精品解析：江苏苏州市常熟市实验中学2026～2027学年度第一学期第7周九年级数学大单元统一作业

2026~2027学年度第一学期第7周初三数学大单元统一作业 一．选择题（8小题，共24分） 1. 若反比例函数的图像经过点，则该反比例函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的直径为5cm，线段cm，那么点A与的位置关系是（ ） A. 点A在外 B. 点A在上 C. 点A在内 D. 不能确定 3. 如果四个点，，和在反比例函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（） A. B. C. D. 4. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝35°，那么∠BAD等于（　　） A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 5. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 点P是内一点，过点P的最长弦的长为，最短弦的长为，则OP的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是矩形，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，对角线，交于点D．双曲线经过点D与边，分别交于点E，点F，连接，，若四边形的面积为5，则k的值为（ ） A. 5 B. C. D. 8. 如图是一个装置的示意图，其中圆形吊舱初始位置与水平横杆、卡槽相切．水平横杆米，米，吊舱半径为10米．放开挡板后，吊舱沿着水平横杆向点A方向匀速平移，平移速度是每秒1米．从放开挡板，直至吊舱触碰竖直放置的为止（），吊舱平移的时间为（ ） A. 30秒 B. 40秒 C. 50秒 D. 60秒 二．填空题（8小题，共24分） 9. 若是反比例函数且图象在每一象限内y随x的增大而减小，则a的值为_____ 10. 函数的图象与直线没有交点，那么的取值范围是________． 11. 如图所示，从外一点P引的两条切线，，切点分别是A，B．若，C是弧上的一个动点（点C与A，B两点不重合），过点C作的切线，分别交，于点D，E，则的周长是________． 　 12. 在圆中，一条弦的长等于其半径长，则这条弦所对的圆周角的度数为________ 13. 如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为_____． 14. 已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则=_______． 15. 如图，点O是矩形的对角线上的一点，经过点D，且与边相切于点E，若，，则该圆半径是__________． 16. 如图，是的内接三角形，，，D是边上一点， 连接并延长交于点E．若，，则的半径为______． 三．解答题（共82分） 17. 已知y-1与x+2成反比例函数关系，且当x=-1时，y=3．求： (1)y与x的函数关系式； (2)当x=0时，y的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，、、． （1）经过A、B、C三点，则点M的坐标是 ，半径为 ； （2）直线l经过点C，且平行于y轴，请判断直线l与的位置关系，并说明理由． 19. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像如图所示，矩形在第一象限内，平行于x轴，且，点A的坐标为 （1）直接写出B，C，D三点的坐标； （2）若将矩形向下平移m个单位，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图像上，猜想这是哪两个点？并求m的值和反比例函数的表达式． 20. 如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点． （1）若，则的度数为 ； （2）若点 是线段上的动点，则线段 的长度取值范围是 ； （3）求的长． 21. 某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱顶高出水面（即），， （1）求出该圆弧形拱桥所在圆的半径； （2）现有一艘宽，船舱高出水面的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？ 22. 实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段 与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于（毫克百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． （1）求双曲线的函数表达式； （2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车上班？请说明理由． 23. 如图，在中，是的直径，C，D是上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与交于点F． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求的长． 24. 如图，为的直径，，分别切于点B，D，直线交的延长线于点E，的延长线交于点 G，于点 F．若，． （1）求的半径长； （2）求线段的长． 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）求点的坐标； （2）若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标； （3）直接写出不等式的解集是 ； （4）若点在轴上，点在反比例函数的图象上，且，，，恰好是一个平行四边形的四个顶点，直接写出符合条件的所有点的坐标． 26. 定义：平面直角坐标系中，若点M绕点N顺时针旋转，恰好落在函数图象W上，则称点M是点N关于函数图象W的“直旋点”．例如，点是原点O关于函数图象的一个“直旋点”． （1）在①，②，③三点中，是原点O关于一次函数图象的“直旋点”的有 ___________（填序号）； （2）点是点关于反比例函数图象的“直旋点”，求k的值； （3）如图1，点在反比例函数图象上，点B是在反比例函数图象上点A右侧的一点，若点B是点A关于函数的“直旋点”，求点B的坐标． 27. 综合探究 【问题提出】 （1）小明通过“直线与圆的位置关系”的学习，已经知道过圆外一点可以作圆的两条切线．在对这一知识的学习过程进行反思时，小明突发奇想：如图1，直线l与相离，点P在直线l上运动，过点P作的切线，切点为A，则的长是否存在最小值？小明探究后发现，当直线l时，的长最小．请帮小明证明该结论； 【理解内化】 （2）如图2，正方形的边长为4，以D为圆心．2为半径作圆．点P是边上动点，过点P作的切线，切点为E，则的取值范围为； 【拓展应用】 （3）如图3，直线与x轴和y轴分别相交于A，B两点，P是该直线上的任一点．将直线向下平移5个单位，与x轴和y轴分别相交于D，C两点，过点D向以P为圆心，2为半径的作右侧作切线，切点为E．则四边形面积的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期第7周初三数学大单元统一作业 一．选择题（8小题，共24分） 1. 若反比例函数的图像经过点，则该反比例函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 把点代入，得， ∴， 则反比例函数的解析式为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 2. 已知的直径为5cm，线段cm，那么点A与的位置关系是（ ） A. 点A在外 B. 点A在上 C. 点A在内 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到圆心的距离d与圆的半径r之间的数量关系进行判断即可． 【详解】解：由题意得：，， 故：， ∴点A在外， 故选：A． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系：点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外，点到圆心的距离等于圆的半径时，点在圆上，点到圆心的距离小于圆的半径时，点在圆内． 3. 如果四个点，，和在反比例函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，利用反比例函数图象上点的坐标特征，结合非负性确定，是比较大小关系的关键． 通过点的纵坐标，确定反比例函数常数，再根据反比例函数的性质计算并比较，，的大小即可． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴． 对于点：， 对于点：， 对于点：． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为A． 4. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝35°，那么∠BAD等于（　　） A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知、，通过与互余即可求出的值． 【详解】解：∵ ∴ ∵是的直径 ∴ ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等、并且等于它所对的圆心角的一半，也考查了直径所对的圆周角为90度． 5. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 6. 点P是内一点，过点P的最长弦的长为，最短弦的长为，则OP的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长． 【详解】解：如图所示，CD⊥AB于点P． 根据题意，得 AB=10cm，CD=6cm． ∴OC=5，CP=3 ∵CD⊥AB， ∴CP=CD=3cm． 根据勾股定理，得OP==4cm． 故选B． 【点睛】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦． 7. 如图，四边形是矩形，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，对角线，交于点D．双曲线经过点D与边，分别交于点E，点F，连接，，若四边形的面积为5，则k的值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点D的坐标为，则，，，根据四边形的面积为：，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设点D的坐标为， ∵点D为矩形对角线，的交点， ∴点D为对角线的中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴点F的横坐标为，E点的纵坐标为， ∴，， ∵四边形的面积为：， ∴， 解得：，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用，矩形的性质，解题的关键是设出点D的坐标表示出点E和F的坐标，利用四边形的面积列方程． 8. 如图是一个装置的示意图，其中圆形吊舱初始位置与水平横杆、卡槽相切．水平横杆米，米，吊舱半径为10米．放开挡板后，吊舱沿着水平横杆向点A方向匀速平移，平移速度是每秒1米．从放开挡板，直至吊舱触碰竖直放置的为止（），吊舱平移的时间为（ ） A. 30秒 B. 40秒 C. 50秒 D. 60秒 【答案】B 【解析】 【分析】如图，借用切线长定理，勾股定理，三角形的相似，三角函数，计算出FQ的长度，用路程除以速度即可得到运动的时间． 【详解】如图，圆形吊舱初始位置与水平横杆、卡槽相切时的圆心为F，切点分别为P，O，连接FP，FO，CF，延长CF交AB于点G，则∠FPC=∠FOC=90°， ∵FP=FO，FC=FC， ∴△FPC≌△FOC， ∴∠PCF=∠OCF， 过点G作GH⊥BC，垂足为H， ∵GA⊥AC， ∴GA=GH， 在直角三角形ABC和直角三角形BGH中， ∵AB=60，AC=80， ∴tanB=， 设GH=4k，则BH=3k，BG==5k， GA=4k, ∴AB=60=BG+GA=4k+5k=9k，∴k=，∴GA=， 过点F作FM∥AC，交AB于点M，圆心F运动到点Q停止，此时与AC切于点N，与AB切于点M，连接QN， ∵∠A=∠QMA=∠QNA=90°，∴四边形AMQN是矩形， ∵QM=QN，∴四边形AMQN是正方形， ∴MA=MQ=10，MG=GA-MA=-10=， ∵FM∥AC， ∴△GMF∽△GAC， ∴, ∴, ∴QF=40， ∵∠QNP=∠NPF=∠NQF=90°，∴四边形NQFP是矩形， ∴NP=QF=40， ∴运动时间40÷1=40（秒） 故选B． 【点睛】本题考查了切线长定理，三角形的相似，勾股定理，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形的全等，三角函数的定义，根据题目的特点构造直角三角形，灵活运用性质是解题的关键． 二．填空题（8小题，共24分） 9. 若是反比例函数且图象在每一象限内y随x的增大而减小，则a的值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义确定指数的值，再结合函数增减性确定系数的范围，求解得到的值． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴可得且， 解得，即或． 解得． ∵图象在每一象限内随的增大而减小 ∴，即 ∴不符合条件，舍去 因此可得． 10. 函数的图象与直线没有交点，那么的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，联立两函数解析式得到对应的一元二次方程，根据函数无交点即对应的一元二次方程无解进行求解即可． 【详解】解：联立得， ∵函数的图象与直线没有交点， ∴方程没有解， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图所示，从外一点P引的两条切线，，切点分别是A，B．若，C是弧上的一个动点（点C与A，B两点不重合），过点C作的切线，分别交，于点D，E，则的周长是________． 　 【答案】16 【解析】 【分析】根据切线长定理得，，，整理即可求得的周长． 【详解】解：由切线长定理得，，， ∴的周长． 12. 在圆中，一条弦的长等于其半径长，则这条弦所对的圆周角的度数为________ 【答案】或 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，由某个圆的弦长等于它的半径，是等边三角形，即可求得的度数，又由圆周角定理与圆的内接四边形的性质，求得答案． 【详解】解：如图，设这条弦为， 根据题意得：， 是等边三角形， ， ， ， 即这条弦所对的圆周角的度数为：或． 13. 如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：连接OD，作OE⊥CD于E，如图所示： 则CE=DE， ∵AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点， ∴OD=OA=2，OM=1， ∵∠OME=∠CMA=45°， ∴△OEM是等腰直角三角形， ∴OE=OM=， 在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE=, ∴CD=2DE=； 故答案为． 14. 已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则=_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用点C，D对应的刻度分别为，，求出，，再根据求出，利用外角的性质得到，从而得解． 【详解】解：如图，连接，， 根据题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边对等角，三角形外角的定义与性质，圆心角等知识，根据刻度找出相应的圆心角并计算其他角度是解题的关键． 15. 如图，点O是矩形的对角线上的一点，经过点D，且与边相切于点E，若，，则该圆半径是__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接OE，根据勾股定理求出BD，根据切线的性质得到OE⊥AB，证明△BEO∽△BAD，根据相似三角形的性质列出比例式，代入已知数据计算，得到答案． 【详解】解：连接OE， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC=4，∠A=90°， ∴BD==5， ∵AB是⊙O的切线， ∴OE⊥AB， ∴∠OEB=90°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A=90°， ∴∠OEB=∠A， ∴OE//AD， ∴△BEO∽△BAD， ∴，即， ∵OE=OD， ∴ 解得，OE=， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是切线的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 16. 如图，是的内接三角形，，，D是边上一点， 连接并延长交于点E．若，，则的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据等腰三角形性质求出，利用圆周角定理得出，从而证得为等边三角形，得到；再证明，利用对应边成比例求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的半径为． 三．解答题（共82分） 17. 已知y-1与x+2成反比例函数关系，且当x=-1时，y=3．求： (1)y与x的函数关系式； (2)当x=0时，y的值． 【答案】（1）y=+1；（2）y=2． 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数表达式设y-1=，代入即可求出表达式． （2）由（1）可直接代入求值． 【详解】（1）设y-1=，把x=-1，y=3代入得3-1=，解得k=2； 则函数解析式是y-1=即y=+1； （2）把x=0代入得：y=2． 【点睛】本题考查反比例函数表达式解析式的求法，按照定义设解析式代入求值即可，难度一般． 18. 如图，在平面直角坐标系中，、、． （1）经过A、B、C三点，则点M的坐标是 ，半径为 ； （2）直线l经过点C，且平行于y轴，请判断直线l与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；； （2）相交，理由如下： 设直线交轴于点，则， ， 直线与相交． 【解析】 【分析】（1）分别作，的垂直平分线，交点即为点M的位置； （2）设直线交轴于点，根据圆心到直线的距离与半径的关系判断位置关系即可． 【小问1详解】 解：如图即为点M的位置： ， 连接，根据勾股定理可得， 即半径为； 【小问2详解】 略． 19. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像如图所示，矩形在第一象限内，平行于x轴，且，点A的坐标为 （1）直接写出B，C，D三点的坐标； （2）若将矩形向下平移m个单位，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图像上，猜想这是哪两个点？并求m的值和反比例函数的表达式． 【答案】（1）B（4，1），C（4，2），D（2，2） （2）点A和点C，m=3；． 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质得出、，再根据点的平移即可解答； （2）设，点A和点C同时落在反比例函数的图像上，可得出，解得，即，再将点A代入求得即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，轴，且，点A的坐标为， ∴、， ∴，即； 【小问2详解】 解：点A和点C同时落在反比例函数的图像上，矩形向下平移m个单位， 设，点A和点C同时落在反比例函数的图像上， 则， 解得， 即， 把代入，得， ∴反比例函数的表达式为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、矩形的性质、坐标与图形的变化——平移等知识点，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答本题的关键． 20. 如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点． （1）若，则的度数为 ； （2）若点 是线段上的动点，则线段 的长度取值范围是 ； （3）求的长． 【答案】（1）， （2）； （3）． 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，于是得到结论； 由勾股定理得，过作，交于点，然后通过求出，再结合垂线段最短可得线段的长度取值范围是，然后代入即可求解； 由得，由得，然后通过勾股定理得，从而求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 过作，交于点，如图， ∵， ∴， ∴， ∴线段的长度取值范围是，即； 【小问3详解】 解：由得，如问图， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∴，即的长为． 21. 某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱顶高出水面（即），， （1）求出该圆弧形拱桥所在圆的半径； （2）现有一艘宽，船舱高出水面的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？ 【答案】（1）该圆弧形拱桥所在圆的半径为13米 （2）此货船不能顺利通过这座桥 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂径定理得出，设，则，在中，根据勾股定理可得，列出方程求解即可； （2）易得米，构造如图所示矩形，连接，推出米，根据勾股定理可得米，求出，再与米进行比较即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 答：该圆弧形拱桥所在圆的半径为13米． 【小问2详解】 解：∵米，， ∴米， 构造如图所示矩形，连接， 当时， ∵， ∴， ∴米， 根据勾股定理可得：米， ∴（米）， ∵， ∴此货船不能顺利通过这座桥． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解得的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 22. 实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段 与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于（毫克百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． （1）求双曲线的函数表达式； （2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车上班？请说明理由． 【答案】（1）双曲线的函数表达式为； （2）第二天早上能驾车上班，理由， 从晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上，时间间距为小时， 由得双曲线的函数表达式为， 当时，， ∵，即血液中的酒精含量小于国家规定的“酒后驾驶”标准， ∴第二天早上能驾车上班． 【解析】 【分析】首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解； 从晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上，时间间距为小时，当时，，然后比较进行判断即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为，由图象可知直线过， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 设双曲线的函数表达式为， 将点，代入得， 解得， ∴双曲线的函数表达式为； 【小问2详解】 略． 23. 如图，在中，是的直径，C，D是上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与交于点F． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ， ， 又， ， 又， ， ， ， ， ， ， 又为的半径， 为的切线； （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，则有，由外角性质可得，又，则，所以，然后通过平行线的性质，从而求证； （2）连接，由圆周角定理可得，所以，则，最后通过角所对直角边是斜边的一半和线段和差即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 24. 如图，为的直径，，分别切于点B，D，直线交的延长线于点E，的延长线交于点 G，于点 F．若，． （1）求的半径长； （2）求线段的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，先由切线长定理可知，再根据切线的性质在直角三角形中应用勾股定理即可求解； （2）说明，利用相似比即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ，分别切于点B，D， ，， 为的直径， ， ，， ，， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，由勾股定理可得 解得， 即的半径为； 【小问2详解】 由（1）得，，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）求点的坐标； （2）若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标； （3）直接写出不等式的解集是 ； （4）若点在轴上，点在反比例函数的图象上，且，，，恰好是一个平行四边形的四个顶点，直接写出符合条件的所有点的坐标． 【答案】（1）； （2）点的坐标为或； （3）或； （4）或或． 【解析】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数解析式，然后联立解方程即可； 根据列出方程，然后解方程即可； 根据点，的坐标，然后结合图象即可求解； 分为边及为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：设直线与轴的交点为，如图， 令时，， 解得， ∴， 设点的坐标为， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴，整理得， 解得或， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵点的坐标为，， ∴由图象可知，不等式的解集是或； 【小问4详解】 解：设点的坐标为，点的坐标为， 分两种情况考虑： 为边，如图， 当四边形为平行四边形时， ，解得， ∴点的坐标为； 当四边形为平行四边形时， ，解得， ∴点的坐标为； 为对角线，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，解得， ∴点的坐标为； 综上所述：当，，，恰好是一个平行四边形的四个顶点时，点的坐标为或或． 26. 定义：平面直角坐标系中，若点M绕点N顺时针旋转，恰好落在函数图象W上，则称点M是点N关于函数图象W的“直旋点”．例如，点是原点O关于函数图象的一个“直旋点”． （1）在①，②，③三点中，是原点O关于一次函数图象的“直旋点”的有 ___________（填序号）； （2）点是点关于反比例函数图象的“直旋点”，求k的值； （3）如图1，点在反比例函数图象上，点B是在反比例函数图象上点A右侧的一点，若点B是点A关于函数的“直旋点”，求点B的坐标． 【答案】（1）③ （2） （3）点B的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据“直旋点”的定义进行判断即可； （2）设点M绕点N顺时针旋转的对应点为，过点M作轴于点A，过点作轴于点B，证明，得出，，即可得出的坐标为，求出k的值即可； （3）设点B绕点A顺时针旋转的对应点为点C，连接，，过点A作x轴的平行线，过点B作于点E，过点C作于点E，求出反比例函数解析式为，设点B的坐标为，得出，，证明，得出，，求出点C的坐标为：，根据点C在函数图象上，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：①点绕原点顺时针旋转的对应点为，把代入得：， ∴不在函数的图象上， ∴不是原点O关于一次函数图象的“直旋点”； ②绕原点顺时针旋转的对应点为，把代入得：， ∴不在函数的图象上， ∴不是原点O关于一次函数图象的“直旋点”； ③绕原点顺时针旋转的对应点为，把代入得：， ∴在函数的图象上， ∴是原点O关于一次函数图象的“直旋点”； 综上分析可知，是原点O关于一次函数图象的“直旋点”的有③． 故答案为：③． 【小问2详解】 解：设点M绕点N顺时针旋转的对应点为，过点M作轴于点A，过点作轴于点B，如图所示： ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据旋转可知，， ∴， ∴，， ∴， ∴的坐标为， 把代入得：． 【小问3详解】 解：设点B绕点A顺时针旋转的对应点为点C，连接，，过点A作x轴的平行线，过点B作于点E，过点C作于点E，如图所示： ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点B在函数图象上， ∴设点B的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 根据旋转可知，， ∴， ∴，， ∴点C的坐标为：， ∵点C在函数图象上， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点B的坐标为． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，求反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 27. 综合探究 【问题提出】 （1）小明通过“直线与圆的位置关系”的学习，已经知道过圆外一点可以作圆的两条切线．在对这一知识的学习过程进行反思时，小明突发奇想：如图1，直线l与相离，点P在直线l上运动，过点P作的切线，切点为A，则的长是否存在最小值？小明探究后发现，当直线l时，的长最小．请帮小明证明该结论； 【理解内化】 （2）如图2，正方形的边长为4，以D为圆心．2为半径作圆．点P是边上动点，过点P作的切线，切点为E，则的取值范围为； 【拓展应用】 （3）如图3，直线与x轴和y轴分别相交于A，B两点，P是该直线上的任一点．将直线向下平移5个单位，与x轴和y轴分别相交于D，C两点，过点D向以P为圆心，2为半径的作右侧作切线，切点为E．则四边形面积的最小值为． 【答案】（1）证明：连接，如图： ∵是的切线， ∴， ∴，其中为常数， 故当直线l时，最小，此时最小； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由，其中为常数，即可求解； （2）当点P和点C重合时，为最小，此时，，当点P和点B重合时，为最大，此时，为最大，即可求解； （3）由四边形面积最小值，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图： 由（1）知，， ∴当最小时，取得最小值， ∴当点P和点C重合时，为最小，此时， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴当点P和点B重合时，为最大，此时，为最大， 故； 【小问3详解】 解：直线向下平移5个单位得到直线， 当，当，， 解得：， ∴点C、D的坐标分别为：， ∴， 设直线和的距离为h，过点B作于点M，连接， ∴， ∴， 对于直线，当， ∴， ∴， ∴， 而的最小值， ∴同上可得：， ∴四边形面积最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $