0⊥AC,PO 1BD. 建立如图所示的空间直角坐标系0一xyz. Z孙 F D ------2以 B 由4PAC是边长为2的等边三角形，PB=PD=V6,可得P0=V3,OB=OD=V3 所以A(1,0,0),C(-1,0,0),B(0,√30)，P(0,0,V3.…(6分) CP=(1,0,V3,AP=(-1,0,V3) 由已知可得0F=0A+AP=(保0，是)， …(7分) 设平面BDF的法向量为元=(x,y,z), i0n=x+2=0. 由 可得2=-V3x n:0B=V3y=0 y=0 令x=1,则元=(1,0，一√3).… …（9分) 设直线CP与平面BDF所成的角为6， 则sm0=os<元F>1=-品-台 2 1 …（11分) 页，共6页 又0≤0≤经0=君 理由如下：线段OP的垂直平分线方程为 3 直线CP与平面BDF所成角的大小为 …（12分） ,-当+肾头+-头x+0电-头+器 y1 y1 2y1 3y1 2y1 y1 (四解：假设存在点M满足条件，且邵-A0≤1≤)， y会x铝 则CM=CB+BM=CB+BP=(1,√3(1-)，V3刃.…(14分) 同理，线段00的垂直平分线方程为炒2x十零 …(14分) 2y2 若使CM/平面BDF,需且仅需CM·元=0且CM￠平面BDF, 联立上述两条方程，得△OPQ的外心C的横坐标 由C元=1-3孔=0，解得=行符合题意.…（16分) 女-坐器9品岂 +3 8 因2>0赦-号3> 在线段PB上存在一点M,使得CM/平面BDr,且器=号 …（17分) 所以川F2C-10C=(xc-1)2+y呢-(x2+y2)=1-2x。<0…(16分) 19.【答案】解：（国）椭圆号+号=1.a=2b=3c=2-632=1.…(1分) 于是|F2C|<|0Cl,所以F2在△0PQ的外接圆的内部，故O,F2,P,Q四点不能共圆.…(17分) F2(1,0):…（2分） (2)证明：若直线PQ的斜率不存在，则点P,Q重合，不合乎题意，若直线PQ的斜率为0，则该直线与x轴重合，与题意矛盾 故直线PQ的斜率存在且不为0. 设直线PQ:y=kx+m(k≠0)，P(X1,y1),Q(K2,y2),…(4分) 由任+m 号+号=1得3+秋32+8kmx+40m2-)=0, △=64k2m2-4(4k2+3)×4(m2-3)=48(4h2+3-m2>0…(6分) 由韦达定理可得十2=一，2= 3+4k2 由kp,+k0,=0,得0十h=0.（8分) 又=k+m6=1.2).故7+7=0， 即2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0, …（10分) 则2k2+(0m-(-0)-2m=0. 3+4k2 化简整理，得m=一4k, 于是PQ:y=k(x-4), 因此直线PQ过点(4,0)：… …（12分) (3)0,F2,P,Q四点不能共圆， 事实上，F2总在△OPQ的外接圆的内部 第6页，共6页