精品解析：上海市山阳中学2026-2027学年九年级数学第一学期阶段性学情测试2026.10

九年级数学第一学期阶段性学情测试 一、选择题：(每题4分，共32分) 1. 将抛物线 向右平移一个单位后所得抛物线表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据抛物线平移左加右减的规律变换自变量. 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，将式中替换为，得. 2. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项，的右边为分式，不是二次函数； B选项，化简得 ，是二次函数； C选项，化简得，是一次函数； D选项，是一次函数． 3. 如果抛物线经过点和，那么抛物线的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线上纵坐标相等的两个点为对称点，对称轴经过两点横坐标的中点，计算中点横坐标即可得到对称轴． 【详解】解：∵抛物线经过点和，且两点纵坐标相等． ∴这两个点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 4. 若二次函数的图像经过点，，，则，，的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，结合开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 5. 抛物线的部分图像如图所示，若则x的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】观察图象确定对称轴及经过的特殊点，利用抛物线的对称性求解． 【详解】解：由函数图象得：二次函数开口向下，二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是：． 6. 如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（ ） A. B. 8 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 7. 如图，中，点D、E分别是边、上的点， 且， 下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质，列出正确的比例式，逐一比对选项即可得出结论． 【详解】解：．∵，∴，故该选项不符合题意； ．∵，∴，∴，故该选项不符合题意； ．∵，∴，∴，故该选项不符合题意； ．∵，∴，∴，无法得出，故该选项符合题意； 8. 已知线段a， b， c， 求作线段x， 使那么正确的作法是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、由平行线分线段成比例可得，则，故A选项错误； B、由平行线分线段成比例可得，则，故B选项正确； C、由平行线分线段成比例可得，则,故C选项错误； D、由平行线分线段成比例可得，则，故D选项错误． 二、填空题：(每题4分，共40分) 9. 抛物线 的顶点坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接根据顶点式的特征确定顶点坐标． 【详解】解：顶点式形式的抛物线为，其顶点坐标为， 将题中抛物线与顶点式对比， 可得，， 因此该抛物线的顶点坐标为． 10. 如果抛物线 的开口朝下，那么a的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线开口向下，二次项系数小于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数，解得． 11. 若二次函数 的对称轴是直线，则顶点坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的性质得到对称轴表达式，结合已知对称轴求出的值，即可得到顶点坐标. 【详解】解：∵顶点式形式的二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为 ∵本题中二次函数可改写为， ∴该函数的对称轴为直线， ∵已知对称轴是直线， ∴，解得， ∴二次函数解析式为， ∴顶点坐标为． 12. 当x=_______时, 二次函数 有最_______值(填“大”或“小”)． 【答案】 ①. ②. 小 【解析】 【分析】二次函数为顶点式，可直接得到顶点横坐标，根据二次项系数正负判断开口方向，即可得到对应结果． 【详解】解：二次函数是顶点式，顶点横坐标为，二次项系数为． ∵ ， ∴抛物线开口向上， 当时，该二次函数有最小值． 13. 若抛物线 与x轴有交点，则k的取值范围是________________． 【答案】且 【解析】 【分析】抛物线要求二次项系数不为0，抛物线与x轴有交点等价于对应一元二次方程的根的判别式大于等于0，据此计算求解． 【详解】解：∵给定函数是抛物线， ∴二次项系数， ∵抛物线与轴有交点， ∴对应一元二次方程有实数根， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 14. 数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高为468米，其上球体点位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果，且．那么上球体到塔底的距离为_____米．（结果保留根号的形式） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，解题关键是掌握黄金分割比． 根据黄金分割比求解即可． 【详解】解：∵点是线段上的一个黄金分割点，且米，， ∴（米）． 故答案为：． 15. 如图， 直线，，， 那么____________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 16. 把抛物线左、右平移，使其顶点恰好落在直线 上，则平移后的抛物线的顶点坐标为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先对原抛物线配方得到原抛物线的顶点坐标，左右平移不改变顶点纵坐标，结合顶点在直线上即可求出顶点坐标． 【详解】解：对原抛物线配方得， 可得原抛物线顶点坐标为 ∵抛物线仅进行左右平移，顶点纵坐标不发生变化 ∴平移后顶点的纵坐标仍为， ∵平移后的顶点在直线上， 将代入得， ∴平移后的抛物线顶点坐标为． 17. 如图，，的面积是4，的面积是15，则的面积是________________． 【答案】25 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理得出线段比相等，结合三角形面积公式，将线段比转化为面积比，建立方程求解中间三角形面积，进而求得的面积． 【详解】解：设的面积为， 与等高， ，即， 与等高， ，即， ， ， ， 整理 得， 解得，（舍去）， ， ． 18. 如图，是二次函数 的部分图象，图象过点，对称轴为直线，下列结论∶；；③方程( 有实数根；．其中正确的结论为___________________(填序号)． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】先根据图象判断a，b，c符号；利用对称轴求出抛物线与轴另一个交点；将方程有无实数根转化为函数图象交点问题；结合对称轴与已知点坐标做代数代换，判断正负． 【详解】解：抛物线开口向下，可得． 对称轴 ，可得，， 所以． 抛物线与轴交于正半轴，则． ，故①错误． 对称轴，已知一个交点，根据对称性，另一交点横坐标：，交点坐标为． 当时，，②正确． 方程可变形为． 抛物线开口向下，顶点在轴上方，所以抛物线与直线有交点，方程有实数根，③正确． 图象经过点，将点代入解析式，可得． 又，把代入上式： ，， 所以，④正确． 综上，正确结论：②③④． 三、解答题：(共78分) 19. 已知抛物线与轴的交点是、，且抛物线经过点． （1）求该抛物线的表达式； （2）写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点． 【答案】（1） （2）开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，有最低点 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）将抛物线的表达式化为顶点式，得出抛物线的顶点坐标，对称轴即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴的交点是、， ∴设抛物线的表达式为：， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：∵抛物线的表达式为：， ∴开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，有最低点． 20. 已知二次函数的图像经过点，顶点坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）点在二次函数的图像上，且点和点关于这个二次函数图像的对称轴对称，求的值和点的坐标． 【答案】（1） （2），点的坐标是 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解以及二次函数的对称性应用，熟练掌握二次函数的顶点式和对称轴性质是解答本题的关键． （1）利用二次函数的顶点式，结合已知点的坐标，求出解析式中的参数，进而确定二次函数的解析式； （2）将点代入二次函数解析式求出对应的值，再根据二次函数的对称轴性质，求出对称点的坐标． 【小问1详解】 解：二次函数图像的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 二次函数的图像经过点， 把，代入得： ， 解得 ， 这个二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：点在二次函数的图像上， 把，代入得： ， 解得 ， 点坐标为， 二次函数的对称轴为直线，点和点关于这个二次函数的对称轴对称， 点的坐标是． 21. 已知，求． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出是解决问题的关键． 由平行线分线段成比例定理得出，即可得出结论． 【详解】解： ∵， ， ， ， ． 故． 22. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出220件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【答案】（1）y与x的函数关系式为 （2）当每件商品的售价定为56元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2560元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．掌握二次函数的性质也是关键． （1）根据题意可得，整理出一般式，最后再求出取值范围即可； （2）将（1）所求的二次函数一般式化为顶点式，再根据其性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：设每件商品的售价上涨x元，则销售量为件， 根据题意得：， 整理，得：． ∵每件售价不能高于65元， ∴， ∴y与x的函数关系式为． 【小问2详解】 解：将化为顶点式为：， ∵，， ∴当时，y有最大值，最大值为2560． ∴（元/件）， ∴当每件商品的售价定为56元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2560元． 23. 如图，已知四边形是平行四边形，E是延长线上一点， 分别交对角线于点 G，交边于点 F． （1）求证： ； （2）求证： ． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，，得到，据此可证明； （2）证明，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． （1）求抛物线的表达式． （2）M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． （3）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）8， （3）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，即可求解； （2）过点作轴，交于点，先利用待定系数法，求直线的解析式，设点，则点，可得，从而，再根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据二次函数图象平移的规律，可得，设点的坐标为，可得，，，再根据题意，分类讨论：当时，列方程求解即可；当时，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：点，点在抛物线上， ，解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， 直线的解析式为， 设点，则点， ， ， ， 当时，的面积最大，最大值为8，此时点的坐标为； 【小问3详解】 解： 在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形． 理由如下： ，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线， ， 设点的坐标为， 点，点， ，， 是以为直角边的直角三角形， 或， 当时，， 解得或5，此时点或； 当时，， 解得或，此时点或， 综上所述，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，符合条件的点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第一学期阶段性学情测试 一、选择题：(每题4分，共32分) 1. 将抛物线 向右平移一个单位后所得抛物线表达式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果抛物线经过点和，那么抛物线的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 若二次函数的图像经过点，，，则，，的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的部分图像如图所示，若则x的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 或 6. 如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（ ） A. B. 8 C. D. 9 7. 如图，中，点D、E分别是边、上的点， 且， 下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知线段a， b， c， 求作线段x， 使那么正确的作法是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：(每题4分，共40分) 9. 抛物线 的顶点坐标是____________． 10. 如果抛物线 的开口朝下，那么a的取值范围是____________． 11. 若二次函数 的对称轴是直线，则顶点坐标为____________． 12. 当x=_______时, 二次函数 有最_______值(填“大”或“小”)． 13. 若抛物线 与x轴有交点，则k的取值范围是________________． 14. 数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高为468米，其上球体点位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果，且．那么上球体到塔底的距离为_____米．（结果保留根号的形式） 15. 如图， 直线，，， 那么____________． 16. 把抛物线左、右平移，使其顶点恰好落在直线 上，则平移后的抛物线的顶点坐标为_______________． 17. 如图，，的面积是4，的面积是15，则的面积是________________． 18. 如图，是二次函数 的部分图象，图象过点，对称轴为直线，下列结论∶；；③方程( 有实数根；．其中正确的结论为___________________(填序号)． 三、解答题：(共78分) 19. 已知抛物线与轴的交点是、，且抛物线经过点． （1）求该抛物线的表达式； （2）写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点． 20. 已知二次函数的图像经过点，顶点坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）点在二次函数的图像上，且点和点关于这个二次函数图像的对称轴对称，求的值和点的坐标． 21. 已知，求． 22. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出220件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 23. 如图，已知四边形是平行四边形，E是延长线上一点， 分别交对角线于点 G，交边于点 F． （1）求证： ； （2）求证： ． 24. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． （1）求抛物线的表达式． （2）M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． （3）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $