精品解析：江苏连云港市部分校2026-2027学年第一学期10月份教学质量检测高三数学试卷

2026~2027学年度高三第一学期10月份学情检测 数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：集合、简易逻辑、不等式、函数与导数、空间向量与立体几何、三角恒等变换、三角函数、解三角形、概率． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数（且）在上的最大值与最小值的和为2，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，边上的高等于，则（ ） A. B. C. D. 6. 2024年5月26日，安徽省滁河污染事件引发社会广泛关注.为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）（参考数据：，） A. 14次 B. 15次 C. 16次 D. 17次 7. 已知正三棱台的体积为，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 8. 已知函数，若有三个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 的内角的对边分别为，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则C为钝角 C. 若，则为直角三角形 D. 若为斜三角形，则 10. 已知函数，其中，则（ ） A. 函数有2个零点 B. 不等式对恒成立 C. 若关于的方程有且只有两个实根，则的取值范围为 D. 方程共有4个实根 11. 在棱长为2的正方体中，点M，N分别是，的中点，点P是底面正方形内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ） A. B. 平面截正方体所得截面的周长为 C. 满足平面的点P的轨迹长度是1 D. 四面体的外接球的体积是 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上） 12. 若直线是曲线的一条切线，则_______． 13. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为______． 14. 已知，其中，均为锐角，则的最大值为______． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且． （1）证明：为钝角三角形； （2）若，且的面积为，求的周长． 16. 已知． （1）求的最小正周期； （2）若，，求的值； （3）求函数在上的单调递增区间． 17. 本市某制药企业有甲、乙两个研发小组，甲组有3名女性和4名男性成员，乙组有1名女性和2名男性成员．为公平竞争，现从甲组任选2名成员加入乙组． （1）记随机变量X表示从甲组选出的男性成员个数，求X的概率分布与数学期望； （2）调整后从乙组任选2名成员，求他们均为男性成员的概率． 18. 在三棱台中，为中点，，，. （1）求证：平面； （2）若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数，的最小值为，求的值； （3）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度高三第一学期10月份学情检测 数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：集合、简易逻辑、不等式、函数与导数、空间向量与立体几何、三角恒等变换、三角函数、解三角形、概率． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】解二次不等式得到集合，由集合的运算求得，根据子集的计算公式计算出子集个数. 【详解】解不等式，解得，即. 所以，所以集合的子集个数为. 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知角的终边经过点，则， ， ． 3. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用上的奇函数求出参数，再计算，最后借助奇函数性质即可求得. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以， 又时，，所以，解得， 所以当时，，所以， 因为为奇函数，所以. 4. 若函数（且）在上的最大值与最小值的和为2，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对数函数在定义域内单调，故其在上的最大值、最小值在端点取得， ，故，即，解得． 5. 在中，，边上的高等于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的高构造直角三角形求出各边长，再运用余弦定理求解角的余弦值. 【详解】设边上的高，由题意得. 因为​，所以在直角三角形中，，，故. 则​，. 由余弦定理，得 . 6. 2024年5月26日，安徽省滁河污染事件引发社会广泛关注.为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）（参考数据：，） A. 14次 B. 15次 C. 16次 D. 17次 【答案】C 【解析】 【分析】依题运用特殊值求得函数模型中t的值，然后运用函数模型得到关于n的不等式，通过指、对运算求得n的取值范围，即可得解． 【详解】依题意，，，当时，，即，可得， 于是，由，得，即， 则，又，因此， 所以若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次， 故选：C. 7. 已知正三棱台的体积为，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果. 【详解】将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为O，则底面，且在中，，由正弦定理得， 所以与平面所成角的正切值. 故选：C. 8. 已知函数，若有三个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将零点问题转化为与交点个数，分段分析单调性，对二次函数列出判别式、对称轴、端点不等式联立求m范围． 【详解】有三个零点，等价于有3个不同实根， 即与有3个交点， 时，，求导得，故在上单调递增， 时，，故时，； 故当，即时，有且仅有1个交点； 时，，令， 整理得， 记，开口向上，需要方程在上有2个不等实根， 则需满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 的内角的对边分别为，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则C为钝角 C. 若，则为直角三角形 D. 若为斜三角形，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由三角形大角对大边得到关系，结合正弦定理即可判断A选项；由余弦定理判断B选项；取特殊情况即可判断C选项；由正切的诱导公式和和差角公式化简等式左边即可判断D选项. 【详解】对于A，则，由正弦定理可知，则，A正确； 对于B，因为，所以，则为锐角，B错误； 对于C，因,则当时，则或者，即或， 故为等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，因为为斜三角形，即， 所以， 所以， ，D正确. 10. 已知函数，其中，则（ ） A. 函数有2个零点 B. 不等式对恒成立 C. 若关于的方程有且只有两个实根，则的取值范围为 D. 方程共有4个实根 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，，则，求出判别式，从而得解；选项B，利用导数法求出的单调性，利用单调性求出的极值，结合函数的特点得到；，得到的最小值，从而得到结论；选项C：结合图像通过讨论求解；选项D，令，则方程转化为，通过计算得到，可以知道是的一个根，构造，求出，从而得到有两个根，且，分别按照讨论得到方程的根的情况，从而得到结论. 【详解】选项A，，解得， 判别式，则有两个不同的实数根， 故函数有2个零点，则选项A正确； 选项B，， ， ， ，即，解得， ，即，解得或， 则在上是单调递增函数，在上是单调递减函数， 在上是单调递减函数， 在处取极小值，且， 在处取极大值，且， ，解得，此方程的根为， ；， 则的最小值就是极小值，且最小值为， 则不等式对恒成立，故选项B正确； 选项C：当时，关于x的方程有个根， 当时，关于的方程有个根， 当时，关于的方程有个根， 当时，关于的方程有个根， 当时，关于的方程有个根， 当时，关于的方程有个根， 当时，关于的方程有个根， 关于的方程有且只有两个实根， 则的取值范围为或， 故选项C错误. 选项D，， 令，则方程转化为， 因为，所以， 则转化为，解得， 当时，，所以是的一个根， 设，， ， 则有两个根，且， 分两种情况， 当时， 即，即， 判别式，则有两个不同的实数根； 当时，因为且的最小值为，所以， 则，此方程有2个解， 则方程共有4个实根，故选项D正确. 11. 在棱长为2的正方体中，点M，N分别是，的中点，点P是底面正方形内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ） A. B. 平面截正方体所得截面的周长为 C. 满足平面的点P的轨迹长度是1 D. 四面体的外接球的体积是 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，利用线面垂直判定定理得到平面，利用线面垂直的定义得解；选项B，取的中点，取的中点，连接，求出平面截正方体所得截面图形是四边形，分别求出四边形各边的长度，从而得到结论；选项C. 取中点，取中点，连接，利用线面平行的判定定理和面面平行的判定定理得到平面平面，又平面平面，且平面，在底面内，得到点P的轨迹为线段，从而得到结论；选项D，连接，由是直角三角形得到的外接圆的圆心在斜边的中点，过作平面的垂线，取的中点，过作的垂面，此垂面与过的垂线相交于，则点是四面体的外接球的球心，求出球的半径，利用球的体积公式求解. 【详解】选项A，正方体中，连接， 则，平面， 平面，则， ，平面，平面，则平面， 平面，则，故选项A正确； 选项B，取的中点，取的中点，连接， 因为是的中点，所以，， 则四边形是平行四边形，则， 因为是的中点，所以，则， 则平面截正方体所得截面图形是四边形， ， ， ， ， 四边形的周长， 则平面截正方体所得截面图形的周长为， 故选项B正确； 选项C. 取中点，取中点，连接, 则，，则， 平面，平面，则平面， ，，则， 平面，平面，则平面， 又，平面，平面， 则平面平面， 平面平面， 因为平面，在底面内， 所以，则点P的轨迹为线段， 又， 故选项C错误； 选项D，连接，因为是直角三角形， 所以的外接圆的圆心为斜边的中点， 设斜边的中点为， 过作平面的垂线， 取的中点，过作的垂面，此垂面与过的垂线相交于， 则为四面体的外接球的球心， ，, 此球的半径为， 体积，故选项D正确. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上） 12. 若直线是曲线的一条切线，则_______． 【答案】3 【解析】 【详解】曲线，求导得， 切线斜率为2，设切点为，则，解得， 则， 切点在直线上，故，解得． 13. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正切函数单调区间结合条件即得. 【详解】正切函数的单调递增区间为， 当且时，. 所以，​ 结合， 所以，即的取值范围为. 14. 已知，其中，均为锐角，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】将等式左端用余弦展开公式展开并整理，化简得 ；令 ，代入两角差的正切公式，将 表示为 的函数，再对分母利用对勾函数（均值不等式）求最大值. 【详解】 因 ，原等式两端同乘以 ，消去右端分式 的分母， 整理得： 将右端改写为 ，从而 因 均为锐角，，，两边除以 ，得 设 （），则 ， 代入两角差的正切公式： 将分母改写为 的倒数形式并对 施用均值不等式： 因 ，有 ，故 等号当 即 时成立，此时 ，， 均对应唯一锐角，故 的最大值为 . 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且． （1）证明：为钝角三角形； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1）设的外接圆的半径为， 由正弦定理得， 即，，，  代入已知条件得， 在中，，两边同时除以得， 若，则，与矛盾，故， 所以，因为， 所以，所以为钝角三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）使用正弦定理边化角，结合同角关系和特殊角三角函数求解； （2）使用三角形面积公式与余弦定理求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由三角形面积公式得：，                                 代入得：，解得；                          由余弦定理得：，                                    代入，，得，         所以，即，                                    又因为，所以， 所以的周长为． 16. 已知． （1）求的最小正周期； （2）若，，求的值； （3）求函数在上的单调递增区间． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再由正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，即可求出，再由及两角差的正弦公式计算可得； （3）根据正弦函数的性质计算可得． 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期； 【小问2详解】 因为，即， 所以， 又，所以， 所以， 所以 ； 【小问3详解】 令，， 解得，． 当时，； 当时，． 所以函数在上的单调递增区间为，． 17. 本市某制药企业有甲、乙两个研发小组，甲组有3名女性和4名男性成员，乙组有1名女性和2名男性成员．为公平竞争，现从甲组任选2名成员加入乙组． （1）记随机变量X表示从甲组选出的男性成员个数，求X的概率分布与数学期望； （2）调整后从乙组任选2名成员，求他们均为男性成员的概率． 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）随机变量 可能的取值有 ，从而得出其分布列，再计算期望即可； （2）根据条件概率和全概率的公式计算即可. 【小问1详解】 由题可知，随机变量 可能的取值有 ， 所以 的分布列为 所以 ． 【小问2详解】 设表示“名成员均为男性成员”，表示“甲组选出的2名女性成员”，表示“甲组选出的1名女性成员和1名男性成员”，表示“甲组选出的2名女性成员”， 则，，， ，，， 则 ． 18. 在三棱台中，为中点，，，. （1）求证：平面； （2）若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积. 【答案】（1） 在三棱台中，为中点，则， 又，， ，四边形为平行四边形，， 又，， ，，， ，平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）易证得四边形为平行四边形，由此可得，结合，由线面垂直的判定可得结论； （2）根据垂直关系，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，由二面角的向量求法可构造方程求得，利用体积桥可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，， 又，，平面，平面， 连接，，，为中点，； 以为正交基底，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 设，则，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，解得：，，； 又平面的一个法向量， ，解得：，即， 平面，平面平面，平面， . 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数，的最小值为，求的值； （3）证明：当时，． 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2） （3）证明：当时，， 要证，即证， 记函数，定义域为， 可得，令，， 由，可得在上单调递增， 因为，且， 所以存在，使得，令，则且， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增；所以， 将代入得，其中， 故，所以， 故当时，． 【解析】 【分析】（1）求得，分和，两种情况讨论，结合导数的符号，求得函数的单调区间； （2）由函数，得到，当时，得到区间上单调递增，此时；当时，分和，两种情况讨论，分别求得函数的最小值，进而求得的值； （3）令，求得，令，得到在为单调增函数，结合零点的存在性定理，得到存在，使得，将代入得到，进而证得． 【小问1详解】 由函数，可得其定义域为，可得， ①当时，若，恒成立，恒成立， 可得，所以在内单调递减； ②当时，令，，可得；令得：， 所以在内单调递减，在内单调递增， 综上所述，当时，在内单调递减； 当时，在内单调递减，在内单调递增． 【小问2详解】 由函数，，可得， ①当时，，在区间上恒成立， 在区间上单调递增， 所以（舍去）； ②当时，令，可得， （ⅰ）当时，即， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以； 令函数，，可得， 所以函数为单调函数，所以，解得， 故关于的方程的解为； （ⅱ）当时，即，在区间上单调递减， 所以，解得（舍去）； 综上所述，实数的值为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $