四川泸州市泸县第一中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段考试数学试卷

高2025级2026年秋期第一阶段性考试数学试题 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．为了解某地参加计算机水平测试的500名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽到的200名学生的成绩是 A．总体 B．样本 C．个体 D．样本量 2．若，则 A． B． C． D． 3．点关于x轴的对称点的坐标为 A． B． C． D． 4．已知，是互斥事件，与是对立事件，若，，则 A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 5．甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，则三人至少有一个及格的概率为 A． B． C． D． 6．已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是 A． B． C． D． 7．若，则为整数的概率为 A． B． C． D． 8．如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是 A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1； B．已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16. 10．已知向量，则下列结论正确的是 A．若，则 B．若 C．的最小值为 D．的最大值为4 11．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是 A． B． C． D．的长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________. 13．某学校新学期开设了丰富的社团供新生选择，高一年级甲同学对理科学社和十三月音乐社产生了浓厚的兴趣．若甲加入理科学社的概率为0.7，加入十三月音乐社的概率为0.3，两个都加入的概率为0.21，则甲只加入其中一个社团的概率为__________. 14．直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(13分)已知在某次招考测试中，甲、乙两人各自能否通过测试相互独立，且甲、乙能够通过测试的概率分别为，.求： (1)恰有1人通过测试的概率； (2)至少有1人通过测试的概率. 16．(15分)已知在四棱锥中，底面，且底面是正方形，F、G分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 17．(15分)某校高一年级为了解学生对“校园科技节”活动的满意度，采用简单随机抽样调查了100名学生，满意度评分满分为100分，按照，，…，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计该高一学生对本次活动满意度的平均数和上四分位数； (2)从满意度低于70分的学生中，按，的人数比例，采用分层随机抽样抽取5人，再从这5人中随机选取2人进行座谈，求这2人都来自的概率． 试卷第1页（共3页） 试卷第3页 学科网（北京）股份有限公司 18．(17分)在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． (3)点G在线段AF上， 19．(17分)高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了100名学生的成绩x进行统计.将成绩进行整理后，分为五组:，，其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求a,b的值； (2)已知落在的平均成绩是56，标准差是4，落在的平均成绩为65，标准差是2，求两组成绩的总平均数和总方差; (3)在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题.已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是.每人回答正确与否相互独立.求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率. 试卷第1页（共3页） 试卷第4页 学科网（北京）股份有限公司 高2025级2026年秋期第一阶段性考试数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A A D C C D ACD AC 题号 11 答案 AC 1．B 【详解】在总体中，被抽取的对象为样本. 2．B 【详解】，所以. 3．A 【详解】由点关于x轴的对称点为， 4．A 【详解】因为，是互斥事件，所以，则， 因为与是对立事件，所以. 5．D 【详解】解析：由题设可知甲、乙、丙三位同学都不及格的概率是，故甲、乙、丙三位同学都至少有一个及格的概率是，应选答案D． 6．C 【详解】对于A，，共面，不可为基底； 对于B，，共面，不可为基底； 对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量， 这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底， 对于D，，共面，不可为基底. 7．C 【详解】从中任取两个数的样本空间为： ，共25个. 使为整数的样本点有，共8个. 所以为整数的概率为. 故选：C 8．D 【详解】如图，因为面，四边形为正方形， 所以可将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球也是长方体的外接球． 由面，所以就是与平面所成的角， 则，所以， 设四棱锥的外接球的半径为， 因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径， 所以，所以， 所以四棱锥的外接球的表面积为. 故选：D． 9．ACD 【详解】对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为， 以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为，故A正确； 对于B，因为数据1，2，，6，7的平均数是，所以， 这组数据的方差是，故B错误； 对于C，该组数据从小到大排列为12，14，15，17，19，23，27，30， 又，即第70百分位数为第6个数为23，故C正确； 对于D，依题意，，则， 故数据的标准差为，故D正确； 故选：ACD 10．AC 【详解】对于A，若，且， 则存在唯一实数使得，即， 则，解得，故A正确； 对于B，若，则，即， 化简得，因为，所以无实数解，故B错误； 对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误. 故选：AC. 11．AC 【详解】 ∵，故A正确. ∵.故B错误. 又∵，. ，； ， . . ∴.故C正确. ∵，∴.故D错误. 故选：AC. 12． 【详解】已知，，所以. 根据投影向量的定义，向量在向量上的投影向量为， 其中为方向上的单位向量， 令，.则； ； 所以投影向量的坐标为. 13．/ 【详解】设事件甲加入理科学社为，事件甲加入十三月音乐社为， 由已知，，， 事件甲同时加入两个社团可表示为， 事件甲只加入其中一个社团可表示为， 且事件，互斥， 所以， 故答案为：. 14． 【详解】 建立平面直角坐标系如图，则，，，， 点，为的中点，，， ，，， 在边上运动(包含端点)，设， ，， ， ，， 的取值范围为. 故答案为：. 15． (2) 【详解】（1）记甲、乙通过测试的事件分别为，则， 恰有1人通过测试的事件为， 所以恰有1人通过测试的概率为. （2）由（1）得至少有1人通过测试的事件为， 所以. 16．(1)证明：连接AC，由已知F、G分别为和的中点， ，又面ABCD，面ABCD， 平面； (2)证明：底面是正方形， ， 又底面，面ABCD， ，面，面， 面，又面， . 17．(1)77；85 (2) 【详解】（1） 设上四分位数为，即， （2）从中抽取1人编号为1，从中抽取4人编号为2，3，4，5． ， 记“这2人都来自”，即 ，即这2人都来自的概率为 18．(1)证明：以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系， ，，，，，， ，， 所以， 所以，故； （2），， 所以， ，， 所以， 因为异面直线所成角范围，故异面直线与所成角的余弦值为 (3): 19．(1)合理分数为分；平均分为70.2分(2)总平均数是62，总方差是26．(3) 【详解】（1）由题意知，第组的小长方形的高是第组的小长方形的高的一半， 所以， 又，解得， 择优选取的同学晋级下一轮竞赛，即确定第60百分位数， 成绩落在内的频率为，落在内的频率为， 设第百分位数为，则， 由百分位数的定义可得，解得，所以晋级分数线划为分合理； 估计本次竞赛平均分为 （2）由图可知，成绩在的人数为 ， 成绩在的人数为， 故 ， ， 所以两组成绩的总平均数是62，总方差是26． （3）记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件、、，则、、两两相互独立， 由题意可得，解得， 由乙、丙两人至少一人回答正确的概率是， 得，解得，故， 所以乙、丙两人各自回答正确这道题的概率为和． 记事件甲、乙、丙三人中至少两人回答正确， 则 . 答案第1页（共2页） 答案第1页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $