精品解析：江苏省扬州市第一中学2026-2027学年高三上学期10月教学质量调研评估数学试题

扬州市第一中学2026-2027学年第一学期 10月教学质量调研评估 高三数学 （满分:150分;时间:120分钟） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，得，即， ，得，即，所以 2. 已知实数、，且，则的最小值是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由常数代换以及基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 3. 设是可导函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由导数的定义可得，. 4. 已知函数，若，则（ ）. A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，故，所以. 5. 已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求出在点处的切线斜率，进而写出直线方程，然后计算直线方程与两坐标轴的交点，然后利用直角三角形的面积公式求解即可. 【详解】，所以， ，所以在点处的切线方程为. 当时，；当时，. 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 6. 已知为第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将二倍角正弦公式齐次变形为仅含的表达式，代入已知值即可求解． 【详解】因为为第二象限角，故， 由二倍角正弦公式及同角三角函数平方关系可得：， 将上式分子、分母同时除以得：， 代入得． 7. 已知函数，的图象的两个相邻对称中心的距离为，且，，则和的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件分析出周期，并计算和求解. 【详解】由的图象的两个相邻对称中心的距离为，可知， 则，， ， ，即，因为，所以， 由，得，所以. 8. 函数的图象的大致形状为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性以及在上的函数值符号，可得出合适的选项. 【详解】，该函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数，所以函数的图象关于轴对称，排除C，D， 当时，，，，此时，排除B， 因此，函数图象的大致形状是A选项中的函数图象. 故选：A. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 幂函数（为常数），则（ ）. A. 当时，是奇函数 B. 的图象过定点 C. 当时，的值域为 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据奇函数的定义、幂函数的性质、幂函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：当时，，此时该函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数，故A正确； B：因为，所以的图象过定点，故B正确； C：当时，，此时该函数的定义域为， 因为该函数是定义域内的增函数， 所以有，因此的值域为，故C正确； D：当时，幂函数在上单调递减， 因为，所以，故D错误. 10. 已知函数的最小正周期为，则（   ） A. B. C. 在上单调递增 D. 函数的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由周期公式求出得到函数解析式，再逐个选项代入求值、换元结合复合函数单调性法则、利用正弦函数对称中心性质判断正误． 【详解】对于A，由函数的最小正周期为，得，解得，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，当时，令， 因为在上单调递增，在上单调递增， 由复合函数同增异减的性质，得在上单调递增，C正确； 对于D，因为， 所以点是的图象的对称中心，D正确． 11. 已知函数，其中是在处的导数值，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 在上的最小值为 D. 当时，关于x的方程有3个不同的实数根 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导，利用赋值法求出，判断选项A；分解导函数，根据导函数在区间内正负，判断单调性，确定选项B；找出区间内极值点，计算极值和区间端点函数值，比较大小得到最小值，判断选项C；根据导函数得到完整单调区间，求出极大、极小值；利用图像，观察水平线和函数曲线交点数量，判断选项D． 【详解】已知，求导得， 把代入导函数得，解得，故A错误； 当时，，所以， 在上单调递减，故B正确； 令，得， ，，， 故在上的最小值为，故C正确； 当时，，递增； 当时，，递减； 当时，，递增，极大值，极小值， 当时，直线穿过极大值和极小值之间，与图象有3个交点， 方程有3个不同实根，故D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则“”是“”的______条件. 【答案】 必要不充分 【解析】 【分析】先求解不等式得到对应解集，再判断两个条件的双向推出关系，确定条件类型. 【详解】首先求解不等式： 将不等式变形为，解得或； 充分性判断：若成立，的取值可能为，无法推出，因此充分性不成立； 必要性判断：若成立，对不等式两边同时平方可得，因此必要性成立； 综上，“”是“”的必要不充分条件. 13. 若是函数的极值点，则_________ 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域为，. ∵ 是的极值点, ∴ , 即 ,解得 . 验证: 当时, , . 当时, , 单调递增; 当时, , 单调递减; 当时, , 单调递增, 故是的极小值点, 符合题意. 14. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明函数的周期为，再求，结合周期性性质求结论. 【详解】， 的周期为， 又，， 又，， ， 则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的基本运算即可求解； （2）利用得，解出即可. 【小问1详解】 当时，，， 根据并集的概念可得， 所以或； 【小问2详解】 由，，得， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 16. 已知函数，且. （1）求实数和函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，简述理由； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），的定义域为. （2）为偶函数， 由（1）知，的定义域关于原点对称，，， 所以为偶函数； （3） 【解析】 【分析】（1）先根据计算出，再使对数的真数大于0，即可得解； （2）先判断定义域是否关于原点对称，再根据与的关系判断奇偶性即可； （3）结合函数单调性得到不等式，求出解集. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以，又，所以， 所以， 所以要使函数有意义，则需，解得， 所以的定义域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以. 因在定义域内单调递增，所以等价于， 解得， 所以的取值范围为. 17. 已知． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件得到，直接代入两角和正切公式求值； （2）利用二倍角公式化简，转化为关于的齐次式代入求值. 【小问1详解】 由题得，根据两角和的正切公式得：. 将和代入上式得：. 【小问2详解】 由题意得，又和， 则. 分子、分母同时除以，原式. 将代入上式，原式. 18. 函数（，）的部分图像如图所示． （1）求的解析式； （2）若，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由图可知，函数图象的最高点为，最高点右侧相邻的零点为. 从最高点到其右侧相邻的零点，图象经历个周期，所以，解得. 由且，得. 又最高点在图象上，所以，即，. 所以，. 因为，所以. 所以. 【小问2详解】 由，得. 因为，所以由诱导公式得. 所以. 19. 已知函数，． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的极值； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围； 【答案】（1） （2）极大值为，无极小值 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，先求切点，再求导得到切线斜率，由点斜式求出切线方程； （2）先求导，根据导函数符号确定单调区间，再判断并计算函数极值； （3）采用分离参数法，转化为求函数的最大值，利用导数求出新函数的最值，进而得到参数的取值范围. 【小问1详解】 若，则，所以. ，所以切线的斜率. 故曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 若，则，定义域为，所以. 令，解得，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故在处取得极大值，极大值为，无极小值. 【小问3详解】 若对任意的恒成立，即在恒成立，变形可得. 令，所以 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故，所以，即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市第一中学2026-2027学年第一学期 10月教学质量调研评估 高三数学 （满分:150分;时间:120分钟） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数、，且，则的最小值是（   ） A. B. C. D. 3. 设是可导函数，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若，则（ ）. A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 5. 已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，的图象的两个相邻对称中心的距离为，且，，则和的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 函数的图象的大致形状为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 幂函数（为常数），则（ ）. A. 当时，是奇函数 B. 的图象过定点 C. 当时，的值域为 D. 若，则 10. 已知函数的最小正周期为，则（   ） A. B. C. 在上单调递增 D. 函数的图象关于点对称 11. 已知函数，其中是在处的导数值，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 在上的最小值为 D. 当时，关于x的方程有3个不同的实数根 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则“”是“”的______条件. 13. 若是函数的极值点，则_________ 14. 已知，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数，且. （1）求实数和函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，简述理由； （3）若，求实数的取值范围. 17. 已知． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 18. 函数（，）的部分图像如图所示． （1）求的解析式； （2）若，求的值； 19. 已知函数，． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的极值； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $