精品解析：江苏常州市武进区人民路初级中学2026－2027学年九年级上学期数学闯关练习1

九年级数学闯关练习1 一、选择题（每空2分，共16分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：A．该方程是二元一次方程，故此选项不符合题意； B．该方程是二元二次方程，故此选项不符合题意； C．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； D、该方程是分式方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键． 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将常数项移项到等号右边，再将等号左右同时加上一次项系数一半的平方，即可得到答案. 【详解】原式= 故答案选B. 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，能够熟练掌握配方法是解题的关键. 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴方程没有实数根． 4. 三角形的外心是三角形中（　　） A. 三条高的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外心的定义． 根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点作答即可． 【详解】三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点， 故选：D． 5. 在公园的处附近有、、、四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以为圆心，为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则、、、四棵树中需要被移除的为（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】A 【解析】 【分析】设图中小正方形的边长为，则用含的式子表示出各点与点的距离，与半径比较即可． 【详解】解：设图中小正方形的边长为， 则， ，， ， ，，， ∴点、、在内，点在外， 因此、、三棵树需要被移除， 故选：A． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟知点到圆心的距离小于半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于半径，则点在圆外． 6. 如图，经过原点O的与、轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵与所对的弧是同一段弧，且， ∴， 故选：B． 7. 如图，将⊙O沿弦折叠，点C在弧上，点D在弧上，若，则（ ） A. 70° B. 110° C. 125° D. 140° 【答案】B 【解析】 【分析】作出弧所对的圆周角，求出即可． 【详解】解：作出弧所对的圆周角 ∵ ∴ ∵⊙O沿弦折叠 ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了折叠的对称性、圆的内接四边形互补等知识点．作出弧所对的圆周角是解题关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（　　） A. 1 B. 2﹣1 C. D. ﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】确定点C的运动路径是:以D为圆心,以为半径的圆,当O、C、D共线时, OC的长最小,先求D的半径为1 ,说明D是AB的中点, 根据直角三角形斜边中线是斜边一半可得OD=,所以OC的最小值是. 【详解】当点P运动到AB的延长线上时,即如图中点, 是的中点， 当点P在线段AB上时, 是中点,取的中点为D， 点C的运动路径是以D为圆心,以D为半径的圆(CA: PA=1 : 2 ,则点C轨迹和点P轨迹相似,所以点C的轨迹就是圆) , 当O、C、D共线时, OC的长最小，设线段AB交B于Q， 中，OA=3,OB=3, . 半径为2, 是的中点, 是的中点, 即半径为1, 故选D. 【点睛】本题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、圆的性质、两点之间线段最短,确定出OC最小时点C的位置是解题关键, 也是本题的难点 二、填空题（每空2分，共20分） 9. 方程的根为______． 【答案】， 【解析】 【分析】将方程移项后因式分解，转化为一次方程即可求解 【详解】解：移项，得， 因式分解，得， ∴或， 解得，． 10. 设，是方程的两个根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子变形后代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系，得，， ∴ ． 11. 某种型号的电脑，原售价元台，经连续两次降价后，售价为元台，则平均每次降价的百分率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，然后解方程并检验即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 根据题意得， 解得，（不符合题意，舍去） 故答案为：． 12. “有没有这样一个数，先计算这个数的平方，再减去这个数，再加上1．其运算结果和这个数相同？”小丽借助DeepSeek进行问题解决，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是______． 【答案】 存在， 【解析】 【分析】设这个数为未知数，根据题意列出一元二次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：设这个数为，根据题意得 ， 移项整理得， 因式分解得， 解得， 因此存在这样的数，这个数为． 13. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】先判断反比例函数比例系数的正负，再利用反比例函数的性质比较纵坐标大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴， ∴该反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小． ∵点的横坐标， ∴点在第三象限，得． ∵点的横坐标，点的横坐标， ∴，都在第一象限，得，． 又∵，且第一象限内随增大而减小， ∴． 综上，． 14. 直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为_____． 【答案】cm 【解析】 【分析】利用勾股定理解得直角三角形的斜边，再根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半，得出其外接圆的半径． 【详解】解：直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm， 直角三角形的斜边为： cm， 这个直角三角形的外接圆半径为： cm， 故答案为：cm． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 15. 已知圆锥的底面半径是1，母线为4，则该圆锥的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 用圆锥的侧面积公式直接求解． 【详解】解：由题意得，， 故答案为： ． 16. 如图，一个底部是球形的烧瓶，截面图中弦的长为，弧液体的深度，则球的半径为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．设球的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：设球的半径为，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，，即， 解得， 即球的半径为， 故答案为：5． 17. 如图，在坐标平面上，A、B两点分别为圆 P与x轴、y 轴的交点，直线 l 过点 P 且与AB垂直，点 C 为l 与y 轴的交点．若A、B、C 的坐标分别为、、，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理可得直线l为的垂直平分线，因此，在中，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：连接， 、， ， ，P为圆心，且P在直线l上， P到点A、B的距离相等， 直线l为的垂直平分线， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，垂直平分线的性质和勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 18. 如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形，直角三角形的存在性，数形结合思想，分类讨论思想等内容；设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形，需要分情况讨论，当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点，当此圆与直角边相切时，为临界状态，此时这样的点有2个，当此圆过点C时，也为临界状态，点D和点B重合，不符合题意． 【详解】解：在中，， ∴， 设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形， ①当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；②当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点， 如图所示，当此圆与直角边有3个交点时，符合题意； 当以为直径的圆与相切时，如图所示， 设圆的半径为r，即， ∵，， ∴， ∴，解得； ∴； 综上，的长的取值范围为：． 故答案为：． 三、解答题（共7小题） 19. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）直接利用开平方法解方程即可． （2）利用因式分解法解方程即可． （3）利用配方法解方程即可． （4）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ∴，； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ，； 【小问4详解】 解：， ， ， ，． 20. 如图，、是的半径，C是上一点，若，，求的大小． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理，根据圆周角定理可得，根据三角形内角和定理可得，进而可求． 【详解】解：， ， ，， ， ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，且与y轴交于点C． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数交点问题的解法． （1）先将代入求出反比例函数解析式，再将代入，求出，将，代入，求解即可； （2）先求出，再利用求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、， ∴将代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入， 得：， ∴， 将，代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∴， ∴． 22. 由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）图①中，画出的圆心； （2）图②中，在边上找到一点，使得平分； （3）图③中，在上找到一点（不与点重合），使得． 【答案】（1） 如图，点O即为所求： （2） 如图，点D即为所求： （3） 如图点E即为所求： 【解析】 【分析】（1）由为可得为直径，利用格点找出的中点即可得到圆心； （2）利用格点找出的中点G，根据等弧所对的圆周角相等可得，即平分，因此与的交点即为所求的点D； （3）在格点上找到点H，使得，延长交圆于点E，由垂径定理可得，进而可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查尺规作图——作角平分线和垂线，格点作图，圆周角定理，垂径定理等，掌握格点作图的特点，综合运用上述知识点是解题的关键． 23. “端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克元的价格出售杨梅，每天可卖出千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降元，则每天能多售出千克（同一天中售价不变） （1）设售价每千克下降元，则每天能售出_______千克（用含的代数式表示） （2）当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得元的销售额； 【答案】（1）； （2）当杨梅每千克售价为元或元时，每天能获得元的销售额． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据某水果店以每千克元的价格出售杨梅，每天可卖出千克，已知杨梅售价每千克下降元，则每天能多售出千克（同一天中售价不变）．即可得出结论； （2）设售价每千克下降元，根据每天能获得元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，每天能售出：， 即， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设售价每千克下降元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 或， 答：当杨梅每千克售价为元或元时，每天能获得元的销售额． 24. 如图，直角三角形中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键． （1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）设，根据勾股定理得出，求出，再根据线段的和差求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 在中，，， ∴， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴． 25. 如图，矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；点从点出发沿以的速度向点移动．设运动时间为秒． （1）当时，的面积为． （2）在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能请说明理由； （3）运动过程中，当点，，，四个点恰好在同一个圆上时，求值． 【答案】（1） （2）的面积不可能为 （3）或时、、、四点恰好在同一个圆上 【解析】 【分析】（1）根据运动速度表示出长度，然后计算出三个直角三角形面积，再由矩形面积减去三个直角三角形面积就能得到的面积； （2）根据（1）总得出的面积计算方式，列出关于的方程，通过判断方程有无解来即可判断； （3）是直角三角形如果它的三个顶点都在圆上，可得是直径，也要在圆上，那么也是直角三角形，通过勾股定理用表示出，再由列出方程求解即可. 【小问1详解】 由题意得， ， ，， 【小问2详解】 根据题意得 整理得 ， 方程无实数根 的面积不可能为 【小问3详解】 、、三点在以为直径的圆上 若点也在圆上，则 当 解得 或时、、、四点恰好在同一个圆上． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的面积以及一元二次方程的应用，直径所对的圆周角是直角，解题的关键是根据勾股定理列出方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学闯关练习1 一、选择题（每空2分，共16分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为( ) A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 4. 三角形的外心是三角形中（　　） A. 三条高的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 5. 在公园的处附近有、、、四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以为圆心，为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则、、、四棵树中需要被移除的为（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 6. 如图，经过原点O的与、轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，将⊙O沿弦折叠，点C在弧上，点D在弧上，若，则（ ） A. 70° B. 110° C. 125° D. 140° 8. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（　　） A. 1 B. 2﹣1 C. D. ﹣1 二、填空题（每空2分，共20分） 9. 方程的根为______． 10. 设，是方程的两个根，则的值为_____． 11. 某种型号的电脑，原售价元台，经连续两次降价后，售价为元台，则平均每次降价的百分率为______． 12. “有没有这样一个数，先计算这个数的平方，再减去这个数，再加上1．其运算结果和这个数相同？”小丽借助DeepSeek进行问题解决，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是______． 13. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“”连接） 14. 直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为_____． 15. 已知圆锥的底面半径是1，母线为4，则该圆锥的侧面积为__________． 16. 如图，一个底部是球形的烧瓶，截面图中弦的长为，弧液体的深度，则球的半径为______． 17. 如图，在坐标平面上，A、B两点分别为圆 P与x轴、y 轴的交点，直线 l 过点 P 且与AB垂直，点 C 为l 与y 轴的交点．若A、B、C 的坐标分别为、、，则_______． 18. 如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是_______． 三、解答题（共7小题） 19. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 20. 如图，、是的半径，C是上一点，若，，求的大小． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，且与y轴交于点C． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积． 22. 由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）图①中，画出的圆心； （2）图②中，在边上找到一点，使得平分； （3）图③中，在上找到一点（不与点重合），使得． 23. “端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克元的价格出售杨梅，每天可卖出千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降元，则每天能多售出千克（同一天中售价不变） （1）设售价每千克下降元，则每天能售出_______千克（用含的代数式表示） （2）当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得元的销售额； 24. 如图，直角三角形中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 如图，矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；点从点出发沿以的速度向点移动．设运动时间为秒． （1）当时，的面积为． （2）在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能请说明理由； （3）运动过程中，当点，，，四个点恰好在同一个圆上时，求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $