广东深圳市龙岗区百合外国语学校2026-2027学年第一学期 九年级数学10月学情自测试卷

数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯首次提出了关于一元二次方程的概念.下列关于x的方 程中，是一元二次方程的为（▲） A.x2+1=0 B.x2-y=0 C.x2+2x=1 D.x2+br=0(a、b为常数) 2.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（▲） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 3.下列各组线段中是成比例线段的是（▲） A.3cm.6cm.7cm.9cm B.2cm,5cm,0.6cm,8cm C.3cm,9cm,6cm,18cm D.1cm,2cm,3.5cm,4cm 4.如图，△ABC中，DE∥BC,AD=2,DB=1,AE=4,则AC的长度为（▲） A.2 B.6 C.3 D.4 B C 5.劳动教育已被纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量 两年内从300千克增加到363千克.设平均每年增产的百分率为x,则可列方程为（▲） A.300(1+x)=363 B.300+300(1+x)+300(1+x)=363 C.300+300x2=363 D.300(1+x)=363 6.如图，△ABC中，∠A=76°，AB=8,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形 与原三角形不相似的是（▲） H6769 B C B 76 第1页( 7.若m,n是方程x2+2x-2024=0的两个根，则m2+3m+n的值为（▲） A.2022 B.-2022 C.2026 D.-2026 8.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4,点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF=60°，点E 从点A向点D运动过程中，AE+CF的长度（▲） D A.逐渐增加 B.先减小再增加 C.恒等于45 D.恒等于4 二.填空题（每小题3分，共15分） 9.若关于x的方程2x2-4x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为▲ 10.一元二次方程x2+2x-8=0的解为，x2,则x+x2+xx的值为▲ 11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=5,D是边AB的中点，连接CD,若△BCD的周长 是18，则AB的长为△一 D 12.如图，在菱形ABCD中，∠A=34°，取大于AB的长为半径，分别以点A,B为圆心画弧相 交于两点，过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示)，连接BE,BD,则∠EBD的度 数为▲ 13.如图，点O是正方形ABCD的中心，AB=3√2，AG=√2，在Rt△BEF中，∠BEF=90°， EF过点D,BE,BF分别交AD,CD于点G,M,连接OE,OM,EM.若BG=DF,则OE+OM 的值为▲· E G八 A 0 M C 共2页) 三.解答题（共61分） 14.解下列方程. (1)x2-4x-12=0: (2)(x-3)2=2x(x-3) yA 15.在如图的方格纸中，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位 似中心的位似图形 (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标 A (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画出△OAB的一 B: 个位似△OA2B2,使它与△OAB的位似比为2：1. (3)若△OAB内有一点M(a.b),则其在△OA2B2内的对 应点M坐标为▲ 16.如图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图 抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛AC发出的光线CE平行于直线AB,光线CE经 过凸透镜MW后，经过焦点F与经过凸透镜中心O的光线交于点D,其中四边形AOEC是矩 形，DB⊥AB,MN⊥AB 将长为8厘米的蜡烛AC进行移动，使物距OA为30厘米，光线CO传播方向不变，移动光屏， 直到光屏上呈现一个清晰的像BD,测得此时的像距OB为12厘米，求凸透镜焦距OF的长 M E FB 102030405060708090100 0 图1 图2 17.如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E,连接AE,使得AE=EC,在AD边上取一点F,使 得DF=BE,连接CF.过点D作DG⊥AE于G. B E (1)求证：四边形AECF是菱形： G (2)若AB=8,BE=6,求DG的长 (3)在(2)的条件下，利用圆规和无刻度直尺在线段CD上作出点P, 使得3CP=5DP,保留作图痕迹，不用写出作法和理由 18.中国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文 化.某茶商购进一批茶叶，进价为100元/盒，销售价为120元/盒时，每天可售出20盒.为了扩 大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒茶叶每降价1元，那么平均每天可多售出2盒.针 对这批茶叶的销售情况，请回答下列问题： (1)当销售价为110元/盒时，每天的销售量为▲盒，每天盈利▲元： (2)在尽可能让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利432元？ 第2页( 19.阅读下列材料：我们把b2-4ac就叫做一元二次方程根的判别式，我们用△表示，即△=b2-4aC, 如果△的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的 根都为整数，△的值一定是一个完全平方数， 例如：方程2x2-x-1=0,△=b2-4aC=(-1)2-4×2×(-1)=9=32,△的值是一个完全 平方数，但是该方程的根为x=1,x2=-气不都为整数：方程x2-6x+8=0的两根x1=2,2=4都 为整数，此△=b2-4ac=(-6)2-4×1×8=4=22,△的值是一个完全平方数.我们定义：两 根都为整数的一元二次方程axr2+bx+c=0(a≠0)称为“全整根方程”，代数式 4ac-b 的值为该 4a “全整根方程”的“关爱码”，用0(a,6,。)表示，即Qa,b,0=如。；若另一关于x的 一元二次方程pr2+g+r=0(p≠0)也为“全整根方程”，其“关爱码”记为Q(p,g,r),当满 足Q(a,b,c)-Q(p,q,r)=c时，则称一元二次方程x2+bx+c=0(a≠0)是一元二次方 程pr2+gr+r=0(p≠0)的“全整根伴侣方程” (1)关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+m=0是一个“全整根方程” ①当m=4时，该全整根方程的“关爱码”是▲ ②若该全整根方程的“关爱码”是-1，求m的值。 (2)关于x的一元二次方程x2-(2m-3)x+m2-4m-5=0(m为整数，且4<m<15)是“全 整根方程”，请求出该方程的“关爱码” (3)若关于x的一元二次方程x2+(1-m)x+m+4=0是x2+(n-1)x-n=0(m,n均为正整数) 的“全整根伴侣方程”，则m-n的值为▲_ 20.【问题提出】 (1)如图①，正方形ABCD中，点M为边BC上一点，连接AM,过点M作ME⊥AM,交AD 的延长线于点E.若AB=12,BM=5,则DE的长为▲： 【问题探究】 AB3 (2)如图②，在矩形ABCD中，AD=4,点E是边CD上一点，将△BED沿BE翻折得到 △BED',延长DD'交BC延长线于点F.试探究线段DF与BE具有怎样的数量关系和位置 关系？ 【问题解决】 (3)如图③，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=6,点E是边AB上一点，连接DE,将DE 绕点E顺时针旋转90°得到FE,交BC于点H,AE绕点E顺时针旋转90°得到GE,连接 CF,CG,GH,当BE=2AE时，求四边形CFHG的面积 D D B H B M C 图① 图② 图③ 共2页)