精品解析：山东济宁孔子高级中学2026-2027学年高一上学期10月考试数学试题

济宁孔子高级中学高一上学期10月考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】令，解得，则， 故，则，故B正确. 故选：B 2. 命题“，”的否定为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据含量词命题的否定的改写规则求解. 【详解】含量词命题的否定的改写规则为：改量词，否结论. 所以命题“”的否定为“”. 3. “知之者不如好之者，好之者不如乐之者”出自《论语·雍也》，意思是：对于学习，了解怎么学习的人，不如喜爱学习的人；喜爱学习的人，又不如以学习为乐的人.设命题：“一个人以学习为乐”，命题：“一个人喜爱学习”，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】根据题意， 若命题（一个人以学习为乐）成立，则命题（一个人喜爱学习）一定成立，即； 但命题成立时，命题不一定成立（喜爱学习的人未必以学习为乐），即. 因此，是的充分不必要条件. 故选A. 4. 如果集合 中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】分和两种情况讨论求解即得． 【详解】当，即时，方程为有唯一解为，符合题意； 当，即时，由集合有且只有一个元素， 可得判别式，解得， 综上可知或， 故实数的所有可能值的和为4. 故选：B． 5. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的解可得，即可根据分式不等式转化为整式不等式进行求解. 【详解】由的不等式的解集为可得， 故可变形为， 不等式等价于，解得， 故选：D 6. 设，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故选：D. 7. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客得到的黄金实际克数（ ） A. 大于10克 B. 等于10克 C. 小于10克 D. 与砝码放置顺序有关 【答案】A 【解析】 【分析】根据杠杆原理得出两次称得黄金的质量表达式，再通过计算两次黄金质量之和与克比较大小. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为 第一次称重：左盘放砝码，右盘黄金质量为，根据杠杆原理，，解得：​ 第二次称重：右盘放砝码，左盘黄金质量为，根据杠杆原理，，解得 两次黄金总质量为： 因为，由基本不等式（当且仅当时取等号），所以： 因此，顾客得到的黄金实际克数大于克 故选：A. 8. 已知集合，，若，且中恰好有两个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，根据有两个整数解可得关于的不等式组，求出其解后可得的取值范围. 【详解】， 由题设有，故， 其中为方程的两个根，所以，故， 而有两个整数解，且，故进一步有， 所以，故， 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 如果，，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式的性质，计算可判断ABD，赋值法可判断C. 【详解】因为，，所以，，所以，故A正确； 因为，所以，又，所以， 所以，故B错误； 对于C，取，，此时， 所以，故C错误； 因为，所以，又因为，所以， 所以，又，所以，故D正确. 故选：AD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. “”是“”的充要条件 C. 若不等式的解集为，则集合的子集个数为4 D. 不等式对一切实数恒成立，则 【答案】AC 【解析】 【分析】通过作差法可判断A；解其中不等式，再结合充要条件定义即可判断B，由根与系数的关系求得可判断C，由时，恒成立；可判断D. 【详解】对于A，因为，又，且，则， 所以，即，所以A正确； 对于B，解，解得或， 所以“”不是“”的充要条件，所以B错误； 对于C，因为不等式的解集为， 所以的解为， 由一元二次方程根与系数的关系得，解得， 则， 因此该集合子集个数为，所以C正确； 对于D，当时，恒成立； 当时，则解得． 综上，，所以D错误． 故选：AC． 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由基本不等式，将等式转化为关于的不等式，求解即可. 【详解】因为， 对于选项A，， 当且仅当 时等号成立； 得，解得或（舍去） 故，选项A正确； 对于选项B，，当且仅当时等号成立； 得，且，解得， 故，选项B正确； 对于选项C，，且， 得， 结合选项A中正确结果， 得，当且仅当时等号成立； 选项C不正确； 对于选项D，，且， 所以，结合选项B中正确结果，则， 所以，当且仅当时等号成立，选项D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分． 12. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的图象与性质列不等式，求解即可. 【详解】由题意，对于方程，， 解得，则实数的取值范围为， 故答案为：. 13. 牛栏山一中高一年级某班有学生人，其中音乐爱好者人，体育爱好者人，还有人既不爱好体育也不爱好音乐，则这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有______人． 【答案】 【解析】 【分析】运用集合间关系即可得出结果. 【详解】 由题意作出Venn图，从而求解人数， 设这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有人， 则可得，，解得，， 即这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有人， 故答案为：. 14. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据条件先分析出的取值范围，然后根据与全等表示出，结合三角形面积公式以及基本不等式可求解出面积的最大值. 【详解】设，点翻折后的位置为点， 因为矩形周长为，所以，所以， 又因为，所以，解得，所以， 因为， 所以与全等，所以， 设，则， 在中，，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，满足， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，． （1）求及； （2）若，求． 【答案】（1），或. （2）或 【解析】 【分析】（1）将集合化简，结合交集以及并集的运算，即可得到结果； （2）结合交集以及补集的运算，即可得到结果. 【小问1详解】 由已知或． ． ． 或． 【小问2详解】 ． 或． 所以或. 16. 已知集合，，． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据充分不必要条件的性质，得到集合是集合的真子集，从而得到关于实数的不等式组，求解不等式组，即可得到实数的取值范围. （2）根据集合是否为空集进行分类讨论，结合，分别求出实数的取值范围，最后取并集即可. 【小问1详解】 已知“”是“”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义可知集合是集合的真子集. 已知，，则，解得. 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 当时，因为，所以，解得，此时成立； 当时，，解得. 因为，，则或，解得或，故此时. 综上，若，则实数的取值范围为. 17. 已知命题，命题． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分情况讨论是否为0．当时，直接判断不等式是否恒成立；当时，利用判别式来确定a的取值范围； （2）先求出命题q为真时a的取值范围，再求出命题p和命题q都为假命题时a的取值范围，进而可得答案． 【小问1详解】 当，即时，不等式化为，符合题意； 当时，要使成立， 则，即，解得， 综合可得， 综上可知，命题为真命题时，实数a的取值范围是． 【小问2详解】 命题，即， 因为时，，所以， 命题p为真时，命题q为真时． 命题p和命题q至少有一个为真命题的否定是命题p和命题q都为假命题． 命题p为假时，命题q为假时， 所以命题和命题q都为假命题时， 那么命题和命题q至少有一个为真命题时． 18. 已知函数. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2），关于的方程在总有两个不同实数解，求实数的取值范围； （3）若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1），从而求解； （2）由题意得化简得，则恒成立，从而可求解； （3）由题意得在上恒成立，得，然后令并结合基本不等式从而求解. 【小问1详解】 当时，则， 由，则，解得或； 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 由题意得在总有两个不同实数解， 即在总有两个不同实数解， 由解得或， 所以，则， 因为对时在总有两个不同实数解恒成立，所以， 故的取值范围为. 【小问3详解】 由即在上恒成立，得， 令，则， 当且仅当，即时取等号，所以. 故实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：恒成立的问题常常考虑分离参数，转化为函数的最值或范围的问题，这样可以避免分类讨论. 19. 中国自主创新，芯片产业崛起，多项技术取得突破，全球布局加速，展现了强劲实力和竞争力.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备，初步计划使用该设备不超过20年.使用该设备后，预计每年的收入会达到50万元，已知前年累计所需维修、保养费用万元满足如下函数关系式：，且第一年维修、保养费用为12万元，设使用该设备年后盈利额为y万元. （1）写出y与x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，使用该设备开始盈利（盈利额为正值）； （2）使用该设备若干年后，对设备的处理方案有两种： ①设年平均盈利额为，当达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额y达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额） 【答案】（1），（，且），从第3年开始盈利 （2）方案①比较合理，理由如下： 当且仅当，即时等号成立， 故第7年，年平均盈利额达到最大值， 工厂共获利万元； 由， 当时，， 故第10年，盈利额达到最大值，工厂获利万元， 因为两个方案中盈利额达到的最大值相同，而方案①所用的时间较短， 故方案①比较合理. 【解析】 【分析】（1）首先确定维修费用：代入首年费用求，再构建盈利函数，盈利 = 总收入 - 总支出，最后求开始盈利年份，解，最后答案取整数。 （2）方案①：用基本不等式解得最大值，方案②：用二次函数顶点在求最大值,然后两个比较求出最合理的方案. 【小问1详解】 由题意可得，，代入得，解得， 所以 所以，（，且） 令，解得， 因为，所以， 故从第3年开始盈利. 【小问2详解】 方案①比较合理，理由略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济宁孔子高级中学高一上学期10月考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “知之者不如好之者，好之者不如乐之者”出自《论语·雍也》，意思是：对于学习，了解怎么学习的人，不如喜爱学习的人；喜爱学习的人，又不如以学习为乐的人.设命题：“一个人以学习为乐”，命题：“一个人喜爱学习”，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如果集合 中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 5. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 6. 设，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客得到的黄金实际克数（ ） A. 大于10克 B. 等于10克 C. 小于10克 D. 与砝码放置顺序有关 8. 已知集合，，若，且中恰好有两个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 如果，，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. “”是“”的充要条件 C. 若不等式的解集为，则集合的子集个数为4 D. 不等式对一切实数恒成立，则 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分． 12. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________. 13. 牛栏山一中高一年级某班有学生人，其中音乐爱好者人，体育爱好者人，还有人既不爱好体育也不爱好音乐，则这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有______人． 14. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，． （1）求及； （2）若，求． 16. 已知集合，，． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知命题，命题． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求的取值范围． 18. 已知函数. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2），关于的方程在总有两个不同实数解，求实数的取值范围； （3）若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 19. 中国自主创新，芯片产业崛起，多项技术取得突破，全球布局加速，展现了强劲实力和竞争力.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备，初步计划使用该设备不超过20年.使用该设备后，预计每年的收入会达到50万元，已知前年累计所需维修、保养费用万元满足如下函数关系式：，且第一年维修、保养费用为12万元，设使用该设备年后盈利额为y万元. （1）写出y与x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，使用该设备开始盈利（盈利额为正值）； （2）使用该设备若干年后，对设备的处理方案有两种： ①设年平均盈利额为，当达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额y达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $