精品解析：广东中山市共进联盟十校联考2026-2027学年上学期九年级10月数学学情自测

九年级十月数学单元练习试题 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A. 1，，3 B. 1，5， C. ，5，3 D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．根据一元二次方程一般形式中二次项系数、一次项系数、常数项的定义进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，，3， 故选：A． 2. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程，熟知一元二次方程的解满足方程是解题的关键．根据一元二次方程解的定义，把代入方程，即可解得m的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴． 故选：D． 3. 二次函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【详解】解： . ∴ 该二次函数的对称轴是直线. 4. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 5. 已知二次函数的部分y与x的值如下表： x … 1 2 4 … y … 21 12 0 … 根据表格可知，一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用表中对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则或时，函数值相等，都为0，然后根据抛物线与x轴的交点问题得到方程的解． 【详解】解：∵时，；时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵时，， ∴时，， ∴关于x的一元二次方程的解为，． 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式求解k的取值范围． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 7. “少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设共有x个队参赛，根据首轮需要安排28场比赛列方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键． 【详解】解：设共有x个队参赛， 根据题意，得． 故选：D． 8. 已知抛物线（为常数）经过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点式性质（对称轴、开口方向与函数值的关系），解题的关键是利用开口向上时“点到对称轴距离越远，函数值越大”的规律比较大小． 先确定抛物线对称轴为直线且开口向上，再计算各点到对称轴的距离，根据距离越远，函数值越大，比较出的大小． 【详解】解：抛物线的解析式为，这是顶点式， 对称轴为直线； ，抛物线开口向上， 点到对称轴的距离越远，函数值越大． 点到直线的距离：； 点到直线的距离：； 点到直线的距离：． 距离从远到近为：，结合开口向上的性质， 函数值大小关系为：． 故选：B． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的综合．根据二次函数和一次函数图象的性质依次进行判断即可． 【详解】解：观察四个图形，抛物线的对称轴都在原点右侧， ∴和异号， 当时，则， 对于直线经过一、三、四象限，则选项B正确，符合题意； 当时，则， 对于直线经过一、二、四象限，则没有选项符合题意； 故选：B． 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象开口方向、对称轴、特殊点坐标与系数关系是解答的关键，根据二次函数的图象与性质，结合对称轴、特殊点的函数值及最值性质逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，， 即，故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③． 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解为_________． 【答案】， 【解析】 【分析】提取公因式后将原方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 因式分解得：， 可得或， 解得：，． 12. 抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接根据顶点式的特征得到顶点坐标. 【详解】解：抛物线的顶点坐标是. 13. 将二次函数向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新的抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图像平移规律“左加右减，上加下减”，即可得到结果． 【详解】解：原抛物线解析式为， 将抛物线向右平移个单位，可得解析式， 再将得到的抛物线向下平移个单位，可得新的解析式为． 14. 抛物线的函数图像如图所示，写出时的取值范围______． 【答案】## 【解析】 【分析】的解集是指抛物线图象在x轴下方时所对应的自变量的取值范围，据此作答即可． 【详解】结合图象可知，时的取值范围为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质等知识，注重数形结合，是解答本题的关键． 15. 已知二次函数，当时，的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向上，顶点在区间内，最小值在顶点处，最大值在端点处． 【详解】解：二次函数，，开口向上，对称轴为． 当时，； 当时，； 当时，． 故的取值范围为． 故答案为：． 三、解答题一（共3题，每题8分，共24分） 16. 【答案】 【解析】 【分析】利用公式法求解即可 【详解】解：∵a=2，b=-5，c=2， ∴△＝（-5）2-4×2×2=9＞0， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键. 17. 抛物线过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）写出抛物线的顶点坐标及对称轴． 【答案】（1） （2）顶点坐标为，对称轴为直线 【解析】 【分析】本题考查二次函数，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键， （1）设抛物线解析式为：，利用待定系数法将，，三点代入即可求得函数解析式； （2）将化成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标及对称轴． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为：， ∵抛物线过，，三点 ∴ 解得： ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴顶点坐标为，对称轴为直线． 18. 甲同学家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，甲利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米． （1）如图1，当时， 米（用含x的代数式表示）． （2）若围成的养鸡场面积为平方米，求的长． 【答案】（1） （2）的长为米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据图形和条件确定木栏总长米加上2米后是的长度，据此可得的长度； （2）根据长方形面积公式列出方程，解方程即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得米； 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得：，， 当时， ， 即，故舍去， 答：的长为米． 四、解答题二（共3题，每题9分，共27分） 19. 如图，抛物线（c为常数）的顶点为B，且经过坐标原点O和x轴上的点A，连接，若点C在x轴下方的抛物线上，且，求点C的坐标． 【答案】点C的坐标为或 【解析】 【分析】先求出抛物线解析式为，，再根据，得出，代入表达式计算求出结论即可． 【详解】解：∵抛物线经过坐标原点O，顶点为B， ∴把代入，则， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴顶点为，对称轴为直线， ∴由对称性得：， ∴， ∴， ∴， ∵点C在x轴下方的抛物线上， ∴， 把代入， 则， 解得：， ∴点C的坐标为或． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】（1）证明：对于关于x的一元二次方程， ∵， ∴ ， ∵， ，即恒成立， 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别公式可得，结合，即可证明结论． （2）由根与系数的关系，可得，，将整理为，然后代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系，可得，， ∵， ∴， ∴， 解得． 21. 定义：在平面直角坐标系中，对于一点，点P的纵坐标n与其横坐标m的差称为点P的“影差”．例如：点的“影差”为：． （1）二次函数图象顶点的“影差”为 ． （2）已知二次函数，探究该二次函数图象上是否存在“影差”为0的点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）若二次函数的图象上点的“影差”的最小值为，求b的值． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为和 （3）的值为或 【解析】 【小问1详解】 解：，顶点坐标为， ，， “影差”； 【小问2详解】 解：“影差”为0，即，则， 点在抛物线上：， 代入，则， 整理得， 解得，，对应点为和， 答：存在，点的坐标为和； 【小问3详解】 解：设图象上点为，则， “影差”为， 这是开口向上的二次函数，最小值在顶点处， ∴， 解得或． 五、解答题三（第22题11分，第23题13分） 22. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售5000个，7月份销售7200个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题： （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据某品牌头盔5月份销售5000个，7月份销售7200个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同，进行设该品牌头盔销售量的月增长率为x．再列式计算，即可作答． （2）根据一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意得：， 解得（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设增加y条生产线， 由题意得：． 解得， ∵生产线越多，投入越大， ∴不符合题意，舍去， 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，应该增加4条生产线． 23. 如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）的面积的最大值为8， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，交于点E，先表示，，得出，故，再利用二次函数的性质求解即可； （3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答． 【小问1详解】 解：抛物线经过点、， ， 解得 抛物线的解析式为， 【小问2详解】 解：抛物线的解析式为与直线交于B、D两点． ， 解得，， 把代入，得， 点D的坐标为， 如图1，过点P作轴，交于点E， 则，， ， 点B的坐标是 ， 当时，的面积的最大值为8， 此时． 【小问3详解】 解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H， 轴于H， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）知， 点H的坐标为， 由（1）可知， ，， ， 或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级十月数学单元练习试题 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A. 1，，3 B. 1，5， C. ，5，3 D. ，， 2. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 3. 二次函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024 5. 已知二次函数的部分y与x的值如下表： x … 1 2 4 … y … 21 12 0 … 根据表格可知，一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. “少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线（为常数）经过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解为_________． 12. 抛物线的顶点坐标是________． 13. 将二次函数向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新的抛物线的解析式为______． 14. 抛物线的函数图像如图所示，写出时的取值范围______． 15. 已知二次函数，当时，的取值范围为________． 三、解答题一（共3题，每题8分，共24分） 16. 17. 抛物线过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）写出抛物线的顶点坐标及对称轴． 18. 甲同学家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，甲利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米． （1）如图1，当时， 米（用含x的代数式表示）． （2）若围成的养鸡场面积为平方米，求的长． 四、解答题二（共3题，每题9分，共27分） 19. 如图，抛物线（c为常数）的顶点为B，且经过坐标原点O和x轴上的点A，连接，若点C在x轴下方的抛物线上，且，求点C的坐标． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 21. 定义：在平面直角坐标系中，对于一点，点P的纵坐标n与其横坐标m的差称为点P的“影差”．例如：点的“影差”为：． （1）二次函数图象顶点的“影差”为 ． （2）已知二次函数，探究该二次函数图象上是否存在“影差”为0的点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）若二次函数的图象上点的“影差”的最小值为，求b的值． 五、解答题三（第22题11分，第23题13分） 22. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售5000个，7月份销售7200个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题： （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 23. 如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $