精品解析：上海市进才中学2026-2027学年高二上学期10月素养测试数学试卷

上海市进才中学10月素养测试卷 高二数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 注：解答题用空间向量和等体积法解决问题，不给过程分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 若点平面，点平面，则直线AB__________平面（填合适的符号） 2. 若复数（i为虚数单位），则______. 3. 一个扇形的面积和弧长的数值都是2，则这个扇形圆心角的弧度数为______. 4. “两条直线没有公共点”是“两条直线是异面直线”的__________条件． 5. 如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是______cm． 6. 已知三条两两平行直线可确定个平面，则过定点__________. 7. 已知数列的前项和满足，则的通项公式为________. 8. 设，则的最小值为_________． 9. 在平面直角坐标系中，已知点，沿x轴把坐标系折成的二面角，则此时线段的长度为________． 10. 如图，矩形ABCD的长AB=2，宽AD=x，若PA⊥平面ABCD，矩形的边CD上至少有一个点Q,使得PQ⊥BQ，则x的范围是____________． 11. 在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 12. 在棱长为2的正方体中，从点A发出的光线经侧面内部（不含边界）一点S反射后投射到侧面内部（不含边界），则满足条件的点S所组成区域的面积是____________. 二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16每题5分） 13. 若函数在处的切线斜率为2，则（ ） A. B. C. D. 14. 已知l、m是两条互异的直线，、是两个互异的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 若且，则 15. 若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4、5、6的直线，给出下列三个结论： ①存在使得是直角三角形； ②存在使得是等边三角形； ③三条直线上存在四点使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体，其中，所有正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是、边上的点，且． （1）求证：、、、四点共面； （2）若四面体为棱长为6的正四面体，求四边形的周长． 18. 已知向量与的夹角为，且，，若，. （1）当时，求实数的值； （2）求的最小值. 19. 在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，，为的中点，分别是的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的大小． 20. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点，分别为棱，的中点，点在线段上． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）设直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，求的最大值． 21. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数使得，则称为“极值差比函数”，常数为的“极值差比系数”． （1）若函数为“极值差比函数”且在上严格增，试判断是否为“极值差比函数”，并说明理由； （2）是否存在使的“极值差比系数”为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）对于（2）中的函数，若，求：的“极值差比系数”的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市进才中学10月素养测试卷 高二数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 注：解答题用空间向量和等体积法解决问题，不给过程分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 若点平面，点平面，则直线AB__________平面（填合适的符号） 【答案】 【解析】 【分析】由直线与平面的位置关系可得结论. 【详解】直线上存在两点在平面上，则. 故答案为：. 2. 若复数（i为虚数单位），则______. 【答案】 【解析】 【分析】本题可先对复数进行化简，再根据共轭复数的定义求出. 【详解】∵， ∴. 故答案为：. 3. 一个扇形的面积和弧长的数值都是2，则这个扇形圆心角的弧度数为______. 【答案】1 【解析】 【分析】运用扇形的弧长、面积公式计算即可. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为， 所以，解得， 即这个扇形圆心角弧度数为. 故答案为：1. 4. “两条直线没有公共点”是“两条直线是异面直线”的__________条件． 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】两条直线没有公共点，得到异面或者平行，异面可以得到没有交点，得到答案. 【详解】两条直线没有公共点，则两条直线平行或者异面 两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点 “两条直线没有公共点”是“两条直线是异面直线”的必要不充分条件. 故答案为必要不充分 【点睛】本题考查了充分必要条件，属于基础题型. 5. 如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是______cm． 【答案】8 【解析】 【分析】由斜二测画法的规则将图形还原为原图形，从而可求解. 【详解】由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在轴上， 可求得其长度为，故在原平面图中其在轴上，且其长度变为原来的倍，即长度为， 其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：． 故答案为：． 6. 已知三条两两平行直线可确定个平面，则过定点__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据条件得和，再利用对数函数的性质，即可求解. 【详解】当三直线条两两平行在同一个平面内时，，此时过定点， 当三直线条两两平行不在同一个平面内时，，此时过定点， 故答案为：或. 7. 已知数列的前项和满足，则的通项公式为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据作差计算可得； 【详解】因为， 当时，； 当时，， 所以， 当时不满足，所以. 故答案为： 8. 设，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 9. 在平面直角坐标系中，已知点，沿x轴把坐标系折成的二面角，则此时线段的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】作轴，轴，过作平行于轴，且与交于点，得到，连接，，结合题中数据，即可求出结果. 【详解】 作轴，轴，过作平行于轴，且与交于点，则就是沿x轴把坐标系折成的二面角的平面角，所以； 连接，，则，，， 在中，， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于，作出二面角的平面角，再结合题中数据，即可求解. 10. 如图，矩形ABCD的长AB=2，宽AD=x，若PA⊥平面ABCD，矩形的边CD上至少有一个点Q,使得PQ⊥BQ，则x的范围是____________． 【答案】0<x≤1 【解析】 【详解】试题分析：由PA⊥平面ABCD，PQ⊥BQ，可得BQ⊥AQ，从而问题可转化为以AB为直径的圆与线段CD有公共点．解：如图所示：连接AQ，因为PA⊥平面ABCD，BQ⊥PQ，BQ⊂平面ABCD，所以BQ⊥AQ，矩形的边CD上至少有一个点Q，可转化为以AB为直径的圆与线段CD有公共点，所以圆心到CD的距离小于等于半径，即0＜x≤1．故答案0<x≤1 考点：空间直线与直线的垂直关系 点评：本题考查空间直线与直线的垂直关系，考查推理论证能力． 11. 在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据题意，求得所在圆的圆心和半径；再根据数量投影的意义，数形结合即可求得结果. 【详解】根据题意不妨设，，，， 则， 由可得，由可得； 设，故在以为圆心，为半径的圆上； 在以为圆心，1为半径的圆上； 过作于，则即为在上的数量投影，如下所示： 因为分别为两圆上任意动点，不妨固定，则为定长， 设，即，故， 因为此时为定长，且， 故随着的减小，增大，直至恰好与圆相切时，取得最大值，如下所示： 在与圆相切的基础上，移动点，过作于，故； 在△中，，， 故，因为, 故在直角三角形中，，则，即； 在四边形中，因为，故， 当且仅当时等号成立，从而. 综上所述：在方向上的数量投影的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是熟悉数量投影的几何意义；二是对两个运动的点，采用一定一动的处理策略，从而求解最大值. 12. 在棱长为2的正方体中，从点A发出的光线经侧面内部（不含边界）一点S反射后投射到侧面内部（不含边界），则满足条件的点S所组成区域的面积是____________. 【答案】 【解析】 【分析】设点关于的对称点为，设平面，则的面积即为所求，计算梯形面积即可. 【详解】设点关于的对称点为， 以为顶点，以为底面，作四棱锥， 设平面，则的面积即为所求. 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因为为中点，所以， 则梯形的面积为 二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16每题5分） 13. 若函数在处的切线斜率为2，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义计算即可. 【详解】由题， 故. 14. 已知l、m是两条互异的直线，、是两个互异的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】B 【解析】 【详解】选项A，仅当垂直于与交线时，错误. 选项B，根据面面平行的性质，一条直线垂直于两个平行平面中的一个，必垂直于另一个，因此若且，则，正确. 选项C，若且，则或，错误. 选项D，若且，则或，错误. 15. 若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解. 【详解】在空间取一点，经过点分别作， 设直线确定平面，当直线满足它的射影在所成角的平分线上时， 与所成的角等于与所成的角， 因为直线，所成的角为，得所成锐角等于， 所以当射影在所成锐角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 当的射影在所成钝角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条. 故选：D. 16. 设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4、5、6的直线，给出下列三个结论： ①存在使得是直角三角形； ②存在使得是等边三角形； ③三条直线上存在四点使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体，其中，所有正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用画图结合运动变化的思想进行分析．我们不妨先将 A、B、C 按如图所示放置，容易看出此时 BC＜AB＝AC．现在，我们将 A 和 B 往上移，并且总保持 AB＝AC（这是可以做到的，只要 A、B 的速度满足一定关系），而当A、B 移得很高很高时，就得到①和②都是正确的；至于③，结合条件利用反证法的思想方法进行说明即可. 【详解】如图，我们不妨先将 A、B、C按如图所示放置， 容易看出此时， 故，又， 故， 现在，将A和B往上移，并且总保持AB＝AC（这是可以做到的，只要A、B的速度满足一定关系）， 而当A、B 移得很高很高时，不难想象将会变得很扁，也就是会变成 “非常钝”的一个等腰钝角三角形，即， 于是，在移动过程中，从小于到大于的变边过程中， 总有一刻，，同时，故此时为等边三角形， 亦总有另一刻，，此时为直角三角形（而且还是等腰的）． 这样，就得到①和②都是正确的． 至于③，如图所示．为方便书写，称三条两两垂直的棱所公共顶点为共垂点． 假设A是共垂点， 那么由，，面， 得面，即面，进而面，面， 从而三边的长就是三条直线的距离4、5、6，又由于，所以不是直角三角形，这与矛盾，假设不成立； 同理可知，D是共垂点时也矛盾； 假设C是共垂点， 那么由，，面，得面， 而，面，面，故面，故， 又，故，从而BC为l1与l2的距离，于是， 同理，又，故，矛盾，假设不成立； 同理可知，B是共垂点时也矛盾； 综上，不存在四点Ai（i＝1，2，3，4），使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体． 故选：C． . 【点睛】本题考查命题真假的判断解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是、边上的点，且． （1）求证：、、、四点共面； （2）若四面体为棱长为6的正四面体，求四边形的周长． 【答案】（1） 如图，连接， 因为、分别是、的中点，所以，又， 所以，所以， 所以、、、四点共面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用平行的传递性证明即可； （2）表示出、，利用余弦定理求出，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为四面体为棱长为6的正四面体，又，则， ∴， 因为、分别是、的中点，则， ∴ ， ∴ . 18. 已知向量与的夹角为，且，，若，. （1）当时，求实数的值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，结合向量数量积的定义及运算律即可求解； （2）由，平方得到，通过配方法即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，即， 所以， 因为向量与的夹角为，且，， 所以， 所以，所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 由（1）知，且，， 所以， 则， 故当时，最小为. 19. 在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，，为的中点，分别是的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）证明: 如下图所示，连接， 因为分别是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，作出辅助线，由线线平行，说明线面平行即可. （2）根据二面角的平面角的定义，作出二面角的平面角，再根据几何体的性质，设出边长，求出各线段长度，求出结果即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图所示，过点作于点，过点作于点， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，设， 因为，中，，则，所以， 因为，中，，所以， 因为为的中点，所以， ，，则， 故二面角的大小为． 20. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点，分别为棱，的中点，点在线段上． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）设直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，求的最大值． 【答案】（1）连接，取的中点，连接， 因为底面为菱形，且，则， 所以、为等边三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，取的中点，连接，根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可得证； （2）利用等体积法求出点到平面的距离； （3）连接，，取的中点，连接，确定直线与平面，平面，平面所成的角，再根据锐角三角函数得到，设，，利用换元法求出函数的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，， 又，，，所以， 所以， 又，所以， 设点到平面的距离为，则，即， 解得，即点到平面的距离. 【小问3详解】 连接，，则且， 则为直线与直线所成的角， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 所以， 取的中点，连接，则且， 又为中点，所以，又，所以， 由平面，平面，所以，， 又，平面，所以平面，则平面， 又，平面，所以平面， 连接，，则为直线与平面所成的角，即， 所以， 为直线与平面所成的角，即， 所以， 所以， 又，设，， 所以， 所以， 令，则， 所以 ， 因为，所以， 所以当时取得最大值，且最大值为， 所以. 21. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数使得，则称为“极值差比函数”，常数为的“极值差比系数”． （1）若函数为“极值差比函数”且在上严格增，试判断是否为“极值差比函数”，并说明理由； （2）是否存在使的“极值差比系数”为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）对于（2）中的函数，若，求：的“极值差比系数”的取值范围． 【答案】（1）是“极值差比函数”，理由见解析 （2）不存在，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“极值差比函数”的定义来判断函数的单调性，结合正弦函数的性质来进行判断； （2）反证法，假设存在这样的参数，由“极值差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可； （3）由（2）得到参数与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性，即可得出函数取值范围. 【小问1详解】 若，则， 因为在上严格增，则在上严格增， 函数不存在极值点，此时函数不是“极值差比函数” 所以， 根据正弦函数的性质可知，存在极大值，， 极小值，，则， 因此是“极值差比函数”. 【小问2详解】 的定义域为，求导可得， 假设存在使的极值差比系数为， 则，是方程的两个不相等的正实数根， 则，解得， 不妨设，则， 因为 ， 所以，从而，得（*） 令（），求导可得， 所以在上是严格增函数，所以， 因此（*）无解，所以不存在使的极值差比系数为. 【小问3详解】 由（2）知极值差比系数为，即， 不妨设，令，，则极值差比系数可化为， ， 因为，解得， 令（），求导可得， 设（）， 求导可得， 所以在上单调递减， 因此当时，， 从而，所以在上单调递增， 所以，即， 所以的极值差比系数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $