精品解析：安徽省太和中学2025-2026学年高二上学期数学10月份月考模拟测试题

2025-2026年度高二年级上学期月考模拟测试卷 考试范围：必修二+选修一第一章 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的虚部为（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 2. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 在四棱锥中，，则此四棱锥的高为（ ） A. B. C. 6 D. 8 4. 已知，，若，互斥，则（ ） A. 0.36 B. 0.54 C. 0.6 D. 0.9 5. 在正三棱锥P-ABC中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则（ ） A. B. C. D. 3 6. 在梯形中，，，，，若在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，°，则异面直线与直线所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在四棱锥中，平面，底面为矩形，.若边上有且只有一个点，使得，此时二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设样本空间含有等可能样本点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与为互斥事件 B. 事件与为对立事件 C. 事件两两相互独立 D. 10. 在中，，若点D满足：，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的面积为3 D. 的外接圆半径为 11. 在空间直角坐标系中，已知向量，点，点． （1）若直线l经过点，且以方向向量，P是直线l上的任意一点，则直线l的方程为； （2）若平面经过最，且以为法向量，P是平面内的任意一点，则平面的方程为． 如图，一在棱长为1的正方体中，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. 平面的法向量为 B. 直线的方程为 C. 过点的平面方程为，则平面截正方体所得截面的面积为 D. 平面方程为，平面方程为，则平面与平面之间的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数据的平均数，方差，若，则数据的平均数______，方差______． 13. 某同学为测量学校附近山上信号塔的高度（塔底视为点，塔顶视为点），在山脚下选取了两点，（其中，，，四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点、的仰角分别为，测得米，则按此法测得的塔高为________米． 14. 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，，P为棱AD的中点，且，，若点M到平面SBC的距离为，则实数的值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中三点，，，设，. （1）若，且，求向量； （2）已知向量与互相垂直，求的值； （3）若点在平面上，求的值. 16. 某地区市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准（千瓦时）：月用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并且计算样本的平均数； （2）若该市有900万居民，估计全市居民中月均用电量不低于400千瓦时的人数； （3）若该地区市政府希望使的居民每月的用电量不超过标准（千瓦时），估计的值．（结果保留整数） 17. 如图甲，已知在长方形中，，，M为DC的中点．将沿折起，如图乙，使得平面平面． （1）求证：平面； （2）若点E是线段上一动点，点E在何位置时，二面角的余弦值为． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，D为边BC上一点，且． （1）求角A的大小； （2）若，且，求a的值； （3）若AD为角平分线，求的最小值． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO. （1）求证：平面ABCD； （2）求面APB与面PBC所成角的正弦值； （3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度高二年级上学期月考模拟测试卷 考试范围：必修二+选修一第一章 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的虚部为（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法法则化简即可. 【详解】由题意得，，故的虚部为. 故选：A 2. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出从4张卡片中不放回地随机抽取2张所有可能的组合的可能数，求出和为奇数的条件的组合数即可求解. 【详解】从4张卡片中不放回地随机抽取2张， 所有可能的组合有：，共种等可能的结果， 和为奇数的条件是一奇一偶， 符合条件的组合为：， 所以抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为. 故选：D. 3. 在四棱锥中，，则此四棱锥的高为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量法求出点到平面的距离，即为所求. 【详解】设平面的法向量，则， 令，得， 所以此四棱锥的高. 故选：B. 4. 已知，，若，互斥，则（ ） A. 0.36 B. 0.54 C. 0.6 D. 0.9 【答案】D 【解析】 【分析】根据，互斥，，求解即可. 【详解】因为，互斥，所以，， 故， 故选：D. 5. 在正三棱锥P-ABC中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据长度关系先证明出两两垂直，然后通过补形法求解出的值，再通过向量法求解出的值，则结果可知. 【详解】在正三棱锥中，，又，， 所以，所以， 同理可得，，即两两垂直， 把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 正方体的体对角线就是外接球的直径，易得， 如图，建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，所以， 则点到平面的距离，所以， 故选B. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是能通过给定的长度关系确定出位置关系，同时能利用补形法完成计算，另一方面是能利用向量方法求解出点到面的距离. 6. 在梯形中，，，，，若在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，利用投影向量可得，利用向量的数量积的定义及运算律可求解. 【详解】依题意，设，则， 因为在上的投影向量为，所以，又， 所以，所以，即， 因，，，则，解得，所以. 故选：C. 7. 在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，°，则异面直线与直线所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义作出异面直线所成的角，然后在三角形中由余弦定理计算． 【详解】连接， 在平行六面体中，由与平行且相等得平行四边形，因此，∴是异面直线与直线所成角或其补角， 由已知，，， 由余弦定理得，， ， ∴． 故选：C． 8. 在四棱锥中，平面，底面为矩形，.若边上有且只有一个点，使得，此时二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由线面垂直的性质与判定可证得平面，进而得到，设，，，利用勾股定理可得关于的方程，由方程有且仅有一个范围内的解，由求得的值；以为坐标原点，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】平面，平面，， 又，，平面，平面， 又平面，； 设，，， ，，， ，即， 关于的方程有且仅有一个范围内的解，对称轴为， ，解得：，， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 轴平面，平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， ， 由图形可知：二面角为锐二面角，二面角的余弦值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用向量法求解二面角的问题；解题关键是能够根据线面垂直的判定与性质证得，从而利用勾股定理构造关于的一元二次方程，根据其根的分布可求得和的长度，进而得到利用向量法求解时所需的线段长度. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设样本空间含有等可能样本点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与为互斥事件 B. 事件与为对立事件 C. 事件两两相互独立 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义判断A；根据对立事件的定义判断B；根据独立事件的定义判断C；选项D需验证三事件同时发生的概率是否等于各自概率的乘积. 【详解】因为，即件与能同时发生，不是互斥事件，A错； 因为且，即事件与不能同时发生且必有一个发生， 事件与为对立事件，B正确； ，， ，故独立； ，，，故独立； ；，故独立, 综上事件两两相互独立，C正确； 选项D：，故,,，选项D错误. 故选：BC. 10. 在中，，若点D满足：，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的面积为3 D. 的外接圆半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，根据等式可变形化简求出的关系，进而可求出的关系；对于选项B，先根据求出，然后根据余弦定理求出的值；对于选项C，根据勾股定理可确定，进而可求出三角形面积；对于选项D，根据直角三角形外接圆半径为斜边的一半可求出外接圆半径. 【详解】因为，所以， 即，所以，故A正确； 因为，所以，因为， 所以解得， 在中，因为，由余弦定理得， ，即，故B正确； 又因为，所以，即， 因此，故C错误； 因为，所以， 因此的外接圆半径为，故D正确． 故选：ABD. 11. 在空间直角坐标系中，已知向量，点，点． （1）若直线l经过点，且以方向向量，P是直线l上的任意一点，则直线l的方程为； （2）若平面经过最，且以为法向量，P是平面内的任意一点，则平面的方程为． 如图，一在棱长为1的正方体中，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. 平面的法向量为 B. 直线的方程为 C. 过点的平面方程为，则平面截正方体所得截面的面积为 D. 平面方程为，平面方程为，则平面与平面之间的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设平面的一个法向量是，根据法向量的定义求出法向量判断A，由直线的向量方程判断B，利用平面方程的概念确定截面，求出其面积判断C，根据平面方程确定平面的法向量及平面所过的点，然后由平面间距离的向量公式计算距离判断D． 【详解】由题意，， ， 选项A，设平面的一个法向量是， 则，取，则，A正确； 选项B，，又，因此直线的方程为，B正确； 选项C，过点的平面方程为，则平面的一个法向量是， 即为，，平面，因此平面即为平面， 截面是正三角形，其面积为，C错； 选项D，平面的法向量是，且过点，平面的法向量是，且过点，， 因此平面与平面平行，它们的距离为，D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数据的平均数，方差，若，则数据的平均数______，方差______． 【答案】 ①. 25 ②. 80 【解析】 【分析】根据平均数、方差的性质求解即可． 【详解】由题意数据的平均数为，方差为， 根据平均数和方差性质可得 数据的平均数， 方差. 故答案为：25；80 13. 某同学为测量学校附近山上信号塔的高度（塔底视为点，塔顶视为点），在山脚下选取了两点，（其中，，，四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点、的仰角分别为，测得米，则按此法测得的塔高为________米． 【答案】72 【解析】 【分析】设直线与交于点，分别用表示出，，利用解出，再解出，最后计算出塔高即可. 【详解】设直线与交于点，则， 由题意，，， 又，且，代入解得， 从而， 进而， 所以塔高米． 故答案为：. 14. 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，，P为棱AD的中点，且，，若点M到平面SBC的距离为，则实数的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，写出相关点坐标，得到，，利用求出，再利用点到平面距离公式， 代入相关向量坐标，解出即可. 【详解】过点作，交于点，，为中点， ，又，且，平面， 平面，平面，则， 则易得两两垂直，所以以为原点，所在直线分别建立轴，如图所示： 则点,又知，，为中点，则， 故，，，， ，,， 又，， 设平面法向量为，则，且 有，令，则， 到平面的距离， ，化简得，故 故答案为：. 【点睛】本题涉及到点到平面的距离的计算方法，我们常用以下几种方法计算点到平面距离：（1）等体积法；（2）定义法；（3）转化法；（4）空间向量法。本题我们采用空间向量法求解相关参数，首先我们需要建立合适的空间直角坐标系，写出相关向量，再利用点到平面距离公式，其中为相关平面的法向量，此方法可操作性强，按步骤算出相关向量即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中三点，，，设，. （1）若，且，求向量； （2）已知向量与互相垂直，求的值； （3）若点在平面上，求的值. 【答案】（1）或；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）由，得存在实数，使得，由向量模的运算求得得向量； （2）由垂直的数量积运算计算； （3）由空间向量共面定理求解，即存在，使得，然后求得值． 【详解】解：（1），因为，所以存在实数，使得. 又，所以，解得. 所以或. （2）由已知，， 因为与互相垂直，故即， 故即. （3）因为点在平面上，故存在，使得， 又，所以，解得. 故. 16. 某地区市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准（千瓦时）：月用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并且计算样本的平均数； （2）若该市有900万居民，估计全市居民中月均用电量不低于400千瓦时的人数； （3）若该地区市政府希望使的居民每月的用电量不超过标准（千瓦时），估计的值．（结果保留整数） 【答案】（1）， 395（千瓦） （2）495万人 （3）（千瓦）． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率之和为1求出的值，进而可求得样本的平均值. （2）由频率分布直方图求出用电量不低于400千瓦的频率，进而求得用电量不低于400千瓦的人数. （3）根据百分位数的公式求出85%百分位数，进而可求得的值. 【小问1详解】 由频率之和为1，可得， 解得， 样本的平均数为： （千瓦）. 【小问2详解】 由图可得，用电量不低于400千瓦的频率为， 故全市居民中月均用电量不低于400千瓦的人数为万人. 【小问3详解】 由图可得，前5组的频率之知为， 前6组的频率之和为， 设第85百分位数为，则， 故， 解得（千瓦）． 17. 如图甲，已知在长方形中，，，M为DC的中点．将沿折起，如图乙，使得平面平面． （1）求证：平面； （2）若点E是线段上一动点，点E在何位置时，二面角的余弦值为． 【答案】（1） 证明：∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴， ∵且，，平面， ∴平面． （2）E为的靠近D点的五等分点 【解析】 【分析】（1）先利用面面垂直的性质和矩形的性质证得线面垂直，再得线线垂直，最后又由线面垂直的判定定理得证； （2）利用点E是线段DB上的一动点，设出，再求两个平面的法向量，进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，，，M是的中点， ∴， 取的中点O，连接，则平面， 取的中点N，连接，则， 以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，， 设，， 因为平面的一个法向量， ，， 设平面的一个法向量为， 则，可得． 再由，则， ∴或（舍）， 所以E为的靠近D点的五等分点． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，D为边BC上一点，且． （1）求角A的大小； （2）若，且，求a的值； （3）若AD为角平分线，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，从而求出； （2）先计算出，两边平方求出，又，联立两式解得，由余弦定理求出； （3）若AD为角平分线，则，在中，由正弦定理得到，，故，根据基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由已知， 由正弦定理，可得， 又因为，代入上式， 化简得：， 因为中，，所以，从而， 故，因为，所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 由（1）知，， 所以 ， 由已知，所以，即， 又，联立两式解得，， 由余弦定理，可得，即． 【小问3详解】 若AD为角平分线，则， 在中，由正弦定理，得， 即， 所以，， 所以 即， 又因为，所以，， 从而， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO. （1）求证：平面ABCD； （2）求面APB与面PBC所成角的正弦值； （3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 【答案】（1） 因为，，， 所以四边形为矩形， 在中，，，， 则， 所以，则， 且平面平面，平面，平面平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理的值，再由勾股定理可得，根据面面垂直的性质定理即可证明线面垂直； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解面APB与面PBC的法向量，从而可得面面夹角的余弦值，利用平方公式得正弦值； （3）设，确定的坐标，利用空间向量线面夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，可得， 则，，，，， 设平面的法向量为，，， 由，取， 设平面的法向量为，， 由，取， ， 又由图可知二面角是钝角， 所以二面角的正弦值为； 【小问3详解】 设，则， 又平面的法向量为， 直线与平面所成的角的正弦值为，解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $