精品解析：山东济宁市金乡县第一中学2025-2026学年高一上学期1月检测数学试题

高一数学检测试卷 2026年1月 注意事项： 1．本试题共150分，考试时长120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合表示大于且小于的实数， 集合是由三个整数构成的有限集. 就是找出既属于集合，又在集合中的元素，依次判断： 元素：不满足不等式，不属于集合； 元素：满足不等式，属于集合； 元素：不满足不等式，不属于集合. 综上可得公共元素只有，即. 2. 函数的零点所在的区间可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析函数的单调性，再利用零点存在定理分析判断选项． 【详解】在上单调递增，在内单调递增， 在定义域上单调递增， ，， 根据零点存在定理可知，存在使得，故A正确； ，函数在定义域上单调递增， ，故BCD错误． 故选：A． 3. 已知，则的最大值为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最大值. 4. 已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由 恒成立的等价条件为 ， 【详解】命题＂＂是真命题，又 ， 则 ， 解得 ． 5. 函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，，得，故的取值范围是. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断，根据同角的平方关系计算求出，结合诱导公式计算即可求解. 【详解】因为，所以，则， 又，所以. 所以. 故选：A 7. 已知奇函数的定义域为且在上单调递减，，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性及条件，可得在上的单调性，及，，将所求变为或，结合示意图，分析即可得答案. 【详解】因为为上的奇函数，且在上单调递减， 所以在上单调递减，且，， 由，得或， 作出的示意图， 所以x的取值范围是. 故选：C 8. 已知，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易知且，再由对数函数单调性解不等式即可求得结果. 【详解】由对数函数定义可知或； 由可得，因此可得； 即可得实数的取值范围为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列选项中，正确的是（ ） A. 与是同一个函数 B. 函数（且）的图象恒过定点 C. 若，则 D. 若不等式的解集为，则 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A： 的定义域由 解得 ； 的定义域由 且 解得.两函数定义域相同； 且当 时，，，由对数运算法则 对应关系也相同，因此二者是同一个函数. 选项B：指数函数 的图象恒过定点 . 对 ，令 ，即 ，则 所以 的图象恒过定点 ，而不是 . 选项C：命题缺少“、 均非负”这一前提条件。反例：取 ，，则 ，但 在实数范围内无意义，故 不成立. 选项D：不等式 的解集为 ， 说明二次函数 的图象开口向下， 且 、 是方程 的两个根. 由韦达定理：两根之和 得 ；两根之积 得 .于是 ， 所以 综上，正确答案为 A、D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. B. 若一扇形的圆心角为，半径为cm，则扇形面积为cm2 C. 设是第一象限角，则为第一或第三象限角 D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【详解】因为，所以，故A正确； 若一扇形的圆心角为，半径为cm，则扇形面积为cm2，故B错误； 若是第一象限角，则， 则， 则为第一或第三象限角，故C正确； 不等式的解集为，故D错误. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，不等式的解集为 B. 若函数为上的增函数，则实数的取值范围是 C. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 D. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据分段函数单调性的性质、值域的性质、函数零点的性质，结合数形结合思想逐一判断即可. 【详解】A：当时，， 当时，，因为， 所以此时不等式的解集为. 当时，， 当时，，此时不等式的解集为， 所以原不等式的解集为，因此本选项说法不正确； B：因为函数是实数集上的增函数，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当函数为上的增函数时，必有， 在同一直角坐标系内，函数和的图象如下图所示，显然两个函数都是实数集上的增函数，且，当时， 由数形结合思想可知：当时，，当时，， 所以不等式的解集为，因此本选项说法正确； C：函数在上的值域为， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，该函数的值域为， 当时，该函数的值域为. 若函数的值域为， 当时，则有，由选项B的解答可知该不等式的解集为， 当时，则有，解得该不等式的解集为， 综上所述：实数的取值范围是，所以本选项说法不正确； D：因为函数的零点为， 函数的零点为， 所以当函数恰有两个零点时，实数的取值范围是，因此本选项说法正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知幂函数的图象经过点，那么________. 【答案】 【解析】 【分析】先将点代入函数求出，进而可得. 【详解】将点代入得， 所以. 所以. 故答案为：. 13. 设，则________. 【答案】 【解析】 【分析】两边平方可得而代入即可得解. 【详解】对于等式，两边平方可得， 又，所以， 因为， 所以. 故答案为:. 14. 函数的零点个数是_________． 【答案】4 【解析】 【分析】将函数零点转化为两函数和在同一坐标系下的交点个数，即可求得结果. 【详解】令，可得； 画出函数和在同一坐标系下的图象，如下图所示： 易知，当时，， 又因为为偶函数， 显然在轴左侧，因为，所以如上图所示在轴左侧两图象仅有一个交点， 在轴右侧，因为，因此在轴右侧两图象仅有三个交点， 因此两图象共有4个交点， 即函数的零点个数是4个. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. （1）求值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）（2）1 【解析】 【分析】（1）根据对数运算的性质计算即可. （2）根据诱导公式化简计算即可. 【详解】（1）原式 ． （2） 原式， ． 16. 已知集合，集合. （1）若，求实数m的取值范围; （2）若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）讨论，两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； （2）由p是q成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围． 【小问1详解】 由，得 ①若，即时，，符合题意； ②若，即时，需或，解得． 综上，实数的取值范围为． 【小问2详解】 ∵p是q的充分不必要条件， ∴， ∴是的真子集． 则不同时取等号，解得． 实数的取值范围为． 17. 设函数， （1）解关于的不等式； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． （2） 【解析】 【分析】（1）分三种情况计算不等式的解集. （2）方法一：将不等式等价于在时恒成立，然后根据函数的单调性计算即可； 方法二：将不等式等价于在时恒成立，根据二次函数的性质计算即可. 【小问1详解】 解：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． 【小问2详解】 （法一）：因为，等价于在时恒成立 函数在上单调递增，值域是 所以，的取值范围是. （法二）：等价于在时恒成立 设，则的对称轴为，且在时恒成立 当，即时，在单调递增， 只需即可，解得， ， 当，即时，， 得，与矛盾 综上所述，的取值范围是. 18. 已知函数. （1）求及的最小正周期； （2）若，求的单调递减区间； （3）求在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1），最小正周期为. （2）和. （3）最大值为，最小值为． 【解析】 【小问1详解】 ，的最小正周期为. 【小问2详解】 （法一）设，因为，所以， 因为，的单调递减区间是和， 令，得， 令，得， 所以，的单调减区间是和. （法二），令， 解得， 因为. 所以，的单调减区间是和. 【小问3详解】 ， 因为，则， 由的图像知， 则， 所以在区间上的最大值为，最小值为． 19. 已知函数为偶函数． （1）求实数的值； （2）求方程的根； （3）若函数在上有零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义，结合对数运算求解即得. （2）应用对数的运算性质求解方程的根. （3）由题设可得在上有解，构造函数并探讨函数单调性，求出值域即可得参数范围. 【小问1详解】 函数的定义域为R，且为偶函数， 则，，即恒成立， 因此，而不恒为0，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，， 由方程，得， 即，整理得， 即，因此，即， 而，解得，即，所以所求方程的根为. 【小问3详解】 由（1）得在上有零点， 则在上有解，令函数， 函数在上单调递增，而函数是定义域上的增函数， 则函数在上单调递增，又函数在上单调递增， 因此函数在上单调递增，则，则， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学检测试卷 2026年1月 注意事项： 1．本试题共150分，考试时长120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ）. A. B. C. D. 2. 函数的零点所在的区间可以是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的最大值为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 4. 已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知奇函数的定义域为且在上单调递减，，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列选项中，正确的是（ ） A. 与是同一个函数 B. 函数（且）的图象恒过定点 C. 若，则 D. 若不等式的解集为，则 10. 下列命题正确的是（ ） A. B. 若一扇形的圆心角为，半径为cm，则扇形面积为cm2 C. 设是第一象限角，则为第一或第三象限角 D. 不等式的解集为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，不等式的解集为 B. 若函数为上的增函数，则实数的取值范围是 C. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 D. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知幂函数的图象经过点，那么________. 13. 设，则________. 14. 函数的零点个数是_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. （1）求值． （2）已知，求的值． 16. 已知集合，集合. （1）若，求实数m的取值范围; （2）若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围 17. 设函数， （1）解关于的不等式； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 18. 已知函数. （1）求及的最小正周期； （2）若，求的单调递减区间； （3）求在区间上的最大值与最小值． 19. 已知函数为偶函数． （1）求实数的值； （2）求方程的根； （3）若函数在上有零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $