精品解析：上海市罗阳中学2026-2027学年第一学期9月阶段练习九年级数学试卷

罗阳中学2026学年第一学期9月阶段练习 九年级数学试卷 （完成时间：100分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将各选项函数解析式化为最简形式，再结合二次函数的定义判断． 【详解】解：A选项，的最高次数为1，是一次函数，不符合题意； B选项，化简，得，是整式且二次项系数不为0，符合二次函数定义； C选项，化简，得，是一次函数，不符合题意； D选项，不是整式函数，不符合题意． 2. 关于抛物线，下列说法中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 图像位于第二、四象限 C. 抛物线有最低点 D. 抛物线在直线的左侧部分是上升的 【答案】D 【解析】 【分析】由二次项系数的符号确定抛物线开口方向，结合对称轴分析图像位置与增减性． 【详解】解：对于抛物线，二次项系数， ∴抛物线开口向下，有最高点，故A、C错误； ∵对任意实数，， ∴，即图像位于第三、四象限及原点，故B错误； ∵该抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴在直线左侧，随的增大而增大，即图像是上升的，故D正确． 3. 已知，线段，求作线段，使得，那么下列作法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，准确分析判断是解题的关键． 根据平行线分线段成比例的性质对作图判断即可； 【详解】根据平行线分线段成比例作图： 第一步：任意做； 第二步：在边上依次取，，在上取； 第三步：连接，过点作，交于点； 则线段即为所求作线段． 故选． 4. 若二次函数的图象如图所示，则的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象．根据二次函数图象与轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在轴左边可得同号，故，再根据的符号，即可得出的大致图象． 【详解】解：根据二次函数图象与轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在轴左边可得同号，故， 所以的图象大致是：抛物线开口向上，图象与轴的负半轴相交，对称轴在轴右边，故选项B符合题意． 故选：B． 5. 已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（ ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A. 1.12 B. 1.26 C. 1.38 D. 1.45 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，；时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点， ∴方程有一个根约为． 故选：C． 6. 如图，在中，，，，则下列各对三角形中相似的有（ ）个 ①与 ②与 ③与 ④与 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形性质，可以得到，用两角分别相等的两个三角形相似得到；利用，，，得到，用两边对应成比例，且夹角相等证明；用得到，两直线平行，内错角相等得到，用两角分别相等的两个三角形相似得到． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， ； ，，， ， ，， ， 又， ； ， 即， ， ， 又， ． 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 7. 若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】设比例系数为，将用含的代数式表示，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：设， ∴ ，，， 将其代入得： ． 8. 已知线段b是线段a、c的比例中项，且，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段，掌握线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．根据比例中项的定义，若线段b是线段a、c的比例中项，即．即可求解 【详解】解∶若线段b是线段a、c的比例中项， 即， ． 解得． 故答案为∶． 9. 若是关于x的二次函数，则m的值为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次函数的一般式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的一般式，解答的关键是熟知二次函数的一般式． 10. 将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了把化成顶点式，二次函数图象的平移，先把抛物线化为，再结合“上加下减，左加右减”进行作答． 【详解】解：依题意，把为， ∵向左平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴， 故答案为：． 11. 若，，为二次函数的图像上的三点，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象及其性质，根据抛物线的解析式，得出开口向上，和对称轴为轴，再根据二次函数的增减性判断即可，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质的应用． 【详解】解：由，得出开口向上，和对称轴为轴， ∴与点关于即轴对称， ∵当时，随的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 已知点是线段的黄金分割点，且，，则的长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割点的定义可得，由此可解． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，，， ， ，即， ， 解得， ，不合题意， 故答案为：． 13. 如图，在中，，是边上的高，，，则等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边上的高将原三角形分为两个相似三角形，通过对应边成比例建立等式求解． 【详解】解： ∵是边上的高 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵， ∴ ∴． 14. 在一块底边长为20厘米的等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，如果矩形的一边与等腰三角形的底边重合且长度为厘米，矩形另两个顶点分别在等腰直角三角形的两腰上，设矩形面积为平方厘米，那么关于的函数解析式是______．（不必写定义域） 【答案】 【解析】 【分析】根据几何关系先把矩形的另一边用x表示出来，再利用矩形面积公式得到y与x的表达式． 【详解】解：如图所示，由题意，,， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， 由矩形可知，， ∴， ∴， ∴矩形面积为， 故答案为∶． 【点睛】本题考查等腰直角三角形、矩形的性质和函数表达式，解题关键是熟知等腰直角三角形和矩形的性质． 15. 已知二次函数的解析式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的增减性，掌握的图像和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为y轴， ∴开口向下，当x时，函数值随着自变量的增大而增大， 又∵直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大， ∴， 故答案为：． 16. 在中，点和分别在直线和上，且，如果，，那么的长等于______． 【答案】15或35 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，分在边和上，以及在边和的延长线上两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当在边和上时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在边和的延长线上时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15或35． 17. 如图，在中，F在的延长线上，，那么________________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作的平行线，交于点，证明，得到；证明，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点作的平行线，交于点， ∵与平行， ∴， ∴； ∵，在中，对角线交于点， ∴； ∵与平行， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共7题，第18-20题10分、第21-22题12分、第23题13分、第24题15分，共82分） 18. 已知抛物线与轴的交点是、，且抛物线经过点． （1）求该抛物线的表达式； （2）写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点． 【答案】（1） （2）开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，有最低点 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）将抛物线的表达式化为顶点式，得出抛物线的顶点坐标，对称轴即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴的交点是、， ∴设抛物线的表达式为：， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：∵抛物线的表达式为：， ∴开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，有最低点． 19. 已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， （1）求的取值范围； （2）若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 【答案】（1）且. （2）或. 【解析】 【分析】（1）由是二次函数解析式可得，再由二次函数的图像与轴有两个交点可得，即可求出的取值范围； （2）设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为，（），由和根与系数的关系即可求解． 【小问1详解】 解：∵是二次函数， ∴， ∵二次函数的图像与轴有两个交点， ∴，解得：， 综上：且． 【小问2详解】 解：设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为，（）， ∴，为（）的两个根， ∴，， ∵二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即或， ∴或． 20. 如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且，已知，． （1）求的长； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）9 （2）4 【解析】 【分析】(1)利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长． (2) 利用平行线性质得到,则，即，可求得的长，然后可求得的长，然后再利用求得的长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理与相似三角形的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． 21. 如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线． （1）求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）, （2）3 【解析】 【分析】（1）利用抛物线对称性求出另一个x轴交点，设交点式代入B点求解析式，再代得顶点C． （2）求出直线，用对称轴截出线段作底，以水平距离为高算出面积． 【小问1详解】 解：根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的两个交点的对称轴即为， 设另一个交点为，则有，解得， ∴抛物线与x轴的交点为、， ∴设抛物线交点式为， 又∵抛物线过点， 代入、有，解得， ∴抛物线解析式为， ∵点C为顶点，即代入有， 故． 【小问2详解】 解：记对称轴与交于点M， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴ ． 22. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出220件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【答案】（1）y与x的函数关系式为 （2）当每件商品的售价定为56元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2560元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．掌握二次函数的性质也是关键． （1）根据题意可得，整理出一般式，最后再求出取值范围即可； （2）将（1）所求的二次函数一般式化为顶点式，再根据其性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：设每件商品的售价上涨x元，则销售量为件， 根据题意得：， 整理，得：． ∵每件售价不能高于65元， ∴， ∴y与x的函数关系式为． 【小问2详解】 解：将化为顶点式为：， ∵，， ∴当时，y有最大值，最大值为2560． ∴（元/件）， ∴当每件商品的售价定为56元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2560元． 23. 如图，点E为边上一点，过点C作，交的延长线于点D，交的延长线于点F，且． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ∴． 【解析】 【分析】（1）先证明，再根据相似三角形的性质、对顶角相等和三角形内角和即可得证； （2）根据等腰三角形的三线合一即可得出，再证明，根据相似三角形的性质得出，根据等式的性质和等量代换即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． （1）求抛物线的表达式． （2）M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． （3）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）8， （3）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，即可求解； （2）过点作轴，交于点，先利用待定系数法，求直线的解析式，设点，则点，可得，从而，再根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据二次函数图象平移的规律，可得，设点的坐标为，可得，，，再根据题意，分类讨论：当时，列方程求解即可；当时，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：点，点在抛物线上， ，解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， 直线的解析式为， 设点，则点， ， ， ， 当时，的面积最大，最大值为8，此时点的坐标为； 【小问3详解】 解： 在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形． 理由如下： ，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线， ， 设点的坐标为， 点，点， ，， 是以为直角边的直角三角形， 或， 当时，， 解得或5，此时点或； 当时，， 解得或，此时点或， 综上所述，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，符合条件的点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗阳中学2026学年第一学期9月阶段练习 九年级数学试卷 （完成时间：100分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于抛物线，下列说法中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 图像位于第二、四象限 C. 抛物线有最低点 D. 抛物线在直线的左侧部分是上升的 3. 已知，线段，求作线段，使得，那么下列作法中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若二次函数的图象如图所示，则的图象大致是（　　） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（ ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A. 1.12 B. 1.26 C. 1.38 D. 1.45 6. 如图，在中，，，，则下列各对三角形中相似的有（ ）个 ①与 ②与 ③与 ④与 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 7. 若，则的值是______． 8. 已知线段b是线段a、c的比例中项，且，，那么______． 9. 若是关于x的二次函数，则m的值为____________． 10. 将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是__________． 11. 若，，为二次函数的图像上的三点，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 12. 已知点是线段的黄金分割点，且，，则的长是______． 13. 如图，在中，，是边上的高，，，则等于_____． 14. 在一块底边长为20厘米的等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，如果矩形的一边与等腰三角形的底边重合且长度为厘米，矩形另两个顶点分别在等腰直角三角形的两腰上，设矩形面积为平方厘米，那么关于的函数解析式是______．（不必写定义域） 15. 已知二次函数的解析式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是______． 16. 在中，点和分别在直线和上，且，如果，，那么的长等于______． 17. 如图，在中，F在的延长线上，，那么________________． 三、解答题（本大题共7题，第18-20题10分、第21-22题12分、第23题13分、第24题15分，共82分） 18. 已知抛物线与轴的交点是、，且抛物线经过点． （1）求该抛物线的表达式； （2）写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点． 19. 已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， （1）求的取值范围； （2）若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 20. 如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且，已知，． （1）求的长； （2）当，时，求的长． 21. 如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线． （1）求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； （2）求的面积． 22. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出220件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 23. 如图，点E为边上一点，过点C作，交的延长线于点D，交的延长线于点F，且． （1）求证：； （2）如果，求证：． 24. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． （1）求抛物线的表达式． （2）M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． （3）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $