精品解析：河北邯郸市大名县沙圪塔中学杨桥中学联考2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027-1九年级数学第一次学情调研 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 菱形和矩形都具有的性质是（ ） A. 两组邻边分别相等 B. 对角线互相平分 C. 两组对角分别相等，对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【详解】解：矩形的性质有：对角相等， 对边平行且相等， 对角线相等且互相平分； 菱形的性质有：对角相等， 对边平行且四边相等， 对角线互相垂直平分； 二者共有的性质为对角线互相平分， 对应选项B． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程是一元二次方程，即可判断求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程，未知数的最高次数是，不是一元二次方程，不合题意； 、方程，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； 、方程，不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意； 、方程，是一元二次方程，符合题意； 故选：． 3. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平移性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握平移性质和正方形的性质是解答的关键，由题意得，根据正方形的性质和勾股定理，求出，进而求出答案即可； 【详解】由题意得， 四边形是正方形， ， ， ， 点D，之间的距离为， 故选：D． 4. 若关于x的一元二次方程的一个根为0，则m的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 或2 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 是一元二次方程的根， ∴ 将代入方程得 ， 解得 或 ． 5. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ） x 0 1 2 3 4 0 4 10 18 28 A. 和 0 之间 B. 0 和 1 之间 C. 1 和 2 之间 D. 2 和 3 之间 【答案】C 【解析】 【分析】由表格可发现当的值接近5的时候，即为一元二次方程的正数解所在范围，在x的值为1和2时最接近5，再看对应的x的值即可得到答案． 【详解】解：由表可以看出，当x的值为1和2之间的某个数时，， 即这个数是的一个根． 的一个解x的取值范围为1和2之间． 故选：C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的． 6. 已知关于的一元二次方程的两个实数根是，，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．先利用根与系数的关系得到，，再根据，求出，，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个实数根是，， ，， ， ， 解得：， ， ， 解得：， 故选：A． 7. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴ ， ∵ 方程有实数根， ∴，整理得 ， 解得 ， 综上，的取值范围是且． 8. 如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】过作，过作于，如图所示，根据正方形性质得，，推出四边形是正方形，由矩形性质得，，根据全等三角形的性质得，推出矩形是正方形，故①正确；根据正方形性质得，推出，得到，，由此推出平分，故③正确；进而求得，故②错误；当时，点与点重合，得到不一定等于，故④错误；故选A． 【详解】过作，过作于，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，故①正确； ∴， ∵四边形是正方形 ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴， ∵ ∴平分，故③正确； ∴，故②错误； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故④错误． 故选：A 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 将一元二次方程化成的形式则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式之后，变为， 故， ， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键． 10. 以正方形的边为一边作等边，则的度数是______． 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论；当点E在正方形内部，根据正方形的性质和等边三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解；当点E在正方形的外部时， 根据正方形的性质和等边三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：当点E在正方形内部时， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 当点E在正方形的外部时， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角定理，熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 11. 如图，在中，对角线与相交于点O，，且，，求的高________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形为菱形，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，最后利用等面积法求出的长即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形 ， ， ， 在中， ， ， ∵， ∴， ∴． 12. 庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有___________队参加比赛 【答案】10 【解析】 【详解】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：场．根据题意可知：此次比赛的总场数=45场，依此等量关系列出方程求解即可． 解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场， 根据题意列出方程得：=45， 整理，得：x2-x-90=0， 解得：x1=10，x2=-9（不合题意舍去）， 所以，这次有10队参加比赛． 答：这次有10队参加比赛． 本题的关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以2． 13. 将正五边形和正六边形如图所示放置，________． 【答案】##84度 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形和正六边形的内角度数，结合图形得出 ，，再由正六边形的性质确定，利用四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示，标注字母， 正六边形的每个内角为 ， 正五边形的每个内角为  ， ∴，， 由图可知，为正六边形对角线， ，  ∵四边形内角和为， ． 14. 如图，在矩形中，，，、是上不与和重合的动点，，________． 【答案】 【解析】 【分析】过点、作、，根据矩形的性质可知，，根据三角形的面积公式可求，证得，再根据三角形的面积公式求出阴影的面积． 【详解】解：如下图所示，过点、作、， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ，， ， ， ． 三、解答题（本大题共12小题，共78分） 15. 按指定的方法解方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； （3）（适当方法）． 【答案】（1） ， （2） ， （3） ， 【解析】 【小问1详解】 解：  移项得   配方得  即   开方得   解得 ，； 【小问2详解】   其中 ，，  ， 代入求根公式得   所以 ，； 【小问3详解】   整理得   因式分解得   得  或   解得 ，． 16. 在菱形中，E、F、G、H分别是各边的中点，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是矩形．证明：连接菱形对角线、． ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ， 同理可得：；． ， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ． 又， ，即． 有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理，证明四边形一组对边平行且相等，先证它是平行四边形；再根据菱形对角线互相垂直的性质，推出平行四边形有一个内角为，从而判定该四边形为矩形． 【详解】略． 17. 如图，菱形对角线交于点O，，与交于点F． （1）试判断四边形的形状，并说明你的理由； （2）求证：． 【答案】（1）矩形， 证明如下： ∵， 四边形是平行四边形． 又菱形对角线交于点 ，即． 四边形是矩形． （2） 证明：四边形是矩形 ， 在菱形中，． ． 【解析】 【分析】本题主要考查的是菱形的性质、矩形的性质和判定； （1）先证明四边形为平行四边形，再由由菱形的性质可证明，从而可证明四边形是矩形； （2）依据矩形的性质可得到，然后依据菱形的性质可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 长、宽矩形空地，修两条等宽互相垂直道路，剩余绿化面积，求道路宽． 【答案】道路的宽为 【解析】 【分析】将两条互相垂直的等宽道路分别向矩形空地的边缘平移，剩余的绿化区域会拼接成一个完整的新矩形，新矩形的长为原空地长减去道路宽，新矩形的宽为原空地的宽减去道路宽．设道路宽为，根据拼接后新矩形的长、宽和绿化区域的面积对应关系列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设道路的宽为． 整理得 或， （不符合实际情况，舍去）或． 答：道路的宽为． 19. 在矩形中，求作一点P使且． 【答案】 【解析】 【分析】如图，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，再作线段的垂直平分线交于点，则点即为所求． 【详解】解；如图，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，再分别以点为圆心，取大于的长度为半径画弧，两弧在线段的上下方各得到一个交点，过这两个交点作直线，该直线即为的垂直平分线，它与的交点即为所求点． 20. 如图，要建一个面积为的长方形花园，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道墙，另三边用栅栏围成，边留有的门，如果栅栏的长为，若墙长，则花园的长和宽各为多少． 【答案】花园的长为，宽为 【解析】 【分析】设，则，根据长方形的面积公式结合花园的面积的面积为，列出一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设，则， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， ∴当时，（舍去）或当时，． 答：花园的长为，宽为． 21. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】（1）先证，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论； （2）由菱形的性质可得，，由直角三角形的性质和勾股定理可求的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴菱形的面积＝． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键． 22. 如图，将矩形纸片沿折叠，使得点与重合． （1）连接，试问四边形是否是特殊的四边形？请说明理由． （2）若，，求四边形的周长与面积． 【答案】（1） 四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由矩形的性质得出，由折叠的性质可得：，，得到，推出，继而得出，即可得出四边形是平行四边形，从而得证； （2）由矩形的性质得出，，由折叠的性质可得：，设，则， 由勾股定理计算得出，再由菱形的周长和面积公式计算即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴四边形的周长， 四边形的面积． 23. 随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲乙两队单独完成这项工程各需几个月？ 【答案】 甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月． 【解析】 【分析】以乙队单独完成工程的时间为未知数，根据两队单独完成时间的乘积等于时间和的6倍的等量关系列方程，结合实际意义舍去负根后求解两队时间． 【详解】解：设乙队单独完成这项工程需个月，则甲队单独完成这项工程需个月， 由题意得， 整理得 ， 解得，， ∵工作时间不能为负数， ∴不符合题意，舍去， ∴ 甲队单独完成所需时间为（个月）， 答：甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月． 24. 某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变． （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？ 【答案】（1）四、五月份销售量平均增长率为； （2）商品降价5元时，商场获利2250元 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． （1）设四、五月份销售量平均增长率为x，那么四月份的销量为，五月份销量为，根据题意列出方程求出x的值即可； （2）设商品降价m元，那么销量为件，每件的利润为元，利用销量每件商品的利润列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设四、五月份销售量平均增长率为， 则， 解得，（舍去） 答：四、五月份销售量平均增长率为． 【小问2详解】 解：设商品降价m元，则 解得，（舍去） 答：商品降价5元时，商场获利2250元． 25. 如图，在中，，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒． （1）当t为几秒时，的长度等于； （2）当t为何值时，． 【答案】（1）当t为2或时，的长度等于． （2）当t为2或4时，． 【解析】 【分析】（1）设运动时间为t秒，根据条件表示出，，进而表示出，根据的长度等于，结合勾股定理列方程，解出即可得t的值． （2）根据条件表示出，，进而表示出，再求出、，根据 ，即可列方程，解出即可得t的值． 【小问1详解】 解：如图， 设运动时间为t秒，则根据题意得：，， ∴， ∵，的长度等于， ∴，化简得：，解得：，， ∵当点Q运动到点C时，两点停止运动，且，P的速度为，Q的速度为， ∴， ∴当t为2或时，的长度等于． 【小问2详解】 解：如图， 设运动时间为t秒，则根据题意得：，， ∴， ∴，， ∵， ∴，化简得：，解得：，， ∵当点Q运动到点C时，两点停止运动，且，P的速度为， Q的速度为， ∴， ∴当t为2或4时，． 26. 综合实践 【问题提出】 （1）如图1，在中，，，P为上一动点，则最小值为________． 【问题建模】 （2）如图3，在四边形中，，，求四边形面积； 【问题解决】 （3）国庆节来临之际，宝鸡渭滨第一学校九年级某班数学兴趣小组，拟在校园一块空地上摆放花卉造型以烘托节日气氛．同学们准备圈出一块菱形地面（如图3），且，摆放各种花卉，并修建两条小路供师生观赏，并且满足，在小路交汇G处摆放小凳供观赏者休息，已知小路长为米，试问：是否存在这样的菱形，使它的面积最小，若存在，求出菱形最小面积，并求出此时长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在；菱形最小面积为平方米，此时米． 【解析】 【分析】（1）过点A作于H，利用正弦函数直接求解即可； （2）将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，连接，过点E作，根据旋转的性质及各角之间的关系确定是等边三角形，得出三点共线，然后利用勾股定理及三角形面积公式求解即可； （3）连接，交于点M，得出为等边三角形， ，，将绕点D顺时针旋转得，此时与重合，使与重合，得到，连接，过点E作，再由全等三角形的判定和性质得出点三点共线，利用等边三角形的性质及勾股定理得出当时，取得最小值，，利用菱形的性质求面积即可，再由题意得出，结合等边三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：过点A作于H， ∴， 在中，，， ∴ ∴最小值为； 【小问2详解】 将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，连接，过点E作， ∴，，， ∴， 是等边三角形， ∴， ∵四边形内角和， ∴， ， 三点共线， ， ∵， ∴， ∴， ， 四边形面积为； 【小问3详解】 连接，交于点M， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将绕点D顺时针旋转得，此时与重合， ∴，，，， ∴为等边三角形，， ∴点共线， ∵长为米， ∴， 当时，取得最小值， ∴， ∴， ∴，， ∴菱形面积：； ∵， ∴， ∴， ， ， 答：存在；菱形最小面积为平方米，此时米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027-1九年级数学第一次学情调研 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 菱形和矩形都具有的性质是（ ） A. 两组邻边分别相等 B. 对角线互相平分 C. 两组对角分别相等，对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（　） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程的一个根为0，则m的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 或2 5. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ） x 0 1 2 3 4 0 4 10 18 28 A. 和 0 之间 B. 0 和 1 之间 C. 1 和 2 之间 D. 2 和 3 之间 6. 已知关于的一元二次方程的两个实数根是，，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. 且 C. 且 D. 8. 如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 将一元二次方程化成的形式则____________． 10. 以正方形的边为一边作等边，则的度数是______． 11. 如图，在中，对角线与相交于点O，，且，，求的高________． 12. 庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有___________队参加比赛 13. 将正五边形和正六边形如图所示放置，________． 14. 如图，在矩形中，，，、是上不与和重合的动点，，________． 三、解答题（本大题共12小题，共78分） 15. 按指定的方法解方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； （3）（适当方法）． 16. 在菱形中，E、F、G、H分别是各边的中点，判断四边形的形状，并说明理由． 17. 如图，菱形对角线交于点O，，与交于点F． （1）试判断四边形的形状，并说明你的理由； （2）求证：． 18. 长、宽矩形空地，修两条等宽互相垂直道路，剩余绿化面积，求道路宽． 19. 在矩形中，求作一点P使且． 20. 如图，要建一个面积为的长方形花园，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道墙，另三边用栅栏围成，边留有的门，如果栅栏的长为，若墙长，则花园的长和宽各为多少． 21. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形ABCD的面积． 22. 如图，将矩形纸片沿折叠，使得点与重合． （1）连接，试问四边形是否是特殊的四边形？请说明理由． （2）若，，求四边形的周长与面积． 23. 随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲乙两队单独完成这项工程各需几个月？ 24. 某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变． （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？ 25. 如图，在中，，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒． （1）当t为几秒时，的长度等于； （2）当t为何值时，． 26. 综合实践 【问题提出】 （1）如图1，在中，，，P为上一动点，则最小值为________． 【问题建模】 （2）如图3，在四边形中，，，求四边形面积； 【问题解决】 （3）国庆节来临之际，宝鸡渭滨第一学校九年级某班数学兴趣小组，拟在校园一块空地上摆放花卉造型以烘托节日气氛．同学们准备圈出一块菱形地面（如图3），且，摆放各种花卉，并修建两条小路供师生观赏，并且满足，在小路交汇G处摆放小凳供观赏者休息，已知小路长为米，试问：是否存在这样的菱形，使它的面积最小，若存在，求出菱形最小面积，并求出此时长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $