四川成都外国语学校2026-2027学年高二上学期10月学月考试数学试卷（平行班）

成都外国语学校2026~2027学年度上期10月学月考试 高二（上）数学参考答案（平行班) 单项选择 CABD ACBC 二.多项选择 9.ABD 10.ABC 11.BD 三.填空题 12.18 13. 128 14.(A题)4 B题4v2 225 四.解答题 15.【答案】(1)7； (2)19或13. 【小问1详解】 向量d=032.c正mh4.由a1c,得={=)解得m=2.1二6 c=(2,6,-4),而b=(1,0,2),则b+c=(3,6,-2), 所以b+c=V32+62+(-2)2=7. 【小问2详解】 由b⊥c,得1×m+0×n+2×(-4)=0,即m-8=0,解得m=8, 由|c=9,得V64+n2+16=9,解得n=±1， 当m=8,n=1时，a.c=m+3n+8=19; 当m=8,n=-1时，a·c=m+3n+8=13, 所以a·c值是19或13， 16.【答案】(1)a=0.06(2)37.5( 【详解】(1)由图可得(0.01+0.02+0.04+0.07+a)×5=1,解得a=0.06. (2)前三组的频率和为0.01×5+0.07×5+0.06×5=0.7， 第四组的频率为0.04×5=0.2，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为35+0×5=37.5 0.2 (3)由题意得第3组的人数，第4组人数频率之比为3：2，所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽 取5名参加座谈，所以应从第3,4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为A,A2,A,第4组的2名分别为B,B2 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为(A,A2),（4,A),（A,B) (A,B2),（4,4),（4,B),（A,B2),（4,B),（A,B2),(B,B2),共有10种 高二数学答案（平行班）第1页共5页 其中第4组的2名B,B2至少有一名被选中的有(4，B),（4,B2) (A,B),（A,B2),（A,B),（4,B2),(B,B2),共有7种， 所以至少有一人的年龄B5,40)内的系率为 17.【答案】（①y6 233 2 【详解】(1)解：因为∠AAB=∠AAD=∠BAD=60°，AD=A4=AB=1, 所以从而-网0e40-=x行同理可得4-分后而-号 因为BC=4+AD,所以BC-=V(aA+AD-VA4+D+2A4AD=5, 4C=AB+AD-AA,所以4C=AB+D-A4' =VA4+AD+AB-2AA·AD-2AA·AB+2AB.AD=√2 所以BCAC=AA·AB+AA·AD-AA+AD·AB+AD-AD·AA=1, ÷cos(BC,4C BC·AC。1V6 BC4CV2×V36' :G与4C所成角的余弦值是V6 (2)解：因为AP=AB+AD+2AA,.BP=AP-AB=AD+2AA 所以BP=AD+4AA+4AD.A4=7,在菱形ABCD中，∠BAD=60°， 两A40D为等边三角形所以D-1,所以0-即面=-(D+2D-园 =AD2-AD.AB+2AM·AD-2A4AB=】,则点P到直线BD的距离 BP.BD 1_3V3 1- BD 42 m+3行解得m=2 18【A题详解】（山）由题可知m- 144 (2)若第一次取出的是红球，则这两次取出的球的颜色不同的概率？=×。= 5525 144 若第一次取出的是绿球，则这两次取出的球的颜色不同的概率P=二×二 Γ55-25 高二数学答案（平行班）第2页共5页 若第一次取出的是黄球，则这两次取出的球的颜色不同的概率？5×行5 若第一次取出的是黑球，则这两次取出的球的颜色不同的概率B=亏×亏25 2、3_6 故这两次取出的球的颜色不同的概率为4+4+4+6-18 252525'2525 (3)若黑球被取出两次，则取出的球至少有两种不同的颜色的概率￡=2×2×2+2×2x2+3×2x2_36 555555555125 若黑球被取出一次，取出的球至少有两种不同的颜色的概率B-亏×兮×亏十×亏×写十亏×5×5125 233,323,332_54 36.5418 故取出的球至少有两种不同的颜色，且有黑球被取出的概率为 125'12525 18B恶详都】@日受m对回主客场比赛制r比单场比赛针更加有利于甲队夺冠 【详解】(1)()设甲队通过加时赛获得冠军为事件A, 则事件A包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平，然后加时赛获胜， 所以P-p0-p-）片+}-3Pg0 所以P(A）-2X25X525 34318 X ()设甲队获得冠军为事件B, 则事件B包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜， 则r(=P④+p号+p号+g-17”g 23262 肠子拟-名若含岩 (2)在第三方场地的“单场比赛制？下，将甲队获胜记为事件C, 则事件C包含甲队胜甲队平且加时套能，则Pq9)=p+P-n 2 因为0<p+号<1，所以0<p号此时0<p+号 250 ,符合题意， PB-PC)=7p-33g4g3p-28-9p. 622326 因为0<p<号君 >0,8-9p>0,所以P(B)-P(C)>0, 即“主客场比赛制比“单场比赛制更加有利于甲队夺冠 19.【A题详解】()证明：因为在Rt△ABC中，∠C=90°，DE∥BC,且BC1CD, 所以DE⊥CD,DE⊥AD,则折叠后，DE⊥AD, 又AD∩CD=D,AD,CDc平面ACD,所以DE⊥平面ACD,ACc平面ACD,所以DE⊥AC, 又已知AC⊥CD,CDn DE=D且都在面BCDE内， 高二数学答案（平行班）第3页共5页 所以AC⊥平面BCDE; (2)由I)知，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系C-2, 因为AD=2CD,故DE=2BC=2. 3 由几何关系可知，CD=2,AD=4,AC=2W3, 故C(0,0,0),D(2,0,0),E(2,2,0), B0,3,0),4(0,0,25,M1,0,V5, CM=10,3),4B=(0,3-2W5),4E=(2,2,-2W5 iAB=0 3y-25z=0 设平面ABE的法向量为方=(x,,),则 即 i-4E=01 2x+2y-25z=0 不妨令y=2,则z=√，x=1,故平面ABE的一个法向量为n=1,2,V3 设CM与平面ABE所成角的大小为6， 则有im9cos(CM,=1CW列-4V ,所以日=乃 1CM1i2×2W22 4 即CM与平面ABE所成角的大小为？ 19.【B题详解】【详解】(1)如图， 沿圆锥PO的母线PA，将圆锥的侧面展开，得侧面展开图扇形PAA', 其中B为A4的中点，A与A在圆锥中是同一点， 因为轨迹L在圆锥的侧面上， 所以，在侧面展开图中，轨迹L是扇形PAA'上连接A与A两点的曲线 又L是最短路径，而平面上连接两点之中，线段最短， 所以，轨迹L是侧面展开图扇形PAA'上连接A与A两点的线段，即线段AA' 由于4-，所以的长度为2，又A-3,所以∠AP=d 所以，在等腰三角形PAA中，AA=3√3，即L的长度为3√3 (2)如图，在底面圆O中，过点O作OE1AB交圆O于点E, 由于PO⊥平面ABE,OA,OEc平面ABE,故PO⊥OE,PO⊥OA, 则OAOE,OP两两垂直， 如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，OP所在直线为二 轴，建立空间直角坐标系 于是A(1,0,0),P0,0,2W2,(cos8,sin8,0),设M(xy,=, B PM=(x.y.z-2),PO=(cos asina-2) 高二数学答案（平行班）第4页共5页 2c0s8 x= 3-c0s8 于是y= 2sine 2cose 2sin62√2-2√2cos8 -cose ,则M 3-c0s8'3-c0s8 3-cos日 h-26-2Vi 3-c0s8 于是AM 3(cos8-1)2sin62W2(1-cos8) 3-cos8’3-c0s8’3-c0s9 于是令i-(2√2,0,3，则AM-i=0; (3)解法1：由(2)可知，元=(22,0,3是平面a的一个法向量， 设平面MPO的法向量为=(：，片，)， 由于op=(0,022,.oM= 2cos日 2sine 2v2-2v2cos0 3-c0s8'3-cos8 3-cose 4Op=0 2√2z1=0 则 2.oM=0' 即{2cos8 2sine (3-cos61 3-cos日1=0 令：=-sin日，片=cos8,=0,于是平面MPO的一个法向量为乃=（-sin8,cos8,0), 设平面a与平面MPO所成角为a,于是cos0 2V51sn0e[023网 17x1017 2W34 即平面a与平面MPO所成角的余弦值的取值范围为0， 17 高二数学答案（平行班）第5页共5页成都外国语学校2026~2027学年度上期10月学月考试 高二（上)数学试卷（平行班) 考试时间120分钟；满分150分 答题须知： 1.本试卷部分试题分为A、B两题，请考生从中任选一题完成作答。 2.如A、B两题都作答，阅卷时仅对所做的第一题进行评分。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.已知空间四点A,B,C,D,则DA+CD-CB=() A.可 B.AB C.BA D.BD 2.某公司生产的一批零件有A、B、C三种不同型号，产量分别为a,300,200件，现用分层抽样的方法 从这批零件中抽取45件进行检验，若A种零件被抽取20件，则a=() A.400 B.300 C.250 D.200 3.青城山是著名的旅游胜地.天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计 三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0,1,2,3,4表示 当天下雨，5,6,7,8,9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟 产生了10组随机数： 926446072021392077663817325615 据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为() A.0.45 B.0.5 C.0.55 D.0.6 4.现从2个男生2个女生共4人中任意选出2人担任成都外国语学校运动会学生代表发言，则选出的2人中 恰有一个男生一个女生的概率为() A.月 B名 c D.号 5.已知a=(3,-1,2),b=(4,3,-2),c=(1,4,2),若ā，b,c三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数元的值 为() A.-4 B.-2 C.2 D.4 6.如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB,M为PA的中点，BD=BN.若MN⊥AD M 则4=() A.2 B.3 C.4 D.5 (题6图) 7.在分别写有数字1,2,3,4,5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，A表示事 件第1次取出的卡片上的数字为2”，A表示事件两次取出的卡片上的数字之和为6”，A表示事件“两次 取出的卡片上的数字之和为T',则() A.A,和A为对立事件 B.A与A,为相互独立事件 C.A与A为相互独立事件 D.A与A为互斥事件 高二数学试卷（平行班）第1页共5页 8.成年人饮水量健康标准：连续5天，每日饮水量均不低于1500mL视为达标.现有甲、乙、丙三人连续5 天的日饮水量的数据（数据均为正整数，单位：×100mL):①甲：中位数17，众数15；②乙：中位数18， 平均值17；③丙：含1个数据21，平均值17，方差4.4，其中一定达标的是（) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险： 戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查， 得出如下的统计图： 05S比例 元 7000 54周岁及以上8% 6000 0.33 5000 4253 18-29 4000 周岁 -周岁 3000 33% 20% 0.09 2000 39% 8:87当口 1000 3041周岁 甲乙丙丁戊险种018-2930-4142-5354周岁及以上 参保险种比例 不同年龄段人均参保费用 参保人数比例 用样本估计总体，以下四个选项正确的() A.丁险种最受参保人青睐 B.随着年龄的增长人均参保费用越来越高 C.30周岁以上的参保人数约占总参保人数的20% D.3041周岁参保人数最多 10.(A题)如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，M,N分别是AB,AD的中点，点P在正方 形A,B,CD内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（) A.若P为线段CD的中点，则直线PM∥平面BCCB, B.三棱维A-PMN的体积为号 D V C.若MNW⊥PN,则点P的轨迹长为√2 D.在线段CD上存在点P,使得MN⊥PM 10.(B题)如图，已知正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，点M为CG的中点，点P为正方形AB,CD上 的动点，则() A.满足MP∥平面BDA的点P的轨迹长度为√2 B.满足MP1AM的点P的轨迹长度为 C,存在唯一的点P满足∠APM=号 D.存在点P满足PA+PM=4 11.在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为(0<α<)，收到0的概 率为1-α；发送1时，收到0的概率为B0<B<1),收到1的概率为1-阝.考虑两种传输方案：单次传输 高二数学试卷（平行班）第2页共5页 和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要 译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为 译码（例如，若依次收到1,0,1，则译码为1）.下列正确的是（) A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为a1-B)2 B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为B1-)2 C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为B(1-)+(1-) D.当0<<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的 概率 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知一组数据x,x2,…,x4的方差为2，则数据3x-2,3x2-2,…,3x4-2的方差为 B.若对任意的x∈4，都有士e4,则称A是完美袋合。从集合01234的所有子类中任选1个，该 集合是完美集合的概率是 14.(A题)已知三棱锥P-ABC,如图所示，G为△ABC重心，点M,F为PG,PC中点，点D,E分 11 别在PA,PB上，PD=mPA,PE=nPB(mn≠0)，若M,D,E,F四点共面，则+-= m n D 14.(B题)正四面体ABCD棱长为2，点O为其外接球球心，点E,F,G满足 DE=xDA,DF=DB.,DG=2DC,xy∈(O,1,且点O在平面EFG上，则三棱锥D-EFG体积最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知向量ā=(1,3，-2)，b=(1,0,2),c=(m,n,-4) (1)若ā/1c,求b+c的值 (2)若b⊥c,d=9,求ac值 高二数学试卷（平行班）第3页共5页 16.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20,45]内的市民 进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一五组区间分别为[20,25），[25,30)， [30,35),[35,40),[40,45. 频率 组距 0.07---- (1)求a的值： 0.05 (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的第80百分位数； 0.04 0.03 (3)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在0.02 0.01 座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在35,40)内的 L 0202530354045年龄 概率 17.如图，平行六面体ABCD-AB,CD,中，底面ABCD是菱形， D C ⊙ 且∠AAB=∠AAD=∠BAD=60°，AD=AA=1. -I (I)求BC与AC所成角的余弦值； D (2)若空间有一点P满足：AP=AB+AD+2AA,求点P到直线BD的距离 18.(A题)不透明的袋子中装有红球、绿球、黄球各1个，黑球个，这些球除颜色外完全相同，每次从 袋子中有放回地随机取出1个球，且每次黑球被取出的概率为亏 (1)求m的值： (2)若进行两次取球，求这两次取出的球的颜色不同的概率； (3)若进行三次取球，求取出的球至少有两种不同的颜色，且有黑球被取出的概率 18.(B题)甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制，具体赛制如下：若某队两场比赛 均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军现假定甲队 在主场获胜的概率为p,平局的概率为P,其中0<<1，甲队在客场获胜和平局的概率均为，加时赛 3 甲队获胜的概率为P,不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场 高二数学试卷（平行班）第4页共5页 2 (1)已知p= ()求甲队通过加时赛获得冠军的概率： ()求甲队获得冠军的概率， (2)除主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制'：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平 局，则通过加时赛决出冠军假定甲队在第三方场地获胜的概率为p,平局的概率为 ,加时赛甲队获胜的 概率为P.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 19.(A题)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点，满足DEI∥BC 且DE经过△ABC的重心，将△ADE沿DE折起到△ADE的位置，使AC⊥CD,M是AD的中点，如图所 示 (I)求证：AC⊥平面BCDE; (2)求CM与平面ABE所成角的大小； (③)在线段4C上是香存在点N使平面CBM与平面BN成角余弦值为V区 若存在，求出CN的长度；若不存在，请说明理由. 19.(B题)如图，已知圆锥PO的底面直径AB=2,其中O为底面圆心，母线PA=3,动点M从A点出发， 在圆锥的侧面上绕轴PO一周后回到A点，其轨迹为L. (1)求L长度的最小值 ②若点Q在图0上.且-30gP0(9是0所对的圆心角，0s932),正明存在非零向量m, 使得M1n恒成立： (3)在(2)的条件下，可知L是平面曲线，记L所在平面为a，求平面MPO与a夹角余弦值的取值范围. M B 高二数学试卷（平行班）第5页共5页 成都外国语学校2026~2027学年度上期10月学月考试 高二（上）数学试卷（平行班） 考试时间120分钟；满分150分 答题须知： 1. 本试卷部分试题分为A、B两题，请考生从中任选一题完成作答。 2. 如A、B两题都作答，阅卷时仅对所做的第一题进行评分。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间四点A，B，C，D，则 A. B. C. D. 2．某公司生产的一批零件有、、三种不同型号，产量分别为，300，200件，现用分层抽样的方法从这批零件中抽取45件进行检验，若种零件被抽取20件，则（   ） A．400 B．300 C．250 D．200 3.青城山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了10组随机数： 926   446   072   021   392   077   663   817   325   615 据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为（    ） A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6 4.现从2个男生2个女生共4人中任意选出2人担任成都外国语学校运动会学生代表发言，则选出的2人中恰有一个男生一个女生的概率为（   ） A． B． C． D． 5．已知，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D．4 6．如图，在正四棱锥中，，为的中点，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 （题6图） 7．在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1 次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（   ） A．和为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 8．成年人饮水量健康标准：连续5天，每日饮水量均不低于视为达标.现有甲、乙、丙三人连续5天的日饮水量的数据（数据均为正整数，单位：）：①甲：中位数17，众数15；②乙：中位数18，平均值17；③丙：含1个数据21，平均值17，方差4.4，其中一定达标的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：    用样本估计总体，以下四个选项正确的（    ） A．丁险种最受参保人青睐 B．随着年龄的增长人均参保费用越来越高 C．30周岁以上的参保人数约占总参保人数的20% D．30~41周岁参保人数最多 10. (A题）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，点在正方形内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（     ） A．若为线段的中点，则直线平面 B．三棱锥的体积为 C．若，则点的轨迹长为 D．在线段上存在点，使得 10．（B题）如图，已知正方体的棱长为2，点为的中点，点为正方形上的动点，则（    ） A．满足平面的点的轨迹长度为 B．满足的点的轨迹长度为 C．存在唯一的点满足 D．存在点满足 11．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.下列正确的是（ ） A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知一组数据的方差为2，则数据的方差为________． 13．若对任意的，都有，则称是完美集合．从集合的所有子集中任选1个，该集合是完美集合的概率是__________． 14. （A题）已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 _________． 14． （B题）正四面体棱长为2，点为其外接球球心，点满足，且点在平面上，则三棱锥体积最小值为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求值. 16．某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一~五组区间分别为，，，，）． (1)求的值； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 17．如图，平行六面体中，底面是菱形， 且. (1)求与所成角的余弦值； (2)若空间有一点P满足：，求点P到直线的距离. 18．（A题）不透明的袋子中装有红球、绿球、黄球各1个，黑球m个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次黑球被取出的概率为. (1)求m的值； (2)若进行两次取球，求这两次取出的球的颜色不同的概率； (3)若进行三次取球，求取出的球至少有两种不同的颜色，且有黑球被取出的概率. 18．（B题）甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；加时赛甲队获胜的概率为.不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场. (1)已知. （i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率； （ii）求甲队获得冠军的概率. (2)除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 19.（A题）在中，，，，分别是上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示. 求证：平面BCDE； 求CM与平面所成角的大小； 在线段上是否存在点N，使平面CBM与平面BMN成角余弦值为？若存在，求出CN的长度；若不存在，请说明理由. 19. （B题）如图，已知圆锥的底面直径，其中为底面圆心，母线，动点从点出发，在圆锥的侧面上绕轴一周后回到点，其轨迹为． (1)求长度的最小值； (2)若点在圆上，且（是所对的圆心角，），证明：存在非零向量，使得恒成立； (3)在（2）的条件下，可知是平面曲线，记所在平面为，求平面与夹角余弦值的取值范围． 高二数学试卷（平行班）第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $