精品解析：湖南岳阳市岳阳县第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

岳阳县一中2029届高一第一次月考试题 数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 2. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. ，都有 C. ，都有 D. ，使 3. 已知二次函数的零点为和3，则（ ） A. B. C. 7 D. 4. 设集合，为实数，为整数集，则 A. B. C. D. 5. 下列函数中哪个与函数是同一个函数（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 8. ，恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知a，b，c为实数，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 设正实数、.满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知集合，且，则实数的取值范围是___________； 13. 已知，，且，则的最小值是______. 14. 已知函数，若，则的值域是_________；若的值域是，则参数的取值范围是_________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合， （1）若，求， （2）是的充分条件，求出实数m的取值范围. 16. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元. （1）写出函数，的函数解析式： （2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和（）最小？ 17. 设函数，满足，且有唯一解 （1）求的解析式； （2）求的解集 （3）求的解集. 18. 已知关于的x不等式． （1）若此不等式的解集为，求实数a的值； （2）若，解这个关于的不等式； （3）恒成立，求a的取值范围． 19. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”； （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 岳阳县一中2029届高一第一次月考试题 数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由可推出， 所以是的充分条件， 等价于， 所以不能推出， 所以不是的必要条件， 综上，是的充分不必要条件. 2. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. ，都有 C. ，都有 D. ，使 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定规则，替换量词、保持取值范围不变、否定结论即可得到结果. 【详解】命题“，使”的否定是“，都有”，故C正确. 3. 已知二次函数的零点为和3，则（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】1）一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值． （2）给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的图象开口方向及与轴的交点和相应一元二次方程的根，可以通过代入根或利用根与系数的关系求待定系数． 【详解】 【方法一】由题意知二次函数的零点为和3， 所以， 所以． 【方法二】由题意得方程的两根为和3，由根与系数的关系可得 解得所以． 故选：A 4. 设集合，为实数，为整数集，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】：因为 ,所以， 所以 .故选D． 5. 下列函数中哪个与函数是同一个函数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数的定义域是, 值域是, A. 函数的定义域是，所以A错误； B. 函数的定义域是，所以B错误； C. 函数与的对应法则不同，所以C错误； D. 函数，与函数是同一个函数, 所以D正确. 6. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用抽象函数的定义域列出不等式求解即可． 【详解】由，可得，解得 即的定义域为 故选：A 7. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，得到，即可求解. 【详解】由题意，命题“”是真命题， 根据二次函数的性质，可得， 即，解得或， 所以实数的取值范围是或. 8. ，恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解. 【详解】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知条件，利用二次不等式的解集与二次函数的图象的对应关系，借助韦达定理和不等式的基本性质作出判断. 【详解】由已知得的两根为和1， ∴ ， ∴， ， ∴， ∴ ， 所以ABC正确，D错误； 故选：ABC. 10. 已知a，b，c为实数，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合作差法与反例，可得答案. 【详解】对于A，由，则且，得，故A正确； 对于B，当时，若，有，不满足条件，故B错误； 对于C，由，因此，C错误； 对于D，当，则，D正确． 故选：AD． 11. 设正实数、.满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质求解判断. 【详解】正实数、满足， ， 当且仅当且，即时取等号， ∴的最小值为3，故A正确； ，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为1，则B正确； 因为， 当且仅当时，等号成立，所以， 的最大值为2，故C正确； 因为， 由B项知，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2，故D错误， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知集合，且，则实数的取值范围是___________； 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分析可得若，则有，解不等式即可求得的取值范围. 【详解】由于，且， 所以，即. 故答案为： 13. 已知，，且，则的最小值是______. 【答案】8 【解析】 【详解】， 当且仅当时等号成立，即时，的最小值为8. 14. 已知函数，若，则的值域是_________；若的值域是，则参数的取值范围是_________. 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】第一空，根据分段函数的解析式，分段求解函数值的范围，取并集可得答案; 第二空，结合二次函数的性质，根据题意得到参数需满足的不等式，求得答案. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 故的值域是； 若的值域是， 因为时，， 因为时，，故需满足 ， 又因为需满足 ，则，故参数的取值范围是，即， 故答案为：;. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合， （1）若，求， （2）是的充分条件，求出实数m的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求解集，再应用集合的交补运算求集合； （2）根据充分条件得，讨论是否为空，列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由， 由，则，故，或. 【小问2详解】 由是的充分条件，则， 若，即时，，满足题设； 若，即时，，可得，此时； 综上，. 16. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元. （1）写出函数，的函数解析式： （2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和（）最小？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接设出，根据题设条件可求出，，再根据实际问题知，即可求出结果； （2）由（1）知，，再利用基本不等式即可求出结果. 【小问1详解】 由题可设， 又在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元， 所以，得到，，得到， 又由实际问题知， 故. 【小问2详解】 由（1）知， 当且仅当，即千米时，取等号， 所以这家公司应该把仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和（）最小. 17. 设函数，满足，且有唯一解 （1）求的解析式； （2）求的解集 （3）求的解集. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知得且，再结合有唯一解，列方程求参数值，即可得； （2）解分式不等式求解集； （3）公式法解绝对值不等式，再解分式不等式求解集. 【小问1详解】 由题设，则且，故， 又，即， 所以或，而有唯一解，只需， 所以，故，显然，则； 【小问2详解】 由题设知，则或，解集为； 【小问3详解】 由题设，则或， 所以或，可得或， 所以不等式的解集为. 18. 已知关于的x不等式． （1）若此不等式的解集为，求实数a的值； （2）若，解这个关于的不等式； （3）恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 时，解集为； 当时，解集为； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，为方程的两根，由代入法可得所求值； （2）讨论，，，又分，，时，由二次不等式的解法，即可得到所求解集； （3）由题意可得在恒成立，可得在恒成立，利用换元法求分式型函数最值，结合对勾函数的单调性可得在时取最小值，此时取最大值，可得的范围． 【小问1详解】 不等式化简为的解集为， 可得，为方程的两根， 可得，即； 【小问2详解】 当时，原不等式即为，解得，解集为； 当时，原不等式化为，解集为或； 当时，原不等式化为， ①若，可得，解集为； ②若，，可得解集为； ③若，，可得解集为； 【小问3详解】 恒成立， 等价为在恒成立， 由于恒成立， 可得在恒成立， 令，则， 令，，由对勾函数可知 所以当时取最小值， 此时取得最大值，代入得 ． 即的取值范围是． 19. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”； （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值． 【答案】（1）， （2）点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明如下： 由点是点的“上位点”，得，即， 则， 即，因此点是点的“下位点”； 又， 即，因此点是点的“上位点”， 所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”. （3）4039 【解析】 【分析】（1）利用“上位点”和“下位点”的定义，写出点的一个“上位点”的坐标和“下位点”的坐标. （2）由已知可得，再利用作差法，结合“下位点”和“上位点”的定义推理得证. （3）由定义得，结合整数的特性建立恒成立的不等式求出的范围，再借助（2）的结论确定满足条件即得的最小值. 【小问1详解】 由，得点的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为和. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 假定对，总存在正整数，使得点既是点的 “下位点”，又是点的“上位点”，即对， 总存在正整数，不等式恒成立， 则对，总存在正整数，，而均为正整数， 于是对，总存在正整数，恒成立， 则对，恒成立， 而，当且仅当时取等号，因此， 又由（2）中的结论知，，时，满足条件， 所以的最小值为4039. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $